Fysiikan matemaattiset menetelmät II Luentomuistiinpanot 5 6. helmikuuta 5
Sisältö Johdanto 4 Ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöt (ODYt 4. Ensimmäisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt....... 7 3 Toisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt 3 3. Aaltoyhtälö...................................... 3 3.. d Alembertin ratkaisu............................ 3 3.. Ratkaisu Fourier-muunnoksen avulla.................... 5 3. Diffuusioyhtälö.................................... 6 3.3 Aaltoyhtälö äärellisellä välillä, ratkaisu separointimenetelmällä.......... 8 3.4 Toisen asteen ODYiden luokittelu.......................... 3.5 Karakteristiset pinnat................................ 4 3.6 Yleinen kahden muuttujan toisen kertaluvun ODY................. 5 3.7 Alkuehdot....................................... 6 3.7. Hyperboliset yhtälöt............................. 7 3.7. Paraboliset yhtälöt.............................. 8 3.7.3 Elliptiset yhtälöt............................... 9 3.8 Muuttujien erottelu.................................. 3 3.8. Laplacen yhtälö napakoordinaateissa.................... 3 3.8. Helmholtzin yhtälö sylinterikoordinaateissa................. 33 3.8.3 Helmholzin yhtälö pallokoordinaateissa................... 34 3.9 Greenin funktiot................................... 35 3.9. Greenin funktion menetelmä......................... 36 3.9. Distribuutiot R:ssä.............................. 36 3.9.3 Laplacen operaattorin Greenin funktio kaksi- ja kolmiulotteisessa tapauksessa...................................... 37 3.9.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio........................ 4 4 Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 4 4. Epähomogeeninen yhtälö; Greenin Funktio..................... 43 4. Erikoispisteet ja niiden luokittelu.......................... 44 4.3 Frobeniuksen menetelmä............................... 45 4.3. Kun s on kokonaisluku............................ 47 4.3. Yhteenveto.................................. 49 4.4 Hypergeometrinen yhtälö............................... 5 4.5 Konfluentti hypergeometrinen yhtälö........................ 5 5 Erikoisfunktiot 5 5. Differentiaaliyhtälö.................................. 5 5. Ortonormitusrelaatiot ja täydellisyys........................ 5 5.3 Funktion kehittäminen erikoisfunktioiden mukaan................. 54 5.4 Muodostajafunktio (generoiva funktio....................... 55 5.5 Palautuskaavat.................................... 55 5.6 Legendren yhtälö................................... 56 5.6. Legendren toisen lajin funktiot....................... 58 5.6. Rodriguesin kaava............................... 59 5.6.3 Ortonormitusrelaatiot............................ 6
5.6.4 Funktion kehittäminen polynomien P n mukaan............... 6 5.6.5 Muodostajafunktio (generoiva funktio................... 6 5.6.6 Palautuskaava................................. 6 5.6.7 Differentiaaliyhtälöitä............................. 63 5.7 Legendren liittofunktiot............................... 64 5.7. Differentiaaliyhtälö.............................. 64 5.7. Negatiivinen m................................ 65 5.7.3 Palautuskaava................................. 66 5.7.4 Ortogonaliteetti................................ 66 5.7.5 Täydellisyys.................................. 68 5.8 Palloharmoniset funktiot............................... 69 5.8. Palloharmoniset funktiot........................... 7 5.8. Täydellisyys.................................. 7 5.8.3 Sivujuoni: Sturm-Liouville operaattorin Greenin funktioista...... 