JOHDATUS DYNAAMISIIN SYSTEEMEIHIN 013 JOUNI PARKKONEN Tämä kurssi antaa pikaisen johdannon joihinkin dynaamisten systeemien keskeisiin käsitteisiin. Kurssi on aineopintotasoinen, esitiedoiksi riittävät ensimmäisen vuoden analyysin ja lineaarialgebran kurssit ja perustiedot euklidisen aavaruuden geometriasta ja topologiasta (avoimet ja suljetut joukot, tiheät joukot, jatkuvuus, raja-arvo jne.). Suositeltavaa lukemista kurssin tueksi on lueteltu materiaalin lopussa olevassa lähdeluettelossa, hyviä oppikirjoja ovat muunmuassa [Dev], [HSD],[HK]. Tätä kurssia suunnitellessa [HK] on ollut tärkeä lähde. 1. Johdanto Olkoon (X, d) metrinen avaruus ja olkoon f : X X. Tällä kurssilla oletamme yleensä, että f on jatkuva. Diskreetillä dynaamisella systeemillä tarkoitetaan kuvauksen f : X X iteraattien f k = f f f ja eri pisteiden x X ratojen }{{} k kertaa O + f (x) = {f k (x) : k N} tarkastelua, kun k. Muodollisesti sanomme, että kolmikko ((X, d), f, N) on diskreetti dynaaminen systeemi, missä N kertoo, mitä iteraatteja tarkastellaan. Jos f on bijektio, voidaan tarkastella myös sen negatiivisia iteraatteja f k = (f 1 ) k kaikille k < 0 ja pisteen x X täyttä rataa O f (x) = {f k (x) : k N} jolloin tarkasteltava dynaaminen systeemi on kolmikko ((X, d), f, Z). Tarkasteltavat kysymykset liittyvät ratojen asymptoottiseen käyttäytymiseen. Esimerkiksi Onko jonolla (f k (x)) k N raja-arvoa? Onko rata O f (x) tiheä? Miten lähekkäisten pisteiden radat käyttäytyvät toistensa suhteen? Disktreetissä dynaamisessa systeemissä ((X, d), f, N) tai ((X, d), f, Z) on tapana ajatella, että N tai Z on diskreetti aika. Jatkuva-aikainen dynaaminen systeemi koostuu virtauksesta (φ t ) t R, missä φ: X X on homeomorfismi, joka toteuttaa ehdon φ t φ s = φ t+s kaikilla t, s R. Jatkuva-aikaiseen dynaamiseen systeemiin ((X, d), (φ t ) t R ) voidaan liittää diskreetti dynaaminen systeemi esimerkiksi tarkastelemalla ajanhetken 1 kuvausta φ 1, joka määrää dynaamisen systeemin ((X, d), φ 1, Z). Virtauksen määrittelevän ominaisuuden perusteella pätee (φ 1 ) n = φ n. Tällä kurssilla tutustumme dynaamisiin systeemeihin suuressa määrin esimerkkien kautta. Kurssin aikana tapaamme myös joitakin dynamiikan sovelluksia muihin matematiikan aloihin kuten differentiaaliyhtälöiden teoriaan ja lukuteoriaan. Last update: 3. lokakuuta 013. 1
Esimerkki 1.1. (1) Olkoon 0 < k < 1. Lineaarikuvauksella K : R n R n, Kx = kx on kiintopiste 0 R: K0 = 0. Lisäksi jokaiselle x R pätee L k x 0, kun k. Kaikki radat siis suppenevat kohti puoleensavetävää (attraktiivista) kiintopistettä 0. () Olkoon H : R R lineaarikuvaus L(x) = (x 1, x ). Nyt Hk (0, s) 0, kun k kaikilla s R ja (H k (s, t), kun k kaikilla t 0. Esimerkki 1.. Parametrisoidaan ympyrä S 1 kuvauksella Φ: R S 1, Φ(s) = (cos(πs), sin(πs)). Tällöin Φ(s+k) = Φ(s) kaikilla s R ja kaikilla k Z. Merkitään ympyrän pisteitä tämän kulmaparametrisoinnin avulla [s] = Φ(s) S 1. Olkoon α R. Ympyrän S 1 kierto R α : S 1 S 1 määritellään asettamalla R α ([s]) = [s + α]. Tämä määritelmä on hyvin asetettu, sillä jos k Z, niin pätee R α [s + k] = [s + k + α] = [s + α] = R α [s]. Kierron asymptoottinen käyttäytyminen riippuu vahvasti kulmasta α: (1) Jos α = p Q, missä p Z, q N {0} ja lukujen p ja q suurin yhteinen tekijä q on 1, niin R q p ([s]) = [s+p] = [s] kaikille s, joten kaikki pisteet x S 1 ovat jaksollisia q jaksolla q. () Jos α Q Q, niin kaikki radat ovat tiheitä: Jos olisi x S, jolle O + R α (x) S 1, niin olisi avoin väli U S O + R α (x). Olkoon U maksimaalinen tällainen väli. Tällöin Rα(U) k Rα(U) l = kaikilla k l, k, l Z. Jos nimittäin Rα(U) k = Rα(U), l niin Rα k l = id, mikä on mahdotonta. Koska U on valittu maksimaaliseksi, muunlainen leikkaaminen on myös mahdotonta. Mutta nythän joukko k=0 Rk α(u) koostuu keskenään samanpituisista erillisistä väleistä, joten sen pituus on ääretön. Tämä on mahdotonta, koska ympyrän pituus on 1. Huomaa, että käytämme tässä tietoa, että kierrot ovat ympyrän S 1 isometrioita. Esimerkki 1.3. Collatzin (3n + 1)-ongelma on esimerkki hyvin yksinkertaisesta dynaamisesta systeemistä, jonka ilmeistä asymptoottista käyttäytymistä ei osata todistaa. Olkoon C : N {0} N {0} määritelty asettamalla { 3n + 1, kun n on pariton C(n) = x, kun n on parillinen. Pisteen 1 rata on 1 4 1. Kokeilemalla huomaamme, että kaikkien pisteiden radat näyttävät päätyvän lopulta tähän 3-jaksoiseen rataan. Tämä havainto on tarkastettu ainakin noin lukuun 5.76 10 18 saakka. Collatzin ongelmasta voi lukea esimerkiksi artikkelista [Con] ja sen viittauksista. Esimerkki 1.4. Olkoot 0 < µ < 1 < λ. Lineaarikuvaukset φ t : R R, muodostavat tason virtauksen: φ t (x) = (λ t x 1, µ t x ) φ s φ t (x) = (λ s λ t x 1, µ s µ t x ) = (λ s+t x 1, µ s+t x ) = φ s+t (x) kaikilla s, t R ja kaikilla x R. Huomaa, että φ 1 on Esimerkin 1.1 lineaarikuvaus kuvaus H, kun λ = ja µ = 1. Siis pisteen x rata kuvauksen H määräämässä diskreetissä systeemissä sisältyy sen rataan virtauksessa (φ t (x)) t R. Piste 0 on virtauksen kiintopiste. Kaikille b R pätee φ t (0, b) 0, kun t + ja φ t (b, 0) 0, kun t. Jos a 0, pätee φ t (a, b), kun t + ja φ t (b, a), kun t. Erityisesti siis koordinaattiakselien ulkopuolisten pisteiden radat menevät äärettömyyteen, kun t ±.
