Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio.
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7 Huomautus. Desimaaliluvun alussa olevilla nollilla ei ole merkitystä tiettyyn merkitsevien numeroiden tarkkuuteen pyöristettäessä, koska ne häviävät kymmenpotenssimuotoon kirjoitettaessa. Tämän vuoksi usein sanotaan, että alussa olevat nollat eivät ole merkitseviä numeroita. Huomaa myös, että luku on poikkeustapaus: ei ole mielekästä puhua luvun pyöristämisestä tiettyyn merkitsevien numeroiden tarkkuuteen, koska luvulla ei ole kymmenpotenssiesitystä, jonka kerroin on välillä [, [ (kuten kaikilla muilla luvuilla on). b) i) Tarkka arvo on T = e ja likiarvo L =,6. Virhe on T L = e,6 =,78, absoluuttinen virhe ΔT = T L =,78 ja suhteellinen virhe ΔT/ T =,78 / e =,77,8 =,8 %. ii) Tarkka arvo on T = sin ja likiarvo L =,8. Virhe on T L = sin,8 =,7, absoluuttinen virhe ΔT = T L =,7 ja suhteellinen virhe ΔT/ T =,7 /sin =,7,7 =,7 %. a) + + = ( + + ) yhteinen tekijä Polynomin + + nollakohdat: ± ± = = =. Siis + + = ( ( ))( ( ) ) = ( + )( + ), joten ( ) ( )( ) + + = + + = + +. b) Polynomin + termeillä ei ole yhteistä tekijää, eikä tekijöitä löydy helposti muistikaavojen avulla eikä ryhmittelemällä, joten yritetään löytää jokin polynomin nollakohta. Vakiotermin tekijät ovat ± ja korkeimman asteen termin kertoimen tekijät ±, ± ja ±, joten rationaaliset nollakohtaehdokkaat ovat ±, ± ja ±. Kokeilemalla huomataan, että = on nollakohta: + + =. Polynomi on siis jaollinen termillä ( ). Jaetaan jakokulmassa: + + ± + + ± + ±
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Siis + = ( )( ). Muistikaavan avulla saadaan edelleen ( )( ) + + = ( ) = ( ) ( ) + + = ( )(+ ) Osoitetaan, että funktiolla f () = + 7 on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio on derivoituva (ja siis myös jatkuva). Laaditaan funktion kulkukaavio derivaatan avulla. Derivaatta on f () = +. Derivaatan nollakohdat ja derivaatan kuvaaja: + = Kulkukaavio: = =±. f + f Funktion arvot paikallisissa ääriarvokohdissa: ( ) =( ) + ( ) 7 = f f () = + 7 =. + f Välillä [, [ ei ole nollakohtia, koska kulkukaavion perusteella funktion suurin arvo tällä välillä on. Koska funktio on aidosti vähenevä välillä ], [, tällä välillä on korkeintaan yksi nollakohta. Siis kaiken kaikkiaan funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Koska f( ) = 8> ja f( ) = < ja koska f on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f on nollakohta välillä ], [. Näin ollen funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta. a) Ratkaistaan yhtälöstä + 7 = seuraavasti: + = 7 = 7 = 7. Iterointifunktioksi saadaan näin g ( ) = 7. Valitaan alkuarvoksi = ja taulukoidaan tulokset: n n,779,879,7,767,7999 6,786 7,7 Laskimella: ) EXE ) (Ans-7) Juuri näyttäisi olevan kolmen desimaalin tarkkuudella,8.
