Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät

Samankaltaiset tiedostot
Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

Tenttiin valmentavia harjoituksia

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

1 Eksponenttifunktion määritelmä

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi

Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

Matematiikan tukikurssi

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Noora Nieminen. Hölderin epäyhtälö

Insinöörimatematiikka IA

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Matematiikan tukikurssi

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Tehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.

MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Solmu 3/ toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

Lasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1

Matematiikan tukikurssi

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

EX1 EX 2 EX =

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4

Aritmeettinen jono

Matematiikan tukikurssi

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

Matemaatiikan tukikurssi

Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi

Suppenemistestejä sarjoille

3 10 ei ole rationaaliluku.

1. Funktiot, lukujonot, raja-arvot, jatkuvuus

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

Eksponenttifunktio. Sanni Muotka. Matematiikan pro gradu

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Matematiikan peruskurssi 2

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

1 Peruslaskuvalmiudet

Kompleksilukujen alkeet

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

S Laskennallinen systeemibiologia

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan peruskurssi 2

Tilastollinen todennäköisyys

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Insinöörimatematiikka A

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

9 Lukumäärien laskemisesta

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Matematiikan tukikurssi

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

4.3 Signaalin autokorrelaatio

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu

Eräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.

Täydellisyysaksiooman kertaus

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Johdatus matematiikkaan

Transkriptio:

Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla. Samoi kokeissa pärjää sitä paremmi mitä eemmä äitä tehtäviä o itse harjoitellut. Koetehtävät ovat olleet aia harjoitustehtävie variaatioita. Harjoitustehtävät taas ovat käsitelleet pääosi) seuraavia aiheita:. Fuktiot eli kuvaukset): ijektiot, surjektiot ja bijektiot. Kääteisfuktiot. Määrittelyjoukot.. Relaatiot. 3. Iduktiotodistus. 4. Ratioaali- ja irratioaaliluvut. 5. Biomikaava. 6. Epäyhtälöt. Kolmioepäyhtälö. 7. Supremum ja ifimum. 8. Raja-arvot. Kuristusperiaate. 9. Jatkuvuus. Jatkuvie fuktioide omiaisuudet: e saavat suljetulla välillä maksimi ja miimi. 0. Potessifuktiot. Neperi luku e ja se esitys sarjaa.. Geometriset sarjat. Sarjoje suppeemie/hajaatumie. Majoratti/miorattiperiaate. Osamäärätesti. Itseie suppeemie.

Kaikkia äitä aihe-alueita ei tässä käydä läpi. Aloitamme algebralla, koska usei kokeessa käy ii, että ymmärtää tehtävä idea mutta oma laskutekie osaamie ei vaa riitä. Kaikissa yllä luetelluissa aiheissa hyötyy suuresti algebra osaamisesta. Tarvittavat laskutekiikat yhtälöide ja epäyhtälöide pyörittämisee oppii varsi opeasti, kuha jaksaa itse laskea äitä tehtäviä. Kokeessa o siis oleellista osata. Maipuloida lausekkeita kute 7 5 + 7 6. Maipuloida epäyhtälöitä kute x <. Tämä moistee tehtävissä käytetää kaikissa jokilaista algebraa: esimerkiksi iduktiotehtävissä otetaa yleesä yhteisiä tekijöitä ja raja-arvotehtävissä usei osoittaja ja imittäjä kerrotaa jollaki luvulla. Kiiitä jokaise tehtävä kohdalla huomiota käytettyihi tekiikoihi, sillä iide osaamie o kokeessa erityise oleellista. Fuktiot Yleesä helpoimpia fuktiotehtäviä o laajimpie mahdolliste määrittelyjoukkoje etsimie. Harjoitus. Fuktio määrittelyjoukot) Esitä seuraavie fuktioide laaji mahdollie määrittelyjoukko eli mahdollisimma suuri joukko A site, että f o fuktio A B jolleki maalijoukolle B): a) f x) = x b) f x) = /x c) f x) = x d) f x) = / x x + 5 e) f x) = x + 4 x + 4x + 4 f ) f x) = x + Usei tehtävää o todistaa tietty fuktio ijektioksi ja/tai surjektioksi. Jos fuktio o sekä ijektio, että surjektio, se o bijektio ja sillä o täte