Esimerkki 1.5. Olkoon T 3 : R R, { 3x, kun x 1 T 3 (x) = 3 3x, kun x > 1. Miten rata (T3 k (x)) k=0 käyttäytyy muuttujan x eri arvoilla? Jos x < 0, niin T3 k (x) = 3 k x, ja tällaisen jonon raja-arvo on selvästi. Jos x > 1, niin T 3 (x) < 0, joten näilläkin alkuarvoilla jonon raja-arvo on. Jos x ] 1, [, niin T 3 3 3(x) > 1, joten näilläkin alkuarvoilla jonon raja-arvo on. Jos x ] 1, [ ] 7, 8[, niin T 9 9 9 9 3(x) ] 1, [, jotent 3 3 3 (x) > 1. Siis näilläkin alkuarvoilla jonon raja-arvo on.... Kuitenkin joillakin alkuarvoilla käyttäytyminen on täysin erilaista: Systeemillä on kaksi kiintopistettä 0 ja 3. 4 (T 3 ) m ( 1 ) = 1 kaikilla m N. Siis (T 3 m 3 ) M ( 1 ) = 0 kaikilla M m, joten 3 m nämä jonot ovat vakiojonoja suurilla indekseillä k. T 3 ( 3) = 3, T 4 4 3( 1) = 3, T 4 4 3( 1 ) = 1 ja niin edelleen. 1 4 3 Systeemillä on runsaasti jaksollisia ratoja esimerkiksi 9 3 ja 3 10 10 10 8 9 7 3. 8 8 8 Cantorin joukko K = [0, 1] (T3 k ) 1 (] 1 3, 3 [) = k=0 (T3 k ) 1 ([0, 1]) = {x R : T3 k (x) [0, 1] kaikilla k N} k=1 = { a i 3 1 : a i {0, } } i=1 koostuu niistä pisteistä, joiden radat sisältyvät väliin [0, 1]. Itse asiassa ne pysyvät joukossa K. Myöhemmin osoitamme, että systeemillä on ratoja, joiden sulkeuma on Cantorin joukko K. 0 1 Vaihe 1 3 3 1 1 9 9 7 9 8 9 3 Joukko K k = (T3 k ) 1 [0, 1] koostuu k erillisestä suljetusta välistä Ik 0, I1 k,... 1,Ik k, joiden jokaisen pituus on 1. Koska K on joukon K 3 k k osajoukko jokaisella k N, on K siis nollamittainen joukko. 3
Jos valitsemme sisäkkäisen jonon Cantorin joukon konstruktiossa esiintyviä jonoja I k(1) 1 I k() I k(3) 3, niin kurssilla Analyysi 1 käsiteltävän sisäkkäisten välien periaatteen nojalla i=1 Ik(i) i on yhden pisteen joukko jokaisella tällaisella välien muodostamalla jonolla. Selvästi kahta eri jonoa vastaa kaksi eri pistettä koska jossain vaiheessa toiseen jonoon on valittu kahdesta mahdollisesta välistä oikeanpuoleinen ja toiseen vasemmanpuoleinen. Toisaalta jokainen piste määrää täsmälleen yhden jonon (I k(i) i ) k=1. Jokaiseen Cantorin joukon pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen osoite, joka on jono (a i ) i=1, missä a k = 0, jos k. vaiheessa valitaan vasemmanpuoleinen kahdesta mahdollisesta jonosta ja a k = 1, jos k. vaiheessa valitaan oikeanpuoleinen väli. Jos x Ik l, niin äärellisen pituiseksi katkaistu koodi a 1a... a k on luvun l binääriesitys. Edellä esitetty koodaus antaa bijektion Cantorin joukon ja jonoavaruuden Σ = {ω : N {0, 1}} välille. Cantorin diagonaalitodistuksen avulla on nyt helppo osoittaa, että K on ylinumeroituva.. Kutistavat kuvaukset Olkoot (X, d X ) ja (Y, d Y ) metrisiä avaruuksia. Kuvaus F : X Y on K- Lipschitzkuvaus tai K-Lipschitz-jatkuva, jos d Y (F (x), F (y)) Kd X (x, y) kaikille x, y X. Jos F on K-Lipschitz jollain K > 0, niin sanotaan, että F on Lipschitz-jatkuva. Jos F on K-Lipschitz jollain K < 1, niin sanotaan, että F on (K-)kutistava. Piste x X on kuvauksen F : X X kiintopiste, jos F (x) = x. Jos kuvauksen F : X X kiintopisteellä x 0 on avoin ympäristö U, jonka kaikki pisteet ovat positiivisesti asymptoottisia pisteen x 0 kanssa, niin x 0 on (lokaalisti) em puoleensavetävä eli attraktiivinen kiintopiste. Jos taas kiintopisteellä x 0 on avoin ympäristö V siten, että kaikilla pisteillä y V {x 0 } on N(y) N siten, että F N(y) / V, niin x 0 on (lokaalisti) hylkivä kiintopiste. Lause.1 (Kutistusperiaate eli Banachin kiintopistelause). Olkoon X täydellinen metrinen avaruus. Tällöin jokaisella kutistavalla kuvauksella F : X X on täsmälleen yksi kiintopiste. Jos F on K-kutistava, niin d(x 0, F k (x)) K k d(x 0, x) kaikille x X. Todistus. Olkoon x X, ja olkoot m, n N, m < n. Tällöin n m 1 d(f m (x), F n (x)) d(f m+k (x), F m+k+1 (x)) k=0 n m 1 = k=0 n m 1 k=0 d(f m+k (x), F m+k (F (x))) K m+k d(x, F (x)) Km d(x, F (x)). 1 K Siis jono (F j (x)) j=1 on Cauchyn jono, ja koska X on täydellinen, jono (F j (x)) j=1 suppenee kohti jotain pistettä x X. Piste x on kuvauksen F kiintopiste, sillä kaikille j N pätee d(x, F (x )) d(x, F j (x)) + d(f j (x), F j+1 (x)) + d(f j+1 (x), F (x )) (1 + K)d(x, F j (x)) + K j d(x, F (x)) 0, 4
kun j. Metriikan positiivisuudesta seuraa, että x = F (x ). Jos x ja y ovat kiintopisteitä, niin Kd(x, y ) d(f (x ), F (y )) = d(x, y ), joten d(x, y ) = 0, ja siis x = y. Jos d(x 0, y k ) K k d(x 0, x) kaikille x X, niin sanotaan, että pisteet y k lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella. Kutistavalla kuvauksella on siis yksikäsitteinen kiintopiste, jota kaikki radat lähestyvät eksponentiaalisella nopeudella. Propositio.. Olkoon I R on avoin väli ja olkoon x 0 I funktion g C 1 (I, R) kiintopiste. (1) Jos g (x 0 ) < 1, niin on avoin g-invariantti väli U I, joka sisältää pisteen x 0 siten, että pisteet F k (x) lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella kaikille x U. () Jos g (x 0 ) > 1, niin x 0 on lokaalisti hylkivä kiintopiste. Todistus. Kurssin Analyysi tiedoilla. Kutistusperiaatteen avulla voidaan todistaa esimerkiksi seuraavan klassisen numeerisen menetelmän toimiminen. Jos I R on avoin väli ja funktiolla g : I R on kiintopiste x 0 I ja g(x 0 ) = 0, sanotaan, että kiintopiste x 0 on superattraktiivinen. Tällöin, jos g on riittävän siisti, vaikkapa kolme kertaa jatkuvasti differentioituva, g k (x) x 0 supereksponentiaalisella nopeudella: Kaikille K > 0 ja kaikille pisteille x, jotka ovat riittävän lähellä kiintopistettä x 0 pätee kun k. d(x 0, g k (x)) K k d(x 0, x) 0, Lause.3 (Newtonin menetelmä). Olkoon I suljettu ja rajoitettu väli. Olkoon f : I R kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva. Oletetaan, että funktiolla f on nollakohta välillä I ja että sen derivaatalla ei ole nollakohtaa välillä I. Olkoon F : I R, F (x) = x f(x) f (x). Tällöin on jokin väli J I siten, että F J on kutistava kuvaus ja jono F k (x) suppenee kohti funktion f nollakohtaa supereksponentiaalisella nopeudella kaikilla x J. Todistus. Harjoitus. Olkoon U R n ja I R avoimia joukkoja ja f : U I R n (jatkuva) kuvaus. Tällä kurssilla tarkastelemme differentiaaliyhtälöryhmiä (1) ẋ = f(x, t), ja niihin liittyviä alkuarvotehtäviä, joissa vaaditaan lisäksi x(t 0 ) = x 0 jollain x 0 U. Merkintä ẋ(t) = x (t) tarkoittaa vektoriarvoisen kuvauksen x: R n, R 5
derivaattaa. Komponenteittain kirjoitettuna differentiaaliyhtälöryhmä (1) on ẋ 1 = f 1 ((x 1,..., x n ), t), ẋ = f ((x 1,..., x n ), t), (). ẋ n = f n ((x 1,..., x n ), t). Yleensä kutsumme differentiaaliyhtälöryhmää yksinkertaisemmin differentiaaliyhtälöksi. Differentiaaliyhtälön (1) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on differentioituva kuvaus x: R n joltain avoimelta väliltä R, jolle pätee ẋ(t) = f(x(t), t) kaikilla t ja x(t 0 ) = x 0. Jos differentiaaliyhtälön oikean puolen kuvauksen arvo ei riipu muuttujan t arvosta, tämä riippuvuus jätetään pois ja tarkastellaan kuvauksen f : U R n määräämää autonomista differentiaaliyhtälöä (3) ẋ = f(x) Autonomisen differentiaaliyhtälön (3) ratkaisu alkuarvolla x(t 0 ) = x 0 on differentioituva kuvaus x: R n joltain avoimelta väliltä R, jolle pätee ẋ(t) = f(x(t)) t ja x(t 0 ) = x 0. Differentiaaliyhtälöiden kurssilla todistetaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisujen olemasaolo- ja yksikäsitteisyyslause, OYlause. Kutistusperiaatteen avulla osoitamme vastaavan tuloksen differentiaaliyhtälöryhmille. Tämä on sama todistus, ns. Picardin iteraatio, jolla lause on tapana todistaa differentiaaliyhtälöiden kurssilla, jossa ei kuitenkaan välttämättä todisteta kutistusperiaatetta yleisessä muodossa. Yksiulotteinen tapaus vastaa differentiaaliyhtälöiden kurssilla käsiteltävää tapausta. Lause.4 (OY-lause). Olkoon I R avoin väli, ja olkoon U R n avoin. Olkoon f : I U R n jatkuva kuvaus, jolle kuvaus x f(t, x) on M-Lipschitz jokaisella t R. Jokaisella (a, b) I U on δ > 0 siten, että alkuarvotehtävällä { ẋ = f(t, x), (4) x(a) = b on välillä ]a δ, a + δ[ määritelty yksikäsitteinen ratkaisu. Todistus. Todistamme lauseen tapauksessa, jossa U = R n ja f on M-Lipschitz. Yleisen tapauksen todistus samalla idealla esitetään esimerkiksi Hasselblatin ja Katokin kirjassa. Olkoon siis f : R R n R n jatkuva kuvaus. Valitaan 0 < δ < 1. Olkoon M (a, b) ]a δ, a+δ[ R n. Picardin operaattori on kuvaus P a,b : C 0 ([a δ, a+δ], R n ) C 0 ([a δ, a + δ], R n ), P a,b (φ)(t) = b + t a f(s, φ(s))ds. Teemme kaksi oleellista havaintoa Picardin operaattorista: Lemma.5. Kuvaus φ: [a δ, a + δ] R n on alkuarvotehtävän (4) ratkaisu välillä ]a δ, a + δ[, jos ja vain jos se on Picardin operaattorin P a,b kiintopiste. Todistus. Kuvaus φ on Picardin operaattorin kiintopiste, jos ja vain jos (5) φ(t) = b + t a 6 f(s, φ(s))ds.
