Talousmatematiikan perusteet: Luento 3 Funktiot Lineaarinen ja paloittain lineaarinen funktio Lineaarinen interpolointi Toisen ja korkeamman asteen polynomifunktiot
s(n) p e m K(t) Tähän mennessä Olemme jo tarkastelleet erilaisten muuttujien välisiä riippuvuuksia: Henkilö lainaa 20 000 pankista 5% vuosikorolla. Miten lainasumma K riippuu vuodesta t? K(t) = 20 000 1 + 5 100 t 34000 29000 24000 19000 0 2 4 6 8 10 t Henkilö lainaa 5000 10% nimellisellä vuosikorolla siten, että korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa. Miten efektiivinen vuosikorko p e riippuu m:stä? p e m = 100 1 + 10/m 100 m 100 10.6 10.4 10.2 10 9.8 1 6 m Tarkastellaan geometrista lukujonoa a n = 60 1.2 n1. Miten jonosta muodostetun sarjan termi riippuu termin järjestysluvusta n? s(n) = 60 1.2n 1 (1.2 1) 2000 1500 1000 500 0 1 3 5 7 9 n 2
Tällä luennolla Muuttujien välisiä yhteyksiä kuvataan yleisesti funktioilla, esim. Lainasumma K(t)=20 000 1 + 5 100 Efektiivinen korko p e m = 100 1 + 10/m 100 määrän m funktio Geometrisen sarjan termi s n = 60 1.2n 1 (1.21) t on vuoden t funktio m 100 on koronlisäämiskertojen on järjestysluvun n funktio Tällä luennolla tarkastellaan Funktioihin liittyviä käsitteitä Lineaarista ja paloittain lineaarista funktiota Lineaarista interpolointia Toisen ja korkeamman asteen polynomifunktioita 3
Funktiot Esim. Kiinteistöyhtiö ostaa teollisuusprosessissa syntyvää lauhdevettä, jota se välittää edelleen kiinteistölle kaukolämmöksi. Kiinteistölle välitettävästä sopimuksesta yhtiö maksaa tehtaalle Perusmaksun, joka on 20.30 kuukaudessa ja Kulutuksesta 16.10 /MWh Käytetään merkintöjä Ostettava lauhdevesimäärä: x A = R + Laskun suuruus: y B = R + Ostettavan määrän ja laskun suuruuden yhteyttä kuvaa funktio f on sääntö, joka kuvaa joukon A alkiot (x) joukon B alkioiksi (y). f: A B, y = f x = 16.10x + 20.30. f(x) määrittää tämän kuvauksen tietylle x A. 4
Lähtö-, maali- ja arvojoukot f: A B o Joukko A on funktion f lähtöjoukko Lähtöjoukkoa kutsutaan usein myös määrittelyjoukoksi Joukko B on funktion f maalijoukko Arvojoukko V f on niiden B:n alkioiden joukko, joiksi f kuvaa kaikki A:n alkiot o A o o f o V f o o B 5
Reaalifunktio Lähtö- ja maalijoukon alkiot voivat periaatteessa olla mitä tahansa olioita Pirjo A Pena f Mies Meiju Nainen B Jos A R ja B R, kutsutaan funktiota f: A B reaalifunktioksi 6
Funktion ominaisuudet Jotta funktio f: A B olisi hyvin määritelty, tulee sen kuvata jokainen lähtöjoukon alkio yksikäsitteisesti arvojoukkoon, eli f: R R, f x = 1/x ei ole (hyvin määritelty) funktio f: R \{0} R, f x = 1/x on funktio 1. Jokaiselle x A pitää löytyä kuva y = f(x) V f 1. Jokaisen x A pitää kuvautua täsmälleen yhdelle arvojoukon alkiolle y = f(x) V f Ei funktio 7
Polynomifunktio Polynomifunktio on muotoa f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n Esim. f 1 x = x + 1 f 2 x = x 2 x + 2 f 3 x = 0.2x 3 0.5x 2 + x 1 f 4 x = 0.1x 4 0.5x 2 + 2 Polynomin aste = korkein eksponentti. 8
Lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen polynomifunktiota f x = a 0 + a 1 x sanotaan lineaariseksi funktioksi Lineaarisen funktion kuvaaja on suora: Kerroin a 0 määrittää kohdan, jossa suora leikkaa y-akselin Kerroin a 1 on suoran kulmakerroin, joka mittaa funktion f absoluuttista muutosnopeutta Esim. Kaukolämmön kulutuksen ja laskun suuruuden yhteyttä kuvaa lineaarinen funktio f x = 16.10x + 20.30 Kerroin a 0 = 20.3: nollakulutuksella lasku on perusmaksu 20.30. Kerroin a 1 = 16.1: yhden MWh:n lisäys kulutuksessa kasvattaa laskua 16.10. Kulutus x (MWh) Lasku y=f(x) ( ) 0 20.3 1 36.4 2 52.5 5 100.8 10 181.3 9
Lineaarinen funktio tilastollisena mallina Edellä kaukolämmön kulutuksen ja laskun suhteeseen ei liittynyt satunnaisvaihtelua, vaan se oli deterministinen Lineaarista funktiota käytetään kuitenkin usein myös tilastollisena mallina Esim. Ekonomisti tutki teollisuuskiinteistön energiakustannusten riippuvuutta ulkoilman keskilämpötilasta x ( C) ja sai tuloksena tilastollisen mallin f: R R: f x = 16.5x + 444. Vakiotermi a 0 = 444: Kustannus on keskimäärin 444 /vrk, kun lämpötila on 0 C Kulmakerroin a 1 = 16.5: Kustannus pienenee keskimäärin 16.5, kun lämpötila nousee asteella 10
Lineaarinen funktio tilastollisena mallina Tilastollinen malli kuvaa muuttujien välisen yhteyden vain likimääräisesti Yhteyteen vaikuttaa myös satunnaisvaihtelu Lineaarinen malli on tavallisesti vain yksinkertaistava, rajoitetulla alueella pätevä approksimaatio Esim. Antaako lineaarinen malli f x = 16.5x + 444 järkeviä tuloksia, kun lämpötila x 444 16.5 = 26.9 C? 11
Lineaarisen funktion määrittäminen Suoran määrittää yksikäsitteisesti kaksi pistettä Esimerkki: Fahrenheit- ja Celciusasteikkojen välinen yhteys on lineaarinen. Tiedät, että 0 C = 32 F ja 100 C = 212 F. Määritä funktio f: R R, joka kuvaa Celcius-asteet Fahrenheit-asteiksi. f 0 = a 0 + a 1 0 = a 0 = 32 f 100 = a 0 + a 1 100 = 32 + 100a 1 = 212 a 1 = 1.8 f x = 32 + 1.8x 12
Lineaarisen funktion määrittäminen Suoran määrittää yksikäsitteisesti yksi piste ja kulmakerroin Esimerkki: Markkinointiguru uskoo, että jokainen markkinointiin laitettu lisäeuro tuottaa yritykselle 2 lisäeuroa vuodessa. Yrityksen tämänhetkinen markkinointibudjetti on 500 000 ja tuotto 1.2 M. Määritä funktio, joka kertoo tuoton (uskotun) riippuvuuden markkinointibudjetista. Kulmakerroin a 1 = 2 1 = 2. f 0.5 = a 0 + a 1 0.5 = a 0 + 1 = 1.2 a 0 = 0.2. f x = 0.2 + 2x 13
Sovellus tasapainohinnoitteluun Esim. Ekonomisti tutkii luomuturnipsin kysynnän ja tarjonnan (t) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg): Kysyntä f: R + R +, f x = 15.9x + 810.2 Tarjonta g: R + R +, g x = 11.7x + 3.3 Markkinat ovat tasapainossa suorien leikkauspisteessä, eli kun kysyntä = tarjonta: f x = g x 15.9x + 810.2 = 11.7x + 3.3 x 29.2, f x 345.4t kg 14