kääteiskuvaus. Jatkotehtävää o yleesä löytää tämä kääteiskuvaus. Harjoitus. Ijektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat ijektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole ijektio. a) f x) = x, f : R R b) f x) = x, f : R + R c) f x) = x, f : [ 3, 3] R d) f x) = x, f : R + R e) f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Harjoitus.3 Surjektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat surjektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole surjektio. a) f x) = x, f : R R b) f x) = x, f : R R + c) f x) = x, f : R + R + d) e) f x) = x, f : R + R f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Ratkaisu: Fuktio o surjektio, jos jokaisella se maalijouko alkiolla y o joki alkio x lähtöjoukossa site että f x) = y. a) ei ole surjektio, sillä egatiivisilla alkiolla y ei ole alkiota x site että y = x. Se sijaa jokaisella ei-egatiivisella alkiolla y o joki alkio x eli alkio y) site että y = x. Täte b)-kohda fuktio o surjektio. Samoi c)-kohda fuktio. d)-kohda fuktio ei ole surjektio, koska sekää ei saa egatiivisia arvoja. Kohtie e ja f fuktiot ovat surjektioita. Harjoitus.4 Yhdistetyt kuvaukset) Muodosta yhdistetyt kuvaukset f g ja g f oleta, että määrittelyjoukot o rajattu site, että kyseiset kuvaukset ovat olemassa), ku: a) f x) = x 3, gx) = 5x b) f x) = x /3, gx) = x c) f x) = x + 6x +, gx) = x + d) f x) = x, gx) = /x 3

Ratkaisu: a) f g = f gx)) = f 5x) = 5x) 3 = 5x 3 g f = g f x)) = gx 3 ) = 5x 3 b) f g = f gx)) = f x) = x) /3 = x /6 g f = g f x)) = gx /3 ) = x /3 = x /6 c) f g = f gx)) = f x + ) = x + ) + 6x + ) + g f = g f x)) = gx + 6x + ) = x + 6x + ) + d) f g = f gx)) = f /x) = /x g f = g f x)) = gx) = /x Harjoitus.5 Kääteiskuvaukset) Osoita että seuraavilla fuktioilla f o kääteiskuvaus f x) todistamalla, että e ovat bijektioita eli ijektioita ja surjektioita). Etsi kyseie kääteiskuvaus. Tarkista että f f = x = f f eli että kyseiset yhdistetyt kuvaukset ovat idettisiä kuvauksia). a) b) c) f x) = x 3, f : R R f x) = x /3, f : R R f x) = /x, f : R \ {0} R d) f x) = x, f : R + R + e) f x) = x 3 + 0, f : R R Ratkaisu: Esitä tässä aioastaa kääteiskuvaukset. Bijektiivisyyde voi osoittaa todistamalla, että jokaisella y B o tasa yksi x A site, että f x) = y a) f x) = x /3 b) f x) = x 3 c) f x) = /x d) f x) = x e) f x) = x 0) /3 Harjoitus.6 Ijektiot) Etsi mahdollisimma suuret reaaliakseli välit A ja B site, että f x) = x + 6x o ijektio A:ssa ja B:ssä. 3 Iduktiotodistus Harjoitus 3. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N + 3 + 3 4 + 4 5 + + + ) = 4 +.