Jos φ on kiintopiste, se toteuttaa siis selvästi alkuehdon φ(a) = b. Lisäksi kuvaus φ on differentioituva ja toteuttaa ehdon φ(t) = f(t, φ(t)) analyysin peruslauseen nojalla. Toisaalta, jos φ on alkuarvotehtävän (4) ratkaisu välillä ]a δ, a + δ[, niin kaikilla t ]a δ, a + δ[ pätee P a,b (φ)(t) = b + joten φ on kiintopiste. t a f(s, φ(s))ds = b + Lemma.6. Picardin kuvaus on kutistava. Todistus. P a,b (φ) P a,b (ψ) = max t a δ t a t a φ(s)ds = φ(t), (f(s, φ(s)) f(s, ψ(s)))ds δm φ ψ. Lemman.6 ja Lauseen.1 mukaan Picardin operaattorilla on täsmälleen yksi kiintopiste. Lemman.5 mukaan tämä kiintopiste on tarkasteltavan alkuarvotehtävän (4) ainoa ratkaisu välillä ]a δ, a + δ[. Lausetta 4 voi soveltaa aina, kun f : U R n on C 1, sillä f B on Lipschitz-jatkuva, kun B U on suljettu pallo. Seuraus.7 (Autonominen OY-lause). Olkoon U R n avoin. Olkoon f : U R n C 1 -kuvaus. Jokaisella a R ja x 0 U on δ > 0 siten, että alkuarvotehtävällä { ẋ = f(x), (6) x(a) = b on välillä ]a δ, a + δ[ määritelty yksikäsitteinen ratkaisu. Esimerkki.8. Vaikka tarkastelemmekin lähinnä korkeampiulotteisia tilanteita, on hyvä muistaa, miten Picardin iteraatio antaa alkuarvotehtävän ẏ = y, y(0) = 1 ratkaisun: Valitaan ensimmäiseksi arvaukseksi vakiofunktio y 0 (t) = 1. Tällöin ja induktiolla y 1 (t) = P(y 0 )(t) = 1 + y (t) = P(y 1 )(t) = 1 + t t y k (t) = P(y k 1 )(t) = 0 0 ds = 1 + t, (1 + s)ds = 1 + t + t, k j=0 t k k!. Kuvausten y k muodostama jono suppenee kohti eksponenttifunktiota tasaisesti kompakteilla väleillä. 3. Autonomiset differentiaaliyhtälöt ja virtaukset Autonomisen differentiaaliyhtälön ẋ = f(x) oikean puolen kuvaus f määrää vektorikentän joukossa U. Alkuarvotehtävän { ẋ = f(x) x(t 0 ) = x 0 ratkaisu on differentioituva polku joukossa U, jonka tangenttivektori ẋ(t) pisteessä x(t) on vektorikentän f arvo (siis vektori). Lisäksi polku kulkee pisteen x 0 kautta ja toteuttaa x(t 0 ) = x 0. 7
x 3 1 p 3 1 1 3 x 1 1 3 Kuva 1. Vakiovektorikenttä f(x) = (1, 1) tasossa ja alkuarvotehtävän ẋ = f(x), x(0) = p = (1, 0.3) ratkaisu aikavälillä t ], ]. Esimerkki 3.1. Olkoot λ, b R. (1) Olkoon f : R R, f(x) = λ tason vakiovektorikenttä. Alkuarvotehtävän { ẋ = f(x) x(0) = b ratkaisu on affiini suora x b (t) = b + tλ. Kuvaukset φ t : R R, t R muodostavat tason virtauksen: kaikille b R. φ t (b) = x b (t) = b + tλ, φ s φ t (b) = (b + tλ) + sλ = b + (s + t)λ = φ s+t (b) () Tason lineaarisen alkuarvotehtävän { ẋ 1 = λ 1 x 1, (7) ẋ = λ x, { x 1 (0) = b 1, x (0) = b, ratkaisu on selvästi x(t) = (b 1 e λ1t, b e λt ). Kun λ < 0 < λ 1, ratkaisut käyttäytyvät kuten kuvassa. Ratkaisut lähestyvät x 1 -akselia, kun t ja x -akselia, kun t. Asetetaan ( ) λ1 0 A = diag(λ 1, λ ) = 0 λ ( ) x1 ja x =. Tällöin yhtälö (7) saadaan matriisimuotoon ẋ = Ax. x Ensimmäisissä harjoituksissa tarkastettiin, että ratkaisujen määrittämät aika-tkuvaukset φ t : R R, muodostavat tason R virtauksen. φ t (b) = (b 1 e λ 1t, x (t) = b e λ t ) 8
x 3 1 3 1 1 3 x 1 1 3 Kuva. Alkuarvotehtävän (7) vektorikenttä ja ratkaisuja. Esimerkki 3.. Toisen asteen lineaarisen differentiaaliyhtälön (8) y (t) + y(t) = 0 kaikki ratkaisut saadaan funktioiden sin ja cos lineaarikombinaatioina. Jokaisella alkuarvotehtävällä y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, on ratkaisu y(t) = a cos t + b sin t: 1.0 0.5 6 4 4 6 0.5 1.0 Differentiaaliyhtälö (8) voidaan muuntaa tason differentiaaliyhtälöksi: Asetetaan x 1 = y ja x = y. Tällöin siis yhtälö (8) on { ẋ 1 = x (9) ẋ = x 1. 9
x 1 1 1 x 1 1 Kuva 3. Differentiaaliyhtälön (9) vektorikenttä f(x) = Ax ja ratkaisut alkuarvoilla x 0 = (0.3, 1), x 0 = ( 1, 1) ja x 0 = (, ): ( ) 0 1 Matriisimuodossa yhtälö (9) on siis ẋ = Ax, missä. Yhtälö(pari)n (9) 1 0 ratkaisu on siis luettavissa edeltä: Yleinen ratkaisu on ( ) ( ) ( ) cos t sin t b1 b1 cos t + b x(t) = sin t. sin t cos t b b 1 sin t + b cos t Ensimmäisissä harjoituksissa osoitettiin, että ratkaisujen määrittämät aika-t-kuvaukset φ t : R R, φ t (b) = (b 1 e λ 1t, b e λ t ) muodostavat tason R virtauksen. Propositio 3.3. Olkoon f : U R n C 1 -vektorikenttä, jolle jokaisen alkuarvotehtävän { ẋ = f(x), (10) x(0) = x 0, maksimaalinen määrittelyväli on R. Tällöin kuvaus φ: R U U, (11) φ(t, x) = φ t (x) = ψ 0,x (t) on joukon U bijektio jokaiselle t R ja jokaiselle s, t R pätee φ s φ t = φ s+t. Todistus. Olkoon φ määritelty lausekkeella (14). Olkoon t R. Tällöin kaikille s R ja b U ja φ(s, φ(t, b)) = φ s φ t (b) = φ s (ψ 0,b (t)) = ψ 0,ψ0,b (t)(s) = Ψ 1 (s) φ(s + t, b) = φ s+t (b) = ψ 0,b (s + t) = Ψ (s) Molemmat kuvaukset Ψ 1, Ψ : R U ovat differentiaaliyhtälön ẋ = f(x) ratkaisuja. Lisäksi Ψ 1 (0) = ψ 0,ψ0,b (t)(0) = ψ 0,b (t) = Ψ (0), joten yksikäsitteisyyslauseen nojalla Ψ 1 = Ψ. Siis yhtälö φ s φ t = φ s+t pätee. 10
Koska erityisesti φ t φ t = φ 0 = id = φ t φ t kaikille t R, niin φ t = (φ t ) 1. Siis kuvaukset φ t ovat bijektioita. Osoitamme seuraavaksi, että toisiaan riittävän lähellä olevia alkuarvoja vastaavat ratkaisut pysyvät lähellä toisiaan. Koska Proposition 3.3 mukaan Lauseessa 3.7 tarkasteltu differentiaaliyhtälö määrää kuvausperheen, joka toteuttaa virtauksen määrittelyssä vaadittavan yhtälön, tämä havainto auttaa viimeistelemään tuloksemme differentiaaliyhtälöryhmien ja virtauksen yhteydestä. Käytämme yleistä metristen avaruuksien tulosta: Propositio 3.4. Olkoon X täydellinen metrinen avaruus, ja olkoon Y metrinen avaruus. Olkoon 0 < K < 1 ja olkoon F : X Y X jatkuva kuvaus, jolle kuvaus F y = F (, y): X X on K-kutistava kuvaus jokaiselle y Y. Olkoon g : Y X kuvaus, jonka arvo pisteessä y on kuvauksen F y kiintopiste. Tällöin kuvaus g on jatkuva. Todistus. Havaitaan, että kaikille x X pätee k d(x, g(y)) d(fy(x), i Fy i+1 (x)) + d(fy k+1 (x), g(y)), joten (1) d(x, g(y)) i=0 i=0 d(f i y(x), F i+1 y (x)) = 1 1 λ d(x, F y(x)), sillä äärellinen summa on pienempi kuin 1 d(x, F 1 λ y(x)) ja d(f k+1 (x), g(y)) 0, kun k, koska g(y) on kutistavan kuvauksen F y kiintopiste. Valitaan x = g(y ) = F (g(y ), y ), jolloin epäyhtälö (1) antaa d(g(y ), g(y)) 1 1 λ d(f (g(y ), y ), F (g(y ), y)). Koska kuvaus F on jatkuva, niin d(f (g(y ), y ), F (g(y ), y)) 0, kun y y, mistä väite seuraa. Olkoot X = C 0 ([a δ, a + δ], R n ), Y = R n ja F : X Y X, F (φ, b) = P a,b (φ) ja varustetaan X Y metriikalla d i, joka määritellään d 1 ((φ 1, b 1 ), (φ, b )) = d X (φ 1, φ ) + d Y (b 1, b ). Propositio 3.5. Olkoon U R n avoin ja olkoon f : U R n M-Lipschitz- jatkuva. Olkoon Φ a,b alkuarvotehtävän ẋ = f(x), f(a) = b ratkaisu. Olkoon ɛ > 0. Tällöin on η > 0, jolle Φ a,b Φ a,b = max t a δ Φ a,b(t) Φ a,b (t) < ɛ, jos b b < η. Todistus. Riittää osoittaa, että kuvaus F on jatkuva. Kolmioepäyhtälön avulla saamme d X (F (φ 1, b 1 ), F (φ, b )) = Väite seuraa Propositiosta 3.4. max b 1 b + t [a δ,a+δ] t b 1 b + Mδ d X (φ 1, φ ). 11 a (f(φ 1 (s)) f(φ (s)))ds
