LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat C -kuvauksia (jolloin diffeomorfismin h: U V käänteiskuvaus on C ). 4.1. Euklidisen avaruuden alimonistot Määritelmä 4.1. Osajoukko M R n on k-ulotteinen (ali-)monisto, jos jokaiselle x M on voimassa ehto (M): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko V R n ja diffeomorfismi h: U V siten, että h(u M) = V (R k {0 n k }) = {y V y k+1 = = y n = 0}. Huomautus 4.2. Kurssilla Differentiaalilaskenta 2 [16, määr. 4.1] monistot määritellään näennäisesti varsin eri tavalla lokaalien parametriesitysten ϕ x : U x S W x avulla (vertaa myös seuraavaan lauseeseen 4.3). Lokaali parametriesitys voidaan kuitenkin laajentaa avaruuden R n avoimeen joukkoon (ainakin jossakin pisteen x ympäristössä) siten, että laajennus ϕ on oleellisesti sama kuin edellisen määritelmän kuvauksen h käänteiskuvaus; vrt. [6, lemma 10.8] (missä lokaalia parametriesitystä kutsutaan säännölliseksi tilkuksi, engl. regular patch). Kuvauksen h: U V rajoittumaa monistolle M, h U M, kutsutaan karttakuvaukseksi (tai lyhyesti kartaksi tai (lokaaliksi) koordinaatistoksi pisteen x ympäristössä); tarkemmin: karttakuvaus on projektio R k {0 n k } R k yhdistettynä kuvauksen h rajoittumaan monistolle M eli (h 1,..., h k ) U M : U M R k (rajoittumallehan viimeiset n k koordinaattia ovat nollakuvauksia). Luvut h j (z), 1 j k, ovat pisteen z U M lokaalit koordinaatit kartan h: U V suhteen. Pikku-Spivakissa [18, Thm. 5 2] seuraavan lauseen kuvausta f kutsutaan harhaanjohtavasti lokaaliksi koordinaatistoksi pisteen x ympäristössä, vaikka normaalin käytännön mukaan kyse on moniston M lokaalista parametriesityksestä pisteen x ympäristössä. Perusteellisessa johdatuksessa [19] terminologia on tavallinen. Lause 4.3. Joukko M R n on k-ulotteinen monisto, jos ja vain jos jokaiselle x M on voimassa seuraava parametriehto: (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W R k ja injektiivinen differentioituva kuvaus f : W R n siten, että (1) f(w ) = M U; (2) derivaatan Df(y) aste on k kaikille y W ; (3) f 1 : f(w ) W on jatkuva. 1 Viimeksi muutettu 16.11.2008. 23
4.1. EUKLIDISEN AVARUUDEN ALIMONISTOT 24 Todistus. Olkoon M k-ulotteinen monisto. Olkoot x M ja h: U V ehdon (M) toteuttava diffeomorfismi. Asetetaan W := {y R k (y, 0) h(m U)} ja f : W R n, f(y) := h 1 (y, 0). Tällöin f(w ) = M U ja f 1 on jatkuva. Lisäksi, jos määritellään H : U R k, H(z) := (h 1 (z),..., h k (z)), niin H(f(y)) = y kaikille y W. Tällöin DH(f(y)) Df(y) = I = identtinen kuvaus R k R k, joten derivaatan Df(y) aste on k kaikille y W. Oletetaan kääntäen, että f : W R k toteuttaa ehdon (P ). Olkoot x M ja y W siten, että f(y) = x. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että matriisin ( j f i (y)) k i,j=1 determinantti on nollasta eroava. (Ehdon (2) nojalla derivaatan Df(y) matriisin jonkin k k-alimatriisin determinantti on nollasta eroava.) Asetetaan g : W R n k R n, g(a, b) := f(a) + (0, b). Tällöin det(dg(a, b)) = det( j f i (a)) k i,j=1, joten erityisesti det(dg(y, 0)) 0. Käänteiskuvauslauseen [15, lause 8.4] nojalla on olemassa avoimet joukot V 1, V 2 R n siten, että (y, 0) V 1, x = g(y, 0) V 2 ja g V 1 : V 1 V 2 on diffeomorfismi. Olkoon h := (g V 1 ) 1 : V 2 V 1. Koska f 1 on jatkuva, on {f(a) (a, 0) V 1} = U f(w ) jollekin avoimelle joukolle U R n. Olkoot V 2 := U V 2 ja V 1 := g 1 (V 2 ). Tällöin V 2 M = {f(a) (a, 0) V 1 } = {g(a, 0) (a, 0) V 1 }, joten h(v 2 M) = g 1 (V 2 M) = g 1 ({g(a, 0) (a, 0) V 1 }) = V 1 (R k {0}) Puoliavaruus H k R k on joukko H k := {(x 1,..., x k ) R k x k 0}. Määritelmä 4.4. Osajoukko M R n on k-ulotteinen reunallinen monisto, jos jokaiselle x M on voimassa määritelmän 4.1 ehto (M) tai ehto ( M): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U, avoin joukko V R n ja diffeomorfismi h: U V siten, että h(u M) = V (H k {0}) = {y V y k 0 ja y k+1 = = y n = 0}, ja pisteen h(x) k. komponentti h k (x) = 0 (t.s. h(x) H k {0}). Ehdon ( M) toteuttavien pisteiden x joukkoa kutsutaan moniston M reunamonistoksi tai lyhyesti reunaksi, ja sitä merkitään M.
4.2. YKKÖSEN OSITUS 25 Esimerkki 4.5. Pallonkuori S n 1 := {x R n x = 1} on monisto samoinkuin sen ylempi avoin puolisko {x R n x = 1, x n > 0}. Sen sijaan pallonkuoren S n 1 ylempi suljettu puolisko M := {x R n x = 1, x n 0} ei ole monisto, mutta on reunallinen monisto. Huomaa, että reunallisen moniston M reunamonisto on joukko M = {x R n x = 1, x n = 0} ( päiväntasaaja ), mutta se on eri kuin sen joukko-opillinen reuna (joka on sama kuin joukko M itse). Huomautus 4.6. Koska ilmaisu reunallisen moniston reunamonisto on suhteellisen monimutkainen, on reunallisia monistoja tarkasteltaessa tavanomaista puhua vain monistoista, vaikka tarkoitettaisiinkin reunallista monistoa. Määritelmän 4.1 mukaiseen monistoon viitattaessa voidaan tällöin käyttää nimitystä reunaton monisto; tässä tapauksessa määritelmän 4.4 ehdon ( M) toteuttavien pisteiden muodostama joukko M on tyhjä. Vanhempi kirjallisuus on käyttänyt nimitystä suljettu monisto kompaktista, reunallisesta monistosta ja nimitystä avoin monisto epäkompaktista, reunattomasta monistosta. Samoin reunamoniston sijaan puhutaan vain moniston reunasta; moniston joukko-opillista reunaa kun tarkasteluissa ei juuri tarvita. 4.2. Ykkösen ositus Olkoot A R n ja f : A R jatkuva funktio. Funktion f kantaja supp f on joukko supp f := {x A f(x) 0}. Funktion f kantajan komplementti R n \ supp f on siis laajin avoin joukko, jossa f häviää identtisesti. Joukon A R n avoin peite O on joukkokokoelma O = {U i i I} siten, että jokainen joukko U i on avoin, ja että A i I U i. Huomaa, että indeksijoukon ei tarvitse olla äärellinen tai edes numeroituva. Joukkoperhe {U i i I}, U i R n, on lokaalisti äärellinen, jos jokaisella pisteellä x R n on ympäristö V siten, että U i V vain äärellisen monelle indeksille i I. Lause 4.7. Olkoot A R n ja O = {U i i I} joukon A avoin peite. Tällöin on olemassa kokoelma Φ = {ϕ i i I} C -funktioita, jotka on määritelty jossakin joukon A sisältävässä avoimessa joukossa, ja joilla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jokaiselle x A ja i I on 0 ϕ i (x) 1; (ii) supp ϕ i U i ; (iii) perhe {supp ϕ i i I} on lokaalisti äärellinen; (iv) jokaiselle x A on i I ϕ i(x) = 1. (Edellisen kohdan nojalla summa on äärellinen.) Määritelmä 4.8. Kokoelma Φ C -funktioita, joka toteuttaa edellisen lauseen ehdot (i) (iv), on joukon A peitteelle O alistettu ykkösen ositus. Lauseen esiintyvät funktiot ϕ i rakennetaan seuraavan funktion λ: R n R avulla: { ( exp 1 x λ(x) := 1), kun x < 1, ja 2 0, kun x 1.
