MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot 3 Diskreetti Fourier-muunnos 4 Fourier-sarjat eliöintegroituvat jaksolliset funktiot G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 2 / 3
Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen jaksottoman signaalin muunnos: ŝ(ν) = e i2πνt s(t) dt, ν. Jaksollisen jatkuva-aikaisen signaalin muunnos (kun jakso on 1): ŝ(k) = 1 e i2πkt s(t) dt, k Z. Diskreetti Fourier-muunnos (diskreettiaikainen jaksollinen signaali): ŝ(m) = 1 j= mj i2π e s(j), m Z. Diskreettiaikaisen ei-jaksollisen signaalin Fourier-muunnos: ŝ(ν) = j Z e i2πνj s(j). Fourier-muunnos on lineaarinen, eli summan muunnos on muunnosten summa ja jos signaali kerrotaan luvulla niin muunnoskin tulee kerrotuksi samalla luvulla. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 3 / 3 Eksponenttifunktio ja Eulerin kaava Eksponenttifunktion määritelmäksi voidaan ottaa exp(z) = e z = j= z n n!, z C ja merkinnän e z perusteluna on kaava e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. Vertaamalla sin:n ja cos:n sarjakehitelmiin saadaan Eulerin kaava e it = cos(t) + i sin(t), missä siis i on imaginaariyksikkö s.e. i i = 1. Erityisesti pätee e it = 1, ja e i2πk = 1, kun k Z. Kompleksiluvun z = a + ib kompleksikonjugaatti z on z = a ib joten esim. e it = e it. Kompleksikonjugointi on lineaarinen ja multiplikatiivinen joten pätee esim. e i2πνt s(t) dt = e i2πνt s(t) dt G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 4 / 3
Fourier-muunnos Jos s(t) dt < ja s on mitallinen eli jatkuvien funktioiden raja-arvo melkein kaikkialla eli s L 1 () niin ŝ(ν) = F(s)(ν) = Jos t on aika niin ν on taajuus! e i2πtν s(t) dt, ν Fourier-käänteismuunnos s(t) = F 1 (ŝ)(t) = e i2πνt ŝ(ν) dν = F ( ŝ ) ( t) ν = ω = F ( ŝ( ω) ) (t). Kuten Fourier-muunnoksen määritelmässä ongelmana tässä (todistamisen lisäksi) on että jos ŝ(ν) dν = (niin kuin usein käy) ei ole heti selvää mitä integraalilla oikein tarkoitetaan mutta sopivilla määritelmillä tähänkin ongelmaan löytyy hyviä ratkaisuja G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 5 / 3 Translaatiot, modulaatiot ja dilaatiot Jos s L 1 (), p ja a niin g(t) = s(t p) ĝ(ν) = e i2πνp ŝ(ν), h(t) = e i2πpt s(t) ĥ(ν) = ŝ(ν p), k(t) = s(at) k(ν) = 1 ( ν ). a ŝ a Oletus s(t) dt < ei ole tässä yhteydessä oleellinen muulla tavalla kuin että Fourier-muunnos on toistaiseksi määritelty väin tällaisille funktioille! Miksi? ĝ(ν) = = e i2πνt s(t p) dt t = p = τ e i2πντ e i2πνp s(τ) dτ = e i2πνp ŝ(ν). e i2πν(τ+p) s(τ) dτ G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 6 / 3