Yhteenveto lineaarisista funktioista Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko (mihin joukkoon x kuuluu?) B on maalijoukko (mihin joukkoon y kuuluu? V f B on arvojoukko (mille B:n osajoukolle f kuvaa A:n?) Lineaarinen funktio on muotoa f: R R, f x = a 0 + a 1 x Lineaarisen funktion kuvaaja on suora: Kerroin a 0 määrittää kohdan, jossa suora leikkaa y-akselin Kerroin a 1 on suoran kulmakerroin, joka mittaa funktion f absoluuttista muutosnopeutta 15
Presemo-kysymys Opiskelija osallistuu tenttiin, josta saatava pistemäärä x 0,30. Tentti- ja kotitehtäväpisteiden yhteismitallistamiseksi tenttipisteet skaalataan välille 0,100. Mikä lineaarinen funktio f antaa skaalatut pisteet y = f(x) alkuperäisten pisteiden x funktiona? 1. f x = 30 + 70x 2. f x = 10 3 x 3. f x = 3 10 x 16
Paloittain lineaarinen funktio Esim. Kiinteistöhuoltoyhtiön välittämissä kaukolämpösopimuksissa on ehto, jonka mukaan 1. Perusmaksu toimituksesta on 20.30 /kk, ja 2. Kulutuksesta maksetaan tehtaalle 16.10 /MWh, mutta 3. 50 MWh:n ylittävästä kulutuksesta maksetaan 10.50 /MWh. Kulutuksen ja laskun yhteyttä kuvaa nyt paloittain lineaarinen funktio: f x = 20.30 + 16.10x, kun x 50 300.30 + 10.50x, kun x > 50 20.30 + 16.10 50 + 10.50 x 50 50 MWh:n alittava osa 50 MWh:n ylittävä osa 17
Paloittain lineaarinen funktio Paloittain lineaarisella funktiolla voidaan periaatteessa approksimoida mitä tahansa funktiota Esim. Funktiota f x = x 3 voidaan approksimoida funktiolla f x = 196x + 960, 63x + 162, 9x, 63x 162 196x 960 kun 10 x < 6 kun 6 x < 3 kun 3 x < 3 kun 3 x < 6 kun 6 x < 10 Tämä ei kuitenkaan aina ole järkevää 18
Lineaarinen interpolointi Empiirisiä ilmiöitä kuvaavista muuttujista x ja y tunnetaan useimmiten tarkan yhteyden sijaan vain joitakin havaintopisteitä x 1, y 1, x 2, y 2,, (x n, y n ) Havaintopisteiden välillä (lat. inter) muuttujien yhteyttä voidaan arvioida interpoloimalla Päivä Lukema (MWh) 29.9. (0) 96.31 7.10. (8)?? 17.10. (18) 97.87 25.10. (26) 98.57 1.11. (32) 99.17 Esim. Kiinteistö on sitoutunut ilmoittamaan käytetyn kaukolämmön määrän noin viikon välein Energialaitokselle. Huolimattomuussyistä 7.10. otettu lukema on jäänyt ilmoittamatta. Miten arvioisit puuttuvaa lukemaa? 19
Lineaarinen interpolointi Kuvan perusteella kulutuksen voi olettaa kertyvän lineaarisesti: Välillä 29.9.-17.10. (18 päivää) kulutuksen kasvu oli 97.87-96.31=1.56 MWh Välin 29.9-7.10. (8 päivää) osuus tästä kasvusta on 8 1.56 0.69 MWh. 18 Arvio 7.10. lukemalle = 96.31+0.69=97.00 MWh Sama tulos saadaan myös määrittämällä kahden ensimmäisen pisteen välinen suora: f 0 = a 0 + a 1 0 = a 0 = 96.31 f 18 = a 0 + a 1 18 = 96.31 + 18a 1 = 97.87 a 1 0.0867 f x = 96.31 + 0.0867x f 8 = 96.31 + 0.0867 8 97.00 MWh Päivä Lukema (MWh) 29.9. (0) 96.31 7.10. (8)?? 17.10. (18) 97.87 25.10. (26) 98.57 1.11. (32) 99.17 1.56 MWh 0.69 MWh 20
