Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: vaihteluväli, populaation keskihajonta, otoskeskihajonta. Tunnuslukujen laskeminen laskimella. 1
Esimerkki: Laske taulukon aineistosta laskimella keskiarvo, moodi, mediaani ja keskihajonta. a) x f b) luokka f 2 3 3 1 4 6 5 2 6 1 10 12 3 13 15 4 16 18 1 2
Tilasto ohjeita Casion Classpad laskimelle: http://youtu.be/bhnqsq3bukw... ja TI:n Nspire laskimelle: http://youtu.be/dqkexkqpam4 3
Todennäköisyyslaskentaa suotuisien alkeistapausten lkm klassinen TN: P(A) = kaikkien alkeistapausten lkm erilliset tapahtumat: Eivät voi tapahtua samanaikaisesti. riippumattomat tapahtumat: Eivät vaikuta toistensa todennäköisyyksiin. yhteenlaskusääntö: kertolaskusääntö: ehdollinen TN: P(A tai B) = P(A) + P(B) P(A ja B) P(A ja B) = P(A) P(B) (riippumattomat A ja B) P(A ja B) = P(A) P(B A) 4
Esimerkki: Ruokalassa on nakkeja 15 % päivistä ja maitoa 95 % päivistä. Millä TN:llä umpimähkään valittuna päivänä on (a) kumpaakin, (b) ei kumpaakaan, (c) ainakin toista, (d) vain toista? 5
Esimerkki: Ruokalassa on jäljellä enää kymmenen nakkia, joista kolme on soijanakkeja. Nuppu ottaa sattumanvaraisesti viisi nakkia. Millä TN:llä hän saa ainakin yhden soijanakin? 6
Tuloperiaate: Jos valinnan ensimmäisessä vaiheessa on k 1 vaihtoehtoa, toisessa k 2,..., n:nnessä k n, niin erilaisia lopputulosmahdollisuuksia on kappaletta. k 1 k 2... k n 7
Järjestetään n alkiota. Erilaisten järjestysten lukumäärä: Valitaan n alkion joukosta k alkiota, jotka järjestetään. Mahdollisten lopputulosten lukumäärä: Valitaan n alkion joukosta k alkion osajoukko. Mahdollisten osajoukkojen lukumäärä: 8
Esimerkki: Korttipakasta jaetaan viisi korttia. Millä TN:llä saadaan kaksi herttaa ja kolme pataa? 9
Toistokokeen TN: Toistetaan koetta n kertaa onnistumisen TN:n ollessa p ja epäonnistumisen TN:n ollessa q. Tällöin k onnistumisen TN on n k ( ) p k q n k. 10
Esimerkki (Binomitodennäköisyys): Iilimato tarrautuu Likolammessa uivaan 10 prosentin todennäköisyydellä. Pertti ui 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä häneen tarttuun iilimato a) kahdesti, b) ainakin kerran? 11
Miksi a kohtaa ei voi laskea seuraavasti? P("iilimato kahdesti") = 0,1 2 0,9 3. 12
Esimerkki: Vuoden 2009 europarlamenttivaaleissa äänesti 40,3 % suomalaisista äänioikeutetuista. Jos valitaan äänioikeutettujen joukosta viisitoista satunnaista henkilöä, millä TN:llä saadaan ainakin kaksi, jotka eivät äänestäneet? 13
Diskreetti satunnaismuuttuja Jakauman esittäminen taulukkona. Kertymäfunktio. Odotusarvo. 14
Esimerkki: Heitetään kahta noppaa ja valitaan tuloksista suurempi (tai jos tulee sama tulos, niin valitaan se). Laske odotusarvo. 15
Jatkuva satunnaismuuttuja Tiheysfunktio. Kertymäfunktio. Todennäköisyyden laskeminen. 16
Esimerkki: Onko funktio f(x) = 0,5x, kun 0 < x < 2, 0 muualla, kelvollinen tiheysfunktioksi? 17
Esimerkki: Eräässä suuressa väestössä naisten keskipituus on 165,4 cm. Pituus noudattaa likimain normaalijakaumaa keskihajonnalla 2,5 cm. Kuinka suuri osa naisista on 160 170 cm pitkiä? 18
Haastavampia tehtäviä 1. Todennäköisyys sille, että hyvä kokki laittaa hyvää ruokaa, on 90 % ja todennäköisyys sille, että huono kokki laittaa hyvää ruokaa, on 20 %. Valitaan kokki umpimähkään joukosta, jossa on hyviä kokkeja 60 % ja huonoja 40 %. Millä todennäköisyydellä hänen laittamansa ruoka on hyvää? 2. Kuusinumeroinen luku alkaa 4:llä ja muut numerot ovat määräytyneet sattumanvaraisesti. Millä todennäköisyydellä luvussa esiintyy ainakin kerran peräkkäin numerot 1 ja 3 tässä järjestyksessä? [S1972] 3. Kuinka monta erilaista "sanaa" voidaan muodostaa kirjaimista S, Ö, S, S, Ö? Mikä tahansa kirjainjono lasketaan sanaksi, ja kaikki kirjaimet on käytettävä. 19