Lause 3.6. Olkoon f : U R n C 1 -vektorikenttä, jolle jokaisen alkuarvotehtävän { ẋ = f(x), (13) x(0) = x 0, maksimaalinen määrittelyväli on R. Tällöin (φ t ) t R, (14) φ(t, x) = φ t (x) = ψ 0,x (t) on joukon U virtaus. Todistus. Väite seuraa Propositioista 3.3 ja 3.5. Lauseen 3.6 antama virtaus on differentiaaliyhtälön ẋ = f(x) määräämä virtaus tai vektorikentän f määräämä virtaus. Voidaan osoittaa, että, jos C 1 -kuvaus φ: R U U on virtaus joukossa U, niin se on vektorikentän φ(0, x) määräämä virtaus. t Differentiaaliyhtälöiden jatkokurssilla osoitetaan seuraava tulos: Lause 3.7. Olkoon f : U R n Lipschitz-jatkuva vektorikenttä. Jokaisella a R ja x 0 R n on yksikäsitteinen funktio ψ a,x0 : R R n, joka on alkuarvotehtävän { ẋ = f(x), (15) x(a) = b ratkaisu. Seuraus 3.8. Lipschitz-jatkuva vektorikenttä f : R n R n määrää avaruuden R n virtauksen. Esimerkki 3.9. Differentiaaliyhtälön ( ) x 1 ẋ = + x + x3 1 +x x 1 x 1 x + x3 +x 1 x ratkaisut alkuarvoilla x 0 = (0.9, 0) ja x 1 = (0.95, 0) käyttäytyvät samaan tapaan (itse asiassa kaikilla t R), kun taas alkuarvolla x = (1.1, 0) käyttäytyminen on erilaista kuin alkuarvoilla x 0 ja x 1, kun t kasvaa. x x 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 x 1 1.0 0.5 0.5 1.0 x 1 0.5 0.5 1.0 1.0 1.5 1.5.0.0 1
4. Lineaaristen autonomisten differentiaaliyhtälöiden dynamiikkaa Olkoon A reaalinen n n-matriisi. Differentiaaliyhtälö ẋ = Ax on lineaarinen differentiaaliyhtälö. Luvussa 3 tarkastelimme kahta tason lineaarista differentiaaliyhtälöä ẋ = Ax, joiden ratkaisut käyttäytyvät selvästi eri tavoin: Esimerkin 7 differentiaaliyhtälön radat ovat nollan rataa lukuunottamatta rajoitettuja kun taas Esimerkin 3. radat ovat kaikki ympyröitä, siis rajoitettuja joukkoja. Jos A on reaalinen n n-matriisi, niin vektori v R n {0} on matriisin A ominaisvektori ominaisarvolla λ R, jos Av = λv. Ominaisvektori on siis nollasta poikkeava vektori matriisia A λi standardikannassa vastaavan lineaarikuvauksen ytimessä. Tästä nähdään, että matriisin A reaaliset ominaisarvot ovat matriisin A karakteristisen polynomin χ A (λ) = det(a λi) reaaliset juuret. Lineaarialgebran kurssilla on tapana käsitellä ainoastaan reaalisia ominaisarvoja, mutta tällä kurssilla on luontevaa käsitellä myös karakteristisen polynomin kompleksisia juuria. Kutsumme näitäkin matriisin A ominaisarvoiksi, erityisesti kompleksisiksi ominaisarvoiksi. Karakteristisen polynomin aste on n, joten Algebran peruslauseen (todistetaan Kompleksianalyysissa) mukaan karakteristisella polynomilla on algebrallinen kertaluku huomioiden n juurta. Ominaisarvon kertaluku karakteristisen polynomin juurena on sen algebrallinen kertaluku. Matriisin A reaalista ominaisarvoa λ vastaavat ominaisvektorit muodostavat nollavektorin kanssa ominaisavaruuden E λ = E λ (A) = {v R n : Av = λv}. Ominaisavaruuden E λ dimensio on ominaisarvon λ geometrinen kertaluku. ( ) 0 1 Esimerkki 4.1. (1) Matriisilla A = ei ole reaalisia ominaisarvoja. Sen 1 0 karakteristinen polynomi on ( ) λ 1 χ A (λ) = det = λ 1 λ + 1, joten sillä on kompleksiset ( ) ominaisarvot i ja i. 1 1 () Matriisilla on yksi algebrallisesti kaksinkertainen ominaisarvo 1. Ominaisarvon 1 geometrinen kertaluku on 1: Ominaisvektorit määrittävä yhtälöryhmä 0 1 Av = v kutistuu yhtälöksi v = 0, joka määrää 1-ulotteisen aliavaruuden. Lineaarialgebrassa (LAG) osoitetaan, että -matriisi B on diagonalisoituva, jos sillä on kaksi eri (reaalista) ominaisarvoa. Toisaalta -matriisi voi olla diagonalisoituva ( vaikka ) sillä olisi vain yksi ominaisarvo (λ = µ yllä), ja esimerkiksi 0 1 matriisilla ei selvästi ole yhtään ominaisvektoria eikä siis yhtään reaalista ominaisarvoa, koska sitä standardikannassa vastaava lineaarikuvaus on kierto 1 0 myötäpäivään kulman π/ verran. Jos n n-matriisi A on diagonalisoituva, niin on avaruuden R n kanta, joka koostuu matriisin A (tai sitä vastaavan lineaarikuvauksen L A : R n R n, L A v = Av) ominaisvektoreista. Erityisesti ominaisavaruuksien dimensioiden summa on n. Lineaarialgebran kurssilla osoitetuista tuloksista saadaan: Propositio 4.. n n-matriisi A on diagonalisoituva, jos ja vain jos sen ominaisarvojen geometristen kertalukujen summa on n 13
Jos A ja B ovat reaalisia n n-matriiseja ja C on kääntyvä reaalinen n n-matriisi, jolle B = CAC 1, niin A ja B ovat toistensa konjugaatteja ja C on konjugoiva matriisi. Diagonalisoituva matriisi on siis jonkin diagonaalimatriisin konjugaatti. Lineaarialgebrassa osoitetaan seuraava tulos: Propositio 4.3. Olkoot A ja B reaalisia n n-matriiseja, joille pätee A = CBC 1 jollain kääntyvällä reaalisella n n-matriisilla C. Tällöin (1) matriiseilla A ja B on samat ominaisarvot. () matriisia C vastaava lineaarikuvaus kuvaa matriisin B ominaisavaruudet bijektiivisesti matriisin A ominaisavaruuksiksi. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä konjugointi on usein kätevä väline seuraavan ominaisuuden vuoksi Lemma 4.4 (Muuttujanvaihtolemma). Olkoot A ja B n n-matriiseja, joille pätee A = CBC 1 jollain kääntyvällä C. Tällöin, jos x on differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisu alkuarvolla x(0) = x 0, niin y = Cx on differentiaaliyhtälön ẏ = Ay ratkaisu alkuarvolla y(0) = Cx 0. Todistus. Ketjusäännön (Differentiaalilaskenta 1) nojalla Esimerkki 4.5. Matriisin ẏ(x) = Cẋ = CBx = CBC 1 y. A = ( ) 1 3 1 1 ominaisarvot ovat ja. Sen ominaisavaruudet saadaan ratkaisemalla yhtälöparit Av = v ja Av = v, jotka antavat vastaaville ominaisavaruuksille yhtälöt v 1 = 3v ja v 1 = v. Matriisi A voidaan diagonalisoida esimerkiksi matriisilla ( ) 3 1 C =, 1 1 ( ( ) 3 1 jonka sarakkeet w 1 = ja w 1) = ovat ominaisvektoreita. Nythän, jos 1 B = C 1 A C, niin ( ( 1 B = 0) C 1 A C 1 0) ja vastaavasti ( 0 (16) B 1) Alkuarvotehtävän ( = C 1 Aw 1 = C 1 w 1 = C 1 1 w 1 = 0) x(0) = ( 0 = 1) ẋ = Bx, ( ) ( ) ae t ratkaisu tunnetaan, se on x(t) = be t. Lemman 4.4 mukaan y(t) = Cx(t) = a b ( ) 3ae t + be t ae t be t 14.,