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Tarkkuuden osoitus: koska f f (, 8) =, >, (,7) =9, < niin Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],7;,8[, joten sen kolmidesimaalinen likiarvo on,8. b) Valitaan aluksi esimerkiksi laskimella piirretyn kuvaajan perusteella väli [,;,]. f (,) =,7 > f (,) = < Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[. Haarukoidaan uusi väli, esimerkiksi [,;,]. f (,) =,9 > f (,) =,6 < Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[. Jatketaan haarukointia. Lopulta löydetään nollakohdan sisältävä väli, jonka kaikki luvut pyöristyvät kolmen desimaalin tarkkuudella samaan, esimerkiksi väli ],7;,8[. Juuren likiarvoksi saadaan,8. a) P( ) 7 7 = M( ) 7 7 = + + + 7 7 a+ b a b = + c c c ar as = + + + b) P ( ) = 7 7 = + + + ( 7 7 ) a-kohta r s = a Jakamalla polynomi + 7 + 7+ jakokulmassa trinomilla T( ) = + + havaitaan, että jako menee tasan ja osamäärä on +. Siis kun polynomi P ( ) jaetaan trinomilla T( ), saadaan polynomi ( + ) =. c) Kohtien a ja b nojalla josta P ( ) = ( + 7 + 7 + ) = + + + ( )( ), P ( ) = + + = + ( ). Vastaus a) + 7 + 7+ b) c)
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 6.7.7 f ( n ) Newtonin algoritmi: n+ = n. f ( ) Koska = = =, n niin on funktion f () = ainoa nollakohta. Sovelletaan siis Newtonin menetelmää tähän funktioon. Funktion derivaatta on f () =, joten palautuskaavaksi saadaan = = + = +. n+ n n n n n n n n Valitaan alkuarvoksi =. = + =,666 =,666 + =,,666 =, =, Viisidesimaalinen likiarvo näyttäisi olevan,. Varmistetaan: f f (,) =,6 >, (,) =,9 < 6 joten Bolzanon lauseen nojalla nollakohta on välillä ],;,[, jolloin sen viisidesimaalinen likiarvo on,. 6 Tutkitaan funktiota ln( + ) f( ) =. + Arvioidaan derivaattaa numeerisesti keskusdifferenssin avulla: f ( + h) f( h) f ( ). h ln( + ) Nyt h =, ; = ja f( ) =, joten + f( +,) f(,) f (), f(,) f(,) =, ln(,) ln(,999),,999 =, =,977 Lasketaan derivaatan tarkka arvo: ln( + ) f( ) = + ( + ) ln( + ) f ( ) = + ( + ) ln f () = = ln. =
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 7.7.7 Absoluuttinen virhe on Δ = ( ln ) (,977 ) =, 6 8... Suhteellinen virhe on Δ,68 = = = ln ln, 7,7 %. Vastaus f 7 (),97... ; suhteellinen virhe noin,7 7 a) Taylorin polynomi on f () f () P ( ) f() f ()!! = + + +. Lasketaan funktion f derivaattoja. f( ) = e +, f() = f ( ) = e +, f () = f ( ) = e, f () = f ( ) = e, f () = Saadaan P ( ) 6 = +. b) Yhtälö = e + on yhtäpitävä yhtälön e = kanssa. Merkitään g() = e, jolloin g () = e. Newtonin menetelmän palautuskaava on ( ) e n g e n n n n n+ = n = n = n + ( ) e n g e n n +. Valitaan alkuarvoksi esimerkiksi graafisen tarkastelun perusteella =. Saadaan e = + =,788 e + e,788,788 =,788 + =,6698 e,788 + =,67 =,67 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän desimaalin tarkkuudella,67. Varmistetaan tämä: g on jatkuva (eksponenttifunktion ja identtisen funktion summa), ja (,67) =,6 > g g(,67) =, <, joten Bolzanon lauseen nojalla välillä ],67;,67[ on nollakohta, jolloin sen nelidesimaalinen likiarvo on,67. Ratkaistaan sitten yhtälö = P (). Nyt = P ( ) = + + 6 6 + + = + 6=. ( 6)
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 8.7.7 Merkitään h() = + 6, jolloin h () = 6 +. Newtonin menetelmän palautuskaavaksi saadaan h ( n) n n + n 6 n n + 6 n+ = n = n = h n n n + n n +. ( ) 6 6 Valitaan jälleen alkuarvoksi =. Saadaan =, =,677 =,679 =,679 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän desimaalin tarkkuudella,67. Koska h on polynomifunktiona jatkuva ja koska h(,66) = 6,67 < h(,67) =,9 >, niin Bolzanon lauseen nojalla h:lla on nollakohta välillä ],66;,67[. Ratkaisun nelidesimaalinen likiarvo on siis todella,67. 8 6 ( ) f( ) d, f() + f(,) + f() + + f(,) + f(6) =, (,7 +,6 +, + +,9 +,87) = 7, c) Yhtälön = e + juuren nelidesimaalinen likiarvo on T =,67 ja yhtälön = P () juuren nelidesimaalinen likiarvo L =,67. Suhteellinen virhe on siten T L T,67,67 = =,, %.,67