73 5.8.4 Laplacen operaattorin Greenin funktion palloharmoninen kehitelmä... 75 5.9 Besselin Funktiot................................... 77 5.9.. lajin Besselin funktiot........................... 77 5.9. Neumannin/Weberin funktiot (. lajin Besselit.............. 79 5.9.3 Hankelin funktiot (3. lajin Besselit..................... 8 5.9.4 Muutellut Besselin funktiot I ν, K ν..................... 8 5.9.5 Palautuskaavoja................................ 8 5.9.6 Muodostajafunktio.............................. 8 5.9.7 Integraalikaavoja ja asymptootteja..................... 85 5.9.8 Ortogonaliteetti................................ 86 5.9.9 Pallobesselit.................................. 87 5.9. Tasoaallon palloaaltokehitelmä........................ 89 5. Laguerren funktiot.................................. 9 5.. Laguerren liittopolynomit.......................... 9 5.. Ortonormitus................................. 9 5..3 Muodostajafunktio.............................. 9 5..4 Palautuskaavoja................................ 93 5..5 Liittopolynomien muodostajafunktio.................... 94 5..6 Vetyatomin radiaalinen yhtälö........................ 95 5. Hermiten polynomit................................. 96 5.. Ortonormitus................................. 97 5.. Hermiten funktiot............................... 97 3
Johdanto FyMM IIa on tärkeä kurssi. Se keskittyy osittaisdifferentiaaliyhtälöiden hallintaan. Ne ovat fysiikassa aivan keskeinen matemaattinen väline, ja tärkeitä myös monilla muilla tieteenaloilla. Miksi? Fysiikka keskittyy luonnon peruslakien ymmärtämiseen. Näille laille on ominaista se että ne ovat pitkälti deterministisiä: kun systeemin alkutila ja sitä kuvaava laki tunnnetaan, voidaan ennustaa sen tuleva käyttäytyminen. Tällöin tiedetään miten systeemiä kuvaavat parametrit muuttuvat pienellä aika-askeleella, ja tämän relaation matemaattinen kuvaus on usein osittaisdifferentiaaliyhtälö. Samantapaista mallintamista käytetään myös esim. biologiassa ja taloustieteessä. Niinpä haluamme kannustaa sinua panostamaan tämän kurssin asioiden opiskeluun ja harjoitteluun, sillä panostuksesi auttaa sinua myöhemmissä opinnoissasi. Fysiikan alalla determistinen aikakehitys on keskeisessä roolissa paitsi klassisessa mekaniikassa (liikeyhtälöt, myös elektrodynamiikassa (ajasta riippuvat Maxwellin yhtälöt, aaltoyhtälö, kvanttimekaniikassa (ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö, statistisessa mekaniikassa (Fokker- Planck yhtälö, diffuusioyhtälö, Langevinin yhtälö, yleisessä suhteellisuusteoriassa, kvanttikenttäteoriassa (klassiset kenttäyhtälöt, meteorologiassa (sää- ja ilmastomallit jne. Aikakehityksen ohella kiinnostavaa on tietää miten systeemiä kuvaavat parametrit ovat riippuvat toisistaan ja ympäristön parametreistä. Niinpä myös staattisissa tilanteissa osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat tärkeitä, esim. sähköstatiikassa (annetun varaustiheyden luoma sähkökenttä, kvanttimekaniikassa (ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö jne. Kurssin laskuharjoituksissa harjoitellaan laskutekniikoita ja pyritään tilaisuuden tullen soveltamaan niitä fysiikassa esiintyviin perusyhtälöihin. Eräänä tavoitteena on kehittää hyvää laskurutiinia, jotta myöhemmillä kursseilla sinulle jäisi enemmän resursseja keskittyä sovelluksiin ja käsitteellisiin asioihin mekaanisen laskemisen asemasta. Kurssi on työläässä maineessa. Osaltaan se on tarkoituksellista, kurssi on eräänlainen kuntosalitreeni joilla kehitetään istumalihaksia ja matemaattisia muskeleita. Ohessa on