1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214 3 Diskreetti Fourier-muunnos 4 Fourier-sarjat eliöintegroituvat jaksolliset funktiot G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 1 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 2 / 3 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen jaksottoman signaalin muunnos: ŝ(ν e i2πνt s(t dt, ν Jaksollisen jatkuva-aikaisen signaalin muunnos (kun jakso on 1: ŝ(k 1 e i2πkt s(t dt, k Z Diskreetti Fourier-muunnos (diskreettiaikainen jaksollinen signaali: ŝ(m 1 j mj i2π e s(j, m Z Diskreettiaikaisen ei-jaksollisen signaalin Fourier-muunnos: ŝ(ν j Z e i2πνj s(j Fourier-muunnos on lineaarinen, eli summan muunnos on muunnosten summa ja jos signaali kerrotaan luvulla niin muunnoskin tulee kerrotuksi samalla luvulla G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 3 / 3 Eksponenttifunktio ja Eulerin kaava Eksponenttifunktion määritelmäksi voidaan ottaa exp(z e z j z n n!, z C ja merkinnän e z perusteluna on kaava e z 1+z 2 e z 1 e z 2 Vertaamalla sin:n ja cos:n sarjakehitelmiin saadaan Eulerin kaava e it cos(t + i sin(t, missä siis i on imaginaariyksikkö se i i 1 Erityisesti pätee e it 1, ja e i2πk 1, kun k Z Kompleksiluvun z a + ib kompleksikonjugaatti z on z a ib joten esim e it e it Kompleksikonjugointi on lineaarinen ja multiplikatiivinen joten pätee esim e i2πνt s(t dt e i2πνt s(t dt G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 4 / 3
Fourier-muunnos Jos s(t dt < ja s on mitallinen eli jatkuvien funktioiden raja-arvo melkein kaikkialla eli s L 1 ( niin ŝ(ν F(s(ν Jos t on aika niin ν on taajuus! Fourier-käänteismuunnos s(t F 1 (ŝ(t e i2πtν s(t dt, ν e i2πνt ŝ(ν dν F ( ŝ ( t ν ω F ( ŝ( ω (t Kuten Fourier-muunnoksen määritelmässä ongelmana tässä (todistamisen lisäksi on että jos ŝ(ν dν (niin kuin usein käy ei ole heti selvää mitä integraalilla oikein tarkoitetaan mutta sopivilla määritelmillä tähänkin ongelmaan löytyy hyviä ratkaisuja G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 5 / 3 Translaatiot, modulaatiot ja dilaatiot Jos s L 1 (, p ja a niin g(t s(t p ĝ(ν e i2πνp ŝ(ν, h(t e i2πpt s(t ĥ(ν ŝ(ν p, k(t s(at k(ν 1 ( ν a ŝ a Oletus s(t dt < ei ole tässä yhteydessä oleellinen muulla tavalla kuin että Fourier-muunnos on toistaiseksi määritelty väin tällaisille funktioille! Miksi? ĝ(ν e i2πνt s(t p dt t p τ e i2πντ e i2πνp s(τ dτ e i2πνp ŝ(ν e i2πν(τ+p s(τ dτ G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 6 / 3 Translaatiot, modulaatiot ja dilaatiot, jatk ĥ(ν ˆk(ν 1 a e i2πνt e i2πpt s(t dt e i2πνt s(at dt at τ, dt 1 a dτ 1 a e i2π(ν/aτ s(τ dτ 1 ( ν a ŝ a e i2π(ν pt s(t dt ŝ(ν p e i2πντ/a s(τ dτ Jos s L 1 ( niin ŝ on jatkuva ja ν ŝ(ν mutta jokainen jatkuva funktio jonka raja-arvo äärettömyydessä on ei ole integroituvan funktion Fourier-muunnos Fourier-muunnos ja derivaatta Jos D on derivointioperaattori ( d dν tai d dt niin ja D(F(s(ν F(( i2πts(t(ν F(Ds(ν i2πνf(s(ν Miksi? Yllä olevat kaavat pätevät, sopivin tulkinnoin, hyvin yleisesti ja jos esim (1 + t s(t L 1 ( niin voidaan derivoida integraalin sisäpuolella jolloin saadaan D(F(s(ν d dν e i2πνt s(t dt e i2πνt ( i2πts(t dt Samoin jos esim s ja Ds L 1 ( ja s(t s( + t Ds(u du saadaan osittaisintegroinnilla F(Ds(ν / e i2πνt s(t ( i2πνe i2πνt s(t dt i2πνf(s(ν G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 7 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 8 / 3