4.2. YKKÖSEN OSITUS 26 Tällöin λ on C -funktio (HT), jolle λ(x) > 0, kun x < 1, ja λ(x) m(r) := exp(1/(r 2 1)), kun x r ja 0 < r < 1. Funktion λ avulla on helppo kostruoida seuraavanlainen apufunktio: Asetetaan µ: [0, ) R, { 1 exp(t 2 /(t 2 1)), kun 0 t < 1, ja µ(t) := 1, kun t 1. Tällöin µ on C, 0 µ 1, µ(0) = 0, ja µ(t) = 1, kun t 1. Itse asiasssa µ(t) = 1 e λ(t). Lauseen 4.7 todistus. Käsitellään vain tapaus, missä A on kompakti ja indeksijoukko I on äärellinen. Jokaista pistettä x A kohti valitaan indeksi i =: i(x) I siten, että x U i. Valitaan r(x) > 0 siten, että B(x; r(x)) U i. Joukot B(x; 1 r(x)), x A, muodostavat 2 kompkatin joukon A avoimen peitteen, joten sillä on äärellinen osapeite. Olkoot x α, α J, tätä osapeitettä vastaavien pallojen keskipisteet, ja r α := r(x α ). Asetetaan λ α (x) := 1 ( x m( 1) λ xα ). r 2 α Tällöin jokainen λ α on C, supp λ α U i(xα), ja λ α (x) 1 pallossa B(x α ; 1 2 r α). Merkitään J i := {α J i(x α ) = i}. Tällöin joukot J i, i I, muodostavat joukon J osituksen. Asetetaan g i (x) := α J i λ α (x). Tällöin jokainen g i on C, ja kun α J i, on supp λ α U i(xα) = U i, joten supp g i U i. Lisäksi i I g i(x) = α J λ α(x) 1 kaikille x A. Asetetaan nyt g(x) := g i (x). i I Olkoon U := {x R n g(x) > 0}. Tällöin U on avoin ja A U. Kun todistuksen alkua sovelletaan kompaktin joukon A yhden avoimen joukon muodostamaan peitteeseen {U}, löydetään C -funktio f : R n R siten, että 0 f 1, supp f U ja f(x) = 1 kaikille x A. Nimittäin, edellä löydetty funktio g 1 yhdistettynä apufunktioon µ kelpaa: Koska g 1 (x) 1 kaikille x A, on funktiolla f := µ g 1 vaaditut ominaisuudet. Asetetaan { f(x) g i (x) g(x) ϕ i (x) :=, kun x U, ja 0, kun x U. Funktioilla ϕ i, i I, on vaaditut ominaisuudet. Edellisestä todistuksesta saadaan myös Seuraus 4.9. Olkoot A R n kompakti ja U R n avoin siten, että A U. Tällöin on olemassa C -funktio f : R n R siten, että 0 f 1, supp f U, ja f(x) = 1 kaikille x A.
