Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin yhtälöstä ( h m r + V (r ψ n (r = ɛ n ψ n (r radiaaliyhtälö ( [ h d m dr + ] d + h l(l + + V (r R r dr m r nl (r = ɛ n R nl (r. Edellä merkintä r tarkoittaa derivointia suhteellisen koordinaatin r suhteen. Redusoi radiaaliyhtälö edelleen yksiulotteisen liikkeen Schrödingerin yhtälöksi efektiivisessä potentiaalissa V eff (r. (Vinkki: kirjoita R(r = u(r/r. Oleta sitten V (r = e /(4πɛ r, ja hahmottele efektiivisen potentiaalin V eff (r kuvaaja kun l =, ja l. (b (p. Arvioi variaatiomenetelmällä δ-funktiopotentiaalin, d H = h m d αδ(, α > perustilaa käyttäen yritteenä aaltofunktioita ψ( = Ae b, missä b >. Vertaa saamaasi tulosta eksaktiin perustilan energiaan E gs = mα /( h.. Tarkastellaan Hamiltonin operaattoria missä H = H + H, ( E H =, H E = ( ia, ia ja häiriö a E E kun E E ja a E jos E = E. Ominaisenergioita E ja E vastaavat häiritsemättömän järjestelmän ominaistilat ( ( ( =, ( =. (a (p. Oletetaan E E, eli järjestelmällä on kaksi degeneroitumatonta ominaisenergiaa. Laske häiriöteoriaa käyttäen ensimmäisen ja toisen kertaluvun korjaukset energioihin E ja E. (b (p. Olkoon sitten E = E. Laske häiriöteoreettiset ensimmäisen kertaluvun energiakorjaukset tässä tapauksessa. (c (p. Ratkaise Hamiltonin operaattorin H = H + H ominaisarvot eksaktisti ja vertaa edellisissä kohdissa laskemiisi tuloksiin. Kehitelmästä + + / +... saattaa olla apua.
. (a (p. Spinoperaattori on vektorioperaattori S = (S, S y, S z ja kolmiulotteisen avaruuden yksikkövektori on n = sin θ cos φ + sin θ sin φy + cos θz. Laske mitä mahdollisia arvoja voidaan saada tulokseksi, kun mitataan spin-/ hiukkasen spinin komponentti S n yksikkövektorin n määräämässä suunnassa. (Vihje: muista, että S i = hσ i /, missä σ i on Paulin matriisi (i =, y, z. (b (4p. Tarkastellaan vetyatomin perustilaa,, m s e m s p, missä siis huomioidaan sekä elektronin (e, että protonin (p spin, joten perustilan energian degeneraation on 4. Tarkastellaan yksinkertaista mallia ylihienorakenteelle H = H + λ(s e S p, H = p m e 4πɛ r. Tutki mitä perustilan degeneraatiolle tapahtuu. Piirrä energiatasokaavio ja perustele piirrustuksesi häiriöteoreettisin laskuin. Tarvittavat Clebsch-Gordan kertoimet voi lukea liitteen taulukosta. 4. Sironta-amplitudi elastiselle sironnalle potentiaalista V (r on f k (θ, φ = π d r Φ k f (r U(r Ψ ki (r, missä k f on sironneen hiukkasen aaltovektori ja k i on hiukkasen aaltovektori ennen sirontaa, k f = k i = k = µe/ h, ja Φ kf (r = e ik (π / f r, ja U(r = µ V (r. h Aaltofunktio Ψ ki (r toteuttaa integraaliyhtälön Ψ k (r = Φ k (r + d r G k (r r U(r Ψ k (r, missä G k (r r on operaattorin +k Greenin funktio (jonka eksplisiittistä muotoa ei tarvita tässä tehtävässä. (a (p. Selitä miten sironta-amplitudin Bornin kehitelmä muodostetaan ja kirjoita kehitelmän kaksi ensimmäistä termiä eksplisiittisesti. Osoita, että Bornin approksimaatiossa sironta-amplitudi on oleellisesti potentiaalin Fourier muunnos: f B (θ, φ = µ 4π h d re i(k i k f r V (r. (b (p. Sovella Bornin approksimaatiota ja laske sironta-amplitudi f(θ, differentiaalinen vaikutusala dσ/dω ja kokonaisvaikutusala σ sironnalle potentiaalista V (r = V e λ r, λ >.