Harjoitus 3. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, + + 3 + + = + ). Harjoitus 3.3 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, < Harjoitus 3.4 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, + + 3 + + = + ) + ). 6 Harjoitus 3.5 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, + + 4 + 8 + + = Harjoitus 3.6 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, 4 Kolmioepäyhtälö 3 + 3 + 3 3 + + 3 = + ). 4 Harjoitus 4. Kolmioepäyhtälö) Kolmioepäyhtälö kertoo, että a + b a + b. Todista tämä avulla, että a b a c + b c Mitä tämä tarkoittaa ituitiivisesti, ku itseisarvo tulkitaa etäisyyteä? Harjoitus 4. Kolmioepäyhtälö) Osoita, että a + b + c a + b + c 5 Raja-arvoja Harjoitus 5. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x 3 ) x x Harjoitus 5. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x ) 8 x 3 x 9 5

Harjoitus 5.3 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x 4 ) 6 x x Harjoitus 5.4 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + ) 3 Harjoitus 5.5 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + 7 ) 3 Harjoitus 5.6 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + 6 Sarjoja Oleellista o osata geometriset sarjat ja mioratti- ja majorattiperiaate. Itseistä suppeemista voi joutua käyttämää. Huomaa, että etsittäessä miorattisarjaa, o kyseie miorattisarja yleesä. = Vastaavasti etsittäessä majorattisarjaa, o tämä sarja yleesä joki suppeeva geometrie sarja. Harjoitus 6. Geometriset sarjat) Mitkä seuraavista ovat geometrisia sarjoja? Jos kyseessä o geometrie sarja, mikä o se suhdeluku? a) + + 3 + 4 + 5 + b) + 4 + 6 + 64 + c) + / + /4 + d) / + /4 /8 + e) x + x ) + x ) 3 + Harjoitus 6. Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja ) + / + /4 + = 6 =0

summa? Harjoitus 6.3 Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja summa? / + /4 = ) =0 Harjoitus 6.4 Sarja suppeemie) Millä x: arvoilla suppeee? x + x ) 3 + x ) 5 + Harjoitus 6.5 Desimaaliluvu esittämie murtolukua) Esitä, kahde kokoaisluvu osamäärää. Harjoitus 6.6 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko + = Harjoitus 6.7 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko = 4 + Harjoitus 6.8 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko =! + Harjoitus 6.9 Majoratti/miorattiperiaate) Kehitä itse oma majorattiperiaatetehtävä ja miorattiperiaatetehtävä. Tämä o yllättävä helppoa, majorattiperiaattee tapauksessa tämä eteee seuraavasti:. Etsi sarja joka tiedä suppeeva.. Lisää imittäjää joki vakio tai väheä osoittajasta joki vakio, jolloi saat uude sarja, joka jokaie termi o pieempi kui aikaisemma suppeeva sarja vastaava termi. Miorattiperiaattee tapauksessa etsit sarja, joka haatuu ja muokkaat tästä uude sarja joka jokaie vastaava termi o suurempi kui tämä hajaatuva miorattisarja. 7

Ratkaisut Fuktiot Harjoitus. Fuktio määrittelyjoukot) Esitä seuraavie fuktioide laaji mahdollie määrittelyjoukko eli mahdollisimma suuri joukko A site, että f o fuktio A B jolleki maalijoukolle B): a) f x) = x b) f x) = /x c) f x) = x d) f x) = / x x + 5 e) f x) = x + 4 x + 4x + 4 f ) f x) = x + Ratkaisu: Tässä oleellista o muistaa, että ollalla ei saa jakaa ja että eliöjuuri ei ole määritelty egatiivisilla luvuilla. a) x o määritelty kaikilla reaaliluvuilla, jote A = R. b) /x o määritelty kaikilla reaaliluvuilla paitsi ollalla, jote A = R \ {0}. c) x o määritelty kaikilla ei-egatiivisilla reaaliluvuilla, jote A = R + {0}. d) / x o määritelty kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla, jote A = R +. e) x+5 x+4 o määritelty ku x 5 ja x = 4. f ) x +4x+4 x + o määritelty kaikilla reaaliluvuilla, koska x + 4x + 4 = x + ) 0 x R ja x + = 0 x R. Harjoitus. Ijektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat ijektioita? 8

Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole ijektio. a) b) c) d) e) f x) = x, f : R R f x) = x, f : R + R f x) = x, f : [ 3, 3] R f x) = x, f : R + R f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Ratkaisu: Se todistamie, että joki fuktio ei ole ijektio o usei helppoa: valitaa kaksi x-arvoa, joilla fuktio saa sama arvo. Se sijaa se todistamie, että joki fuktio o ijektio, o vaikeampaa. Pitää valita kaksi erisuurta x-arvoa x ja x ja osoittaa että fuktio arvo o äissä pisteissä erisuuri. a) ei ole ijektio, sillä esimerkiksi f ) = f ), vaikka =. b) o ijektio. Tämä todistetaa seuraavasti: valitaa x = x. Koska määrittelyjoukkoa o R +, sekä x, että x ovat positiivisia. Täte x + x = 0, jote x = x x x = 0 x x )x + x ) = 0 x x = 0 x = x c) ei ole ijektio samasta syystä kui a)-kohda fuktio. d) o ijektio. Tämä todistetaa seuraavasti: valitaa x = x x x = 0 x + x ) x x ) = 0 x x = 0 eli x = x, sillä lausekkee x + x ) x x ) kummaki tekijä o oltava erisuuria kui olla, sillä muute koko lausekeki olisi olla. d), e) ja f ) ovat ijektioita. Todistukset eteevät samaa mallii. Harjoitus.3 Surjektiot) Mitkä seuraavista fuktioista ovat surjektioita? Osoita jokaise kohdalla, miksi kyseie fuktio o tai ei ole surjektio. a) f x) = x, f : R R b) f x) = x, f : R R + c) f x) = x, f : R + R + d) e) f x) = x, f : R + R f x) = x 3, f : R R f ) f x) = x /3, f : R R Ratkaisu: Fuktio o surjektio, jos jokaisella se maalijouko alkiolla y o joki alkio x lähtöjoukossa site että f x) = y. 9

a) ei ole surjektio, sillä egatiivisilla alkiolla y ei ole alkiota x site että y = x. Se sijaa jokaisella ei-egatiivisella alkiolla y o joki alkio x eli alkio y) site että y = x. Täte b)-kohda fuktio o surjektio. Samoi c)-kohda fuktio. d)-kohda fuktio ei ole surjektio, koska sekää ei saa egatiivisia arvoja. Kohtie e ja f fuktiot ovat surjektioita. Harjoitus.4 Yhdistetyt kuvaukset) Muodosta yhdistetyt kuvaukset f g ja g f oleta, että määrittelyjoukot o rajattu site, että kyseiset kuvaukset ovat olemassa), ku: a) f x) = x 3, gx) = 5x b) f x) = x /3, gx) = x c) f x) = x + 6x +, gx) = x + d) f x) = x, gx) = /x Ratkaisu: a) f g = f gx)) = f 5x) = 5x) 3 = 5x 3 g f = g f x)) = gx 3 ) = 5x 3 b) f g = f gx)) = f x) = x) /3 = x /6 g f = g f x)) = gx /3 ) = x /3 = x /6 c) f g = f gx)) = f x + ) = x + ) + 6x + ) + g f = g f x)) = gx + 6x + ) = x + 6x + ) + d) f g = f gx)) = f /x) = /x g f = g f x)) = gx) = /x Harjoitus.5 Kääteiskuvaukset) Osoita että seuraavilla fuktioilla f o kääteiskuvaus f x) todistamalla, että e ovat bijektioita eli ijektioita ja surjektioita). Etsi kyseie kääteiskuvaus. Tarkista että f f = x = f f eli että kyseiset yhdistetyt kuvaukset ovat idettisiä kuvauksia). a) f x) = x 3, f : R R b) f x) = x /3, f : R R c) f x) = /x, f : R \ {0} R d) f x) = x, f : R + R + e) f x) = x 3 + 0, f : R R Ratkaisu: Esitä tässä aioastaa kääteiskuvaukset. Bijektiivisyyde voi osoittaa todistamalla, että jokaisella y B o tasa yksi x A site, että 0