x 3 x 6 4 1 3 1 1 3 x 1 6 4 4 6 x 1 1 4 3 6 on alkuarvotehtävän (17) Kuva 4. Kaksi satulaa ẏ = Ax, y(0) = C ratkaisu. Matriisia C vastaava lineaarikuvaus on siis muuttujanvaihto, joka liittää alkuarvotehtävät (16) ja (17), ja niiden ratkaisut toisiinsa. Lause 4.6 (Konjugointilause). Olkoon A reaalinen -matriisi. Tällöin on kääntyvä reaalinen -matriisi C, jolle matriisi CAC 1 on ( ) a b (1) diagonaalimatriisi, jos matriisilla A on kaksi eri reaalista ominaisarvoa tai yksi geometrisesti ( ) kaksinkertainen reaalinen ominaisarvo, λ 1 () muotoa, jos matriisilla A on yksi geometrisesti yksinkertainen reaalinen ominaisarvo, ja ( ) 0 λ α β (3) vinosymmetrinen muotoa, jos matriisilla A ei ole reaalisia ominaisarvoja. β α Todistus. (1) Jos matriisilla A on kaksi eri ominaisarvoa, diagonalisoituvuus on todistettu kurssilla LAG. Jos matriisilla A on geometrisesti kaksinkertainen ominaisarvo, koko taso R on sen ominaisavaruus ja A on diagonaalinen. () Oletetaan, että matriisilla A on geometrisesti kaksinkertainen ominaisarvo λ R, ja olkoon u jokin ominaisvektori. Olkoon v R mikä tahansa vektori siten, että u ja v virittävät koko tason R. Tällöin Av = µu + νv joillekin µ, ν R, µ 0. Jos olisi ν λ, niin A ( µ ν λ u + v ) = λ µ ( ) µ u + µu + νv = ν ν λ ν λ u + v, joten ν λ olisi ominaisarvo vastoin oletusta. Siispä Av = µu + λv. Valitaan kannaksi u ja w = v/µ. Tällöin Au = λu ja Aw = µu/µ + λv/µ = u + λw, joten matriisi on tässä kannassa haluttua muotoa. (3) Oletetaan, että matriisilla A ei ole reaalisia ominaisarvoja. Tällöin sillä on kaksi kompleksista ominaisarvoa α ± iβ, β 0. Ajatellaan A kompleksisena matriisina. Tällöin ominaisarvoa α + iβ vastaa jokin ominaisvektori u = Re u + i Im u C. 15
Havaitaan ensin, että Re u ja Im u ovat lineaarisesti riippumattomia reaalisessa vektoriavaruudessa R : Jos näin ei ole, niin Re u = c Im u jollain c R. Tällöin joten (c + i)a Im u = A((c + i) Im u) = A(u) = (α + iβ)u = (α + iβ)(c + i) Im u, A Im u = (α + iβ) Im u, mikä on mahdotonta, sillä A Im u on reaalinen vektori, kun taas (α + iβ) Im u ei ole. Kirjoitetaan matriisi Au komponenteittain kahdella tavalla: Koska A on reaalinen, pätee Toisaalta Au = A(Re u + i Im u) = A(Re u) + ia(im u). Au = (α + iβ)(re u + i Im u) = α Re u β Im u + i(β Re u + α Im u), joten tarkastamalla reaali- ja imaginaariosat saadaan ja A Re u = α Re u β Im u A Im u = β Re u + α Im u. Edellä oleva tarkastelu osoittaa, että avaruuden R kannassa, jonka muodostavat vektorit v 1 = Re u ja v = Im u, matriisia A vastaava lineaarikuvaus käyttäytyy halutulla tavalla. Valitaan kannanvaihtomatriisiksi C matriisi, jonka sarakkeet ovat vektorien v 1 ja v komponentit. Tällöin C on reaalinen, ja pätee ( ( ) 1 α C 1 AC = C 0) 1 Av 1 = C 1 (αv 1 βv ) = β ja ( 0 C 1 AC = C 1) 1 Av 1 = C 1 (βv 1 + αv ) = ( β α). Tarkastelemme nyt tason lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja konjugointilauseen antamissa eri tapauksissa. Seuraavassa A on -matriisi: Matriisi A on diagonalisoituva. Differentiaaliyhtälön ẋ = Ax ratkaisut saadaan eksponenttifunktion avulla kuten esimerkissä 4.5. Ratkaisuja on ominaisarvojen merkeistä riippuen kolmea erilaista tyyppiä: (1) Jos matriisilla A on kaksi ominaisarvoa, jotka ovat erimerkkisiä, ratkaisut käyttäytyvät kuten Esimerkissä 4.5. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan satulaksi, katso kuvia Esimerkissä 4.5. () Jos matriisilla A on kaksi negatiivista ominaisarvoa λ 1 ja λ, ratkaisut saadaan samalla tavalla kuin esimerkissä 4.5. Ratkaisujen käyttäytyminen on kuitenkin erilaista: Differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisut alkuarvoilla, jotka ovat koordinaattiakseleilla, lähestyvät origoa eksponentiaalisesti akselia pitkin, kun t. Muilla alkuarvoilla ratkaisut lähestyvät myös origoa, mutta kuvan mukaisia käyriä pitkin. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan nieluksi. Huomaa, että ratkaisukäyrät ovat säteitä, kun λ 1 = λ. (3) Jos matriisilla A on kaksi positiivista ominaisarvoa λ 1 ja λ, ratkaisukäyrät ovat kuten nielulla, mutta ratkaisut liikkuvat vastakkaiseen suuntaan. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan lähteeksi. 16
x 6 4 6 4 4 6 x 1 4 6 Kuva 5. Lähde ( ) λ 1 Matriisi A on konjugaatti matriisin kanssa. Kuvaus x: R R 0 λ, ( ) a + tb x(t) = e λt b on differentiaaliyhtälön ratkaisu alkuarvolla x(0) = (a, b). ẋ = ( ) λ 1 x 0 λ x 3 1 3 1 1 3 x 1 1 3 Kuva 6. Surkastunut lähde Jos matriisilla A on yksi ominaisarvo, jonka algebrallinen kertaluku on( yksi ja ) λ 1 geometrinen kertaluku on kaksi, niin Lauseen 4.6 nojalla A on matriisin 0 λ 17
konjugaatti jollain λ R, ja differentiaaliyhtälön ẋ = Ax ratkaisut saadaan Lemman 4.4 avulla. Tässä tapauksessa origoa kutsutaan surkastuneeksi nieluksi, jos λ < 0 ja surkastuneeksi lähteeksi, jos λ > 0. Matriisi A on konjugaatti vinosymmetrisen matriisin kanssa Lauseen 4.6 ( mukaan ) kaikki reaaliset -matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia tai( matriisin ) λ 1 α β konjugaatteja jollain λ R, ovat vinosymmetrisen matriisin A = 0 λ β α konjugaatteja joillain α, β R, β 0. Kuvaus x: R R, ( ) ( ) cos βt sin βt x(t) = e αt [a + b ] sin βt cos βt { ẋ = Ax on alkuarvotehtävän ratkaisu. x(0) = (a, b) (1) Jos α = 0, niin ratkaisu on muotoa ( ) ( ) cos βt sin βt x(t) = a + b sin βt cos βt Tämä kuvaus parametrisoi ympyrän, jonka säde on a + b. Yleisessä tilanteessa ratkaisut parametrisoivat ellipsin, joka saadaan kuvaamalla tämä ympyrä kannanvaihtokuvauksella. Tässä tapauksessa origo on keskus. () Jos α < 0, niin kerroin e αt aiheuttaa sen, että ratkaisu lähestyy origoa, kun t. Ratkaisukäyrä on spiraali, joka kiertää origoa lineaarisella nopeudella ja lähestyy sitä eksponentiaalisella nopeudella. Tässä tapauksessa origo on spiraalinielu. x 6 4 6 4 4 6 x 1 4 6 Kuva 7. Spiraalinielu (3) Jos α > 0, niin kerroin e αt aiheuttaa sen, että ratkaisun normi kasvaa rajatta, kun t. Ratkaisukäyrä on spiraali, joka kiertää origoa lineaarisella nopeudella ja etääntyy siitä eksponentiaalisella nopeudella. Tässä tapauksessa origo on spiraalilähde. Esimerkki 4.7. Matriisin A = ( ) 1 1 1 18