Translaatiot, modulaatiot ja dilaatiot, jatk. ĥ(ν) = ˆk(ν) = Huom! = 1 a e i2πνt e i2πpt s(t) dt = e i2πνt s(at) dt at = τ, dt = 1 a = dτ e i2π(ν/a)τ s(τ) dτ = 1 a ŝ ( ν a e i2π(ν p)t s(t) dt = ŝ(ν p). 1 a ). e i2πντ/a s(τ) dτ Jos s L 1 () niin ŝ on jatkuva ja lim ν ŝ(ν) = mutta jokainen jatkuva funktio jonka raja-arvo äärettömyydessä on ei ole integroituvan funktion Fourier-muunnos. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 7 / 3 Fourier-muunnos ja derivaatta Jos D on derivointioperaattori ( d dν tai d dt ) niin D(F(s))(ν) = F(( i2πt)s(t))(ν) ja F(Ds)(ν) = i2πνf(s)(ν). Miksi? Yllä olevat kaavat pätevät, sopivin tulkinnoin, hyvin yleisesti ja jos esim. (1 + t )s(t) L 1 () niin voidaan derivoida integraalin sisäpuolella jolloin saadaan D(F(s))(ν) = d dν e i2πνt s(t) dt = e i2πνt ( i2πt)s(t) dt. Samoin jos esim. s ja Ds L 1 () ja s(t) = s() + t Ds(u) du saadaan osittaisintegroinnilla F(Ds)(ν) = / e i2πνt s(t) ( i2πν)e i2πνt s(t) dt = i2πνf(s)(ν). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 8 / 3
opeasti vähenevät funktiot S() = { s : C : s C (), sup t k s (m) (t) <, k, m }. t S() sisältää siis kaikki äärettömän monta kertaa derivoituvat funktiot, joiden kaikki derivaatat suppenevat kohti nopeammin kuin jokainen muotoa t k oleva funktio kun t ja kaikki tyyppiä t k s (m) (t) olevat funktiot ovat myös integroituvia. Esimerkkinä kelpaa hyvin funktio h (t) = e πt2. Fourier-muunnos ja nopeasti vähenevät funktiot Fourier-muunnos on bijektio: S() S(), eli jos s S() niin ŝ S() ja jos q S() niin on olemassa täsmälleen yksi s S() siten, että q = ŝ. Lisäksi pätee (i2πν) k D m (F(s))(ν) = F ( D k( ( i2πt) m s(t) )) (ν) kaikilla k ja m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 9 / 3 Konvoluutio Jos g ja h L 1 () niin g h L 1 () ja (g h)(t) dt g(t) dt h(t) dt missä (g h)(t) = g(t u)h(u) du. ja erityisesti pätee Approksimointi konvoluutioilla f g(ν) = ˆf (ν)ĝ(ν). Jos p L 1 (), p(t) dt = 1, p a(t) = ap(at) ja s L 1 () niin lim s(t) (p a s)(t) dt =, a ja jos lisäksi lim t tp(t) = ja s on jatkuva pisteessä t niin lim (p a s)(t) = s(t). a G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3
Kertolaskukaava Jos g ja h L 1 () niin ĝ(ν)h(ν) dν = g(t)ĥ(t) dt. Miksi? Integroimisjärjestyksen vaihdolla saadaan ( ) ĝ(ν)h(ν) dν = e i2πνt g(t) dt h(ν) dν ( ) ( ) = e i2πνt g(t)h(ν) dt dν = e i2πνt g(t)h(ν) dν dt ( ) = g(t) e i2πνt h(ν) dν dt = g(t)ĥ(t) dt. Kertolaskukaava, erikoistapaus Jos s ja p L 1 () niin ei2πνt p( ν)ŝ(ν) dν = (ˆp s)(t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 11 / 3 Fourier-käänteismuunnos I Jos s L 1 () niin lim ɛ s(t) e i2πνt ŝ(ν)e ɛν2 dν dt =. ja s(t) = lim e i2πνt ŝ(ν)e ɛν2 dν ɛ kaikissa pisteissä t missä s on jatkuva. Fourier-käänteismuunnos II Jos s L 1 () ja ŝ L 1 () niin s(t) = e i2πνt ŝ(ν) dν, t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 12 / 3