opeasti vähenevät funktiot S( { s : C : s C (, sup t k s (m (t <, k, m } t S( sisältää siis kaikki äärettömän monta kertaa derivoituvat funktiot, joiden kaikki derivaatat suppenevat kohti nopeammin kuin jokainen muotoa t k oleva funktio kun t ja kaikki tyyppiä t k s (m (t olevat funktiot ovat myös integroituvia Esimerkkinä kelpaa hyvin funktio h (t e πt2 Fourier-muunnos ja nopeasti vähenevät funktiot Fourier-muunnos on bijektio: S( S(, eli jos s S( niin ŝ S( ja jos q S( niin on olemassa täsmälleen yksi s S( siten, että q ŝ Lisäksi pätee (i2πν k D m (F(s(ν F ( D k( ( i2πt m s(t (ν kaikilla k ja m G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 9 / 3 Konvoluutio Jos g ja h L 1 ( niin g h L 1 ( ja (g h(t dt g(t dt h(t dt missä (g h(t g(t uh(u du ja erityisesti pätee Approksimointi konvoluutioilla f g(ν ˆf (νĝ(ν Jos p L 1 (, p(t dt 1, p a(t ap(at ja s L 1 ( niin a s(t (p a s(t dt, ja jos lisäksi t tp(t ja s on jatkuva pisteessä t niin (p a s(t s(t a G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 1 / 3 Kertolaskukaava Jos g ja h L 1 ( niin ĝ(νh(ν dν g(tĥ(t dt Miksi? Integroimisjärjestyksen vaihdolla saadaan ( ĝ(νh(ν dν e i2πνt g(t dt h(ν dν ( ( e i2πνt g(th(ν dt dν e i2πνt g(th(ν dν dt ( g(t e i2πνt h(ν dν dt g(tĥ(t dt Kertolaskukaava, erikoistapaus Jos s ja p L 1 ( niin ei2πνt p( νŝ(ν dν (ˆp s(t G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 11 / 3 Fourier-käänteismuunnos I Jos s L 1 ( niin ɛ s(t e i2πνt ŝ(νe ɛν2 dν dt ja s(t e i2πνt ŝ(νe ɛν2 dν ɛ kaikissa pisteissä t missä s on jatkuva Fourier-käänteismuunnos II Jos s L 1 ( ja ŝ L 1 ( niin s(t e i2πνt ŝ(ν dν, t G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 12 / 3
eliöintegroituvat funktiot Jos s : C on mitallinen ja s(t 2 dt < niin s L 2 ( Pätee S( L 2 ( mutta L 1 ( L 2 ( ja L 2 ( L 1 ( Monissa sovelluksissa s(t 2 dt < on signaalin energia tai ainakin verrannollinen energiaan Merkitään s L 2 ( ( s(t 2 dt 1 2 Fourier-muunnos ja L 2 ( I Jos g ja h S( niin g(th(t dt ĝ(νĥ(ν dν Fourier-muunnos ja L 2 ( II Jos s L 2 ( niin on olemassa funktio ŝ L 2 ( siten, että jos jono (s n n1, s n S( kun n 1 on sellainen, että n s n s L 2 ( niin n ŝ n ŝ L 2 ( Lisäksi pätee s L 2 ( ŝ L 2 ( eli s(t 2 dt ŝ(ν 2 dν ja jos g ja h L 2 ( niin g(th(t dt ĝ(νĥ(ν dν G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 13 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 14 / 3 Jos s L 1 ( L 2 ( niin ŝ tulee määritellyksi kahdella eri tavalla, toisaalta suoraan integraalina koska f L 1 ( ja toisaalta raja-arvona n ŝ n, missä s n S(, mutta nämä määritelmät antavat saman tuloksen Jos s L 2 ( niin pätee myös T T ŝ(ν e i2πνt s(t dt T 2 dν G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 15 / 3 Diskreetti Fourier-muunnos Jos on positiivinen kokonaisluku niin lukujen s(k, k, 1,, 1 diskreetti Fourier-muunnos on F (s(m ŝ(m 1 j e i2πmj s(j, m Z Diskreetti Fourier-muunnos määritellään usein kaavoilla 1 1 i2πmj 1 j e s(j tai 1 i2πmj j e s(j Valittu määritelmä vaikuttaa vain siihen missä kohdissa muissa kaavoissa luku esiintyy Koska e i2πj 1 kun j on kokonaisluku, niin Fourier-muunnos ŝ on jaksollinen jaksolla, eli ŝ(m + ŝ(m On hyödyllistä olettaa, että myös luvut s(j, j, 1,, 1 ovat osa jaksollista jonoa s(j, j Z missä s(j + s(j kaikilla j Silloin diskreetti Fourier-muunnos voidaan laskea myös kaavalla ŝ(m j 2 jj1 e i2πmj s(j missä j 2 j 1 1 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 16 / 3
