Atomi- ja ydinfysiikan peruskäsitteitä Seppo Sipilä
Aineen perushiukkaset Varaus Massa [kg] elektroni, e - -q 9.1096 10-31 protoni, p +q 1.6726 10-27 (1836 m e ) neutroni, n 0 1.6749 10-27 (1839 m e ) fotoni, g 0 0 neutriino, n 0 0 (?), kuusi eri tyyppiä, joista elektronin neutriino ja elektronin antineutriino ovat ydintekniikan kannalta mielenkiintoisia. Lisäksi antihiukkaset: sama massa, vastakkainen varaus etenkin positroni e + on merkittävä (vapautuu b + -aktiivisuudessa, paljon sovelluksia) (q = alkeisvaraus, 1.602 10-19 C) PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 2
Perusvuorovaikutukset Vahva vuorovaikutus ( ydinvoima ) pitää hadronien kvarkit yhdessä, vaikuttaa myös hadronien välillä (mm. protonit ja neutronit) pitäen atomiytimen koossa hyvin lyhyt kantama (~10-15 m, keskikokoisen ytimen halkaisija). Sähkömagneettinen vuorovaikutus varauksellisten hiukkasten välillä (esim. e, p) ääretön kantama, fotoni välittäjähiukkasena. Heikko vuorovaikutus kaikkien hiukkasten välillä (kvarkit, leptonit, neutriinot) välittäjänä raskaat W- ja Z-bosonit (~80-90 protonin massaa) erittäin lyhyt kantama (~10-18 m, noin 0.1% ytimen halkaisijasta). mm. beta-aktiivisuuden aiheuttaja: n p + e - + n (kvarkeittain: udd uud + W - ; W - e - + n) p n + e + + n (kvarkeittain: uud udd + W + ; W + e + + n) PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 3
Atomin rakenne Atomiydin koostuu nukleoneista, joita ovat protonit ja neutronit. Vahva ydinvoima sitoo nukleonit yhteen, mutta sähköinen repulsio pyrkii rikkomaan rakenteen neutronit toimivat liimana vahvan vuorovaikutuksen kautta ytimen säde R = 1,25 fm * A 1/3 Ydintä ympäröi elektroniverho elektronien lukumäärä = ytimen Z säde suuruusluokkaa 200 pm neutraali atomi Lähes kaikki atomin massa (>99.9 %) on ytimessä. Huom! Väärät mittasuhteet. Jos ydin olisi pingispallon kokoinen, elektroniverho olisi muutaman kilometrin päässä. Lisäksi elektronit ovat erittäin kevyitä nukleoneihin verrattuna: m e 0.00054m p. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 4
Alkuaineet ja isotoopit Ytimen koostumusta kuvaavia lukuja ovat: massaluku A = neutronien ja protonien yhteismäärä varausluku Z = protonien lukumäärä neutroniluku N = neutronien lukumäärä (A = Z+N) Elektroniverhon rakenne määrää aineen kemialliset ominaisuudet. Z siis määrittää, mikä alkuaine on kysymyksessä Yhtä varauslukua voi vastata useita massalukuja: isotoopit isotoopeilla sama Z, eri A (ja N) paljon epästabiileja, yleensä 1-10 stabiilia isotooppia per alkuaine esim. happi: stabiilit A = 16,17,18 epästabiilit A = 13,14,15,19,20 esim. vety: stabiilit A = 1,2 (vety, deuterium) epästabiilit A = 3 (tritium) PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 5
Isotooppien merkintä Esim. happi: täydellinen merkintä massaluku A 18 O 2-8 2 varausluku Z ionisaatioaste lukumäärä molekyylissä Lyhyt merkintä (tavallisimmin käytetty): 18 O PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 6