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 9.7.7 Koe a) Olkoon ylälikiarvo L. Suhteellinen virhe on % ja L >, joten L =, L =, L =,6 L =,6. Arvon f(l) = L suhteellinen virhe verrattuna tarkkaan arvoon f() = on siis L,6 = =,68 6 %. b) Olkoon alalikiarvo L. Suhteellinen virhe on % ja L < 8, joten 8 L =, 8 8 L =, 8 8 L =, L = 7,6. Arvon f(l) = L suhteellinen virhe verrattuna tarkkaan arvoon f(8) = 8 on siis 8 L 8 7,6 = =,6 %. 8 8 Huomautus. Tulon = likiarvon L = L L L suhteellinen virhe on melko tarkasti kolme kertaa likiarvon L suhteellinen virhe tarkkaan arvoon verrattuna. Yhtälön + = juuret ovat samat kuin funktion f () = + nollakohdat. Funktio on polynomifunktiona jatkuva. ) Lasketaan funktion arvot välin [, ] päätepisteissä: f () = + = < f () = + = >. Arvot ovat erimerkkiset, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ], [. ) Funktion derivaatta on f () =. Välillä ], [ pätee f () = > =, joten f on aidosti kasvava välillä [, ]. Funktiolla f on siis korkeintaan yksi nollakohta välillä [, ]. Kohtien ja nojalla funktiolla f on täsmälleen yksi nollakohta välillä [, ], joten yhtälöllä + = on täsmälleen yksi juuri välillä [, ]. a) Ratkaistaan juuren likiarvo puolitusmenetelmällä. Väli Välin keskikohta c f (c) [, ],, < [,; ],7,9 > [,;,7],6,6 > [,;,6],6,7 > [,;,6],, < [,;,6],687,6 > [,;,687],96, > [,;,96],6, > [,;,6],, > [,;,],66, > [,;,66],788, < [,788;,66]
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Viimeisen välin kaikki luvut pyöristyvät neljän merkitsevän numeron tarkkuudella lukuun,, joten juuri on neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. b) Ratkaistaan juuren likiarvo Newtonin menetelmällä. Palautuskaava on f( n) n n + n n+ = n = n = f ( n) n n. Valitaan alkuarvoksi esimerkiksi =. Saadaan = = =,666 9 =,86 =,9 =,8 Juuri näyttäisi oleva neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Tarkkuuden osoitus: f (,) < ja f (,) >, joten Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f on nollakohta välillä ],;,[. Juuri on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Lasketaan jakokulmassa: + + ± + ± + ± Huomioi: jakajan termien järjestys vaihdettu jaettavan tyhjät tilat Täten vaillinainen osamäärä on ja jakojäännös. Siis + = +, josta saadaan jakoyhtälö + = ( )( ) +. Vastaus vaillinainen osamäärä jakojäännös jakoyhtälö + = ( )( ) +
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Saadaan f( ) = 8 6 + + 7= 7 ( + + 7) = = + + = tai 7 7. g( ) Funktiolla f on siis ainakin nollakohta =. Selvitetään funktion g nollakohtien lukumäärä. Derivaatta on g ( ) = 76 + = (7 + ). = vain kun = Derivaatta on siis vähintään nolla kaikkialla ja nolla ainoastaan yksittäisessä kohdassa =, joten g on aidosti kasvava koko R:ssä. Näin ollen funktiolla g on korkeintaan yksi nollakohta, jolloin funktiolla f on korkeintaan kaksi nollakohtaa. Koska esimerkiksi 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 < < 7 < 7 g( ) = ( ) + ( ) + 7 = + 7 = > ja koska g on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla g:llä on nollakohta välillä ], [. Siis funktiolla g on nollakohta, joka on pienempi kuin funktion f edellä löydetty nollakohta =, joten funktiolla f on täsmälleen kaksi reaalista nollakohtaa. Määritetään funktion f pienemmän nollakohdan eli funktion g ainoan nollakohdan likiarvo. Funktion g kuvaaja putoaa hyvin jyrkästi, kun kohdasta = lähdetään vasemmalle. Tangentit ovat lähes pystysuoria, joten Newtonin menetelmän iteraatio suppenee hyvin hitaasti kohti > nollakohtaa. Nopeammin nollakohdan löytää haarukoimalla laskimen avulla. Haarukoinnin voi toteuttaa vaikkapa seuraavasti: g(,) <, g(,) <, g(,) >, g(,) <, g(,) <, g(,) >, g(,) <. Tästä näkyy, että nollakohta on välillä ],;,[, joten se on kolmen desimaalin tarkkuudella,. a) + = Ratkaisukaavalla saadaan ± ± = = ( ) 6 Diskriminantti on negatiivinen, joten reaalisia juuria ei ole. Imaginaariset juuret ovat ± i 6 ± i = = = ± i. b) + = + = Merkitsemällä = t saadaan t + t = ± ± ± t = = = t = tai t = = tai = ( ) 6 =± tai =± i..
