ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0. Ratkaise epäyhtälö 5 5. Kuutio on puolipallon sisällä siten, että kuution pohja on puolipallon pohjaympyrällä siten, että pohjaympyrän ja kuution pohjan keskipisteet yhtyvät. Lisäksi kuution pohjan vastaiset kärjet ovat puolipallon pinnalla. Laske puolipallon ja kuution tilavuuksien suhde. 4. Suora y leikkaa ympyrää ( ) + (y 5) 8 Pisteissä A ja B. Jänteelle AB piirretään keskinormaali, joka leikkaa ympyrää pisteissä C ja D niin, että piste D on lähempänä jännettä kuin piste C. Pisteet C ja D yhdistetään janoilla pisteisiin A ja B. Laske kolmioiden ABC ja ABD pinta-alojen suhde. 5. Suunnikkaassa ABCD piste E jakaa sivun DC suhteessa 5: ja piste F sivun BC suhteessa : 4. Missä suhteessa janojen AE ja FD leikkauspiste G jakaa nämä janat? 6. Suomessa on noin yksi lääkäri 50 henkilöä kohden. Junassa kuulutetaan lääkäriä hoitamaan sydänkohtauksen saanutta naista. a) Millä todennäköisyydellä junan matkustajasta löytyy lääkäri? b) Montako matkustajaa junassa pitäisi olla, jotta lääkäri löytyisi 75%:n todennäköisyydellä? 7. Jukka sai tädiltään 00 joka syntymäpäivänään. Ensimmäinen raha saatiin Jukan 7- vuotispäivänä ja viimeinen raha Jukan täyttäessä 6 vuotta. Jukan saamat rahat talletettiin aina heti pankkiin, jonka maksama nettokorko, % oli sovittu kiinteäksi. Mikä oli Jukan tilin saldo Jukan 8-vuotispäivänä? 8. Osoita, että funktion f ( ) sin cos suurin arvo välillä 0 on 0. 9. Osoita, että funktion f( ) kuvaajan ja -akselin sekä suorien a ja a, missä a >0, rajaama pinta-ala ei riipu luvusta a. 0. Viisijärjestelmän luku 0 on sama kuin n- järjestelmän luku 4. Määritä n.. Päättymättömän sarjan termit ovat positiivisia ja sen ensimmäinen termi on 8. Kahden peräkkäisen termin suhde on sama kuin näiden termien erotuksen ja summan suhde. Laske sarjan summa. RATKAISUT ->
RATKAISUT:.
. 8 4 0 ( 5)(4 5 ((8 0 ) ( 5)(() ) ( 5)) ((4 ) ( 5)( )( ). ( 5) ( 5)) Nollakohdiksi saamme suuruusjärjestyksessä,0,,. Saamme merkkikaavion 5 tulo 0 5 Vastaukseksi saamme merkkikaaviosta kohdat, joiss on tulossa miinus- merkki, siis 5 0 tai.. Ratkaisu: Koska kuution pohjan keskipiste on sama kuin puolipallon pohjaympyrän keskipiste, niin puolipallon säde r on sama kuin kuution pohjan keskipisteestä vastakkaiseen kärkeen piirretyn janan OE pituus. Janan AE saamme suorakulmaisesta kolmiosta OAE, missä hypotenuusana on OE r, AE on kuution sivu ja OA on kuution pohjaneliön lävistäjän puolikas, joten Pythagoraan lauseen mukaan r ( ) r 4 r ( ) kysytyksi suhteeksi 6. r. Nyt saamme