Atomimassa Määritelty 12 C-isotoopin avulla: M( 12 C) = 12 (tasan) atomimassa M = 12 * (atomin massa) / ( 12 C -atomin massa) luonnossa esiintyvälle alkuaineen isotooppiseokselle atomimassa M = i g i M i g i = isotoopin i osuus atomeista (0 1) M i = isotoopin i atomimassa molekyyleille (esim. yhdisteet) vastaavasti molekyylimassa M = i M i 1 mooli = N A kpl (atomeja, molekyylejä...) N A = Avogadron luku, 6.022 10 23 1 moolin massa = M grammaa, esim. 1 mol 12 C 12.000... g 1 mol 16 O 2 31.99876 g Huom! Tässä kuvassa on virhe, ytiminä ajateltuna kolmekin virhettä. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 7
Atomien ja ytimien viritystilat ja säteily Atomeissa ydintä kiertävät elektronit sijoittuvat elektronikuorille (K, L, M jne.) atomin perustila: elektronit alimmassa mahdollisessa energiatilassa atomin viritetty tila: elektroneja perustilaa ylemmillä kuorilla. Viritetyt tilat eivät ole vakaita, vaan purkautuvat elektronin pudotessa alemmalle kuorelle. Tällöin emittoituu fotoni (energia useimmiten näkyvän valon alueelta röntgenalueelle). Myös ytimillä on sisäisiä energiatiloja tilojen energiaerot suuria viritystilojen purkautuessa emittoituu g- kvantti tai tapahtuu sisäinen konversio. Ytimen viritystilan purku: (1) g-emissio tai (2) sisäinen konversio (energia siirtyy kvanttimekaanisesti suoraan sisäkuoren elektronille) Sisäisen konversion seurauksena emittoituu röntgenkvantti (3), tai vastaava energia siirtyy Auger-elektronille (4). PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 8
Radioaktiivisuus Kalsiumia (Z=20) raskaammilla alkuaineilla ytimessä on selvästi enemmän neutroneja kuin protoneja. neutronit tarvitaan liimaksi kompensoimaan protonien välistä sähköistä hylkimistä jos neutroneja on liikaa tai liian vähän, ydin on epästabiili eli radioaktiivinen. neutronivajaus b + -aktiivisuus (e + ) liikaa neutroneja b - -aktiivisuus (e - ) lyijyä raskaammilla ytimillä (Z > 82) esiintyy myös a- aktiivisuutta ( 4 He), joka on vahvan vuorovaikutuksen hallitsema kvanttimekaaninen tunneloitumisprosessi. a-säteilijät tinan (Sn) isotoopit PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 9
Radioaktiivisuuden lajit Alfasäteily: emittoituvilla a-hiukkasilla ( 4 He) diskreetti energia ytimen massaluku A vähenee neljällä ytimen varausluku Z vähenee kahdella. Esim. Betasäteily: emittoituvilla elektroneilla tai positroneilla jatkuva energiaspektri lisäksi emittoituu neutriino n (b + ) tai antineutriino n (b - ) ytimen massaluku A ei muutu ytimen varausluku Z kasvaa (b - ) tai vähenee (b + ) yhdellä. 137 55 22 11 U Th 238 234 92 90 + Cs Na 137 56 22 10 Ba + e Ne + Gammasäteily (ei oikeastaan hajoamisreaktio): a- ja b-prosesseissa tytärydin jää usein viritettyyn tilaan, joka purkautuu yleensä lähes välittömästi yhdellä tai useammalla g-kvantin emissiolla joissain tapauksissa viritystila on pitkäikäisempi ja vaikuttaa jopa semistabiililta: isomeeriset tilat. Tällaisen tilan purkautumista sanotaan isomeeriseksi transitioksi (IT). e 4 2 _ + He + + ν ν e e PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 10
Radioaktiivisen hajoamisen laki Kaikille radioaktiivisille hajoamisprosesseille pätee: Radioaktiivisen ytimen hajoamistodennäköisyys aikayksikköä kohti on aikariippumaton vakio. Kyseistä vakiota sanotaan hajoamisvakioksi ja merkitään kirjaimella l [1/s]. Jos hetkellä t radioaktiivisessa näytteessä on jäljellä n(t) atomia, niistä hajoaa differentiaalisen aika-askeleen dt aikana keskimäärin ln(t)dt kpl. Hajoamisnopeutta ln(t) [1/s] sanotaan näytteen aktiivisuudeksi a: α(t) λn(t) Perinteinen aktiivisuuden yksikkö on Curie. 1 Ci = 3.7 10 10 hajoamista/sekunti. Nykyinen yksikkö on Becquerel. 1 Bq = 1 hajoaminen/sekunti. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 11
