ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko R n = R R R = {(, x,..., x n ), x,..., x n R}. Sen pisteet voidaan mieltää myös (paikka)vektoreiksi, merkitään niitä pystyvektoreina: x x = x 3 R n.. x n 1 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 1.1 Määritellään kaksi laskutoimitusta avaruudessa R n : i) yhteenlasku, x, y R n ; x + y R n ii) skalaarilla kertominen, α R, x R n ; αx R n Alkioittain, x, y R n, α R, Koordinaatisto muodostetaan kiinnittämällä origo ja kantavektorit. Kolmiulotteisessa avaruudessa siis esim. karteesinen koordinaatisto {o, i, j, k}, missä yksikkövektorit i, j ja k muodostavat ortonormeeratun positiivisesti suunnistetun kannan. y 1 + y 1 α x x =., y = y., x + y = x + y., αx = αx. x n y n x n + y n αx n Vektori, jonka kaikki alkiot ovat nollia, on nollavektori. Kaikille x R n pätee x + ( x) = 0. i k o j 3 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 4 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 1.1 Huom! Tasossa: Jos a kiertyy b:n päälle vastapäivään lyhintä reittiä, on pari {a, b} suunnistettu positiivisesti. Avaruudessa: Jos kolmikko {a, b, c} toimii oikean käden säännön {P, E, K} mukaisesti, se on positiivisesti suunnistettu. Tasossa kantavektorit i ja j, r = OP = i + x j = ( x1 x ). Avaruudessa kantavektorit i, j ja k, r = OP = i + x j + x 3 k = x. x 3 5 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 6 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1. 1. Olkoon {i, j, k} avaruuden ortonormeerattu kanta ja α 1 a = α 1 i + α j + α 3 k = α, b = β 1 i + β j + β 3 k = β. α 3 β 3 β 1 Lause a b = { a b cos (a, b), jos a 0, b 0 0, jos a = 0 tai b = 0 Määritelmä 1 Vektoreiden a ja b skalaaritulo (eli sisätulo eli pistetulo) on a b = α 1 β 1 + α β + α 3 β 3. ovat kohtisuorassa, jos a b = 0, merkitään a b. Esimerkki 3 (lasketaan luennolla) Olkoon a = i + 3j, b = i + j, c = i + j. Laske 1 a b c (a + b) 3 3a (4c 3b) 7 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 8 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1. 1. ulo voidaan muodostaa vain (kolmiulotteisessa) avaruudessa. Määritelmä 4 Olkoot a, b kolmiulotteisia vektoreita. Vektori- eli ristitulo on vektori a b, jolle pätee: 1 a b = a b sin (a, b) a b a, a b b 3 vektorit a, b, a b muodostavat oikeakätisen systeemin Jos a = 0 tai b = 0, on a b = 0. 9 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut Esimerkki 5 Vektorien i ja j vektoritulo i j = k, sillä i j = i j sin (i, j) = 1 1 sin(π/) = 1, k on kohtisuorassa kumpaakin vektoria vastaan, ja {i, j, k} muodostavat oikeakätisen systeemin. ulo ei ole vaihdannainen: a b = b a liitännäinen: (i j) j = k j = i i (j j) = i 0 = 0. Sille kuitenkin pätee a (b + c) = a b + a c (αa) b = a (αb) = α(a b). 10 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1. 1. Kannassa {i, j, k} vetoritulo saa nasevan muodon: Olkoon a = α 1 i + α j + α 3 k, b = β 1 i + β j + β 3 k. Tällöin voidaan suoralla laskulla osoittaa, että a b = (α β 3 α 3 β )i + (α 3 β 1 α 1 β 3 )j + (α 1 β α β 1 )k. Myöhemmin tällä kurssilla opimme determinantin käsitteen ja näemme, että yo. voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa i j k a b = α 1 α α 3 β 1 β β 3. Esimerkki 6 (lasketaan luennolla) Olkoon a = i + j, b = i + j, c = j + k. Laske 1 a b b c 3 a c 11 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 1 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1. 