Vastaus: 6. 4. Määritetään ympyrän ja suoran y leikkauspisteet, sijoitetaan ympyrän yhtälöön y ( ) + ( 5) 8 6 + 9 + 0 + 5 8 6 + 6 0 : 8 64 5 8 + 0 8 8 4 ± 4 4 4 4 Jänteen AB keskipiste, (4, 4) Jänteen AB keskinormaalin yhtälö: y 4 ( 4) y + 8 Määritetään ympyrän ja suoran y + 8 leikkauspisteet, sijoitetaan ympyrän yhtälöön y + 8 ( ) + ( + ) 8 ( ) 8 : ( ) 4 ± ± 5, y + 8, y + 8 7 Koska kolmioilla ABC ja ABD on yhteinen kanta, niiden pinta-alojen suhde on sama kuin niiden korkeuksien suhde Merkitään ympyrän ja keskinormaalin leikkauspisteiden etäisyydet suorasta y 0 d ja d d 5 ( ) ABC ABD 7 d ( ) 6 5. Kuvion merkinnöillä AE u + 5 8 v ja FD 4 5 u v FG FB + BA + AG 5 u v + s AE 5 u v + s 5 u v 8 s 5 u + toisaalta 4 FG t FD t 5 u v 4 t u t v 5 5s 8 v
Komponenttien kerroinlausekkeista saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan s ja t s 4 t 5 5 s 4 t 5 5 5 s 8 t 8 5 s + 8 t 8 Kun vähennetään edellinen yhtälö jälkimmäisestä, saadaan t 7 : t 7 Sijoitetaan t :n arvo ensimmäiseen yhtälöön: 5 s 7 5 s 0 : 5 s Vastaus: Piste G jakaa janan AE suhteessa : ja janan FD suhteessa 7 : 5 6. Ratkaisu: a) P(ainakin yksi lääkäri) P(ei yhtään lääkäriä) 49 50 (p.) 0,47 (p.) b) n 49 0,75 (p.) 50 n 49 0,5 (4p.) 50
450 49 n 450 : 0, 75... 50 460 49 n 460 : 0, 68... 50 470 49 n 470 : 0, 60... 50 480 49 n 480 : 0, 5... 50 48 49 n 48: 0, 5... 50 48 49 n 48 : 0, 5... 50 49 n 48: 50 48 484 485 0, 5... 49 n 484 : 0, 50... 50 49 n 485 : 0, 496... (5p.) 50 7. s Tarvitaan vähintään 485 matkustajaa. (6p.) 7-vuotispäivänä talletettu summa kasvaa korkoa korolle vuotta, joten se kasvaa summaksi a,0 00. 8-vuotispäivänä talletettu summa kasvaa korkoa korolle 0 vuotta, joten se kasvaa summaksi 0 a,0 00 jne, kunnes 6-vuotispäivänä talletettu summa kasvaa korkoa korolle vuotta, joten se kasvaa summaksi Geometrisen jonon a0, a9,... a, a suhdeluku on,0 a a.. a a Vastaus:,5 0 9 a0,0 00. 0,0 00 (,0 ),0,56..,5.
8. Derivaatta sin f ( ) cos sin f ( ) 0, kun tan cos tan ( ) 0,7505544 n, n. Kun n saadaan ainoa avoimelle välille 0 oleva ratkaisukulma 0,7505544,8984099. Olkoon se nimeltään. Tällöin tan ja oheisen apukolmion avulla tan,sin, cos. Symmetrian nojalla 0 0 sin ja cos. Fermatin lausetta hyödyntäen saadaan vertailuarvot 0 0 ) Välin päätepisteet f(0) sin 0 cos 0, f( ) sin cos ) Derivaatan nollakohdat 0 f ( ) sin cos ( ) 0. 0 0 0 Saadusta kolmesta arvosta arvo 0 on suurin. 9. Ratkaisu:
Pinta-ala on aina ln, joten se ei riipu luvusta a. 0. Saamme yhtälöketjun n n n 4 5 5 0 5 05 n n n 4 50 50 0 0 n josta n 6, sillä 6 6 6 06 0 6 7 8 06 06 06. Kun jaamme polynomin n n n 06 binomilla n - 6, saamme osamääräksi trinomin n 8n 5, jolla ei ole nollakohtia, sillä D 8 45 0, joten yhtälön n n n 06 0 ainoa nollakohta on 6, joten kysytyn lukujärjestelmän kantaluku n 6. Vastaus: n 6.. Merkitään kahta peräkkäistä termiä a ja b b a a b a b a b + b a a b b + a b a 0 a 4a 4a a 8a aa b a ( ± ), negatiivinen juuri ei käy b a + Sarja on geometrinen sarja, jonka suhdeluku on + Sarjan summa s Vastaus: 8 + 4 8 ( ) 8 8( ) 8 + 4