a a (kbq) Näytteen aktiivisuus ajan funktiona Hetkellä t näytteen ytimien lukumäärän muutos dn(t) = ln(t)dt. Siispä dn(t)/dt = ln(t). Integroimalla tämä saadaan n(t) missä n 0 on atomien alkuperäinen lukumäärä. Kertomalla tämä puolittain l:lla saadaan aktiivisuus α(t) α 0 e -λt. Aika, jonka kuluessa näytteen aktiivisuus vähenee puoleen, on puoliintumisaika T 1/2. Sille voidaan johtaa lauseke merkitsemällä α 0 / 2 n 0 e α -λ t 0. -λt e 1/2 mistä saadaan puolittain logaritmoimalla 80 70 60 50 40 30 20 10 T 1/2 ln(2) / λ. 127g 99 Tc (b - ) 0 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 aika (d) PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 12
Ydinreaktiot Ydinreaktio: kaksi ydinhiukkasta (kaksi ydintä, tai ydin ja nukleoni, tai ydin ja fotoni, siis kohtio ja ammus) vuorovaikuttaa, ja muodostuu kaksi tai useampia ydinhiukkasia ja/tai g-kvantteja. (huom. tämä tiukka määritelmä rajaa esim. hajoamiset kuten a- ja b-säteilyn ja spontaanin fission pois; laajan määritelmän mukaan ydinreaktio on ytimen tilan muutos ylipäätään.) Neljä peruslakia: 1. Nukleonien lukumäärä säilyy 2. Varaus säilyy 3. Liikemäärä säilyy 4. Energia säilyy PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 13
sidosenergia c 2 / nukleoni (MeV, merkitään lyhyesti /nukleoni) Ytimen sidosenergia Kun ydin muodostuu nukleoneistaan, vapautuu energiaa muutama MeV nukleonia kohden massakato = Zm p + Nm n m ydin ytimen hajottaminen nukleoneiksi vaatii energian E = c 2 = sidosenergia parillinen Z ja N stabiileimpia Raskailla ytimillä protonien sähköinen repulsio on merkittävä. c 2 /nukleoni pienenee A:n kasvaessa c 2 /nukleoni maksimissaan rautaryhmän kohdalla (Z~26) Ydinenergian tuotanto perustuu sidosenergian vapauttamiseen. fuusio: keveitä ytimiä yhdistetään fissio: raskaita ytimiä halkaistaan esim. 1 H + n 2 H + g m( 1 H) + m(n) m( 2 H) + 2.23 MeV /nukleoni alkaa pienetä ytimen kasvaessa. Miksi? 92 Kr 141 Ba 235 = 7.6 MeV/nukleoni 235 nukleonia = 1786 MeV 141 = 8.3 MeV/nukleoni 141 nukleonia = 1170 MeV 92 = 8.7 MeV/nukleoni 92 nukleonia = 800 MeV yht. 1970 MeV vapautuu 19701786 MeV =184 MeV 235 U Likimääräinen esimerkki: uraani 235:n fissio 235 U + n 141 Ba + 92 Kr + 3n + g PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 14
Von Weizsäckerin semiempiirinen massakaava (1935) Ytimen massa M = NM n + ZM p aa + ba 2/3 + gz 2 / A 1/3 + z(a-2z) / A + d. neutronien massa protonien massa sidosenergia (vahva ydinvoima) Perustuu ytimen pisaramalliin (Gamow 1928), jossa ydin ajatellaan kokoonpuristumattomaksi nestepisaraksi. Ytimen säde R ~ A 1/3. pintaefekti korjaus edelliseen termiin. Muotoa 4pR 2 T, missä T on pintajännitys. (Ytimen pinnalla olevat nukleonit eivät ole yhtä lujasti sidottuja ytimeen). Coulombin repulsio ~ Z 2 /R Paulin kieltosääntö (ytimen kuorimalli) N Z -ydin stabiilimpi kuin N Z -ydin N Z d parillinen parillinen <0 pariton parillinen 0 parillinen pariton 0 pariton pariton >0 Vakioiden arvot (MeV): M n = 939.573 M p = 938.280 a = 15.56 b = 17.23 g = 0.697 z = 23.285 d = 12.0 PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 15