1.3 Lause 7 Vektoreiden a ja b virittämän suunnikkaan ala on a b. Todistus. a h = a sin ϕ ϕ ϕ b (, x ) r x ϕ r = x 1 + x tan ϕ = x = r cos ϕ x = r sin ϕ Ala = kanta korkeus = a b sin ϕ = a b. 13 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 14 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.3 1.3 Jos x = (, x ) R, niin x = (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) = r (cos(ϕ), sin(ϕ)), missä r = x = x1 + x on pisteen etäisyys origosta ja ϕ = arg(x) R on x:n argumentti eli kulma x:n paikkavektorin ja vaaka-akselin välillä. Luvut { r = x ovat x:n napakoordinaatit. ϕ = arg(x) [0, [, R 15 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut Huom. cos(ϕ) = cos(ϕ + π) ja sin(ϕ) = sin(ϕ + π), joten argumentti on monikäsitteinen (kulmaan voi lisätä π-monikertoja)! Usein halutaan, että arg(x) [0, π[ tai arg(x) ] π, π]. Jos 0, niin tan (arg(x)) = x eli arg(x) = arctan ( x ). Huomaa, että funktion arctan päähaara saa arvoja vain välillä ] π/, π/[, joten sen antamaan kulmaan joutuu joskus lisäämään/vähentämään luvun π (piirrä kuva!). Origon vaihekulma arg(0) on epämääräinen. 16 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.3 1.4 Esimerkki 8 (lasketaan luennolla) Mitkä ovat karteesisissa koordinaateissa ilmoitetun pisteen x = ( 3, 1) napakoordinaatit? Luonnolliset luvut N = {1,, 3, 4, 5,...} ovat luonnollinen joukko aloittaa laskeminen. Jos halutaan ratkaista muotoa x + n = m, n, m N, olevat yhtälöt, kaipaa lukujen joukko kuitenkin laajennusta kokonaislukujen joukoksi: Z = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...}. Tämäkään ei riitä muotoa nx = m, m, n Z, n 0, olevien yhtälöiden ratkaisemiseen, vaan tarvitaan laajennus rationaalilukuihin: { m } Q = n m, n Z, n 0. 17 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 18 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Määritellään imaginääriyksikkö i olemaan luku, jolle pätee Rationaalilukujenkaan joukosta ei löydy ratkaisua yhtälölle x =. Tätä varten tehdään vielä laajennus, otetaan mukaan myös irrationaaliluvut, jolloin saadaan reaalilukujen joukko R. Onko kaikki nyt hyvin? Mikä on yhtälön x = 1 ratkaisu? i = 1. Imaginääriyksikköä i voitaisiin siis tavallaan kutsua myös 1:n neliöjuureksi. Määritelmä 9 Kompleksiluku on muotoa a + ib oleva esitys, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja i imaginääriyksikkö. C = {a + ib a, b R} on kompleksilukujen joukko. 19 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 0 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Samaistetaan vektori (x, y) R ja kompleksiluku x + iy C, eli R = {(x, y) : x, y R} = C = {x + iy : x, y R}. Esimerkki 10 (lasketaan luennolla) Piirrä kompleksiluvut 1 + i, i, i, ja 3 i koordinaatistoon. Tulkitsemalla kompleksiluvut tason vektoreiksi nähdään heti, miten niiden yhteenlasku pitää suorittaa. 1 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut Olkoot z = x + iy ja w = a + ib kompleksilukuja. Tällöin lukujen w ja z summa on erotus ja tulo w + z = (a + ib) + (x + iy) = (a + x) + i(b + y), w z = (a + ib) (x + iy) wz = (a + ib)(x + iy) = (a x) + i(b y), = ax + a iy + ibx + ib iy (Muista: i = 1!) = (ax by) + i(ay + bx). / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Esimerkki 11 (lasketaan luennolla) Olkoot w = + i ja z = i. Laske w + z, w z ja wz. Tarkista piirtämällä kuvat. w z = 3i w = + i w + z = 4 + i wz = 6 + i arg wz = arg w + arg z wz = w z z = i 3 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 4 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Määritelmä 1 Luvun z = z 1 + i z C reaaliosa on Re(z) := z 1 R ja imaginaariosa on Im(z) := z R. Luku z = z 1 i z = Re(z) i Im(z) on luvun z kompleksikonjugaatti. Määritelmä 13 (Itseisarvo ja argumentti) Jos z = z 1 + iz C, olkoon z := z1 + z ja arg(z) := arg((z 1, z )). Esimerkki 14 Nyt z = z ja arg( z) = arg(z), joten zz = z. Tarkistus: zz = (z 1 iz )(z 1 + iz ) = (z 1 + z ) + i(z 1z z z 1 ) = z. Huom. Jos 0 z C, niin z = ( z1 z z + i z ) z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) missä ϕ = arg(z). 