Lineaarinen interpolointi Lineaarinen interpolointi vastaa paloittain lineaarisen funktion määrittämistä Aiemmin todettiin, että paloittain lineaarisella funktiolla voidaan approksimoida mitä tahansa funktiota Jos havaintopisteet on valittu (tai ovat valikoituneet) sopivasti, lineaarinen interpolointi toimii hyvin todellisesta funktiomuodosta huolimatta Mutta jos havaintopisteet on valittu (tai ovat valikoituneet) huonosti, myös lineaarinen interpolointi toimii huonosti 21
Populaation koko Kiitospäivä Ekstrapolointi Kuvalähde: Taleb, N. 2007. The black swan: the impact of the highly improbable. Random House, New York. Ekstrapolointi tarkoittaa muuttujien välisen yhteyden arviointia havaintopisteiden ulkopuolella (lat. extra) Tämä on usein vaarallista toimintaa Aika Historiadataan pohjautuvien ennusteidemme perusteella populaatiomme voi odottaa yhä kasvavan; suhtaudumme tulevaan kiitospäiväsesonkiin luottavaisin mielin. 22
Yhteenveto paloittain lineaarisesta funktiosta Paloittain lineaarisella funktiolla voidaan approksimoida mitä tahansa funktiota Lineaarista interpolointia käytetään, kun Tarkasteltavista muuttujista on saatavilla vain joitakin havaintopisteitä, Muuttujien välinen yhteys voidaan olettaa lineaariseksi havaintopisteiden välillä, ja Muuttujien välistä yhteyttä halutaan arvioida näillä väleillä Lineaarinen interpolointi vastaa paloittain lineaarisen funktion rakentamista havaintopisteiden määrittämille väleille 23
Toisen asteen polynomifunktio Toisen asteen polynomifunktio on muotoa f: R R, f x = ax 2 + bx + c Esim. Luomuturnipsin kysyntä f(x) yksikköhinnan x ( /kg) funktiona on f x = 15.9x + 810.2. Turnipsin tuottajat muodostavat kartellin, jonka tavoitteena on maksimoida markkinoilta saatava voitto, kun tuotantokustannus on 5 /kg. Mikä on kartellihinta x? Voittoa/tappiota kuvaa toisen asteen polynomifunktio v: R + R +, v x = f x x 5 = 15.9x + 810.2 x 5 = 15.9x 2 + 889.7x 4051. Kuvan perusteella voitto maksimoituu, kun x 28 /kg, jolloin v x = 15.9 28 2 + 889.7 28 4051 = 8395 k 8.4M. 24
Kuvaaja ja nollakohdat Toisen asteen polynomifunktion f x = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli, joka aukeaa Ylöspäin, jos a > 0, Alaspäin, jos a < 0. (Mitä jos a = 0?) Paraabeli leikkaa x-akselin joko 0, 1 tai 2 kertaa Näitä leikkauskohtia sanotaan funktion nollakohdiksi tai (reaali)juuriksi 25
Nollakohtien ratkaiseminen Nollakohdat voidaan ratkaista kaavalla x = b ± b2 4ac 2a Nollakohtien lukumäärä riippuu diskriminantista b 2 4ac: Jos b 2 4ac > 0, nollakohtia on 2 (x = b+ b2 4ac ja x = b b2 4ac ) 2a 2a Jos b 2 4ac = 0, nollakohtia on 1 (x = b ) 2a Jos b 2 4ac < 0, (reaalisia) nollakohtia ei ole (x R ) 26
Nollakohtien ratkaiseminen Esim. (Jatkuu) Millä välillä turnipsin kilohinnan pitää olla, jotta se tuottaisi voittoa? v x = 15.9x 2 + 889.7x 4051 Nollakohdat: x = 889.7± 889.72 4 (15.9) (4051) 2 (15.9) = 27.978 ±22.978 x 1 = 5.00 ja x 2 = 50.96. + - - Kuvan perusteella voidaan siis sanoa, että tulos on voitollinen, jos kilohinta x [5.00 kg, 50.96 kg ]. 27