n(e) Maxwell-Boltzmann -jakauma Mikäli systeemiä ei häiritä ulkoapäin, kaasumaisen aineen atomien tai molekyylien jakauma asettuu termiseksi (maxwelliseksi). Jos n(e) on hiukkasten tiheys energialla E, on n(e)de hiukkasten lukumäärä energioilla E E+dE. Maxwellisessa jakaumassa n(e) noudattaa kaavaa 2πn n( E) 3/2 ( πkt ) Ee E/kT, Todennäköisin energia E p voidaan laskea derivaatan nollakohdasta dn/de = 0: E p = kt / 2. Keskimääräinen energia Ē saadaan integroimalla E 1 En(E)dE n 0 ja Ē = 3kT / 2. missä n on hiukkasten kokonaistiheys, Boltzmannin vakio k = 1.3806 10-23 [J/K] ja T on kaasun lämpötila [K]. Kaava pätee melko hyvin myös nesteille ja kiinteille aineille, kun T > 300 K. E/kT PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 16
Säteilyn vuorovaikutus aineen kanssa Varatut hiukkaset (a, b, ionit): elektronivuorovaikutukset (ionisaatio); ytimestä siroava positiivinen hiukkanen voi aiheuttaa ytimen coulombisen virittymisen (ydinreaktio, purkautuu g:lla). g: absorptio/sironta elektroneista (ionisaatio), energisillä g:lla parinmuodostus, fotoydinreaktiot.* tuleva g-fotoni irronnut ulomman kuoren elektroni tuleva g-fotoni fotoelektroni sisemmältä kuorelta sironnut g-fotoni tuleva g-fotoni (>1.022 MeV) positroni elektroni Valosähköinen ilmiö Compton-sironta Parinmuodostus (vuorovaikutus ytimen sähkökentän kanssa) pieni fotonin energia suuri g-fotoni Neutronit: vuorovaikutus ainoastaan ytimien kanssa * Esim. 25 Mg(g,p) 24 Na; myös fotofissio. hidas neutroni esim. neutronikaappaus: PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 17
Neutronien vuorovaikutusmekanismit Sironta: elastinen (kohtioytimen viritystila ei muutu) A Z(n,n) A Z epäelastinen (kohtioydin virittyy) A Z(n,n ) A Z * Neutronikaappaus: A Z(n,g) A+1 Z Varattujen hiukkasten tuottoreaktiot: A Z(n,p) A Y, A Z(n,a) A-3 X Neutronien tuottoreaktiot: A Z(n,2n) A-1 Z A Z(n,3n) A-2 Z... Fissio: A Z(n,f) B X + C Y + n n PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 18
Atomitiheys Ydintekniikassa on usein tarpeen laskea jonkin isotoopin atomitiheys N (atomitiheys = atomien lukumäärä tilavuusyksikössä): N = r N A g / M [1/cm 3 ] esim. luonnon-u: esim. luonnon-uo 2 : r aineen tiheys [g/cm 3 ] N A Avogadron luku [1/mol] g isotoopin atomiosuus [0 1] M aineen atomimassa [g/mol] 18.9 g/cm 3 6.022 10 23 g = 0.0072 ( 235 U) 238.0289 10.5 g/cm 3 270.0277 N 235 = 3.44 10 20 N 235 = 3.44 10 20 Atomitiheys on tärkeä esim. määritettäessä neutronien aiheuttamien ydinreaktioiden todennäköisyyksiä väliaineessa eli vaikutusaloja. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 19
Vaikutusala Neutronisuihku: tiheys n [1/m 3 ], nopeus v [m/s]: Suihkun intensiteetti: I = n v [1/m 2 s] Yksi atomi kohtiona neutronisuihkussa: Reaktiotaajuus R = s I s = mikroskooppinen vaikutusala [m 2 ] [1/s] reaktion todennäköisyys per atomi (kullekin alkuaineelle ominainen) tavallisin yksikkö: 1 barn (eli lato ). 1 b = 10-28 m 2 Kohtio (monta atomia) neutronisuihkussa: x Kohtion pinta-ala A, paksuus x, atomitiheys N (eli kaikkiaan NAx atomia) Reaktiotaajuus R = s I N A x [1/s] (oletus: ei monen hiukkasen korrelaatioita) v v 1m 2 v v v v v A Reaktiotiheys F kohtiossa (tilavuusyksikköä kohti): F R V R (Ax) σ N I [1/m 3 s] Määritellään makroskooppinen vaikutusala Σ σn [1/m] F ΣI reaktiotodennäköisyys kohtiossa (väliaineessa) kuljettua matkayksikköä kohti. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 20