5 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 6 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Käänteisluku: Kompleksiluvun z = x + iy käänteisluvulle saadaan laskusääntöjen avulla muoto 1 z = z z z = x iy x + y = x x + y i y x + y, jos z 0. Yleisemmin kompleksiluku w/z voidaan sieventää muotoon a + ib laventamalla se nimittäjän liittoluvulla z: w z := w 1 z = w z/ z. Siis w/z = w / z ja arg(w/z) = arg(w) arg(z). Esimerkki 15 Esimerkki 16 + 3i ( + 3i)(4 + 5i) 7 + i = = = 7 4 5i (4 5i)(4 + 5i) 41 41 + 41 i. Jos n Z, niin z n = z n ja arg(z n ) = n arg(z). Tapauksessa z = cos(ϕ) + i sin(ϕ) saadaan de Moivren kaava: (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ). 7 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 8 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Tekniikassa kompleksiluvut kirjoitetaan usein ns. polaarimuodossa re iϕ. Tämä tarkoittaa tason pistettä, jonka napakoordinaatit ovat (r, ϕ). e iϕ on yksinkertaisesti lyhyempi merkitätapa kompleksiluvulle cos ϕ + i sin ϕ. Siis re iϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r cos ϕ + ir sin ϕ = x + iy. Fakta e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ voidaan osoittaa esim. sarjakehitelmien avulla, tämä tehdään kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. 9 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut Esimerkki 17 Mitkä kompleksiluvut toteuttavat yhtälön z 3 = 1? Vastaus: Ratkaise kirjoittamalla luvut polaarimuodossa z = re iϕ, 1 = 1e inπ, n Z. Tällöin yhtälö saa muodon (re iϕ ) 3 = r 3 e i3ϕ = 1e inπ, josta r 3 = 1 ja 3ϕ = nπ. Yhtälön toteuttavat siis pisteet, joille r = 1 ja ϕ = n 3 π, n Z, eli z = 1, z = 1 + 3 i ja z = 1 3 i. Nämä kolme pistettä sijaitsevat tasavälein yksikköympyrällä. 30 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Seuraava tulos on seurauksiltaan järisyttävä (vaikkei ehkä heti uskoisi). Sen mukaan ei-vakiolla polynomilla on nollakohta: Lause 18 (Algebran peruslause) Olkoon p : C C polynomi eli p(z) = n a k z k, k=0 missä a k C ja a n 0. Jos n 1, niin p(w) = 0 jollakin w C. Seuraus: Jos polynomi p on kuten edellä, niin missä r 1, r,..., r n C. Esimerkki 19 p(z) = a n (z r 1 )(z r ) (z r n ), p(z) = z + 1 = (z i)(z + i) eli polynomin p juuret ovat i, i C (eivät reaalisia!). Esimerkki 0 (lasketaan luennolla) Etsi polynomi, jolla on sekä reaalisia että imaginäärisiä juuria. 31 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 3 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 1.4 Esimerkki 1 (lasketaan luennolla) Etsi polynomin p(z) = z + (1 5i)z (4 + 4i) juuret. Ratkaisu: Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan z = (1 5i) ± (1 5i) 4( 4(1 + i)) = 5i 1 ± 1 10i 5 + 16i + 16 = 5i 1 ± 8 + 6i Neliöjuuri voidaan laskea seuraavasti: 8 + 6i = x + iy korotetaan puolittain neliöön, jolloin saadaan 8 + 6i = x + ixy y. Ratkaistaan yhtälöryhmä { x y = 8 xy = 6 (taululla) ja saadaan ratkaisuiksi x = 1, y = 3 ja x = 1, y = 3, eli 8 + 6i = ±(1 + 3i). Näin ollen polynomin nollakohdat ovat z = 5i 1 (1+3i) = 1 + i ja z = 5i 1+(1+3i) = 4i. 33 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut 34 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.4 Huom. Neliöjuuri voitaisiin laskea myös samalla idealla kuin kompleksiluvun potenssi aiemmin, eli muuntamalla 8 + 6i polaarimuotoon, ottamalla sitten neliöjuuri ( re iϕ = r 1/ e iϕ/ ) ja muuntamalla lopuksi takaisin kompleksimuotoon. 35 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 1. ja kompleksiluvut