eliöintegroituvat funktiot Jos s : C on mitallinen ja s(t) 2 dt < niin s L 2 (). Pätee S() L 2 () mutta L 1 () L 2 () ja L 2 () L 1 (). Monissa sovelluksissa s(t) 2 dt < on signaalin energia tai ainakin verrannollinen energiaan. Merkitään s L 2 () = ( s(t) 2 dt ) 1 2. Fourier-muunnos ja L 2 () I Jos g ja h S() niin g(t)h(t) dt = ĝ(ν)ĥ(ν) dν. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 13 / 3 Fourier-muunnos ja L 2 () II Jos s L 2 () niin on olemassa funktio ŝ L 2 () siten, että jos jono (s n ) n=1, s n S() kun n 1 on sellainen, että lim n s n s L 2 () = niin lim n ŝ n ŝ L 2 () =. Lisäksi pätee s L 2 () = ŝ L 2 () eli s(t) 2 dt = ŝ(ν) 2 dν. ja jos g ja h L 2 () niin g(t)h(t) dt = ĝ(ν)ĥ(ν) dν. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 14 / 3
Huom! Jos s L 1 () L 2 () niin ŝ tulee määritellyksi kahdella eri tavalla, toisaalta suoraan integraalina koska f L 1 () ja toisaalta raja-arvona lim n ŝ n, missä s n S(), mutta nämä määritelmät antavat saman tuloksen. Jos s L 2 () niin pätee myös lim T T ŝ(ν) T e i2πνt s(t) dt 2 dν =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 15 / 3 Diskreetti Fourier-muunnos Jos on positiivinen kokonaisluku niin lukujen s(k), k =, 1,..., 1 diskreetti Fourier-muunnos on F (s)(m) = ŝ(m) = 1 j= e i2πmj s(j), m Z. Huom! Diskreetti Fourier-muunnos määritellään usein kaavoilla 1 1 i2πmj 1 j= e s(j) tai 1 i2πmj j= e s(j). Valittu määritelmä vaikuttaa vain siihen missä kohdissa muissa kaavoissa luku esiintyy. Koska e i2πj = 1 kun j on kokonaisluku, niin Fourier-muunnos ŝ on jaksollinen jaksolla, eli ŝ(m + ) = ŝ(m). On hyödyllistä olettaa, että myös luvut s(j), j =, 1,..., 1 ovat osa jaksollista jonoa s(j), j Z missä s(j + ) = s(j) kaikilla j. Silloin diskreetti Fourier-muunnos voidaan laskea myös kaavalla ŝ(m) = j 2 j=j1 e i2πmj s(j) missä j 2 j 1 = 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 16 / 3
Diskreetin Fourier-muunnoksen käänteismuunnos F on bijektio -jaksollisten jonojen välillä ja s(m) = (F 1 (ŝ))(m) = 1 = 1 1 j= 1 j= e i2πmj e i2πmj ŝ(j) ŝ( m) = 1 1 j= e i2πmj ŝ(mod( j, )) eli F 1 = 1 F = 1 F missä (ŝ)(m) = ŝ( m). FFT FFT on algoritmi, jolla diskreetti Fourier-muunnos lasketaan käyttäen c log() laskutoimitusta eikä c 2 niin kuin suoraviivainen lasku edellyttäisi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 17 / 3 Fourier-integraalin numeerinen laskeminen Olkoon s reaaliakselilla määritelty funktio josta tunnetaan arvot pisteissä t + j t, j =, 1,..., 1 (missä oletetaan, että t > ). Jos nyt p on sellainen :llä funktio, että p() = 1 ja p(j) = kun j Z \ {}, niin funktio toteuttaa ehdot g(t) = 1 j= ( ) t t j t s(t + j t)p, t g(j t + t ) = s(t + j t), j =,..., 1, ja g(t + j t) = kun j < tai j > 1. Usein on tarkoituksenmukaista vaatia, että myös p(t) dt = 1 ja joskus voi olla syytä luopua interpolointiehdosta p() = 1 ja p(j) = kun j. Perusidea on nyt, että s:n Fourier-muunnoksen sijasta lasketaan g:n Fourier-munnos ja erityisen hyvin se onnistuu pisteissä m ν, m Z missä t ν = 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 18 / 3