tarkoitus oppia aktiivisesti itse etsimään hyödyllisiä lähteitä jotka auttavat eteenpäin, ja kannustaa teitä oppia miettimään ja ratkomaan asioita yhdessä. Toivotamme sinulle kärsivällisyyttä ja peräänantamattomuuta, tietenkin myös onnistumisen iloa. Ensimmäisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöt (ODYt Aloitetaan kertaamalla aikaisemmilta kursseilta (MApu, FyMM I osittaisderivaatat: kun u = u(x, y,..., on u x = lim ɛ u y = lim ɛ (u(x + ɛ, y,... u(x, y,... ɛ (u(x, y + ɛ,... u(x, y,... ɛ jne. Kun muuttujia on useita (eli enemmän kuin 3, on käytännölisempää merkitä u = u(x, x,..., x n. Lyhennämme myös u x = u x, u yy := u y Jos osittaisderivaatat ovat lisäksi jatkuvia, niin derivoimisjärjestyksellä ei ole merkitystä. Esimerkiksi jos u xy ja u yx ovat jatkuvia, niin jne. u x y := u x y = u y x =: u y x. 4
Kuva : Osaatko katsoa silmämääräisesti miten osittaisderivaatat käyttäytyvät milloin kukin osittaisderivaatta x, y on positiivinen/negatiivinen, ja kumpi osittaisderivaatta on suurempi? Kuva : Entä tässä tapauksessa? 5
Palautamme vielä mieleen lineaarisuuden. Derivoiminen on lineaarista: (a v + b w = a v + b w x i x i x i kaikilla a, b R tai C ja derivoituvilla funktioilla v, w. Yleisemmin, sanomme että kuvaus (funktio T on lineaarinen, jos jne. T (ax + by = at (x + bt (y. a, b R (tai C Huomaa että lineaarisia kuvauksia voi olla ainoastaan vektoriavaruuksien välillä, jotta yhteenlasku ja reaaliluvuilla kertominen ovat määriteltyjä. Vektoriavaruuden alkiot x ja y eivät välttämättä ole vektoreita perinteisessä mielessä (eli R 3 :n alkioita, vaan ne voivat olla esimerkiksi funktioita: esimerkiksi jatkuvat funktiot muodostavat vektoriavaruuden, samoin intergoituvat funktiot. (Vektoriavaruuden alkioita voidaan laskea yhteen ja kertoa reaali- tai kompleksiluvuilla, ja alkioiden joukossa on nolla-alkio. Esim. jatkuvat funktiot toteuttavat nämä ominaisuudet. Usein lineaarisia kuvauksia kutsutaan myös operaattoreiksi. Esim. kvanttimekaniikassa käytetään tätä termiä. Esimerkiksi jos määritellään yhden muuttujan funktioille u(x L(u(x = du (x + f(xu(x dx missä f(x on jokin tietty funktio, tai kahden muuttujan funktioille u(x, y L(u(x, y = u x (x, y + u (x, y, y niin L (eli kuvaus u L(u on lineaarinen eli se on (differentiaalioperaattori. Vastaavasti integroinnin lineaarisuuden vuoksi esimerkiksi kaavat ja L(u(x = b L(u(x = f(xu(x + a K(x, tu(tdt x a K(tu(tdt määräävät (integraalioperaattorit u L(u. Operaattorit toteuttavat mm. superpositioperiaatteen: jos u ja u ovat yhtälön ratkaisuja, niin tällöin L(u = L(au + bu = al(u + bl(u = kaikilla a, b R. Toisin sanoen, au + bu ratkaisee saman yhtälön. (Esimerkkinä vaikkapa kvanttimekaniikan ajasta riippumaton Schrödinger-yhtälö: vaihdetaan notaatiota L H( E, u ψ: (H E(aψ + bψ = a(h Eψ + b(h Eψ =. Huomaa kuitenkin että epähomogeenisessa tapauksessa, L(u = f, kahden ratkaisun u, u superpositio ei ole ratkaisu, vaan L(au + bu = (a + bf. 6
(Lineaarisuuden sijaan yhtälö on affiini, samoin kuin kuvaus x ax + b on affiini kuvaus. Palataksemme ODYihin, aloitamme listaamalla fysiikassa ehkä perinteisimmät esimerkit. Laplacen yhtälö esiintyy lähes kaikilla fysiikan aloilla. Poisson (epähomogeeninen Laplace: u := u = (lineaarinen, homogeeninen (. u = f (lin., epähom. (. esiintyy esimerkiksi elektrostatiikassa: ϕ = ɛ ρ. Diffuusioyhtälö: u t D u = (lin., hom. (.3 Aaltoyhtälö: u c t u = (lin., hom. (.4 Ajasta riippuva Schrödinger: Hamilton-Jacobi (klassinen mekaniikka: i ψ t = m ψ + V ( xψ (lin., hom. (.5 m ( S + V ( x = S t Korteweg de Vries (solitoniaaltojen perusyhtälö: (epälin., epähom. (.6 ψ t + ψ ψ x + 3 ψ = (epälin., hom. (.7 x3 Tavallisille DYille analogisesti, osittaisdifferentiaaliyhtälön kertaluku on korkeimman siinä esiintyvän osittaisderivaatan kertaluku. Esimerkiksi Laplacen yhtälön kertaluku on. Aloitamme ensimmäisen kertaluvun ODYistä, jotka ovat luonnollisesti yksinkertaisimpia.. Ensimmäisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt Ensimmäiseksi palautetaan mieleen ensimmäisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden ominaispiire: yhtälön yleinen ratkaisu sisältää tuntemattoman vakiokertoimen, joka määrittelemiseksi tarvitaan lisäehto, alkuehto. Esimerkki: yhtälön dx dt = α x(t (.8 ratkaisuja ovat funktiot x(t = Ce αt, missä C R on mielivaltainen vakio. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla alkuarvo x( = x. Toisin sanoen, alkuarvo-ongelmalla { ẋ(t = α x(t x( = x (.9 on täsmälleen yksi ratkaisu x(t = x e αt. 7
Siirrytään sitten. kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Aloitetaan esimerkillä: Korvatan ensinnäkin yhden muuttujan tuntematon funktio x(t kahden muuttujan funktiolle u(x, y. Kysymme nyt: Mikä on yhtälön x u x + y u y = u (. ratkaisu eli mikä u = u(x, y toteuttaa sen? Huomataan, että jos F : R R on mikä tahansa derivoituva funktio, niin u(x, y = x F (x/y toteuttaa (.:n alueessa, jossa y : joten x u x + y u y u x = F (x/y + x y F (x/y u y = xf (x/y ( x y = x y F (x/y, = xf (x/y + x y F (x/y x y F (x/y = xf (x/y = u kuten kuuluukin. Huomaamme että ratkaisuun jää nyt mielivaltainen (yhden muuttujan funktio F (. Ilmiötä voi verrata tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriaan: Esimerkiksi yhtälön ẋ(t = α x(t (. ratkaisuja ovat funktiot x(t = Ce αt, missä C R on mielivaltainen vakio. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla alkuarvo x( = x. Toisin sanoen, alkuarvo-ongelmalla { ẋ(t = α x(t x( = x (. on täsmälleen yksi ratkaisu x(t = x e αt. Miten saisimme ODYn ratkaisun yksikäsitteiseksi? Palataan aiempaan esimerkkiin (., jonka ratkaisuja ovat (ainakin funktiot u(x, y = xf (x/y. Vaaditaan että suoralla y = funktiolla u on tunnettu profiili φ(x: u(x, = φ(x. Tästä saadaan ehto F :lle: u(x, = φ(x = xf (x/ = φ(x = F (x = φ(x x, joten ratkaisu näyttäisi määräytyvän yksikäsitteisesti: u(x, y = x φ(x/y x/y = yφ(x/y. On siis annettava u(x, y jollakin käyrällä (x, y-tasossa! Tässä on kuitenkin eräs ongelma: Mitä jos olisimme valinneet käyräksi (x, cx, jollakin c. Tällöin olisimme ehdosta u(x, cx = φ(x saaneet F :lle ehdon u(x, cx = φ(x = xf (x/cx = xf (/c = φ(x, mikä pätee vain, jos φ(x = α x ja F (/c = α. Erityisesti F on muuten mielivaltainen! Käyrät y = cx, c ovat siis yhtälön (. suhteen erikoisasemassa. Sanomme, että ne ovat yhtälön karakteristikat. Kerromme niistä lisää hetken kuluttua. Tarkastellaan sitten yleisempää tapausta eli kvasilineaarisia. kl:n ODYä : P (x, y, u(x, y u + Q(x, y, u(x, y u x y kvasilineaarinen = lineaarinen korkeimman kertaluvun derivaatoissa. = R(x, y, u(x, y. (.3 8
Jos R, yhtälö on homogeeninen, muuten yhtälö on epähomogeeninen. Yhtälön ratkaisu u(x, y (jos sellainen on määrää pinnan (x, y, u(x, y R 3 :ssa. Pinta voidaan esittää tasaarvopintana f(x, y, u = sopivalla funktiolla f(x, y, z, f : R 3 R (esimerkiksi f(x, y, u = u(x, y u =. Tällä pinalla siis (huom: alla sijoitetaan u = u(x, y joten du = ( x udx + ( y udy, ratkaisupinnallahan u riippuu x:stä ja y:stä eli ja = df = f f f dx + dy + x y z du = f ( f f u dx + dy + = x y ( f x + f z u x z dx + u x = f x / f z Sijoitetaan nämä yhtälöön (.3, jolloin saadaan P (x, y, u f + Q(x, y, u f x y u dx + x ( f y + f z y dy u y dy (.4 u y = f y / f z. (.5 + R(x, y, u f z =. (.6 Määrittelemällä vektorikenttä v = P ê + Qê + Rê 3, (.6 sanoo, että (huom. pistetulo v f =. (.7 Koska, f on pintaa f vastaan kohtisuorassa, on v oltava pinnalle tangentiaalinen (=integraalipinta. Pinta f =, määräytyy siis vektorikentän integraalikäyristä: v(x, y, u(x, y on pinnalla kulkevan polun, karakteristikan, tangentti (muuttuja t parametrisoi polkua: eli d r(t dt = v( r(t (.8 dx(t = P (x, y, u(x, y, dt dy(t = Q(x, y, u(x, y, (.9 dt du(t = R(x, y, u(x, y. dt Miten sitten löydämme karakteristikat eli integraalikäyrät? Edellisistä yhtälöistä saadaan eli kaksi riippumatonta yhtälöä! Esimerkiksi dt = dx P = dy Q = du R dx P = dy Q = dx dy = P Q, (. 9
ratkaisu φ (x, y, u = C. dx P = du du = R dx = R P, (. ratkaisu φ (x, y, u = C. Yhtälöt φ i = C i määrittelevät toisiaan leikkaavaa pintaa (jotka eivät yksistään ole ratkaisupintoja kolmiulotteisessa (x, y, u-avaruudessa, karakteristika on pintojen leikkauskäyrä. ODY:n koko ratkaisu on parvi käyriä jotka virittävät -ulotteisen ratkaisupinnan u = u(x, y. Tehdään nyt pieni poikkeama. Olkoon v = (P (x, y, u, Q(x, y, u, R(x, y, u vektorikenttä. Sanomme että funktio φ = φ(x, y, u on v : n. integraali, jos se toteuttaa yhtälön v φ =. (. Vektori φ on pinnan φ(x, y, u = C =vakio normaalivektori (tästä esimerkkinä voit laskea yksikköpallolle φ = x + y + u = gradientin φ ja todeta sen olevan kohtisuorassa pallopintaa vastaan kaikkialla. Koska v R 3, sille löytyy kaksi lineaarisesti riippumatonta normaalivektoria, joten (.:lle löytyy kaksi ratkaisua φ (x, y, u, φ (x, y, u vastaten kahta pintaa S i : φ i = C i, i =,. Lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä että φ φ = kaikkialla. Pinnat S ja S leikkaavat käyrällä C, jonka tangenttivektori w φ i kun i =,. Tangenttivektori w voidaan valita yhdensuuntaiseksi v:n kanssa, w = λ v, jolloin käyrä C on karakteristika. Muuntelemalla ratkaisuja phi i saadaan pintoja ja niiden leikkauskohtia siirrettyä, näin löydetään kaikki ratkaisukäyrät, pintoja siirtämällä samalla leikkauskohta pyyhkäisee kaksiulotteisen ratkaisupinnan. Olkoon sitten G = G(x, y mielivaltainen sileä kahden muuttujan funktio. Sijoitetaan siihen φ i :t ja tarkastellaan funktiota G(φ (x, y, u, φ (x, y, u. Sen gradientti on G = ( x G φ + ( y G φ, joten v G =. G(φ (x, y, u, φ (x, y, u on siis ensimmäinen integraali, jota vastaa pinta G(φ (x, y, u, φ (x, y, u = (vakio voidaan asettaa nollaksi absorboimalla se mielivaltaiseen funktioon G. Tämä on itse asiassa yhtälön (. yleinen ratkaisu, sillä se sisältää mielivaltaisen funktion G. Yhtälö G = antaa sidosehdon kolmen muuttujan x, y, u välille, josta voidaan periaatteessa ratkaista u jäljelle jäävien muuttujien x, y avulla, näin saadaan yleinen ratkaisu u(x, y. Palataan nyt takaisin aiempaan tarkasteluun. Löysimme siis yhtälölle (.7 kaksi. integraalia φ (x, y, u ja φ (x, y, u ja niitä vastaavat leikkaavaa pintaa φ (x, y, u = C ja φ (x, y, u = C. Edellä olevan tarkastelun nojalla yleinen ratkaisu on G(φ (x, y, u, φ (x, y, u =, (.3 missä G on mielivaltainen. Muuntelemalla funktiota G voidaan siis löytää kaikki alkuperäisen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisut. Käytännössä etenemme seuraavasti. Yhtälö (.3 voidaan esittää toisellakin tavalla, ratkaisemalla toinen funktio (esim. φ mielivaltaisena funktiona toisesta funktiosta (esim. φ, siis φ = F (φ tai φ = F (φ. Palataan takaisin esimerkkiimme (. eli P = x, Q = y ja R = u. Tällöin (. ja (. ovat vastaavasti dx dy = x y (= y = C x = C = y/x ja du dx = u x (= u = C x = C = u/x.