Seoksen vaikutusala Väliaineessa kaksi atomilajia X ja Y: vaikutusalat σ ja σ [m 2 ] X atomitiheydet N X ja N Y [1/m 3 ] seoksen Σ N σ + N [1/m] Y X X Y σy v v v v v v v Y X Y Y Y X Y Molekyyli X n Y m : molekyylitiheys N [1/m 3 ] efektiivinen mikroskooppinen vaikutusala σ Σ / N (nn σ + mnσ ) / N n σ X Y X + m σ (olettaen neutronien vuorovaikutukset X:n ja Y:n kanssa riippumattomiksi ei päde matalaenergisten neutronien elastiselle sironnalle molekyyleistä ja kiinteistä aineista) Y X Y Y X X Y Y Y Y X 2 Y 4 PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 21
Eri reaktioiden vaikutusalat Sironta: elastinen s e ( e ) epäelastinen s i ( i ) Neutronikaappaus: s g ( g ) Fissio: s f ( f ) Hiukkasreaktiot: s p, s a,... ( p, a,...) Absorptiovaikutusala: s a = s g + s f +s p +s a,... ( a ) Kokonaisvaikutusala: s t = s a +s e +s i ( t ) Pienillä neutronin energioilla (< 1 kev) s i = 0 (epäelastinen sironta mahd. vain jos neutronin E > ytimen 1. viritysenergia) s e = 4pR 2, missä R on kohtioytimen säde (potentiaalisironta, ei väliydintä) σ γ 1/ E 1/ v useimmille ytimille, joita siksi kutsutaan 1/v -absorboijiksi. Monille fissiileille ytimille myös s f käyttäytyy matalilla energioilla (<1 ev) tällä tavoin. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 22
Esimerkki: 235 U:n neutroniabsorptio Kaksi mahdollista absorptioreaktiota (neutronin liike-energia E = 0.0253 ev): neutronikaappaus s g = 99 b fissio s f = 582 b Absorptiovaikutusala s a = s g + s f = 99 b + 582 b = 681 b Todennäköisyys fissiolle p f = s f / s a = 582 b / 681 b = 85,5 % Todennäköisyys neutronikaappaukselle p g = s g / s a = 99 b / 681 b = 14,5 % PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 23
fissiovaikutusala s f (b) Vaikutusalojen energiariippuvuus Vaikutusalat riippuvat neutronin energiasta: s s(e) Monet reaktiot, joissa reagoivien hiukkasten energiat ovat pieniä, ovat väliydinreaktioita 1000 100 10 1 Uraanin ja plutoniumin fissiovaikutusalat resonanssialue 10-8 10-6 10-4 10-2 1 10 tulevan neutronin energia (MeV) A + B C* D + E esim. 235 U(n, g) 236 U: 235 U + n 236 U* 236 U + g reaktion todennäköisyys kasvaa, jos ammuksen A kineettinen energia + A:n sidosenergia väliytimessä C vastaa jotain C:n viritystilaa. resonanssirakenne ( piikkejä vaikutusalafunktiossa) viritystilat, joiden energia on lähellä A:n sidosenergiaa, ovat erityisen merkittäviä. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 24
Neutronien hidastuminen väliaineessa Neutronit syntyvät ydinreaktioissa nopeina (E 0 >1 MeV). Yleensä reaktioiden vaikutusalat ovat suuria vain hitaille (<1 ev) neutroneille nopeat neutronit halutaan (usein) hidastaa. Neutroneja voidaan hidastaa lukuisissa peräkkäisissä sirontareaktioissa: moderointi väliaine, jossa sironta tapahtuu: hidastin eli moderaattori. Kevyet ytimet ovat hyviä moderaattoreita suuri energianmenetys törmäystä kohti esim. vety (vesi!), hiili, beryllium Raskaat ytimet ovat huonoja moderaattoreita tuleva neutroni neutronilla pieni energianmenetys törmäystä kohti moderoiva ydin sironnut neutroni rekyyliydin suurilla energioilla epäelastinen sironta on merkittävää: neutroni absorboituu ytimeen, hitaampi neutroni ja energiaeroa vastaava määrä g-kvantteja emittoituu. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 25