x 6 4 6 4 4 6 x 1 4 6 Kuva 8. Spiraalilähde ominaisarvot ovat ±i. Vektori u = (1 + i, 1) on ominaisarvoa i vastaava ominaisvektori. Valitaan tason R kantavektoreiksi Re u = v 1 = (1, 1) ja Im u = v = (1, 0) ja käytetään koordinaattimuunnosta ( ) 1 1 C =. 1 0 Nyt siis B = C 1 AC = ( ) 0 i. i 0 Differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisut parametrisoivat ympyröitä kuten edellä totesimme. Muuttujanvaihtolemman nojalla differentiaaliyhtälön ẏ = Ay ratkaisut ovat muotoa Cx, missä x on differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisu. Siis ratkaisut ovat ympyröiden kuvia lineaarikuvauksella C. Täsmällisemmin ne ovat käyriä, joiden pisteet toteuttavat yhtälön missä r = (C 1 x) t C 1 x = x t ((C 1 ) t C)x = x t Qx, Q = (C 1 ) t C = C = ( 1 ) 1 1 on symmetrinen matriisi ja kuvaus x x t Qx on positiividefiniitti neliömuoto. Matriisin Q ominaisarvot ovat 1± 5 ja niitä vastaaviksi ominaisvektoreiksi voimme valita (keskenään ortogonaaliset) vektorit w 1 = ( 1 5, 1) ja w = ( 1+ 5, 1). Matriisin Q ominaisvektoreiden muodostamassa kannassa neliömuoto on 1 + 5 z1 + 1 5 z joten ratakäyrät ovat standardimuotoisia ellipsejä vektoreiden w 1 ja w muodostamassa ortogonaalisessa kannassa, katso kuva 4. 19
x 6 4 0 x 1 4 6 6 4 0 4 6 Kuva 9. Keskus Esimerkki 4.8. Matriisia B (18) B = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 vastaava differentiaaliyhtälö ẋ = Bx on helppo ratkaista, koska ensimmäiset kaksi koordinaattia muodostavat oman -ulotteisen systeeminsä: Kuvaus a cos t + b sin t x(t) = a sin t + b cos t on ratkaisu alkuarvolla x(0) = (a, b, c) R 3. Jos c = 0, niin ratkaisu pysyy x 1 x -tasossa ja on a + b -säteisen ympyrän parametrisointi kuten esimerkissä 3.. Jos taas a = b = 0, niin ratkaisu pysyy x 3 -akselilla ja lähestyy origoa eksponentiaalisella vauhdilla. Yleisen tilanteen ratkaisukäyrä kulkee sylinterillä {x R 3 : x 1 + = a + b } ja kasautuu kohti x 1 x -tason ympyrää ce t {(x 1, x, 0) R 3 : x 1 + = a + b }. Lause 4.6) on erikoistapaus tuloksesta, joka pätee kaikissa ulottuvuuksissa. Tämän yleisemmän tuloksen muotoilemiseksi tarvitsemme hieman terminologiaa: Jos B 1,..., B N ovat n 1 n 1,..., n N n N -neliömatriiseja, ja N i=1 n i = n, niin matriiseista B 1,..., B N muodostettu matriisi diag(b 1,..., B N ) = B 1 B... B N, jossa loput n N i=1 n i kerrointa ovat nollia, on blokkidiagonaalimatriisi, jonka blokkeja ovat matriisit B i. Blokin B i koko on n i. 0
1 0 1 0 1 1 0.06 1 0.04 0 0.0 0.06 0.04 1 0.0 1 0 1 0.00 0.00 Kuva 10. Kaksi eri näkymää differentiaaliyhtälön ẋ = Bx ratkaisusta alkuarvolla x(0) = (1, 1, 1), kun B on kaavan (18) matriisi. Lause 4.9 (Jordanin kanoninen muoto). Olkoon A reaalinen n n-neliömatriisi, ja olkoot λ 1,..., λ r, λ r+1, λ r+1,..., λ M, λ M sen eri ominaisarvot. Olkoot a i ja g i ominaisarvon λ i algebrallinen ja geometrinen kertaluku. Tällöin A voidaan konjugoida reaalisella matriisilla blokkidiagonaalimuotoon, jossa jokainen blokki on joko muotoa λ i 1 ( ) λi tai λ i 1...... λ i 1, λ i jos λ i on reaalinen, tai C λi = ( ) αi β i β i α i tai C λi I C λi I......,... I C λi jos λ i = α i +iβ i ei ole reaaliluku. Reaalista ominaisarvoa λ i vastaa g i blokkia, joiden kokojen summa on a i. Kompleksista ominaisarvoparia λ i, λ i vastaa g i blokkia, joiden kokojen summa on a i. Jordanin kanonisen muodon ja Lemman 4.4 avulla moniulotteiset tapaukset voidaan palauttaa helpommin käsiteltävään muotoon. Tällä kurssilla emme todista Lausetta 4.9, todistus esitetään monissa hieman edistyneemmän lineaarialgebran kirjoissa, esimerkiksi [HJ], [Ort]. 5. Kaaos Edellisten lukujen esimerkit ovat käsitelleet pääasiassa melko vakaata dynamiikka. Esimerkiksi kutistavien kuvausten tapauksessa kaikkien pisteiden radat lähestyvät samaa kiintopistettä eksponentiaalisella nopeudella. Tarkastelemme nyt monimutkaisempia systeemejä. Diskreetti dynaaminen systeemi f : X X diskreetti dynaaminen systeemi topologisesti transitiivinen, jos kaikille avoimille epätyhjille joukoille U, V X on N N siten, että f N (U) V. Yksi kaaokselta yleensä edellytettävistä piirteistä on perhosefekti eli herkkä riippuvuus alkuarvoista. Dynaaminen systeemi f : X X riippuu herkästi alkuarvoista, jos on > 0 siten, että jokaisella x X ja ɛ > 0 on 1
y B(x, ɛ) ja N N, joille d(f N (x), f N (y)). Herkkä riippuvuus alkuarvosta tarkoittaa, että pieni epätarkkuus lähtötilanteessa voi muuttaa tulevaisuuden kokonaan. R. Devaneyn määritelmän mukaan dynaaminen systeemi on kaoottinen, jos (1) sen jaksollisten pisteiden joukko on tiheä, () se on topologisesti transitiivinen ja (3) se riippuu herkästi alkuarvoista. Esimerkki 5.1. (1) Ympyrän kaikki pisteet ovat rationaalisen kierron jaksollisia pisteitä ja irrationaalinen kierto on topologisesti transitiivinen. Kuitenkaan kumpikaan näistä ei ole kaoottinen systeemi: Mikään ympyrän kierto ei riipu herkästi alkuarvosta sillä kierrot ovat ympyrän isometrioita: d(r α (x), R α (y)) = d(x, y) kaikilla x, y S 1. () Lineaarikuvaus L: R n R n, Lx = x riippuu herkästi alkuarvosta mutta ei ole kaoottinen: L k x L n y = k x y, kun k, jos x y. Seuraava tulos osoittaa, että herkkä riippuvuus alkuarvoista seuraa kaoottisuuden määritelmän kahdesta ensimmäisesstä kohdasta: Lause 5.. Olkoon f : X X jatkuva. Jos avaruus X ei koostu yhdestä jaksollisesta radasta ja f on kaoottinen, niin dynaaminen systeemi f : X X riippuu herkästi alkuarvosta. Todistus. Katso [BBC + ], [HK, Theorem 7..1]. Esimerkki 5.3. Olkoon m N, k. Olkoon E m : S 1 S 1 kulman k-kertaistava kuvaus, jonka lauseke kulmaparametrin s R avulla lausuttuna on E m ([s]) = [ms]. Kuvaus E m on kaoottinen: Harjoituksissa tarkastimme, että E on hyvin määritelty ja että jokaisella pisteellä p S 1 on täsmälleen kaksi alkukuvaa kuvauksella E. Yleisesti pätee vastaava tulos: E m on jatkuva m 1-kuvaus. Olkoon P n (E m ) = {x S 1 : Em(x) n = x}. Kuten harjoituksissa tehtiin tapauksessa m = voidaan tarkastaa, että { k } P n (E m ) = [ m n 1 ] S1 : k Z. Joukon P n pisteet jakautuvat ympyrälle tasaisesti ja jakavat ympyrän S 1 väleihin, 1 joiden pituus on. On helppo tarkastaa, että jaksollisten pisteiden joukko m n 1 P (E m ) = n N P n (E m ) on tiheä. Olkoon U S 1 avoin epätyhjä joukko. Tällöin U sisältää jonkin m-adisen välin J = J k k m = [ N m, k + 1 N m ]. N Siis E m (U) Em(J) N = S 1. Siis kaikille epätyhjille V S 1 pätee Em(U) V N = V, joten E m on topologisesti transitiivinen. Vaikka se ei loogisesti olekaan välttämätöntä Lauseen 5.4 nojalla, osoitetaan vielä herkkä riippuvuus alkuarvoista: Koska jokainen piste x X sisältyy äärettömän moneen sisäkkäiseen m-adiseen väliin, jotka kuvautuvat koko ympyräksi kuvauksen E m sopivilla iteraateilla, on jokaisella tällaisella välillä piste, joka kuvautuu toiselle puolelle ympyrää kuin x.
