Luento 15: Mekaaniset aallot

Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot

Ajankohtaista

Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot

Johdanto Tarkastellaan mekaanista aaltoliikettä (wave motion) Erityisesti tarkastellaan poikittaista aaltoliiketta Tutkitaan kahden tai useamman aallon interferenssiä Mekaanisten aaltojen lisäksi muita yleisiä aaltoja sähkömagneettiset aallot (electromagnetic waves) ja aineaallot (matter waves)! kvanttimekaniikka Tutustutaan lopuksi ääniaaltoihin esimerkkinä mekaanisista aalloista

Pitkittäinen ja poikittainen aaltoliike Mekaaninen aalto syntyy, kun systeemiä poikkeutetaan tasapainoasemastaan Jos häiriö kulkeutuu systeemissä materiaalin eli väliaineen (medium) välityksellä, kyseessä aaltopulssi (wave pulse) Poikittainen aaltoliike (transverse) Väliaineen osaset siirtyvät kohtisuoraan aaltoliikkeen etenemissuuntaan Pitkittäinen aaltoliike (longitudinal) Liike yhdensuuntaista aaltoliikkeen etenemisen kanssa Aaltoliike voi myös olla pitkittäisen ja poikittaisen aaltoliikkeen superpositio

Pitkittäinen ja poikittainen aaltoliike

Aallon eteneminen Väliaineessa vaikuttaa voimia, jotka pyrkivät palauttamaan systeemin tasapainotilaan Mekaanisen aallon synnyttämiseksi väliaine on poikkeutettava tasapainoasemastaan Mekaaninen aalto etenee kussakin systeemissä tietyllä nopeudella Aallon etenemisnopeus Väliaine itse ei liiku, vaan sen osaset liikkuvat tasapainoasemansa ympärillä Systeemiin tuotu energia etenee aaltoliikkeen mukana

Periodinen aalto Heilutetaan langan päätä jaksollisesti Jokainen langan piste liikkuu myös jaksollisesti Tietty aallon vaihe toistuu väliaineessa säännöllisin välimatkoin = Aallonpituus Periodinen aalto =) vakio etenemisnopeus v =) T = 1 f = v =) v = f x

Aallon etenemisnopeus

Etenemisnopeus ja aallonpituus Useimmiten aallon nopeus riippuu vain systeemin ominaisuuksista Kaikki taajuudet etenevät samalla nopeudella Jokaista taajuutta vastaa aallonpituus = v f

Aaltofunktio = Antaa mekaanisen systeemin jokaisen osan paikan kaikkina ajanhetkinä Tarkastellaan langassa eteneviä sinimuotoisia aaltoja Langan yksittäisen osan liike harmonista värähdysliikettä Olkoon aallon etenemissuunta x-akselin suunta Värähdysliike y-akselin suuntaista! Kukin langan piste y = y(x, t)

Harmoninen aalto Jos langan toinen pää (x = 0) on harmonisessa liikkeessä Ajan hetkellä t = 0 : y(0, 0) =0 Vaihe etenee nopeudella v +x-suuntaan y(x = 0, t) =A sin!t Ajan hetkellä t = x/v pisteen x täytyy olla samassa vaiheessa Aaltofunktio on siis y(x, t) =A sin "! t!# x v! Tämä aaltofunktio toteutuu vain alkuehdolla y(0, 0) =0

Aallon vaihetekijä Muiden alkuehtojen tapauksessa aaltofunktioon tarvitsee lisätä vaihetekijä Yksinkertaisuuden vuoksi, oletetaan = 0 Käyttäen hyväksi etenemisnopeuden yhteyttä taajuuteen apple f y(x, t) =A sin 2 ft v x = A sin apple 2 t T x

Aaltoluku Määritellään suure aaltoluku (wave number) k = 2 =) v = f Nyt aaltofunktio voidaan kirjoittaa muotoon =! 2 2 k =! k y(x, t) =A sin(!t kx) Aaltofunktion kuvaaja voidaan esittää joko ty- tai xy-koordinaatistossa ty-kuvaaja esittää yhden pisteen y liikettä ajan funktiona xy-kuvaaja esittää koko systeemin asemaa tietyllä ajan hetkellä t