Neutronien hidastuminen: elastinen sironta Ennen sirontaa: tulevalla neutronilla on massa m, energia E ja liikemäärä p. moderoiva ydin (massa M, massaluku A) levossa. Sironnan jälkeen: ydin liikkeessä kulmassa energialla E A ja liikemäärällä P. sironnut neutroni liikkuu kulmaan energialla E ja liikemäärällä p. Elastinen sironta: kineettinen energia ja liikemäärä säilyvät. E = E A + E ja p = P + p. Kosinilauseen mukaan P 2 = p 2 + p 2 2pp cos. (Klassisesti) P 2 = 2ME A, p 2 = 2mE, p 2 = 2mE. Koska M/m kohtioytimen A, saadaan ME A me+ me' 2m EE' cos ( A+ 1) E' 2 EE' cos ( A1) E 0. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 26
Törmäysparametri E 2 2 2 Tästä saadaan lopuksi E' cos + A sin 2 ( A + 1) Suurin energian muutos neutronille törmäyksessä saadaan, kun = p (vety on poikkeus, max = p/2). Yleisemmälle tapaukselle = p siis E' min A A 1 + 1 2 E αe, missä a on törmäysparametri. Moderointilaskuissa usein käytetty suure neutronien hidastumisen kuvaamisessa on letargia u = ln (E max / E), missä E max on suurin neutronin energia systeemissä.. Letargia käyttäytyy päinvastoin kuin energia: suuri letargia hidas neutroni. Droopy Dog: letargian henkilöitymä PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 27
Neutronisuihkun intensiteetin vaimeneminen kohtiossa Olkoon monoenergeettisen suihkun alkuperäinen intensiteetti I 0 ja kohtion paksuus L. Merkitään I(x):llä niiden neutronien intensiteettiä, jotka ovat selvinneet kohtiossa syvyyteen x asti vuorovaikuttamatta. Tästä eteenpäin differentiaalisella matkalla dx vuorovaikuttamattoman suihkun intensiteetti vähenee: di ( x) Nσ I( x) dx Σ I( x t t ) dx. Tästä integroimalla saadaan kohtiossa I( x) I 0 e Σ t x. I 0 x x = 0 L I 0 e Σ t L (huom! todellisuudessa myös sironneita neutroneja tulee kohtiosta läpi). Todennäköisyys, että vuorovaikuttamaton neutroni kohdassa x vuorovaikuttaa seuraavan dx:n matkalla: di( x) I( x) Σ t dx. Σ t Siispä on vuorovaikutuksen todennäköisyys kuljettua pituusyksikköä kohti. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 28
Keskimääräinen vapaamatka I( x) I 0 e Σ t x on todennäköisyys neutronin pääsylle kohtaan x asti vuorovaikuttamatta. Lasketaan, kuinka pitkälle neutroni keskimäärin pääsee kohtiossa ennen vuorovaikutusta. Olkoon p(x)dx ensimmäisen vuorovaikutuksen todennäköisyys kohtaa x seuraavalla differentiaalisella matkalla dx. p(x)dx on siis ehdollinen todennäköisyys, että kohtaan x asti päässyt neutroni vuorovaikuttaa seuraavan dx:n matkalla: Tästä saadaan x:lle keskiarvo eli keskimääräinen vapaamatka (mean free path, ): λ x x0 xp( x) dx Σ Voidaan siis myös kirjoittaa: t x0 xe Σ t x I( x) dx 1/Σ I 0 e t x/λ.. p ( x) dx e Σ t x Σ dx. λ kuvaa keskimääräistä matkaa, jonka neutroni etenee väliaineessa ennen vuorovaikutusta. t λ PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 29