Esimerkin 5.3 lopussa osoitimme itse asiassa, että kuvaus E m on topologisesti sekoittava: kaikille avoimille epätyhjille joukoille U, V X on N N siten, että f n (U) V kaikille n N. Tarkastelemme seuraavaksi topologista transitiivisuutta. Metrinen avaruus X on separoituva, jos sillä on numeroituva tiheä osajoukko. Esimerkiksi R n = Q n, S 1 = {[q] : q Q}. Toisaalta, jos Y on ylinumeroituva joukko varustettuna diskreetillä metriikalla d(a, b) = 1 kaikilla a b, niin Y ei ole separoituva. Piste x X on eristetty, jos B(x, r) on äärellinen joukko jollain r > 0. Esimerkiksi kaikkien diskreettien metristen avaruuksien kaikki pisteet ovat eristettyjä. Lause 5.4. Olkoon f : X X jatkuva. Jos systeemillä f : X X on tiheä rata ja avaruudessa X ei ole eristettyjä pisteitä, niin f on topologisesti transitiivinen. Jos X on täydellinen ja separoituva ja f on topologisesti transitiivinen, niin sillä on tiheä rata. Todistus. Oletetaan, että on x X, jolle O + f (x) = X. Olkoot U ja V epätyhjiä avoimia joukkoja. Tällöin on n U N siten, että y U = f n U (x) U. Pisteen y U rata on tiheä koska metrisessä avaruudessa X ei ole eristettyjä pisteitä. Siis on N V siten, että f N V (y U ) V, mikä osoittaa, että f on topologisesti transitiivinen. Oletetaan sitten, että f on topologisesti transitiivinen. Olkoon A metrisen avaruuden X numeroituva tiheä osajoukko. Olkoon {U k : k N} = {B(a, r) : a A, r Q + }. Osoitamme, että on x X, jolle O + f (x) U k kaikilla k N. Koska jokainen avoin joukko sisältää ainakin yhden joukon kokoelmasta {U k : k N} (itse asiassa äärettömän monta joukkoa), niin tällaisen pisteen x rata on tiheä. Topologisen transitiivisuuden nojalla on N 1 N, jolle f N 1 (U 1 ) U. Valitaan a i A ja 0 < r 1 1 siten, että B(a 1, r 1 ) U 1 f N 1 (U ). Samoin on N N siten, että B(a 1, r 1 ) f N (U 3 ) on avoin epätyhjä joukko. Valitaan a A ja 0 < r <, jne. Näin saadaan Cauchyn jono (a k ), joka täydellisyyden nojalla suppenee kohti raja-arvoa a X. Konstruktiosta seuraa, että a k=1 B(a k, r k ), joten f N k (a) Uk+1 kaikilla k 1. Esimerkki 5.5. Lauseen 5.4 nojalla kulman m-kertaistavalla kuvauksella E m : S 1 S 1 on tiheä rata. Todistus ei anna esimerkkiä pisteestä, jonka rata on tiheä, mutta sellainen voidaan antaa melko helposti. Tarkastellaan kuvausta E. Jokainen ympyrän piste voidaan esittää muodossa [ i=1 b i ] i ja kuvaus E sopii tämän esityksen kanssa hyvin yhteen: E ( [ i=1 b i ] [ ) = i i=1 b i+1 i ]. Olkoon (a i ) i=1 jono, joka saadaan luettelemalla kaikki äärelliset jonot, jotka voidaan muodostaa numeroista 0 ja 1: (19) 01000110110000001010011100101110111. Olkoon p = [ i=1 a i i ] S 1. 3
Huomaamme, että J k N = [ k N, k + 1 N ] = {[ i=1 i=1 b i ] N : b i i = k}. Siis sopivalla M N pätee E M (p) J k mille tahansa dyadiselle välille, joten N pisteen p rata on tiheä. Vastaavalla tavalla voidaan antaa esimerkki tiheästä radasta kuvaukselle E m, kun m 3, luettelemalla kaikki äärelliset jonot, jotka voidaan muodostaa numeroista 0, 1 ja. Jonon (19) avulla saadaan esimerkki ehkä vielä mielenkiintoisemmasta radasta kuvaukselle E 3 : Kaikille jonoille (b i ) i=1 pätee E 3 ( [ b i ] [ b i+1 ] ) =, 3 i 3 i joten näemme Esimerkissä 1.5 esitellyn Cantorin 1 -joukon K kuva 3 on E 3 -invariantti. Olkoon i=1 i=1 [K] = {[x] S 1 : x K} q = [ i=1 a i 3 i ] S 1. Kuten kuvauksen E tapauksessa näemme, että sopivalla M N pätee E M 3 (q) I k N mille tahansa N N ja k Z. Siis pisteen q radan sulkeuma on Cantorin 1 3 -joukon K kuva ympyrällä S 1. 6. Konjugointi ja semikonjugointi Käytimme muuttujanvaihtolemmaa 4.4 apuna lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Muuttujanvaihto saattoi differentiaaliyhtälön sellaiseen muotoon, jossa se oli helppo ratkaista ja alkuperäisen tehtävän ratkaisu saatiin konjugoidun differentiaaliyhtälön ratkaisusta muuttujanvaihtokuvauksen avulla. Tässä luvussa tarkastelemme vastaavaa hieman yleisempää tekniikkaa diskreeteille systeemeille Kuvaus g : Y Y on kuvauksen f : X X topologinen tekijä, jos on jatkuva surjektio s: X Y siten, että g s = s f. Kuvaus s on semikonjugoiva kuvaus. X s f X g Y Y Jos kuvaus s on homeomorfismi, niin kuvaukset f ja g ovat konjugaatteja ja s on konjugoiva kuvaus. Propositio 6.1. Olkoot f : X X ja g : Y Y jatkuvia kuvauksia ja olkoon g kuvauksen f topologinen tekijä semikonjugoivalla kuvauksella s: X Y. Tällöin (1) s kuvaa kuvauksen f jaksolliset radat kuvauksen g jaksollisiksi radoiksi. () s kuvaa kuvauksen f tiheät radat kuvauksen g tiheiksi radoiksi. (3) jos f on topologisesti transitiivinen, niin g on topologisesti transitiivinen. Todistus. Harjoitustehtävä. Seuraus 6.. Olkoot f : X X ja g : Y Y jatkuvia kuvauksia ja olkoon g kuvauksen f topologinen tekijä. Jos Y ei koostu yhdestä jaksollisesta radasta ja f on kaoottinen, niin g on kaoottinen. 4 s
Todistus. Seuraa Propositiosta 6.1 ja Lauseesta 5.. Esimerkki 6.3. Tšebyšovin (Chebyshev) polynomi P n on se yksikäsitteinen polynomi, jolle pätee P n (cos θ) = cos(nθ) kaikille θ R. Polynomien P n lausekkeet saadaan de Moivren kaavasta: P (x) = x 1, P 3 (x) = 4x 3 3x, P 4 (x) = 8x 4 8x + 1 ja niin edelleen. Kuvaus P m : [ 1, 1] [ 1, 1] on kaoottinen. Tämä seuraa Seurauksesta 6., koska P m [ 1,1] on (määritelmänsä mukaan) kulman m-kertaistaistavan kuvauksen E m : S 1 S 1 topologinen tekijä semikonjugoivalla kuvauksella s: S 1 [ 1, 1], s([t]) = cos(πt). Esimerkki 6.4. Telttakuvaus T : [0, 1] [0, 1], { x, kun x 1 T (x) = x, kun x > 1. ja logistinen kuvaus F 4 : [0, 1] [0, 1], F 4 (x(= 4x(1 x) ovat semikonjugaatteja. Kuvaus F 4 on kuvauksen T topologinen tekijä semikonjugoivalla kuvauksella s: : [0, 1] [0, 1], Nythän, jos x [0, 1 ], pätee s(t) = 1 (1 cos(πt)) : s T (x) = 1 (1 cos(4πt)) = 1 cos (πx) ja jos x [ 1, 1], niin kosinin jasollisuuden ja parillisuuden nojalla pätee s T (x) = 1 (1 cos(π( t))) = 1 (1 cos(π( t))) = 1 (1 cos(4πt)). Toisaalta F 4 s(t) = 4( 1 (1 cos(πt)))(1 1 (1 cos(πt))) = 1 cos (πx). Esimerkki 6.5. Olkoon [K] S 1 Esimerkissä 5.5 konstruoitu E 3 -invariantti Cantorin joukko. Olkoon s: [K] S 1, b i ] b i /] b i ] s([ ) = [ = [. 3 i i i+1 i=1 i=1 Kuvaus s on jatkuva (!) surjektio, jolle pätee s E 3 = E s. Siis kuvaus E : S 1 S 1 on kuvauksen E 3 : [K] [K] topologinen tekijä. i=1 7. Tasainen jakautuminen Luvun kaksikymmentä ensimmäistä potenssia ovat, 4, 8, 16, 3, 64, 18, 56, 51, 104, 048, 4096, 819, 16384, 3768, 65536, 13107, 6144, 5488, 1048576. Näiden lukujen ensimmäisten numeroiden jakauma joukossa {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} näyttää mielenkiintoiselta ja 10000 ensimmäisen näin muodostetun numeron jakauma esitettynä eri numeroiden suhteellisena esiintymistiheytenä näyttää vakiintuvan kohti tiettyä jakaumaa: Luvun n ensimmäinen numero on k {1,,... 9}, jos ja vain jos k 10 l n (k + 1) 10 l 5