Vaihenopeus Jos aalto etenee negatiivisen x-akselin suuntaan apple t x y(x, t) =A sin 2 = A sin (!t + kx) T!t kx kuvaa aallon vaihetta Seurataan erästä vaihetta =!t kx = vakio, joka kuvaa positiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa Vaiheen etenemisnopeus v p = d /dt =! k dx dt = 0 =) v = dx dt =! k = Vaihenopeus (phase velocity) tai aallon etenemisnopeus

Pisteen nopeus ja kiihtyvyys Minkä tahansa pisteen x nopeus ajan hetkellä t saadaan derivoimalla aaltofunktiota ajan suhteen Aaltofunktion y(x, t) =A sin[!t v y (x, t) = kx] aikaderivaatta @y(x, t) @t =!A cos[!t kx] Vastaavasti saadaan pisteen x kiihtyvyys toisen derivaatan kautta a y = @v y(x, t) @t = @2 y(x, t) @t 2 =! 2 A sin(!t kx)

Aaltofunktion osittaisderivaatat aaltoyhtälö Osittaisderivoitaessa aaltofunktiota paikan suhteen saadaan @y(x, t) @x = ka cos(!t kx) Aaltofunktion toinen derivaatta paikan suhteen @ 2 y(x, t) @x 2 = k 2 A sin(!t kx) = k 2 y(x, t)

Aaltoyhtälön johto Yhdistetään edelliset tulokset Aikaisemmin saatiin tulos v =!/k @ 2 y(x, t) = @x 2 k 2 y(x, t) = k 2 @ 2 y(x, t)! 2 @t 2 =) @2 y(x, t) = 1 @ 2 y(x, t) @x 2 v 2 @t 2 Toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö (partial differential equation) Aaltofunktion toteutettava aaltoyhtälö riippumatta aaltoliikkeen suunnasta Myös muutkin etenevät aallot kuin sinimuotoiset toteuttavat aaltoyhtälön

Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kaksi erilaista narua on kytketty päistään yhteen muodostaen pitkän narun. Heilautat narun toista päätä, jolloin aalto lähtee kulkemaan narua pitkin. Mitä tapahtuu aallon saavuttaessa narujen liitoskohdan? 1. Taajuus muuttuu 2. Jaksonaika muuttuu 3. Etenemisnopeus muuttuu 4. Aallonpituus muuttuu

Poikittainen aaltoliike Aaltoyhtälö kertoo pulssin käyttäytymisen materiaalissa, mutta ei suoranaisesti sitä miten pulssin nopeus määräytyy materiaalin ominaisuuksista Tarkastellaan köydessä etenevää poikittaista aaltoliikettä, kun köysi on kiinnitetty toisesta päästään Johdetaan aallon etenemisnopeudelle lauseke Toista päätä vedetään vakiovoimalla F köyden suuntaisesti Köysi tasapainossa, mutta jännityksessä F Ajanhetkellä t = 0 köyden päätä poikkeutetaan voimalla F y poikittaiseen suuntaan

Poikittainen impulssi Voima F y aiheuttaa aikaan t mennessä poikittaisen impulssin J y = F y t Alkuperäinen häiriö etenee köydessä vakionopeudella! Liikkeessä oleva massa kasvaa lineaarisesti ajan funktiona Systeemi levossa aluksi p i = 0 ja J y = p y J y = p y = p f p i = p f = mv y Nopeuden v y täytyy olla vakio koska m = µvt µ on köyden pituusmassa ja vt alkuperäisen häiriön kulkema matka