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 6, + +, = 9 + 8 + = Jälkimmäinen yhtälö on kokonaislukukertoiminen. Vakiotermin tekijät ovat ± ja ±. Korkeimman asteen termin kertoimen tekijät ovat ± ja ±. Yhtälön rationaalijuuriehdokkaat ovat siten ±, ±, ± ja ±. Kokeilemalla todetaan, että = on juuri: () 9() + 8 + =. Koska = on polynomin P() = 9 + 8 + nollakohta, niin polynomi on jaollinen binomilla ( ) =. Jaetaan jakokulmassa. 9 + 8 + ± + 8 + ± + ± Yhtälö 9 + 8 + = saadaan tulomuotoon ( )( ) =. Tästä saadaan ratkaistua muut juuret: = ± ( ) ( ) ± 8 ± = = = = ±. 7 Määritettävänä on yhtälön sin e = juuri eli funktion f() = sin e nollakohta. Yleisen sekanttimenetelmän algoritmi on = f( ) n+ n n n n f( ) f( ) n n = (sin e ), n=,, n n n n n sin e n sin e n n n + Alkuarvoilla = ja = saadaan =,98 =,9 =,7 =,7 Laskimella (TI): - A ENTER - B ENTER B-(sin B-e^B)(B-A)/(sin B- e^b-sin A+e^A) C:B A:C B Painellaan ENTER-näppäintä toistuvasti. Juuri näyttäisi olevan neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Tarkkuuden osoitus: Koska f on jatkuva ja koska f (,) =, < f (,) =, >, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla on välillä ],;,[ nollakohta. Nollakohta on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,. Vastaus, Vastaus = =, = ±
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 8 Lasketaan ensin funktion arvot f () = cos = cos = ja π f ( π ) = cos =. Interpolaatiosuora kulkee siis pisteiden (, ) ja (π, ) kautta. Suoran kulmakerroin on k = = π π. Interpolaatiosuoran yhtälö on y = ( ) π y = +. π Lineaarisen interpolaation avulla saadaan f(,) + =,9,9. π Suhteellinen virhe on, f (,),9 cos,9 = =,666 6,7 %. f (,) cos,
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) Likiarvon muoto,67 kertoo, että pyöristäminen on tehty 6 desimaalin tarkkuuteen. Ainoa tapa kirjoittaa likiarvo kymmenpotenssimuotoon pyöristysinformaatio säilyttäen on,67 = 6,7. Kertoimessa on numeroa, joten merkitseviä numeroita on. ii) 67, = 6,7, joten merkitseviä numeroita on. iii) Likiarvo on valmiiksi kymmenpotenssimuodossa, joten nähdään suoraan, että merkitseviä numeroita on. b) i) Kymmenpotenssimuodon kertoimen numeroiden määrällä kerrotaan pyöristystarkkuus. Kertoimen numeroiden määrä on sama kuin merkitsevien numeroiden määrä. Jos siis pyöristys on tehty merkitsevän numeron tarkkuuteen, niin kirjoitetaan 67 = 6,7. ii) Vastaavasti kuin i-kohdassa 67 = 6,7. iii) Jälleen vastaavasti 67 = 6,7. a) Funktio f( ) = on välillä > derivoituva (ja siis myös jatkuva), koska b f( ) = ab= = ln e = = ln e eln a ebln a b eln a = ebln a ja koska eksponenttifunktio, neliöjuurifunktio, logaritmifunktio ja vakiofunktio ovat derivoituvia. Etsitään kokonaislukuväli, jossa funktion merkki vaihtuu. Taulukoidaan arvoja: f( ) = Funktion merkki 9 negatiivinen 7, negatiivinen,9 negatiivinen negatiivinen, negatiivinen 6, positiivinen Havaitaan, että jatkuva funktio f ( ) saa erimerkkiset arvot kohdissa = ja = 6, joten Bolzanon lauseen nojalla välillä < < 6 on ainakin yksi reaalijuuri.