4.3. DIFFERENTIAALIMUODOT MONISTOILLA 27 4.3. Differentiaalimuodot monistoilla Olkoot M R n k-ulotteinen monisto, x M, f : W M lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä sekä a W siten, että f(a) = x. Koska derivaatan Df(a) aste on k, on kuva-avaruus Df(a)(R k ) R n k-ulotteinen aliavaruus. Tällöin tangenttikuvauksen f : R k a R n x kuva-avaruus f (R k a) on k-ulotteinen aliavaruus ja f : R k a f (R k a) lineaarinen isomorfismi. Jos g : V M on toinen lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä (ja b V siten, että g(b) = x), niin g (R k b) = f (f 1 g) (R k a) = f (R k a). (Kuvaus f 1 g on diffeomorfismi; vrt. lauseen 4.3 todistukseen.) Aliavaruus f (R k a) R n x on siis riippumaton lokaalin parametriesityksen f valinnasta. Tätä aliavaruutta merkitään T x (M) := M x := f (R k a) ja kutsutaan moniston M tangenttiavaruudeksi pisteessä x. Tangenttiavaruuden T x (M) vektorit ovat moniston M tangenttivektoreita. Tangenttiavaruuden T x (M) kantavektoreiksi kelpaavat vektorit f ((a; e j )) = (x; j f(a)), 1 j k. (Tangentti-)vektorikenttä F monistolla M on kuvaus F, joka liittää moniston M jokaiseeen pisteeseen x moniston M tangenttivektorin F (x) T x (M). Kun f : W M on lokaali parametriesitys kuten edellä, niin f : R k a T x (M) on lineaarinen isomorfismi, joten on olemassa yksikäsitteinen, joukossa W määritelty vektorikenttä G siten, että f (G(y)) = F (f(y)) kaikille y W. Sanomme, että vektorikenttä F on differentioituva (vast. C k tai C ), jos kuvaus G on differentioituva (vast. C k tai C ). Kuten edellä vektorikentän F differentioituvuus on riippumaton lokaalin parametriesityksen valinnasta. Funktio ω on l-muoto monistolla M, jos se liittää moniston M jokaiseeen pisteeseen x alternoivan l-muodon ω(x) Λ l (T x (M)). Kun f : W M on lokaali parametriesitys, niin f ω on l-muoto avoimessa joukossa W. Sanomme, että differentiaalimuoto ω on differentioituva (vast. C k tai C ), jos muoto f ω on differentioituva (vast. C k tai C ). Kuten euklidisen avaruuden avoimen joukon differentiaalimuodot voidaan monistonkin differentiaalimuodot esittää koordinaattikuvausten differentiaalien avulla. Koordinaattikuvauksiksi eivät nyt kuitenkaan kelpaa tavalliset koordinaattikuvaukset, vaan lokaalista koordinaatistosta saatavat. Olkoot x M ja h: U V kartta kuten moniston määritelmässä 4.1. Olkoot x j, 1 j n, avoimen joukon V kanooniset koordinaattikuvaukset, ja x j := x j h: U R. Olkoon vielä f : W M moniston M lokaali parametriesitys pisteen x = f(a) ympäristössä (ks. lause 4.3) siten, että f(w ) U. Koska f(w ) M, on x j (f(y)) = x j (h(f(y))) = 0, kun k+1 j n. Ketjusäännöstä seuraa, että d x j (f(y))(f (w)) = 0 kaikille w R k y, kun k + 1 j n. Koska moniston M tangenttiavaruus T x (M) = f (R k a), on siis d x j (x)(v) = 0 kaikille v T x (M), kun k + 1 j n. Toisaalta, vastaavaan tapaan kuin lauseen 4.3 todistuksessa voidaan todeta, että koordinaattidifferentiaalit d x j (x), kun 1 j k, ovat lineaarisesti riippumattomat. Näinollen differentiaalit d x j (x), 1 j k, muodostavat kannan avaruudelle Λ 1 (T x (M)). Vastaavaan tapaan kuin lauseessa lause 1.20 jokainen moniston M differentiaalimuoto ω voidaan esittää muodossa (4.1) ω = i 1 < <i l ω i1,...,i l d x i1 d x il,