6 5 4 3 1 4 6 8 Kuva 11. Lukujen n ensimmäisten numerojen jakauma, 1 n 0. 0.30 0.5 0.0 0.15 0.10 0.05 eli 4 6 8 10 Kuva 1. Suhteelliset taajuudet ρ Lk (0, 10000), k {0, 1,,..., 9}, kierrolle R log10 (p), (0) log 10 k + l n log 10 < log 10 (k + 1) + l. Dynaamisen tulkinnan kannalta mielenkiintoinen havainto on, että epäyhtälöpari (0) voidaan ilmaista ympyrälle kuvattuna muodossa (1) R n log 10 ([0]) = [n log 10 ] [log 10 k, log 10 (k + 1)[= L k. Välit L k, k {1,,... 9} jakavat ympyrän S 1 kymmeneen osaan, joiden pituudet ovat log 10 (k) log 10 (k 1). Näistä pituuksista muodostettu pylväsdiagrammi muistuttaa hyvin tarkasti Kuvan 1 jakaumaa. Huomaa, että log 10 R Q. Olkoon α R Q. Olkoon S 1 väli ja olkoon Funktio ρ: N [0, 1], N (n, x) = #{k [0, n] N : R n α(x) }. ρ (n, x) = 1 n N (n, x) on suhteellinen taajuus, jolla pisteen x radan alkuosa iteraattiin R n α(x) saakka vierailee välillä. Olkoon välin S 1 pituus λ( ). 6
0.30 0.5 0.0 0.15 0.10 0.05 Lemma 7.1. Olkoon α R Q ja olkoot 1, S 1 välejä. Jos 1 on lyhyempi kuin, niin on N N siten, että N 1 (n, x) N (n + N, x) kaikille x S 1. Todistus. Harjoitus 5. Haluamme osoittaa, että jono (ρ (n, x)) n N 1 suppenee kohti raja-arvoa, joka on riippumaton pisteestä x S 1. Tässä tarkastelussa on sujuvaa käyttää reaalilukujonon (a n ) n N {1} yläraja-arvoa lim sup a n = lim sup a m = inf sup a m n n m n n N m n ja alaraja-arvoa lim inf a n = lim inf a m = sup inf a m, n n m n n N m n jotka jokaisella jonolla on laajennetussa reaalilukujen joukossa [, ] = { } R { }. Reaalilukujonolla (a n ) n N {1} on raja-arvo täsmälleen silloin, kun sen ylä- ja alarajaarvot yhtyvät. Tällöin lim a n = lim sup a n = lim inf a n. n n n Lemma 7.. Olkoon α R Q ja olkoot 1, S 1 välejä. Jos λ( ) = 1 k, niin lim sup ρ (x, n) 1 n k 1. Todistus. Olkoot V j = [ j 1, j ] k 1 k 1 S1. Lemman 7.1 nojalla on N N siten, että N (x, n) N Vj (x, n + N) kaikille n N ja j 1,,..., k 1. Siispä joten k 1 (k 1)N (x, n) N Vj (x, n + N) = N S 1(x, n + N) = n + N, mistä väite seuraa. j=1 (k 1)ρ (n, x) n + N n Ensimmäisten numeroiden jakauma selittyy seuraavan tuloksen avulla: Osoitamme, että irrationaalisen kierron rata on tasaisesti jakautunut ympyrällä. Lause 7.3. Olkoon α R Q. Olkoon S 1 väli. Tällöin lim ρ (n, x) = λ( ). n 7,
Todistus. Olkoon ɛ > 0. Olkoon väli, joka sisältää välin siten, että λ( ) = l k < λ( ) + ɛ. Nyt lim sup ρ (x, n) lim sup ρ (x, n) l k (λ( ) + ɛ) n n k 1 k 1 Lemman 7. ja suhteellisen taajuuden additiivisuuden nojalla. Kun ɛ 0, välttämättä k, joten () lim sup ρ (x, n) λ( ). n Välin komplementin tarkasteleminen antaa lim sup ρ S 1 (x, n) λ(s 1 ). n Koska aina pätee ρ (x, n) + ρ S 1 (x, n) = 1, niin ja saamme lim inf n ρ (x, n) + lim sup ρ S 1 (x, n) = 1, n (3) lim inf n ρ (x, n) 1 λ(s 1 ) = λ( ). Väite seuraa epäyhtälöistä () ja (3). Itse asiassa edellä tehty todistus käyttää luvusta ainoastaan sitä ominaisuutta, että log 10 on irrationaaliluku. Sama pätee kaikille luonnollisille luvuille, jotka eivät ole muotoa 10 m jollain m N. Seuraus 7.4. Olkoon b N, b ja oletetaan, että b ei ole luvun 10 monikerta. Tällöin #{m N [0, n] : luvun b n ensimmäinen numero on k} lim = log n n 10 (k) log 10 (k 1). Todistus. Yhdistä Lauseen 7.3 yleistys epäyhtälöparin (1) kanssa. Lauseen 7.3 väite yleistyy välien karakterististen funktioiden avulla: Lause 7.5. Olkoon α R Q. Kaikille Riemann-integroituville funktioille φ: S 1 R pätee 1 n lim φ(r n n n α(x)) = φ(s)ds. S 1 i=1 Todistus. Olkoon 1 A joukon A karakteristinen funktio eli indikaattorifunktio, joka saa arvon 1 joukossa A ja arvon 0 sen komplementissa. Ehto Rα(x) k on yhtäpitävä ehdon 1 (Rα(x)) k = 1 kanssa. Siispä Lauseen 7.3 väite on 1 lim n n n 1 (Rα(x)) n = 1 (s)ds. S 1 i=1 Funktion φ Riemann-integraali määritellään muotoa N a k 1 k k=1 olevien porrasfunktioiden avulla, joille väite pätee lineaarisuuden nojalla. Yksityiskohtainen todistus esitetään esimerkiksi lähteessä [HK, Thm. 4.1.15]. 8
8. Dynaamisten systeemien parametrisoituja perheitä. Tässä luvussa tarkastelemme esimerkkien avulla, miten pienet tai hieman suuremmatkin muutokset dynaamisessa systeemissä muuttavat systeemin luonnetta. Samalla tutustumme joihinkin reaalilukujen joukon dynaamisten systeemien erityisominaisuuksiin. Määrittelemme aluksi ratojen asymptoottista käyttäytymistä kuvaavia käsitteitä. Olkoon f : X X dynaaminen systeemi. Piste x on positiivisesti (tai eteenpäin) asymptoottinen pisteen p kanssa, jos d(f n (x), f n (p)) 0, kun n + ja jos f on homeomorfismi, niin x on negatiivisesti (tai taaksepäin) asymptoottinen pisteen p kanssa, jos d(f n (x), f n (p)) 0, kun n. Pisteen p kanssa positiivisesti asymptoottiset pisteet muodostavat pisteen p vakaan joukon W s (p) = W s f (p) ja negatiivisesti asymptoottiset pisteet muodostavat pisteen p epävakaan joukon W u (p) = W u f (p). Propositio 8.1. Olkoon I R on avoin väli ja olkoon x 0 I funktion g C 1 (I, R) kiintopiste. Jos g (x 0 ) < 1, niin on avoin g-invariantti väli U I, joka sisältää pisteen x 0 siten, että pisteet F k (x) lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella kaikille x U. Erityisesti U W s (x 0 ). Puoleensavetävän kiintopisteen x 0 vakaa joukko on avoin. Todistus. Harjoitus. Avoimmuus seuraa derivaatan jatkuvuudesta. Propositio 8.1 yleistyy moniulotteiseen tilanteeseen oleellisesti samalla todistuksella. Olkoon seuraavassa Dg kuvauksen g : U U differentiaali. Propositio 8.. Olkoon V R n on avoin joukko ja olkoon x 0 V kuvauksen g C 1 (U, U) kiintopiste. Jos Dg(x 0 ) < 1, niin on g-invariantti avoin joukko U V, joka sisältää pisteen x 0 siten, että pisteet g k (x) lähestyvät pistettä x 0 eksponentiaalisella nopeudella kaikille x U. Erityisesti U W s (x 0 ). Puoleensavetävän kiintopisteen x 0 vakaa joukko on avoin. Esimerkki 8.3. (a) Jos f on kutistava, niin kaikki pisteet ovat positiivisesti asymptoottisia yksikäsitteisen kiintopisteen kanssa. (b) Olkoon L: R R, Lx = (x 1, 1 x ). Kaikki pisteet x R, joille x 1 0 ovat positiivisesti asymptoottisia pisteen (x 1, 0) kanssa: Vastaavasti, jos x 0, niin W s L(x) = {y R : y 1 = x 1 }. W u L(x) = {y R : y = x }. Jos x 0 on kuvauksen f C 1 (I, I) p-jaksollinen piste, niin (f p ) (x 0 ) = x O + f (x) f (x) on vakio kaikille jaksollisen radan pisteille. Jos x 0 on kuvauksen f p puoleensavetävä kiintopiste, niin sama pätee kaikille radan pisteille. Tällöin pisteen x 0 rata on puoleensavetävä rata. Olkoon I R väli. Kuvauksen f : I I dynamiikkaa on joskus hyödyllistä havainnollistaa graafisella analyysilla: (1) Piirretään samaan kuvaan tarkasteltavan funktion ja identtisen funktion kuvaajat. () Valitaan piste x I. (3) Piirretään pystysuora jana [(x, x), (x, f(x))] I I. 9