HYÖTYTIETOA: Fouriermuunnos: f(p = d (π e ip f( f( = d p (π eip f(p Sopivin oletuksin funktioille f( ja g( pätee: d d (π f( g( = (π ( f(g(. g( = /(σ (πσ / e σk g(k = e Pallokoordinaatit ja palloharmoniset funktiot: = r r (r r h r ˆL d r = r drdω = r dr sin θdθdϕ dω = 4π Y (θ, ϕ = R = ˆL = h [ sin θ Y lm (θ, ϕ = ( m+ m ˆL Y lm (θ, ϕ = h l(l + Y lm (θ, ϕ ˆLz Y lm (θ, ϕ = hmy lm (θ, ϕ θ (sin θ θ + ] sin θ ϕ l + 4π dω Y l m (θ, ϕy lm(θ, ϕ = δ ll δ mm (l m! (l + m! P m l (cos θe imϕ Y l, m (θ, ϕ = ( m Y l,m(θ, ϕ Pl k (z = ( z k/ dk dz P l(z P k l (z = d l l l! dz l (z l Y (θ, ϕ = Y (θ, ϕ = 4π 4π cos θ Y ±(θ, ϕ = sin θe±iϕ 8π 5 ( cos θ 5 5 Y ± (θ, ϕ = 6π 8π cos θ sin θe±iϕ Y ± (θ, ϕ π sin θe ±iϕ Vetyatomin(kaltaisen ionin elektronin aaltofunktiot: R nl (r = Ψ nlm ( = R nl (ry lm (θ, ϕ κ = Z na (n l! (κ n(n + l! (κrl e κr L l+ n l (κr Lq p( = a = 4πɛ h µe ( / Z e Zr/a R = ( / ( Z Zr e Zr/a R = a a a 6 Trigonometriaa: p ( k (p + q! k (p k!(q + k!k! k= cos = cos sin, cos + sin = ( 5/ Z re Zr/a a
Besselin ja von Neumannin pallofunktiot: r d R(r dr + r dr(r dr j l ( = l l j ( = sin Integrointiapuja: d n e a = n! a n+, s= + [ (kr l(l + ] R(r = R(r = Aj l (kr + Bn l (kr ( s (s + l! s!(s + l +! s j ( = sin cos de a = π a, n l ( = ( l+ l l+ n ( = cos Resf(z ( d n [(z z z=z = lim n f(z], z z (n! dz Pyörimismäärä: s= d n e a = C ( s (s l! s!(s l! s n ( = cos dzf(z = πi Ĵ j, m = h j(j + j, m, Ĵ z j, m = hm j, m sin 5 (n + π/ n/ a (n+/ n Resf(z z=zj. j= Sarjoja: Ĵ ± = Ĵ ± iĵy, Ĵ ± j, m = h (j m(j ± m + j, m ± [Ĵi, Ĵj] = i h ɛ ijk Ĵ k, [Ĵ, Ĵi] = k= e = n= Paulin matriisit: n n! σ = ( cos = ( n n (n! n= σ y = ( i i sin = σ z = n= ( n n+ (n +! ( [σ i, σ j ] = iɛ ijk σ k {σ i, σ j } = δ ij Häiriöteoria: ( σ a( σ b = ( a b + i( a b σ Sirontateoria: f B (θ, φ = µ 4π h E n ( = n V n, E n ( = m n d re i(k i k f r V (r, n V m E n ( E m ( dσ dω = f(θ, φ, σ = 4π k Imf(. ψ( k (l + e iδ l sin δ l P l (cos θ. l=
4. Clebsch-Gordan coefficients - 4. CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAL HARMONICS, AND d FUNCTIONS Note: A square-root sign is to be understood over every coefficient, e.g., for 8/5 read 8/5. m m + Y = 4π cos θ 5/ / m +/ +/ +5/ 5/ / m Coefficients +/ +/.. +/ / / / + +/ Y =.. / +/ / / sin θeiφ + / /5 4/5 5/ /.. / / 8π + +/ 4/5 /5 +/ +/ 5 ( Y = 4π cos θ + / /5 /5 5/ / +/ /5 /5 / / / / +/ / / / /5 /5 5/ / + +/ +/ +/ 5 Y = +/ /5 /5 / / sin θ cos θeiφ 