Fourier-integraalin numeerinen laskeminen, jatk. Jos nyt valitaan q(j) = s(t + j t), j =,..., 1, niin ĝ(m ν) = te i2πm νtˆq(m)ˆp ( m ), m Z. Funktion p valinnaksi on monta vaihtoehtoa: Lineaarinen interpolointi: p(t) = max{, 1 t } jolloin ) 2. ˆp(ν) = ( sin(πν) πν Kuutiosplini-interpolointi jolloin ˆp(ν) = sinc-interpolointi: p(t) = sin(πt) πt ˆp(ν) = kun ν > 1 2. ( ) 4 sin(πν) 1 πν. 1 2 3 sin(πν)2 jolloin ˆp(ν) = 1 kun ν < 1 2 ja G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 19 / 3 Miksi? Koska ν = 1 t niin ĝ(m ν) = = = 1 j= 1 j= q(j) e i2πm νt g(t) dt q(j) t ( ) t e i2πm νt t j t p t = te i2πm νt dt t = t + j t + τ t = e i2πm νt e i2πm νj t e i2πm ν t τ p(τ) dτ 1 j= e i2πmj q(j) e i2π m τ p(τ) dτ = te i2πm νtˆq(m)ˆp ( m ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 2 / 3
Jaksolliset funktiot, /Z jne Funktio s : C on jaksollinen jaksolla 1 jos s(t + 1) = s(t) kaikilla t. /Z on ekvivalenssiluokkien { t + n : n Z } muodostama joukko eli joukko missä pisteet t ja t + n on samaistettu kun n Z. Jokaista funktiota s : /Z C voidaan käsitellä jaksollisena funktiona s : C ja päinvastoin ja näin tässä tullaan tekemäänkin. Välillä [, 1) määritellystä funktiosta s saadaan jaksollinen funktio s(mod (t, 1)). Tästä seuraa, että joukko L p (/Z) missä joka sisältää kaikki jaksolliset (jaksolla 1) ja mitalliset funktiot s, joilla 1 s(t) p dt < missä 1 p < on sama kuin joukko L p ([, 1)), mutta huomaa, että jos s C(/Z) eli s on jatkuva ja jaksollinen niin s on jatkuva välillä [, 1] ja s() = s(1). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 21 / 3 Jaksollisen funktion Fourier-kertoimet Jos s L 1 (/Z) niin ŝ(k) = 1 e i2πkt s(t) dt, k Z. Huom! Jos s L 1 (/Z) niin funktioden s ja e i2πkt jaksollisuudesta seuraa, että Fourier-kertoimet saadaan myös kaavoilla ŝ(k) = 1 2 1 2 e i2πkt s(t) dt = 1 a a e i2πkt s(t) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 22 / 3
Jaksolliset funktiot jaksolla T Jos s:n jakso on T eli s(t + T ) = s(t) kaikilla t niin funktio g(t) = s(tt ) on jaksollinen jaksolla 1 ja muuttujan vaihdon jälkeen todetaan, että g:n (eli yhtä hyvin s:n) Fourier-kertoimiksi tulee 1 T T e i2πkt T s(t) dt. iemann-lebesguen lemma Jos s L 1 (/Z) niin ŝ(k) s L 1 (/Z), k Z ja lim ŝ(k) =. k G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 23 / 3 Huom! Fourier-analyysi perustuu tuloksiin, joiden mukaan k Z ŝ(k)ei2πkt on s(t) mutta ongelma on mitä summalla tarkoitetaan. Tietyin oletuksin ongelmia ei ole, muissa tapauksissa sen sijaan on valittava sopiva tulkinta tai sitten todistuksista tulee hyvin hankalia. Fourier-sarjan suppeneminen, I Jos s L 1 (/Z) on derivoituva pisteessä t tai jos pelkästään 1 2 1 2 1 t s(t + t ) s(t ) dt < niin lim,m k= M e i2πktŝ(k) = s(t ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 24 / 3