Liikemäärän muutos Köysivoima aina köyden suuntainen =) köysivoiman komponenttien suhde sama kuin alkuperäisen häiriön x- ja y-suuntaisten etenemien suhde Merkitään yhtäsuuriksi tan = F y F = v yt vt =) J y = F y t = F v y v t ja =) F y = F v y v p y =(µvt)v y F v y v t =(µvt)v y =) v 2 = F µ =) v = Pätee kaikentyyppisille poikittaisen aaltoliikkeen aaltomuodoille s F µ Aallon nopeus riippuu vain köyden jännityksestä ja pituusmassasta

Yleispätevämpi johto Köydessä etenevä poikittainen impulssi Nyt ei oleteta aallon muodosta mitään Köyden pieni osa (pituus dx), toisessa päässä voima F 1 ja toisessa F 2 X F y = F 1y + F 2y = ma y

Yleispätevämpi johto Osan massa m = µdx, kiihtyvyys a y = @ 2 y/@t 2 Voiman F 1 y-komponentti sin = F 1y F tan = @y @x x Oletetaan että pieni = värähtelyn amplitudi pieni aallonpituuteen nähden Vastaavasti voiman F 2 y-komponentti sin 0 = F 2y @y F tan 0 = @x x+dx

Elementin liikeyhtälö Sijoitetaan edelliset elementin liikeyhtälöön apple @y @y F @x @x x x+dx = µdx @2 y @t 2 Jaetaan dx toiselle puolelle! osittaisderivaatta x:n suhteen @y @x x+dx dx @y @x x = @2 y @x = µ @ 2 y 2 F @t = 1 @ 2 y 2 v 2 @t 2 Johdettiin aaltoyhtälö olettamatta mitään aallon funktiomuodosta Aallon nopeus v = p F/µ

Keskustelutehtävä Tehtävänanto Eräs naru on jännityksessä F. Kun sen toista päätä poikkeutetaan sopivasti, muodostuu yksittäinen pulssi, joka kulkeutuu narun läpi. Väite: pulssi kuljettaa sekä energiaa että liikemäärää. Miksi? Pohdi parin kanssa ja vastatkaa Presemoon.

Energian eteneminen Mekaanisen aaltoliikkeen aikaansaavan voiman tehtävä työtä Jokainen väliaineen osa kohdistaa voiman viereiseen osaan, tehden siihen työtä Näin aaltoliike kuljettaa energiaa Tarkastellaan köyttä, jossa etenee poikittainen aaltoliike oikealle Köyden kohdassa x köyden kaltevuus @y/@x Kohtaan kohdistuu vasemmalta köysivoima Voiman oltava köyden suuntainen Kaltevuuden oltava voiman komponenttien avulla F y /F

Hetkellinen teho Merkitään kaltevuuden lausekkeet yhtäsuuriksi @y @x = F y F =) F y(x, t) = F @y @x kaikkialla kaikilla ajanhetkillä Piste x liikkuu y-suunnassa =) F y vaikuttaa liikkeen suunnassa = Tekee työtä ja siirtää energiaa tähän pisteeseen Hetkellinen teho P(x, t) =F y (x, t)v y (x, t) = F @y(x, t) @y(x, t) @x @t

Teho sinimuotoiselle aallolle Edellinen johto pätee mielivaltaiselle etenevälle aaltomuodolle Esimerkiksi sinimuotoinen aalto Hetkellinen teho y(x, t) =A sin(!t kx) @y(x, t) = ka cos(!t kx) @x @y(x, t) =!A cos(!t kx) @t P(x, t) =Fk!A 2 cos 2 (!t Yhtälöillä k =!/v ja v = p F/µ saadaan teho kx) P(x, t) = p µf! 2 A 2 cos 2 (!t kx)

Keskimääräinen teho Tehon maksimiarvo P max = p µf! 2 A 2 cos 2 -funktion keskiarvo yli yhden jakson on tasan 1 2 edellisviikon laskuharjoitus! P ave = 1 2 p µf! 2 A 2