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 b) Funktio f( ) = on välillä > aidosti kasvava, sillä sekä kantaluku > että eksponentti kasvavat :n kasvaessa. Aidosti kasvavalla funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta. Tämän ja a-kohdan perusteella nollakohtia on täsmälleen yksi. c) i) Sovelletaan Bolzanon lausetta yhä pienenevillä väleillä: Funktion arvo ja merkki Juuren sijainti Välin pituus f (), < f (6), > ], 6[ 6 = f (,),< f (, ),87 > ],;,[, f (,9), 9 < f (, ),87 > ],9;,[, f (,9), 9 < f (,9),9 > ],9;,9[, Koska välin,9 < <,9 kaikki luvut pyöristyvät kahden desimaalin tarkkuudella lukuun,9, niin kysytyn juuren kaksidesimaalinen likiarvo on,9. ii) Newtonin menetelmässä pitää tietää derivaatan lauseke. ( ) f ( ) = D e ln s ( ) s ( ) De = e s ( ) = ln + = ln + = ln + Newtonin menetelmän mukainen palautuskaava on f ( n ) n+ n f ( n ) =, n =,,,, joten n+ = n n n n n n ln n + Otetaan alkuarvoksi =,. Algoritmilla saadaan seuraava jono: n n+,97966,9779,986,986 Juuren kaksidesimaalinen likiarvo on siten,9. Tarkkuus on osoitettu i-kohdassa. Vastaus a) lukujen ja 6 c),9
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 6.7.7 a) + 9 =( + 9) a ab+ b = ( a b) (( ) ) = + =() yhteisen tekijän erottaminen: ma + mb = m( a + b) b) Etsitään lauseketta + vastaavan yhtälön + = mahdolliset rationaalijuuret, jolloin polynomi saadaan jaettua tekijöihin nollakohtien avulla. Yhtälön kertoimet ovat kokonaislukuja. Vakiotermin a = = tekijät ovat ±, ±, ±, ±8, ±, ±. Korkeimman asteen termin kertoimen a = tekijät ovat ±. Mahdollisen rationaalijuuren = p/ q osoittaja p on vakiotermin tekijä ja nimittäjä q korkeimman asteen termin kertoimen tekijä, joten rationaalijuuriehdokkaat ovat ±, ±, ±, ±8, ±, ±. Kokeilemalla ehdokkaita havaitaan, että = on ratkaisu, sillä + = = on ratkaisu, sillä ( ) ( ) ( ) + = = on ratkaisu, sillä + =. Muita ehdokkaita ei kannata kokeilla, sillä kolmannen asteen yhtälöllä on enintään kolme juurta. Koska P( ) = a( )( )( ), jossa, ja ovat polynomin nollakohdat, niin + = ( )( ( ))( ) = ( )( + )( ). Vastaus a) ( ) b) ( )( )( + ) a) Luvut, ja ovat polynomin nollakohtia, jos ( + ), ( ) ja ( ) ovat polynomin tekijöitä. Etsitään lisäksi sellainen korkeimman asteen termin kerroin a, että P ( ) = a( + )( )( ) saa kohdassa = arvon 8. P() = a( + )( )( ) = a = 8 a = Siten kysytyksi polynomiksi kelpaa P ( ) = ( + )( )( ) = ( )( ) = ( + ) = 8+ 8. ( a+ b)( a b) = a b b) Sovelletaan tulon nollasääntöä yhtälöön (+ )( ) =. ) + = = : = ei reaalijuuria Imaginaariset juuret: = =± i =± i
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 7.7.7 ) = = b) Lasketaan jakolasku + jakokulmassa. = =± Vastaus P ( ) = 8+ 8 a) b) reaalijuuret =±, ab = a b, imaginaariset juuret =± i 6 + + ± 8 6 + 6 ± Termien järjestys pitää vaihtaa alenevaksi: + = = + Jako ei mennyt tasan, sillä jäi jakojäännös on. a) Lasketaan jakolasku + 7 jakokulmassa. + + + 7 ± + 7 ± 6 ± Huomaa, että jakajan termien järjestys on vaihdettu. Jako meni tasan, koska jakojäännös oli nolla. Jakolaskun osamäärä on +. Jakolaskussa pätee P( ) J( ) V( ) Q ( ) Q ( ) osamäärä ja J( ) jakojäännös. Siispä + = 6 +. Vastaus a) + b) 6 f () = e +, [, ] = +, jossa V( ) on vaillinainen 6+ Funktion f derivaatta on f () = e <, joten f on aidosti vähenevä. Näin ollen se saavuttaa välillä [, ] suurimman arvonsa kohdassa = ja pienimmän arvonsa kohdassa =. Koska f () = e + < + = ja f () = e + >, niin < f () < välillä [, ].