Neutronivuo Monoenergeettinen neutronisuihku, intensiteetti I = n v [1/m 2 s] reaktiotiheys kohtiossa: F σni ΣI [1/m 3 s] I σ,n Neutronien vuorovaikutus ytimien kanssa ei riipu suihkun tulosuunnasta jos kohtioon osuu monta samanenergista monoenergeettista suihkua I k eri suunnista, F Σ I + I + I +... ) Σ ( n + n + n +) v Σ n v ( 1 2 3 1 2 3 Määritellään neutronivuo Φ n v kaikista suunnista tulevat neutronit yhteensä saadaan yksinkertainen lauseke F ΣΦ I 1 I 2 σ,n I 3 PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 30
Polyenergeettiset neutronit Neutronisuihkun intensiteetin vaimeneminen voidaan helposti yleistää myös tapaukseen, jossa neutronit eivät ole monoenergeettisiä vaan niillä on energiajakauma. Olkoon ohueen kohtioon osuvilla neutroneilla energiajakauma, jossa n(e)de on neutronitiheys (1/m 3 ) energioilla E E+dE. Suihkun intensiteetti näillä energioilla on siten di( E) n( E) de v( E) n( E) v( E) de Φ(E) (v on energiaa E vastaava nopeus). Reaktiotiheys näillä energioilla on df( E) Σt ( E) n( E) v( E) de vuorovaikutuksia kohtiossa tapahtuu tiheydellä [1/m 3 s], joten kaikkiaan F Σ t ( E) n( E) v( E) de Σ t ( E) Φ( E) de (integraali kaikkien suihkun energioiden yli). PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 31
2200 m/s -vuo Eri vuorovaikutuksille saadaan reaktiotiheydet vastaavasti, esim. termisten neutronien absorptiolle saadaan absorptiotiheys missä integraali ulotetaan termisen energia-alueen yli (0 noin 0.1 ev). Koska useimmat ytimet ovat näin matalilla energioilla 1/v -absorboijia ( σ,σ 1 E), voidaan kirjoittaa Σ Saadaan v ) v( E) 0 a( E) Σa( E0 F a Σ E ) v n( E) de, a( 0 0 Σ ( E) n( E) v( E) de, Termisten neutronien absorptiotiheys on myös sama kuin monoenergeettiselle suihkulle energialla E 0 ja intensiteetillä nv 0. Kaikki absorptiovaikutusalat onkin tapana taulukoida energialla E 0 = 0.0253 ev, mikä vastaa nopeutta v 0 = 2200 m/s. Φ0 nv 0 on 2200 m/svuo, ja näin voidaan kirjoittaa termiselle absorptiotiheydelle F a g a f (E 0 on mielivaltainen referenssienergia). missä integraali on termisten neutronien kokonaistiheys n, joten absorptiotiheys on riippumaton energiajakaumasta: F Σ ( E nv. F Σ ( a a E ) 0 0 ) a a 0 0 Φ. PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 32
Ei-1/v -absorboijat Vain harvoilla ytimillä terminen absorptio ei ole 1/v-tyyppistä. Ne ovat kuitenkin tärkeitä, koska niiden vaikutusalat ovat tyypillisesti melko suuria. Näille ytimille absorptiotiheyden lauseketta F a Σa( E) n( E) v( E) de ei voi sieventää kuten 1/v-tapauksessa. Nyt absorptiotiheys myös riippuu energiajakaumasta n(e) ja vaikutusalasta Σ a (E). Olettamalla energiajakauma maxwelliseksi on kuitenkin numeerisesti laskettu ja taulukoitu ns. ei-1/v -tekijä g a (T) siten, että absorptiotiheys on vain neutronijakauman lämpötilan T funktio: F g ( T ) Σ ( E Φ. ) a a a 0 0 Tekijä g a (T) on taulukoitu kaikille merkittäville ei-1/v -ytimille lämpötilan T funktiona. (Vaikka reaktiotiheys polyenergeettisille neutroneille johdettiinkin olettaen ohut kohtio, tulokset pätevät myös tilanteessa, jossa neutroneita liikkuu väliaineessa joka suuntaan.) PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet (2016) 33