Konvoluutio Jos h ja h L 1 (/Z) niin g 1 h L 1 (/Z) missä (g 1 h)(t) = 1 g(t u)g(u) du = 1 f (u)g(t u) du, ja ĝ 1 h(k) = ĝ(k)ĥ(k), k Z. Tavallisesti kirjoitetaan g h eikä g 1 h jos on selvää minkälaisesta konvoluutiosta on kyse. Itseisesti suppenevat Fourier-sarjat Jos k Z a k < niin A(t) = k Z a ke i2πkt C(/Z) ja Â(k) = a k. Jos lisäksi s L 1 (/Z) niin (A 1 s)(t) = k Z a k ŝ(k)e i2πkt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 25 / 3 Erikoistapaus: Fejerin ydin ( ) 1 sin(πt) 2, t \ Z, F (t) = sin(πt), t Z, missä = 1, 2,.... { F (k) = max, k }, k Z. F C (/Z) ja F (t), t. 1 F (t) dt = 1. Jos s L 1 1 (/Z), niin lim (F 1 s)(t) s(t) dt = ja jos s C(/Z) niin lim sup t (F 1 s)(t) s(t) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 26 / 3
Fourier-sarjan suppeneminen II Jos s C(/Z) niin lim sup t ja jos s L 1 (/Z) niin 1 lim k= k= k Fourier-muunnos on injektio ŝ(k)ei2πkt s(t) =. k ŝ(k)ei2πkt s(t) dt =. Jos s L 1 (/Z) ja ŝ(k) = kaikilla n Z niin s(t) = melkien kaikilla t. Fourier-sarjan suppeneminen III Jos s L 1 (/Z) ja k Z ŝ(k) < niin s C(/Z) ja s(t) = k Z ŝ(k)e i2πkt, t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 27 / 3 Sisätulo L 2 (/Z):ssä Jos g ja h L 2 (/Z) niin f, g = 1 g(t)h(t) dt. L 2 (/Z) on Hilbert-avaruus Jos funktioden sijasta tarkastellaan ekvivalenssiluokkia eli g = h jos ja vain jos g(t) = h(t) melkein kaikilla t, niin silloin L 2 (/Z) on Hilbert-avaruus eli täydellinen (eli jokainen Cauchy-jono suppenee) sisätuloavaruus (ja siten samanlainen joukko kuin taso 2, jossa sisätulo on x, y = x y = x 1 y 1 + x 2 y 2, kun 2:n paikalle tulee ja :n paikalle C). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 28 / 3
Funktiot t e i2πkt muodostavat L 2 (/Z):n ortonormaalin kannan Jos märitellään e k (t) = e i2πkt niin ja jos s L 2 (/Z) niin e m, e k = { 1, m = k,, m k, ja s, e k = 1 s(t)e i2πkt dt = 1 s = s, e k e k = ŝ(k)e k. k Z k Z s(t)e i2πkt dt = ŝ(k), k Z, Jos g ja h L 2 (/Z) niin 1 g(t)h(t) dt = k Z ĝ(k)ĥ(k) ja erityisesti 1 s(t) 2 dt = k Z ŝ(k) 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 29 / 3 Fourier-sarjan suppeneminen IV Jos s L 2 (/Z) niin jokaisella ɛ > on olemassa äärellinen joukko I Z siten, että jos I J Z ja J on äärellinen niin 1 s(t) 2 ŝ(k)e i2πkt dt < ɛ. k J Toisin sanoen, sarja suppenee L 2 -mielessä ja kun lasketaan yhteen sarjan termit, järjestyksellä ei ole merkitystä, eli sarja on summautuva. Mutta sen sijaan sarja ei ole välttämättä itseisesti suppeneva. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 3 / 3