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 8.7.7 Toinen derivaatta on f () = e >, joten derivaatta on aidosti kasvava. Derivaatta on negatiivinen, joten derivaatan itseisarvo saavuttaa välillä [, ] suurimman arvonsa kohdassa =. Koska f () = e = e,7 <,, niin f () <, välillä [, ]. Lasketaan jonon,,, termejä palautuskaavan n = f ( n ) avulla lähtemällä alkuarvosta =,. Saadaan = f ( ) = f (,) = e, + =,7 = f ( ) =,8 =,78 =,789 =,788 6 =,787 7 =,786 Ratkaisu näyttäisi olevan neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,78. Varmistetaan: Koska f (,77),77 > ja f (,78),78 < ja koska funktio f () on jatkuva, niin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f () on nollakohta eli yhtälöllä = f () on ratkaisu välillä ],77;,78[. Ratkaisu on siis neljän merkitsevän numeron tarkkuudella,78. Huomautus. Kyseessä on luonnollisesti kiintopistemenetelmä. Ehto < f () < takaa kiintopisteen olemassaolon, sillä ehdon nojalla f () > ja f () <, jolloin Bolzanon lauseen nojalla funktiolla f () on nollakohta eli yhtälöllä = f () on ratkaisu eli funktiolla f on kiintopiste välillä [, ]. Derivaattaehto f () <, takaa sen, että funktiolla f iterointi suppenee kohti kiintopistettä (ks. kirjan sivulla 7 olevaa suppenemisehtoa). 7 Integroitava funktio on f( ) =, ja osavälin pituus on Simpsonin säännöllä saadaan h = =. d h ( f () + f () + f () ) = + + = = 9 9. Virhekaavan mukaan virhe on () () ( ba) f ( t) () f ( t) () E f t t = = = ( ), jossa < <. 8 8 9 Lasketaan derivaattoja: f ( ) = =, f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = 6, () f ( ) =. () Neljännen derivaatan itseisarvo f ( ) = on välillä [, ] aidosti () vähenevä, joten se on välillä ], [ pienempi kuin f () = =. Absoluuttiselle virheelle saadaan arvio () E = f ( t) < =,667. 9 9 Integraalin tarkka arvo on d / ln ln ln ln = = =, joten likiarvon tarkka absoluuttinen virhe on ln,. 9 9
PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU 9.7.7 8 a) Vasemmanpuoleisen erotusosamäärän avulla: f() f( h) f () h ( h) = h h h = =,,99 6,99 =,97., Oikeanpuoleisen erotusosamäärän avulla:, f( + h) f(), 6 f () =,9986. h, Keskusdifferenssin avulla:,,99 f( + h) f( h),,99 f () =,. h, b) Suhteellinen virhe on T L, jossa T on tarkka arvo ja L likiarvo. Nyt T T = f () = 8( + ln ),77. Kun h =, niin keskusdifferenssin avulla saadaan derivaatalle likiarvo,,9 f( + h) f( h),,9 =,86, h, jonka suhteellinen virhe on noin,77,86,77, =, %. Kun h =, niin a-kohdassa lasketun likiarvon suhteelliseksi virheeksi saadaan noin,77,,77 c) Kun h =, niin keskusdifferenssi on, =,%. + f( + h) f( h) ( + ) ( ) = h TI-86-laskimella laskettuna keskusdifferenssi on. Eri laskimet antavat erilaisia tuloksia. Osoittajassa on kahden lähes samansuuruisen luvun erotus, jolle laskin saattaa antaa arvoksi nollan muistipaikkojen loppumisen takia. (Laskin ei erota edes lukuja + h ja h toisistaan, kun h on riittävän pieni. Kokeile tätä syöttämällä laskimeen + ja ). Mikäli laskin antaa keskusdifferenssiksi nollan, niin absoluuttinen virhe on T L = T = 8( + ln ) ja suhteellinen virhe %. Derivaatan määritelmän nojalla keskusdifferenssi lähestyy derivaattaa, kun h, ja absoluuttinen virhe siis lähestyy nollaa. Suoraan laskimella laskettu keskusdifferenssin arvo ei kuitenkaan lähesty derivaattaa, koska hyvin pienillä h:n arvoilla laskimen kapasiteetti loppuu. Vastaus a) f (),9986, f (), 97, f (), b), %;, % c) Riippuu laskimesta; luultavasti absoluuttinen virhe on hyvin suuri..