Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio, 8.-9.9.015, ratkaisut 1. Jaa tekijöihin (joko muistikaavojen avulla tai ryhmittelemällä) (a) x +x+ = x + x + = (x+) x +x+ = (x +x+1) = (x+1) (c) x 9 = (x) 3 = (x+3)(x 3) x 3 x x+ = x () () = ()(x ) (e) x x +1 = (x ) x 1+1 = (x 1) = (x 1 ) = ((x+1)()) = (x+1) () (f) x +x 3 x = x 3 (x+1) (x+1) = (x+1)(x 3 ). Sievennä (a) x +3x = x(x+3) = x+3, x 0 x x (x+) x(x+) = (x+) (x+) x (x+) = x+ x, x (c) x()x () = x () () () = x x x+1 = () = () () =, x 1 3. Jaa jakokulmassa 7358 : 13. 1 0 1 3 7 3 5 8-6 1 3-1 3 0 5-0 5 8-5 6 7358 : 13 = 10 6 13.. Jaa jakokulmassa polynomi p(x) = x 3 x +x polynomilla q(x) = x + x 3 x +x (x 3 x ) 0 +x (x ) 0 p(x) q(x) = x3 x +x = x +. 1
5. Jaa jakokulmassa (a) x 3, (a) x 3 (x ) 1 (c) x +3x 3x+ x x x3 x x+, x, x x 3 +x x+1 x. +x+1 x 3 = + 1. x 1 x x 3 x x + (x 3 x ) 0 x + ( x +) 0 x 3 x x+ x (c) x +x + x x x +3x 3x + (x x 3 ) x 3 +3x (x 3 x ) x 3x (x x) x + x +3x 3x+ x x x x + x +x+1 x x 3 +x x +1 (x +x 3 +x ) x 3 x ( x 3 x x) x +x +1 (x +x +) x 1 x x 3 +x x+1 x +x+1 = x 1. = x +x++ x+ x x. = x x++ x +x+1.
6. Ratkaise seuraavat murtoyhtälöt ja -epäyhtälöt (a) (a) x, 3x+ x 5 x+ = x+1 x+, (c) x > 0, 3x+ (x )(3x+) (x+1)(x 5) 0. x+7 x+3 ( a ) osamääräsääntö b a ja b 0 x + ja 3x+ 0 x = ja 3x : 3 x = ja x 3 Vastaus on siis x =. x 5 x+ = x+1 x+ x 5 x+ x+1 x+ (x 5) (x+1) x+ x 5 ) x+ 3x 6 x+ x+1 x+ 3x 6 +6 ja x+ 0 3x = 6 : ( 3) ja x : 3 x = ja x Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisua. (c) Osoittajan nollakohdat: x 3x+ > 0 x + x = Osoittaja on nouseva suora, koska ensimmäisen asteen tekijän kerroin on positiivinen. Siten osoittaja saa negatiivisia arvoja niillä muutujan x arvoilla, joilla x on nollakohtaa pienempi ja muilla muuttujan x arvoilla positiivisia arvoja. Nimittäjän nollakohdat: 3x+ 3x = x = 3 3
Nimittäjä on nouseva suora, koska ensimmäisen asteen tekijän kerroin on positiivinen. Siten nimittäjä saa negatiivisia arvoja niillä muutujan x arvoilla, joilla x on nollakohtaa pienempi ja muilla muuttujan x arvoilla positiivisia arvoja. Tehdään seuraavaksi merkkikaavio. 3 x + 3x+ + + osamäärä + + Epäyhtälön ratkaisut ovat ne murtolausekkeen arvot, jotka ovat positiivisia. Siis arvot x < 3 ja x >. Nollakohdat eivät kuuluu ratkaisuun, sillä epäyhtälön merkki (>) ei sisällä yhtäsuuruutta. Näin ollen epäyhtälön ratkaisu on x < 3 tai x >. Osoittajan nollakohdat: (x )(3x+) (x+1)(x 5) 0 (x )(3x+) x + tai 3x+ x = tai 3x = : 3 x = tai x = 3 Osoittajan molemmat tulontekijä ovat nousevia suoria. Nimittäjän nollakohdat: (x+1)(x 5) x+1 1 tai x 5 +5 x = 1 tai x = 5 : x = 1 tai x = 5 Nimittäjän molemmat tulontekijä ovat nousevia suoria. Tehdään seuraavaksi merkkikaavio. 5 1 3 x + 3x+ + + + x+1 + + + + x 5 + + osamäärä + + + Epäyhtälön ratkaisut ovat ne murtolausekkeen arvot, jotka ovat negatiivisia. Siis arvot 1 < x < 3 ja 5 < x <. Lisäksi nollakohdista ne osoittajan nollakohdat, jotka eivät ole nimittäjän nollakohtia toteuttavat epäyhtälön, koska epäyhtälössä on mukana yhtäsuuruus ( ). Näin ollen epäyhtälön ratkaisu on 1 < x 3 tai 5 < x.
