Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä

1 Kirchoffin ensimmäinen laki: Missä tahansa virtapiirin liitoskohdassa pisteeseen saapuvien sähkövirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä poistuvien sähkövirtojen summa. i 1 i 4 i 1 + i 3 = i 2 + i 4 i 2 i 3 i 1 i 2 + i 3 i 4 = 0

1 Kirchoffin ensimmäinen laki: Missä tahansa virtapiirin liitoskohdassa pisteeseen saapuvien sähkövirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä poistuvien sähkövirtojen summa. i 1 i 4 i 1 + i 3 = i 2 + i 4 i 2 i 3 i 1 i 2 + i 3 i 4 = 0 Kirchoffin toinen laki: Suljetussa johdinsilmukassa järjestyksessä laskettu potentiaalierojen summa on nolla. U 1 i 1 R 1 i 2 R 2 U 1 R 1 i 1 + U 2 + R 2 i 2 = 0 U 2

2 Laske virrat, kun oheisessa kytkennässä U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω. i 1 i 2 U 2 i 3 R 1 R 2 R 3 U 1

2 Laske virrat, kun oheisessa kytkennässä U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω. i 1 i 2 U 2 i 3 R 1 R 2 R 3 U 1 Kirchoffin ensimmäisestä laista saamme i 1 + i 2 + i 3 = 0.

2 Laske virrat, kun oheisessa kytkennässä U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω. i 1 i 2 U 2 i 3 R 1 R 2 R 3 U 1 Kirchoffin ensimmäisestä laista saamme i 1 + i 2 + i 3 = 0. Kirchoffin toisesta laista saamme U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0 R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0

3 Sijoitetaan parametrien arvot U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω yhtälöihin i 1 + i 2 + i 3 = 0, U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0, R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0, ja järjestetään yhtälöt sieviksi:

3 Sijoitetaan parametrien arvot U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω yhtälöihin i 1 + i 2 + i 3 = 0, U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0, R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0, ja järjestetään yhtälöt sieviksi: i 1 + i 2 + i 3 = 0 500Ωi 2 + 300Ωi 3 = 5.0V 200Ωi 1 + 500Ωi 2 = 2.0V

3 Sijoitetaan parametrien arvot U 1 = 2.0V, U 2 = 5.0V, R 1 = 200Ω, R 2 = 500Ω ja R 3 = 300Ω yhtälöihin i 1 + i 2 + i 3 = 0, U 2 R 2 i 2 + R 3 i 3 = 0, R 1 i 1 + U 1 + R 2 i 2 = 0, ja järjestetään yhtälöt sieviksi: i 1 + i 2 + i 3 = 0 500Ωi 2 + 300Ωi 3 = 5.0V 200Ωi 1 + 500Ωi 2 = 2.0V Jaetaan vielä toinen ja kolmas yhtälö ohmilla, jolloin yhtälöryhmä menee muotoon:

4 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = 2.0A

4 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = 2.0A D = 1 1 1 0 500 300 200 500 0 = 310000

4 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = 2.0A D = 1 1 1 0 500 300 200 500 0 = 310000 D 1 = = +0 5.0A = 900A 0 1 1 5.0A 500 300 2.0A 500 0 1 1 500 0 + ( 2.0A) 1 1 500 300

5 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = 2.0A D 2 = = 0 + 5.0A = 1600A 1 0 1 0 5.0A 300 200 2.0A 0 1 1 200 0 ( 2.0A) 1 1 0 300

6 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = 2.0A D 3 = = +0 5.0A 1 1 0 0 500 5.0A 200 500 2.0A = 2 500A 1 1 200 500 + ( 2.0A) 1 1 0 500

7 Siis: i 1 = D 1 D = i 2 = D 2 D = 900A 310000 = 2.90mA 1600A 310000 = 5.16mA i 3 = D 3 D = 2500A 310000 = 8.06mA

8 Edellisen esimerkin kytkennässä etsimme jännitelähteelle U 1 sellainen arvo, että virta vastuksen R 1 läpi on nolla (pieni). Merkitään U 1 = X. Tämä merkintä korostaa sitä, että olemme nyt etsimässä oikeata arvoa X :lle. 0A i 1 R 1 i 2 R 2 U 2 i 3 R 3 U 1 = X (V)

8 Edellisen esimerkin kytkennässä etsimme jännitelähteelle U 1 sellainen arvo, että virta vastuksen R 1 läpi on nolla (pieni). Merkitään U 1 = X. Tämä merkintä korostaa sitä, että olemme nyt etsimässä oikeata arvoa X :lle. 0A i 1 R 1 i 2 R 2 U 2 i 3 R 3 U 1 = X (V) Yhtälöryhmä muuttuu muotoon

8 Edellisen esimerkin kytkennässä etsimme jännitelähteelle U 1 sellainen arvo, että virta vastuksen R 1 läpi on nolla (pieni). Merkitään U 1 = X. Tämä merkintä korostaa sitä, että olemme nyt etsimässä oikeata arvoa X :lle. 0A i 1 R 1 i 2 R 2 U 2 i 3 R 3 U 1 = X (V) Yhtälöryhmä muuttuu muotoon i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = X A

9 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = X A Ratkaisemme vain ensimmäisen muuttujan i 1 = D 1 /D:n (muuta emme nyt tarvitse). D 1 pitää laskea uudellee, mutta D on sama kuin edellisessä esimerkissä.

9 i 1 + i 2 + i 3 = 0 500i 2 + 300i 3 = 5.0A 200i 1 + 500i 2 = X A Ratkaisemme vain ensimmäisen muuttujan i 1 = D 1 /D:n (muuta emme nyt tarvitse). D 1 pitää laskea uudellee, mutta D on sama kuin edellisessä esimerkissä. D 1 = = +0 5.0A 0 1 1 5.0A 500 300 X A 500 0 1 1 500 0 = (2500 800X )A + ( X A) 1 1 500 300

10 Siis ja i 1 = 0A, jos i 1 = D 1 D (2500 800X )A =, 310 000 2500 800X = 0 X = 2500 800 = 3.125(V)