Diskreetin Fourier-muunnoksen käänteismuunnos F on bijektio -jaksollisten jonojen välillä ja s(m (F 1 (ŝ(m 1 1 e i2πmj ŝ(j eli F 1 1 1 j j e i2πmj 1 1 ŝ( m j 1 F 1 F missä (ŝ(m ŝ( m e i2πmj ŝ(mod( j, FFT FFT on algoritmi, jolla diskreetti Fourier-muunnos lasketaan käyttäen c log( laskutoimitusta eikä c 2 niin kuin suoraviivainen lasku edellyttäisi Fourier-integraalin numeerinen laskeminen Olkoon s reaaliakselilla määritelty funktio josta tunnetaan arvot pisteissä t + j t, j, 1,, 1 (missä oletetaan, että t > Jos nyt p on sellainen :llä funktio, että p( 1 ja p(j kun j Z \ {}, niin funktio toteuttaa ehdot g(t 1 j ( t t j t s(t + j tp t, g(j t + t s(t + j t, j,, 1, ja g(t + j t kun j < tai j > 1 Usein on tarkoituksenmukaista vaatia, että myös p(t dt 1 ja joskus voi olla syytä luopua interpolointiehdosta p( 1 ja p(j kun j Perusidea on nyt, että s:n Fourier-muunnoksen sijasta lasketaan g:n Fourier-munnos ja erityisen hyvin se onnistuu pisteissä m ν, m Z missä t ν 1 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 17 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 18 / 3 Fourier-integraalin numeerinen laskeminen, jatk Jos nyt valitaan niin q(j s(t + j t, j,, 1, ĝ(m ν te i2πm νtˆq(mˆp ( m, m Z Funktion p valinnaksi on monta vaihtoehtoa: Lineaarinen interpolointi: p(t max{, 1 t } jolloin 2 ˆp(ν ( sin(πν πν Kuutiosplini-interpolointi jolloin ˆp(ν ( 4 sin(πν 1 πν 1 2 3 sin(πν2 sinc-interpolointi: p(t sin(πt πt jolloin ˆp(ν 1 kun ν < 1 2 ja ˆp(ν kun ν > 1 2 Miksi? Koska ν 1 t niin ĝ(m ν 1 j 1 j q(j e i2πm νt g(t dt q(j t ( t e i2πm νt t j t p t te i2πm νt dt t t + j t + τ t e i2πm νt e i2πm νj t e i2πm ν t τ p(τ dτ 1 j e i2πmj q(j e i2π m τ p(τ dτ te i2πm νtˆq(mˆp ( m G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 19 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 2 / 3
Jaksolliset funktiot, /Z jne Funktio s : C on jaksollinen jaksolla 1 jos s(t + 1 s(t kaikilla t /Z on ekvivalenssiluokkien { t + n : n Z } muodostama joukko eli joukko missä pisteet t ja t + n on samaistettu kun n Z Jokaista funktiota s : /Z C voidaan käsitellä jaksollisena funktiona s : C ja päinvastoin ja näin tässä tullaan tekemäänkin Välillä [, 1 määritellystä funktiosta s saadaan jaksollinen funktio s(mod (t, 1 Tästä seuraa, että joukko L p (/Z missä joka sisältää kaikki jaksolliset (jaksolla 1 ja mitalliset funktiot s, joilla 1 s(t p dt < missä 1 p < on sama kuin joukko L p ([, 1, mutta huomaa, että jos s C(/Z eli s on jatkuva ja jaksollinen niin s on jatkuva välillä [, 1] ja s( s(1 Jaksollisen funktion Fourier-kertoimet Jos s L 1 (/Z niin ŝ(k 1 e i2πkt s(t dt, k Z Jos s L 1 (/Z niin funktioden s ja e i2πkt jaksollisuudesta seuraa, että Fourier-kertoimet saadaan myös kaavoilla ŝ(k 1 2 1 2 e i2πkt s(t dt 1 a a e i2πkt s(t dt G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 21 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 