f x) = y a) f x) = x /3 b) f x) = x 3 c) f x) = /x d) f x) = x e) f x) = x 0) /3 Harjoitus.6 Ijektiot) Etsi mahdollisimma suuret reaaliakseli välit A ja B site, että f x) = x + 6x o ijektio A:ssa ja B:ssä. Ratkaisu: Ratkaistaa yhtälö y = x + 6x x: suhtee: y = x + 6x x + 6x y = 0 x = 6 ± 36 + 4y. Tällä o reaalisia ratkaisuja aioastaa, ku 36 + 4y 0 eli ku y 9. Tehtävä paraabeli f x) = x + 6x saavuttaa pohjasa kohdassa x = 3. Valitaa välit A ja B site, että x = 6 ± 36 + 4y o yksikäsitteie äillä väleillä. Ku x kuuluu välille, 3], o kyseie kuvaus yksikäsitteisesti: x = 6 36 + 4y Samoi jos x kuuluu välille 3, ), o kuvaus yksikäsitteie: x = 6 + 36 + 4y. Täte mahdollisimma laajat välit A ja B ovat : A =, 3], B = 3, ) Iduktiotodistus Harjoitus. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N Ratkaisu: + 3 + 3 4 + 4 5 + + + ) = +. Tai vastaavasti A =, 3), B = [3, ): tuo umero 3 voi kuulua kumpaa tahasa välii.

. Ku =, = / eli kumpiki puoli ovat samoja, jote yhtälö pätee arvolla =.. Oletetaa yhtälö todeksi arvolla. Päätellää tästä yhtälö todeksi arvolla + lisäämällä kummalleki puolelle termi ja sie- +)+) vetämällä vase puoli haluttuu muotoo: + 3 + 3 4 + 4 5 + + + ) = + + 3 + + + ) + + ) + ) = + + + ) + ) + ) + = + ) + ) = + + + ) + ) + ) = + ) + ) = + +, jote väite pätee arvolla +. Iduktio ojalla väite pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Harjoitus. Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, Ratkaisu: + + 3 + + = + ).. Arvolla P) o tosi, sillä yhtälö pätee tällä arvolla: vasemmalle puolelle jää ja oikealle puolelle + )/ =.. Oletetaa että yhtälö pätee arvolla. Tällöi + ) + + 3 + + =. Lisätää kummalleki puolelle +, ja muokataa yhtälö oikeaa puolta: + ) + + 3 + + + + ) = + + ) + ) + ) = + + ) + + ) = + ) + ) =,

jote väite pätee kaikilla luoollisilla luvuilla. Harjoitus.3 Iduktiotodistus) Todista iduktiolla, että kaikilla N, Ratkaisu: <. Ku =, <, eli väite pätee.. Tehdää iduktio-oletus: < o tosi. Iduktioväite: + < + Eli meidä pitää päätellä oletuksesta < väite + < +. Aloitetaa muokkaamalla epäyhtälö oikea puoli haluttuu muotoo Tämä tapahtuu kertomalla kumpiki puoli kahdella: < < +. Iduktioväite o todistettu, jos voidaa päätellä, että +, koska tällöi + < + + < +. Väite + o helppo todistaa: väheetää kummaltaki puolelta ja saadaa mikä o selkeästi tosi, sillä kuuluu luoollisii lukuihi. Täte väite o todistettu. 3 Kolmioepäyhtälö Harjoitus 3. Kolmioepäyhtälö) Kolmioepäyhtälö kertoo, että a + b a + b. Todista tämä avulla, että a b a c + b c Mitä tämä tarkoittaa ituitiivisesti, ku itseisarvo tulkitaa etäisyyteä? Ratkaisu. Tässä tehtävässä o ideaa lisätä c c eli olla itseisarvo sisälle ja soveltaa kolmioepäyhtälöä; a b = a c + c b a c + c b = a c + b c Tämä voi tulkita site, että kahde pistee a ja b etäisyys a b o pieempi kui etäisyys kuljettua pistee c kautta eli a c + b c joka o siis etäisyys a:sta c:he plus etäisyys c:stä b:he. Harjoitus 3. Kolmioepäyhtälö) Osoita, että a + b + c a + b + c 3