4.3. DIFFERENTIAALIMUODOT MONISTOILLA 28 missä ω i1,...,i l ovat monistolla M määriteltyjä reaaliarvoisia funktioita. Moniston M differentiaalimuodon ω ulkoista derivaattaa dω ei tämän esityksen avulla voida määritellä samalla kaavalla kuin euklidisen avaruuden avoimen joukon tapauksessa (ks. 3.1), koska osittaisderivaatat j ω i1,...,i l eivät ole mielekkäitä vain monistolla M määritellyile funktioille ω i1,...,i l. Tämä ongelma voidaan kuitenkin kierää muuttujanvaihdon avulla: Lause 4.10. Olkoot M R n k-ulotteinen monisto ja ω moniston M l-muoto. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi (l + 1)-muoto dω siten, että kaikille moniston M lokaaleille parametriesityksille f : W M on voimassa f (dω) = d(f ω). Todistus. Olkoot f : W M moniston M lokaali parametriesitys pisteen x = f(a) ympäristössä ja v 1,..., v l+1 T x (M). Tällöin on olemassa yksikäsitteiset w 1,..., w l+1 R k a siten, että f (w j ) = v j, kun 1 j l + 1. Asetetaan dω(x)(v 1,..., v l+1 ) = d(f ω)(a)(w 1,..., w l+1 ). Jos g : V M on toinen lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä (ja b V siten, että g(b) = x), niin g = (f ϕ) = f ϕ ja g = (f ϕ) = ϕ f, missä ϕ := f 1 g. (Muista, että kuvaus ϕ = f 1 g on diffeomorfismi.) Olkoot u 1,..., u l+1 R k b siten, että g (u j ) = v j, kun 1 j l + 1. Tällöin ϕ (u j ) = w j, joten lauseen 3.1 kohdan f ja muuttujanvaihdon määritelmän (ks. 2.1) nojalla d(g ω)(b)(u 1,..., u l+1 ) = d(ϕ f ω)(b)(u 1,..., u l+1 ) = ϕ (d(f ω))(a)(u 1,..., u l+1 ) = d(f ω)(a)(ϕ u 1,..., ϕ u l+1 ) = d(f ω)(a)(w 1,..., w l+1 ). Tämän perusteella dω(x)(v 1,..., v l+1 ) on hyvinmääritelty (t.s. se on riippumaton käytetyn lokaalin parametriesityksen f valinnasta). Näin määritelty dω on ainoa mahdollinen ehdon toteuttava differentiaalimuoto. Huomautus 4.11. a) Euklidisen avaruuden alimoniston M funktiot, vektorikentät ja differentiaalimuodot voidaan laajentaa (ainakin lokaalisti) johonkin joukon M avoimeen ympäristöön. Olkoot f : M R annettu funktio, x M ja h: U V kartta pisteen x ympäristössä. Tällöin funktio g := f h 1 : V h(m) R voidaan jatkaa joukkoon V asettamalla g(y 1,..., y n ) := g(y 1,..., y k, 0..., 0) kaikille (y 1,..., y n ) V. Funktion f rajoittuma f U M voidaan jatkaa joukkoon U asettamalla f(x) := g(h(x)). b) Edellä, kaavassa 4.1 käytetty moniston M differentiaalimuodon ω esitys koordinaattikuvauksten x j = x j h, 1 j k, differentiaalien avulla on perusteltua kahdesta syystä: Ensinnäkin, differentiaalit d x j (x) muodostavat luonnollisen kannan 1- muotojen vektoriavaruudelle Λ 1 (T x (M)). Toisekseen, abstraktien monistojen tapauksessa muita kuin nämä luonnolliset koordinaattikuvaukset ei ole käytettävissä. Jos