22 / 3 Jaksolliset funktiot jaksolla T Jos s:n jakso on T eli s(t + T s(t kaikilla t niin funktio g(t s(tt on jaksollinen jaksolla 1 ja muuttujan vaihdon jälkeen todetaan, että g:n (eli yhtä hyvin s:n Fourier-kertoimiksi tulee 1 T T iemann-lebesguen lemma Jos s L 1 (/Z niin e i2πkt T s(t dt ŝ(k s L 1 (/Z, k Z ja ŝ(k k Fourier-analyysi perustuu tuloksiin, joiden mukaan k Z ŝ(kei2πkt on s(t mutta ongelma on mitä summalla tarkoitetaan Tietyin oletuksin ongelmia ei ole, muissa tapauksissa sen sijaan on valittava sopiva tulkinta tai sitten todistuksista tulee hyvin hankalia Fourier-sarjan suppeneminen, I Jos s L 1 (/Z on derivoituva pisteessä t tai jos pelkästään 1 2 1 2 1 t s(t + t s(t dt < niin,m k M e i2πktŝ(k s(t G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 23 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 24 / 3
Konvoluutio Jos h ja h L 1 (/Z niin g 1 h L 1 (/Z missä ja (g 1 h(t 1 g(t ug(u du 1 ĝ 1 h(k ĝ(kĥ(k, k Z f (ug(t u du, Tavallisesti kirjoitetaan g h eikä g 1 h jos on selvää minkälaisesta konvoluutiosta on kyse Itseisesti suppenevat Fourier-sarjat Jos k Z a k < niin A(t k Z a ke i2πkt C(/Z ja Â(k a k Jos lisäksi s L 1 (/Z niin Erikoistapaus: Fejerin ydin ( 1 sin(πt 2, t \ Z, F (t sin(πt, t Z, missä 1, 2, { F (k max, k }, k Z F C (/Z ja F (t, t 1 F (t dt 1 Jos s L 1 1 (/Z, niin (F 1 s(t s(t dt ja jos s C(/Z niin sup t (F 1 s(t s(t (A 1 s(t k Z a k ŝ(ke i2πkt G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 25 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 26 / 3 Fourier-sarjan suppeneminen II Jos s C(/Z niin sup t k ja jos s L 1 (/Z niin 1 k k k Fourier-muunnos on injektio ŝ(kei2πkt s(t ŝ(kei2πkt s(t dt Jos s L 1 (/Z ja ŝ(k kaikilla n Z niin s(t melkien kaikilla t Fourier-sarjan suppeneminen III Jos s L 1 (/Z ja k Z ŝ(k < niin s C(/Z ja s(t k Z ŝ(ke i2πkt, t Sisätulo L 2 (/Z:ssä Jos g ja h L 2 (/Z niin f, g L 2 (/Z on Hilbert-avaruus 1 g(th(t dt Jos funktioden sijasta tarkastellaan ekvivalenssiluokkia eli g h jos ja vain jos g(t h(t melkein kaikilla t, niin silloin L 2 (/Z on Hilbert-avaruus eli täydellinen (eli jokainen Cauchy-jono suppenee sisätuloavaruus (ja siten samanlainen joukko kuin taso 2, jossa sisätulo on x, y x y x 1 y 1 + x 2 y 2, kun 2:n paikalle tulee ja :n paikalle C G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 27 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 28 / 3
Funktiot t e i2πkt muodostavat L 2 (/Z:n ortonormaalin kannan Jos märitellään e k (t e i2πkt niin ja jos s L 2 (/Z niin ja s, e k 1 e m, e k s(te i2πkt dt s k Z 1 { 1, m k,, m k, s(te i2πkt dt ŝ(k, k Z, s, e k e k k Z ŝ(ke k Fourier-sarjan suppeneminen IV Jos s L 2 (/Z niin jokaisella ɛ > on olemassa äärellinen joukko I Z siten, että jos I J Z ja J on äärellinen niin 1 s(t 2 ŝ(ke i2πkt dt < ɛ k J Toisin sanoen, sarja suppenee L 2 -mielessä ja kun lasketaan yhteen sarjan termit, järjestyksellä ei ole merkitystä, eli sarja on summautuva Mutta sen sijaan sarja ei ole välttämättä itseisesti suppeneva Jos g ja h L 2 (/Z niin 1 g(th(t dt k Z ĝ(kĥ(k ja erityisesti 1 s(t 2 dt k Z ŝ(k 2 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 29 / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta 214 3 / 3