Ratkaisu. Kolmioepäyhtälöä voi soveltaa suoraa lukuihi a + b ja c: a + b + c a + b + c. Nyt sovelletaa kolmioepäyhtälöä toise kerra: a + b + c a + b + c Lisäksi b b, jote a + b + c a + b + c 4 Raja-arvoja Harjoitus 4. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x x 3 ) x Ratkaisu: Tässä käytetää kahta algebra kaavaa: a b = a b)a + b) ja a 3 b 3 = a b)a + ab + b ). Näide aktiivie osaamie kokeessa o oleellista. x x 3 ) x x = 3 ) x x )x + ) x )x = ) + x + ) x x )x + ) x = ) + x + ) = 3/. x x + ) Harjoitus 4. Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x ) 8 x 9 x 3 Ratkaisu: Tämä o vähä edellistä vaikeampi: yt kaavaa a b = a b)a + b) käytetää kahtee otteesee: x 8 x 9 x 3 ) = x 9 ) x 9)x + 9) x 3 ) x 3) x + 3)x + 9) = x 9 x 3 ) x + 3)x + 9) = x 9 = 6 8 = 08 4

Harjoitus 4.3 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo x x 4 ) 6 x Ratkaisu: Jällee käytetää kaavaa a b = a b)a + b) kahdesti: x x 4 ) 6 x x = 4)x ) + 4) x x x )x + )x = ) + 4) x x x + )x = ) + 4) = 3 x Harjoitus 4.4 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + ) 3 Ratkaisu. Huomataa, että raja-arvo muistuttaa Neperi luvu e määritelmää. Muokataa lauseketta: + ) 3 = + ) ) 3 = = e 3. + ) ) 3 Huomaa, että tässä raja-arvo otettii ulkofuktio gx) = x 3 sisältä. Koska tämä fuktio o jatkuva, ii raja-arvo saa ottaa tällä tavalla fuktio sisältä. Lisäksi käytettii algebra tulosta, joka mukaa x ab = x a ) b. Harjoitus 4.5 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + 7 ) 3 Ratkaisu. Huomataa, että jällee raja-arvo muistuttaa Neperi luvu e 5

määritelmää: + 7 ) 3 = + /7 + ) 3 ) ) 3 = /7 = + ) ) /7 3 7 /7 = /7 = /7 = e) 3 7 = e 8 + ) ) /7 3 7 /7 + ) ) /7 3 7 /7 Huomaa, että tässä otettii jällee raja-arvo ulkofuktio sisästä. Lisäksi käytettii tietoa, joka mukaa silloi ku kasvaa rajatta eli ii myös /7 kasvaa rajatta eli /7. Harjoitus 4.6 Raja-arvo laskemie) Laske raja-arvo + Ratkaisu. Tässä tehtävässä imittäjä o. Kirjoitetaa lauseke siis muodossa. + Nyt osoittajassa o erotus a b. Kerrotaa yt osoittaja ja imittäjä sum- 6