Ääriarvot Jos funktiolla on 2 nollakohtaa, se saavuttaa ääriarvonsa nollakohtien x = b ± b2 4ac 2a 2a puolivälissä, eli kun x = b. 2a Ääriarvo kohdassa x = 1 2 Ääriarvo on funktion Minimi, jos a > 0 Maksimi, jos a < 0 Ääriarvo kohdassa x = 1 2 (2) = 1 4 28
Ääriarvot Määritetään vielä analyyttisesti turnipsin kartellihinta: Voittofunktion v x nollakohdiksi saatiin x = 27.978 ±22.978 Nollakohtia on 2, joten ääriarvo saavutetaan niiden puolivälissä: x = 27.978 Koska voittofunktion v x = 15.9x 2 + 889.7x 4051 korkeinta eksponenttia vastaava kerroin on negatiivinen (15.9), on ääriarvo maksimi. 29
Sovellus tasapainohinnoitteluun Esim. Ekonomisti tutki kapakalan kysynnän ja tarjonnan (t) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg): Kysyntä f: R + R +, f x = 14.8x + 620.5 Tarjonta g: R + R +, g x = 0.19x 2 + 2.1 Markkinat ovat tasapainossa kysyntä- ja tarjontakäyrien leikkauspisteessä, eli kun kysyntä = tarjonta: f x = g x 14.8x + 620.5 = 0.19x 2 + 2.1 0.19x 2 + 14.8x 618.4 = 0 x 1 30.13 kg, f x 1 = g x 1 174.6 t x 2 108.02 kg ei sisälly määrittelyjoukkoon 30
Korkeamman asteen polynomifunktiot Korkeamman asteen polynomifunktioita tarvitaan Joidenkin empiiristen ilmiöiden mallintamiseen Funktioiden approksimointiin sarjakehitelmillä; esim. e x = n=0 xn n! Jos funktiossa on vain korkeamman asteen termejä, sen kulku voidaan hahmottaa helposti (ks. kuvat) 31
Nollakohtien ratkaiseminen Kolmannen ja neljännen asteen polynomifunktioiden nollakohtien määräämiseen on olemassa yleiset mutta monimutkaiset ratkaisukaavat Joissakin erikoistapauksissa funktio voidaan muuttujanvaihdoksella palauttaa 1. tai 2. asteen yhtälöksi. Esim. Bikvadraattinen yhtälö ax 4 + bx 2 + c voidaan kirjoittaa muodossa ay 2 + by + c, missä y = x 2. Funktion x 4 2x 2 + 1 = y 2 2y + 1 nollakohdat: y = 2 ± 4 4 = 1 = x 2 x = ±1. 2 32
Nollakohtien ratkaiseminen Yleisessä tapauksessa polynomifunktion nollakohdat ratkaistaan faktoroinnilla Esim. Funktio x 3 3x 2 + 2 voidaan kirjoittaa myös muodossa x 1 x 1 3 x 1 + 3 ; tarkista! Funktion nollakohdat ovat x = 1, x = 1 + 3 ja x = 1 3 Yleisesti: Jos n. asteen polynomifunktion nollakohdat ovat x 1, x 2,, x n, voidaan se esittää muodossa a n x x 1 x x 2 x x n Nollakohtien ratkaisuun on käytettävissä myös monenlaisia työkaluja, ks. esim. https://www.wolframalpha.com 33
Yhteenveto toisen ja korkeamman asteen polynomifunktioista Toisen asteen polynomifunktio f x = ax 2 + bx + c Kuvaaja on ylöspäin (alaspäin) aukeava paraabeli, jos a > 0 (a < 0) Nollakohdat (0, 1 tai 2 kpl) ratkaistaan kaavalla x = b± b2 4ac 2a Jos nollakohtia on 2, funktio saavuttaa ääriarvonsa kohdassa x = b Ääriarvo on minimi (maksimi), jos a > 0 (a < 0) 2a Korkeamman asteen polynomifunktion nollakohtien ratkaiseminen käsin on hankalampaa 34
Presemo-kysymys Kuinka monta nollakohtaa on funktiolla f x = x 2 + x 2? 1. 0 2. 1 3. 2 35