7. Ratkaise seuraavat murtoyhtälöt ja -epäyhtälöt (a) x+7 x+3 osamääräsääntö ( a b a ja b 0) x+7 7 ja x+3 0 3 x = 7 : ja x 3 Vastaus on siis x = 7 x = 7. ja x 3 x 3x 3 x 3x 3 (x 3x 3)(x ) ()(x ) = x +x 6 x x +x 6 x (x +x 6)() (x )() (x 3x 3)(x ) (x +x 6)() (x )() (x 3 3x 3x x +6x+6) (x 3 +x 6x x x+6) (x )() x 3 3x 3x x +6x+6 x 3 x +6x+x +x 6) (x )() 5x +10x) (x )() 5x(x )) (x )() +x 6 x x Lavennus samannimisiksi osamääräsääntö 5x(x ) ja (x )() 0 tulosääntö ( ) ( ) 5x tai x ja x 0 ja 0 ( ) ( ) x tai x = ja x ja x 1 Vastaus on siis x. (c) 8x+ x, (x ) 8x+ (x ) 0 Lavennetaan samannimisiksi 8x+ (x )() 0 ( 8x+) (x x x+) 0 8x+ x +5x 0 x 3x 0 Jaetaan osoittaja ja nimittäjä omiksi epäyhtälöiksi 5
Yhtälö on tulo-/osamäärä muodossa. Tällainen murtoepäyhtälö voidaan ratkaista ratkaisemalla, missä alueissa eri tulontekijät saavat positiivisia ja negatiivisia arvoja. Osoittajan nollakohdat: x 3x. asteen ratkaisukaavasta nollakohdat x = 3± ( 3) ( 1) ( ) ( 1) = 3± 9 8 = 3± 1 = 3±1 = { = 1 = Osoittaja on alaspäin aukeava paraabeli, sillä. asteen tekijän kerroin on negatiivinen murtoepäyhtälössä. Siten se saa positiivisia arvoja nollakohtiensa välissä ja muualla negatiivisia. Nimittäjä: +1 x = 1 Nimittäjä on nouseva suora, koska ensimmäisen asteen tekijän kerroin on positiivinen. Siten nimittäjä saa negatiivisia arvoja niillä muutujan x arvoilla, joilla x on nollakohtaansa pienempi ja muilla muuttujan x arvoilla positiivisia arvoja. Tehdään seuraavaksi merkkikaavio. 1 1 x 3x + + osamäärä + + Epäyhtälön ratkaisut ovat ne murtolausekkeen arvot, jotka ovat negatiivisia. Siis arvot < x < 1 ja x > 1. Lisäksi nollakohdista ne osoittajan nollakohdat, jotka eivät ole nimittäjän nollakohtia toteuttavat epäyhtälön, koska epäyhtälössä on mukana yhtäsuuruus ( ). Näin ollen epäyhtälön ratkaisu on x 1 tai x > 1. x 3x 3 x +x 6 x Havaitaan, että epäyhtälö on sama, kuin tehtävän 6b yhtälö lukuun ottamatta, että yhtäsuuruus merkki (=) on nyt pienempi tai yhtäsuurempi kuin -merkki ( ). Lisäksi b-kohdan ratkaisussa ei missään vaiheessa muokattu yhtälöä puolittain muuta kuin lisäämällä tai vähentämällä puolittain. (Erityisesti missään vaiheessa ei kerrottu tai jaettu negatiivisella luvulla tai nollalla.) Täten voimme hyödyntää ratkaisua ja todeta, että d-kohta voidaan muuttaa yhtäpitävään muotoon 5x(x ) (x )() 0. Edelleen tämän epäyhtälön nollakohdat on ratkaistu kunkin tulontekijän osalta tehtävässä 6b. Toisaalta tulontekijöistä 5x on laskeva suora, joten se saa ennen nollakohtaansa positiivisa arvoja ja sen jälkeen negatiivisia. Muut tulontekijät ovat nousevia suoria ja ne saavat ennen nollakohtaansa negatiivisia arvoja ja sen jälkeen positiivisia arvoja. Näin ollen saadaan merkkikaavio 6
0 1 5x (osoittaja) + x (osoittaja) + x (nimittäjä) + x 1 (nimittäjä) + + osamäärä + Epäyhtälön ratkaisut ovat siis x < 0, 1 < x < tai x >. Lisäksi nollakohdista osittajan nollakohta x toteuttaa yhtälön, mutta toinen nollakohta x = ei ole yhtälön ratkaisu, koska se on myös nimittäjän nollakohta. Epäyhtälön ratkaisu on siis x 0, 1 < x < tai x > 8. Ratkaise yhtälö x 3 8x 3. Kokeillaan ensin löytää yksi ratkaisu. Sijoitetaan yhtälöön arvot x = ±1 ja x = ±3. Havaitaan, että yhtälö toteutuu, kun x = 3. Täten yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa muodossa q(x) (x 3). Ratkaistaan seuraavaksi q(x) jakokulman avulla. x +3x +1 x 3 x 3 8x 3 - (x 3 3x ) 3x 8x - (3x 9x) x 3 - ( x 3) 0 Nyt siis tiedetään, että Siten yhtälön muut ratkaisut ovat yhtälön x 3 8x 3 = (x 3)(x +3x+1). x +3x+1 ratkaisut. Nämä saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta: x = 3± 3 1 1 1 = 3± 9 Vastauksena saadaan siis, että yhtälön ratkaisut ovat = 3± 5. x = 3, x = 3+ 5 ja x = 3 5. 7