malla a + b, jolloi voidaa hyödytää kaavaa a b)a + b) = a b : + + ) = + + ) + + ) + ) = + + ) = + ) + + ) = + + ) = + /) + ) = + / + ) = + / + ) = = / + / + Tässä siis pyrittii löytämää yhteisiä tekijöitä imittäjästä ja osoittajasta. Tekijä saatii yhteiseksi tekijäksi. Huomaa erityisesti, kuika otettii ulos eliöjuuresta. 5 Sarjoja Oleellista o osata geometriset sarjat ja mioratti- ja majorattiperiaate. Itseistä suppeemista voi joutua käyttämää. Huomaa, että etsittäessä miorattisarjaa, o kyseie miorattisarja yleesä. = Vastaavasti etsittäessä majorattisarjaa, o tämä sarja yleesä joki suppeeva geometrie sarja. Harjoitus 5. Geometriset sarjat) Mitkä seuraavista ovat geometrisia sar- 7

joja? Jos kyseessä o geometrie sarja, mikä o se suhdeluku? a) + + 3 + 4 + 5 + b) + 4 + 6 + 64 + c) + / + /4 + d) / + /4 /8 + e) x + x ) + x ) 3 + Ratkaisu: Kaikki muut paitsi a) ovat geometrisia sarjoja. Suhdeluvut: b): 4, c) : /, d) : /, e) : /x ). Harjoitus 5. Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja ) + / + /4 + = summa? =0 Ratkaisu: Geometrise sarja summa o esimmäie termi A jaettua q:lla, jossa q o suhdeluku. A = ja q = /, jote kyseie summa o / /)) =. Harjoitus 5.3 Geometrise sarja summa) Mikä o geometrise sarja / + /4 = ) summa? =0 Ratkaisu: A = ja q = /, jote kyseie summa o / /)) = /3. Harjoitus 5.4 Sarja suppeemie) Millä x: arvoilla suppeee? x + x ) 3 + x ) 5 + Ratkaisu: Kirjoitetaa lauseke esi geometrise sarja kaavamuodossa: ) x + x ) 3 + x ) 5 + = i x x ) i=0 Kyseessä o siis geometrie sarja. Geometrie sarja suppeee ku se suhdeluku o itseisarvoltaa pieempi kui yksi. Eli ku x ) < < x ) x > tai x < 0 8

Harjoitus 5.5 Desimaaliluvu esittämie murtolukua) Esitä, kahde kokoaisluvu osamäärää. Ratkaisu:, = + /0 + /00 + = ) i = 0 i=0 = /9/0) = 0/9 /0 Harjoitus 5.6 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko + = Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi: Sarja + > =. = o puolestaa harmoie sarja joka hajaatuu. Miorattiperiaattee ojalla + = hajaatuu. Harjoitus 5.7 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko = 4 + Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi 4 + < 4, joka o geometrise sarja yleie termi. = 4 = /4 /4 = /3 eli kyseie sarja suppeee, jote majorattiperiaattee ojalla myös = 4 + 9

suppeee. Harjoitus 5.8 Sarja suppeemie) Suppeeeko vai hajaatuuko =! + Ratkaisu: Havaitaa aluksi, että sarja o positiivistermie. Lisäksi se imittäjässä o kertoma!, mikä viittaisi että voimme ehkä verrata tätä sarjaa =0! = e. Huomataa, että tehtävä sarja jokaie termi o pieempi kui tuo sarja =0! = e vastaava termi. Eli =! + < =!, jote sarja suppeee majorattiperiaattee ojalla. Harjoitus 5.9 Majoratti/miorattiperiaate) Kehitä itse oma majorattiperiaatetehtävä ja miorattiperiaatetehtävä. Tämä o yllättävä helppoa, majorattiperiaattee tapauksessa tämä eteee seuraavasti:. Etsi sarja joka tiedä suppeeva.. Lisää imittäjää joki vakio tai väheä osoittajasta joki vakio, jolloi saat uude sarja, joka jokaie termi o pieempi kui aikaisemma suppeeva sarja vastaava termi. Miorattiperiaattee tapauksessa etsit sarja, joka haatuu ja muokkaat tästä uude sarja joka jokaie vastaava termi o suurempi kui tämä hajaatuva miorattisarja. Lisäksi =! = e, koska 0! =. 0