4.4. REUNAMONISTON SUUNNISTUS 29 muoto ω kuitenkin laajennettaisiin pisteen x ympäristössä avoimeen joukkoon U, niin tällöin voitaisiin käyttää esitystä ω = ω i1,...,i l dx i1 dx il, i 1 < <i l missä x j, 1 j n, ovat avoimen joukon V kanooniset koordinaattikuvaukset. Tavanomaisempaa on kuitenkin käyttää lokaalin parametriesityksen f : W M ja muuttujanvaihdon f tarjoamia apuja; esimerkiksi lauseen 4.10 avulla ulkoisen derivaatan ominaisuudet saadaan siirretyksi monistoille (vrt. 3.1). 4.4. Reunamoniston suunnistus Olkoot M R n k-ulotteinen monisto, x M, f : W M lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä sekä a W siten, että f(a) = x. Tangenttiavaruuden T x (M) kantavektoreiksi kelpaavat vektorit f ((a; e j )) = (x; j f(a)), 1 j k. Oletetaan, että moniston M jokaiselle tangenttiavaruudelle M x on annettu suunnistus µ x. (Muista, että µ x on tangenttiavaruuden M x järjestettyjen kantojen ekvivalenssiluokka; vrt. tarkastelut lauseen 1.21 yhteydessä.) Sanotaan, että suunnistukset µ x, x M, ovat yhteensopivat, jos kaikille lokaaleille parametriesityksille pisteen x ympäristössä f : W M ja kaikille a, b W on voimassa jos ja vain jos [f ((e 1 ) a ),..., f ((e k ) a )] = µ f(a), [f ((e 1 ) b ),..., f ((e k ) b )] = µ f(b). Tässä (e j ) a (vast. (e j ) b ) ovat avaruuden R k a (vast. R k b ) stanrdardikantavektorit. Oletetaan nyt, että monistolle M on valittu yhteensopivat suunnistukset µ x. Jos lokaalille parametriesitykselle f : W M on voimassa [f ((e 1 ) a ),..., f ((e k ) a )] = µ f(a) kaikille a W, sanotaan, että f on suunnistuksen säilyttävä. Jos f ei ole suunnistuksen säilyttävä, ja T : R k R k on lineaarikuvaus, jolle det T < 0, niin f T on suunnistuksen säilyttävä. Jokaisen pisteen x M ympäristössä on siis suunnistuksen säilyttävä lokaali parametriesitys. Jos g : V M on toinen lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä (a W ja b V siten, että f(a) = g(b) = x), niin [f ((e 1 ) a ),..., f ((e k ) a )] = µ x = [g ((e 1 ) b ),..., g ((e k ) b )]. Koska g = (f ϕ) = f ϕ missä ϕ := f 1 g, on (vrt. lause 1.21) det(d(f 1 g)(b)) > 0. Monisto M, jolle suunnistukset µ x voidaan valita yhteensopivasti, on suunnistuva, ja tällainen suunnisten valinta µ: x µ x on moniston M suunnistus. Olkoon nyt M R n k-ulotteinen reunallinen monisto. Jos x M, niin reunan M tangenttiavaruus T x ( M) on tangenttiavaruuden T x (M) (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Nimittäin, jos f : W M on lokaali parametriesitys pisteen x ympäristössä siten, että f(w H k ) M ja f(0) = x, niin tangenttiavaruuden T x ( M) kantavektoreiksi kelpaavat vektorit f ((0; e j )) = (x; j f(0)), 1 j k 1. Tästä seuraa,
4.4. REUNAMONISTON SUUNNISTUS 30 Möbiuksen nauha on suunnistumaton pinta, parametrisointina (u, v) r ((1 + v cos(u/2)) cos u, (1 + v cos(u/2)) sin u, v sin(u/2)) että aliavaruuden T x ( M) T x (M) ortogonaalikomplementti (tangenttiavaruuden T x (M) suhteen) on yksiulotteinen. Sanotaan, että vektori n T x (M), joka on kohtisuorassa aliavaruutta T x ( M) vastaan, on ulkonormaali, jos se on muotoa f ((0; v)) jollekin v = (v 1,..., v k ) R k, jolle v k < 0. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä määritelmä on riippumaton lokaalin parametriesityksen f valinnasta. Reunan M yksikköulkonormaalia pisteessä x M merkitään jatkossa n(x). Oletetaan nyt, että suunnistuvalle reunalliselle monistolle M on annettu suunnistus µ. Kun x M, valitaan v 1,..., v k 1 T x ( M) siten, että [n(x), v 1,..., v k 1 ] = µ x. Vektorit v 1,..., v k 1 määräävät suunnistuksen reunalle M, jota kutsutaan reunan M reunasuunnistukseksi, ja jota merkitään µ.