Aallon heijastuminen Kun aalto osuu väliaineen rajapintaan, osa siitä heijastuu takaisin Tarkastellaan poikittaista aaltoa, joka etenee jousessa Jousen toinen pää kiinnitetty seinään Jousi kohdistaa seinään voiman Kiinnityskohta ei liiku Seinä kohdistaa jouseen yhtä suuren vastavoiman Aalto heijastuu takaisin tulosuuntaansa Heijastuneen aallon poikkeama vastakkaissuuntainen tulevaan nähden (= vaihesiirto)

Reunaehdot Jos jousen pää onkin vapaa! aalto pystyy liikuttamaan sitä Vastavoimaa ei synny Jousen pää saa potentiaalienergiaa, joka muuntuu toiseen suuntaan eteneväksi aalloksi Heijastuksessa ei vaihesiirtoa

Superpositioperiaate Jousen poikkeama voidaan konstruoida laskemalla yhteen molemmat pulssit Esimerkki superpositioperiaatteesta (principle of superposition) Matemaattinen seuraus siitä että aaltoyhtälö on lineaarinen differentiaaliyhtälö = Jos kaksi funktiota erikseen toteuttavat aaltoyhtälön, myös niiden summa toteuttaa sen

Konseptitesti 2 Tehtävänanto Kaksi muodoltaan identtistä, mutta amplitudiltaan vastakkaista pulssia (=yksittäinen aallonhuippu) liikkuvat vastakkaisiin suuntiin jännitetyssä langassa interferoiden destruktiivisesti. Mitä tapahtuu? 1. Eräällä ajanhetkellä lanka on täysin suora 2. Kun pulssit interferoivat, niiden energia on hetkellisesti nolla 3. Langasta löytyy piste joka on täysin paikallaan kaikilla ajanhetkillä 4. Langasta löytyy useita pisteitä jotka ovat täysin paikallaan kaikilla ajanhetkillä

Seisova aaltoliike Aalto ja sen heijastuksen superpositio muodostavat jouseen kohtia jotka värähtelevät (kupu, antinode) ja kohtia jotka eivät liiku ollenkaan (solmu, node) Superpositioperiaatteen avulla voidaan analysoida kuinka kuvut ja solmut muodostuvat Solmujen kohdalla tapahtuu destruktiivinen interferenssi Kupujen kohdalla konstruktiivinen interferenssi

Poikittainen seisova aalto Olkoot alkuperäinen ja heijastunut aalto y 1 (x, t) =A sin(!t + kx) y 2 (x, t) = A sin(!t kx) Superpositioperiaatteen mukaan 1 y(x, t) =A [sin(!t + kx) h sin(!t kx)] = i A sin!t cos kx + cos!t sin kx sin!t cos kx + cos!t sin kx = (A sw sin kx) cos!t Jokainen piste värähtelee kuten harmoninen oskillaattori Kerroin A sw sin kx ilmaisee harmonisen värähtelyn amplitudin paikan funktiona 1 sin( ± )=sin cos ± cos sin

Seisovan aallon taajuudet Solmukohtien paikat sin kx = 0 =) kx = n, n = 0, 1, 2,... x = n k = n 2 Jousella (pituus L), kiinnitetty molemmista päistään, pitää olla päissä solmukohta Koska v = f =) L = n 2 =) n = 2L n =) f n = v n = n v 2L = nf 1

Perustaajuus ja harmoniset Taajuus f 1 = v/2l on perustaajuus (fundamental frequency) Muut taajuudet f n perustaajuuden harmonisia (harmonics) Aaltofunktio on siten y(x, t) =A sin k n x cos! n t = A sin 2 x n cos 2 f n t Jousen perustaajuus voidaan myös esittää jännitysvoiman avulla s s F v = µ =) f 1 = 1 F 2L µ

Normaalimoodit Normaalimoodi (normal mode) Liike, jossa systeemin kaikki osaset värähtelevät samalla taajuudella Jousen alkutila määrää jouseen virittyvät normaalimoodit = Kuinka värähtely saadaan aikaan Soittimien äänen sävy perustuu perustaajuudeen ja harmonisten ylä-äänien (overtones) erilaisiin suhteisiin