8π + / / / / / / 4/5 /5 5/ Y = / / + / / +/ / / +/ /5 4/5 5/ 5 4 π sin θe iφ +/ +/ + + / / / / / +/ / / / +/ / /4 /4 +/ +/ /4 /4 / 5/ + / +/ / / / +5/ 5/ / + + + + +/ + +/ +/ / +/ / / + / / +/ /5 /5 5/ / / / / /4 /4 + + / / + + + +/ + /5 /5 +/ +/ +/ / +/ /4 /4 + /5 / /5 +/ / /5 / / / + 8/5 /6 / +/ /5 /5 / 5/ / / + + /5 / / / + / 8/5 /6 / / / + + + + + /5 / / +/ / 8/5 /6 + / / /5 /5 / /5 /5 / 5/ / + / / + /5 / / / + / /5 / / / + /6 / / /5 / / / /5 /5 5/ / / 8/5 /6 / / /5 /5 5/ + /6 / / + /5 / /5 / Yl m =( m Yl m / / / / / / / / j j m m j j JM 4π d l =( J j j j m, = j m m j j JM l + Ym l e imφ / / Notation: d j m,m =( m m d j m,m = d j / / m, m + d, =cosθ d/ /,/ =cosθ d, = + cos θ +/ +/ + + / 7/ +/ +/ / / d / /, / = sin θ d, = sin θ +7/ 7/ 5/ +/ +/ / / + + + + +/ +5/ +5/ +/ / /5 / / + +/ /7 4/7 7/ 5/ / +/ +/ /5 /5 d, = cos θ + +/ 4/7 /7 +/ +/ +/ / +/ /5 / / + / /7 6/5 /5 +/ / / /4 9/ /4 + +/ 4/7 /5 /5 7/ 5/ / / 4 +/ / 9/ /4 / /4 +/ /7 8/5 /5 +/ +/ +/ +/ +4 4 / +/ 9/ /4 / /4 + + + + + / /5 6/5 /5 /5 / +/ / /4 9/ /4 + / /5 5/4 / + + / / 4 + + / / + + + +/ 8/5 7/ 5/ +/ 4/5 7/7 / / / +/ / /5 / / /5 /5 /5 / / / /5 /5 /5 / / / / +/ /5 / / + /4 / /7 + / 4/5 7/7 /5 / + + 4/7 /7 4 / / / / / 8/5 /5 /5 /5 + /4 / /7 + + + + / / / / +/ /5 5/4 / 7/ 5/ / + /4 / /7 /5 +/ /5 6/5 /5 /5 / / / / / + /7 /5 /4 / / /7 8/5 /5 + /7 /5 /4 / 4 / 4/7 /5 /5 7/ 5/ + /4 / /7 /5 +/ /7 6/5 /5 5/ 5/ + /7 / /7 /5 /5 / 4/7 /7 7/ + 8/5 /5 /4 / /5 / /7 4/7 7/ 8/5 /7 /5 d / /,/ = + cos θ cos θ + 8/5 /5 /4 / /5 4 / + /7 / /7 /5 /5 + /4 / /7 /5 d / /,/ = + cos θ sin θ ( + cos θ d, = /7 /5 /4 / /7 /5 /4 / 4 + /4 / /7 /5 d / /, / = cos θ cos θ d + cos θ /4 / /7, = sin θ 4/7 /7 4 d / cos θ = sin θ 6 d /, /, = 4 sin θ d, = + cos θ /4 / /7 ( cos θ / / 4 d / /,/ = cosθ cos θ / / 4 d cos θ, = sin θ d, = sin θ cos θ d / /, / = cosθ+ sin θ ( cos θ d, = d, = cos θ ( ( cos θ + d, = cos θ Figure 4.: The sign convention is that of Wigner (Group Theory, Academic Press, New York, 959, also used by Condon and Shortley (The Theory of Atomic Spectra, Cambridge Univ. Press, New York, 95, Rose (Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, New York, 957, and Cohen (Tables of the Clebsch-Gordan Coefficients, North American Rockwell Science Center, Thousand Oaks, Calif., 974. The coefficients here have been calculated using computer programs written independently by Cohen and at LBNL. J M J M......