Yleinen ratkaisu on siis G(φ, φ = G(y/x, u/x =. Ratkaistaan tämä toisen argumentin suhteen: u/x = F (y/x = u = xf (x/y. (.4 Karakteristikat saadaan yhtälöistä (.9: x = C e t, y = C e t, u = C 3 e t. Esimerkiksi origon kautta kulkevat suorat: x/y = C /C eli (y = C /C x. Saimme siis juuri oletetun ratkaisun ja ymmärrämme lisäksi miksi juuri tietyt käyrät ovat erityisasemassa; ne ovat ratkaisupinnan integraalikäyriä. Yksikäsitteinen ratkaisu saadaan, jos voidaan valita yksikäsitteisesti ne integraalikäyrät, joista ratkaisupinta muodostuu. Tämä onnistuu jos alkuehtokäyrän jokaisessa pisteessä kulkee täsmälleen yksi integraalikäyrä, mutta jos alkukäyrä itse on karakteristika, on ratkaisu mahdoton tai ei yksikäsitteinen. Tiivistelmä. Edellisestä tarkastelusta voidaan suodattaa "algoritmi" kvasilineaaristen. kertaluvun ODYjen ratkaisemiseksi:. Kirjoita yhtälö muotoon (.3:. Tästä seuraa parametrisoimalla relaatio P u x + Q u y = R. dt = dx P = dy Q = du R jos R. Homogeenisen yhtälön tapauksessa viimeinen yhtäsuuruus korvautuu yhtälöllä du =. 3. Valitse näistä yhtälöä ja ratkaise ne. Ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon φ i (x, y, u = C i, missä i =, ja C, C ovat vakioita. (Homogeeniselle yhtälölle (R = toinen yhtälö on du = jonka ratkaisu on φ u = C. 4. Aseta G(φ, φ =, ratkaise G = yhtälöstä toinen φ i toisen φ j :n avulla (esim. φ = F (φ. Jos mahdollista, tee valinta siten, että u esiintyy ainoastaan yhtälön vasemmalla puolella. Tällöin voit edelleen johtaa yleisen ratkaisun u = u(x, y jossa esiintyy mielivaltainen (yhden muuttujan funktio F. Jos u esiintyy yhtälön molemmilla puolilla, yhtälö on implisiittinen, ja jatko riippuu alkuehdosta (katso ao. esimerkki. 5. Yksikäsitteisen ratkaisun saat alkuehdosta, jossa funktion profiili annetaan jollain sopivalla alkuehtokäyrällä (joka ei siis saa olla karakteristika. Katsotaan seuraavaksi miten tämä toimii käytännössä. Esimerkki. ( Shokkiaaltoyhtälö Olkoon u = u(x, t ja Tällöin saadaan u t + u u x =. (.5 du = = u = C (.6
ja dx dt = u = x = ut + C = C = x ut. (.7 Yleinen ratkaisu G(u, x ut = tai u = F (x ut. Asetetaan alkuehto u(x, = φ(x, jolloin ratkaisu on ratkaistava yhtälöstä u(x, t = φ(x u(x, tt. Käsin tämä onnistuu vain yksinkertaisissa tapauksissa. Esimerkiksi φ(x = ax + b = u = a(x ut + b = u = ax + b + at. (.8 Huom. ratkaisu vain alueessa t > /a! Esimerkki. Etsitään yhtälön u x + x u y = u (.9 yleinen ratkaisu. Parametrisoinnista seuraa yhtälöt dx/ = dy/(x = du/(u joista valitaan esim. (helpoin pari { dy = xdx = y = x + C du/(u = dx = /u = x C. Ehdosta = G(φ, φ = G(y x, x + /u voidaan ratkaista esim. x + /u = F (y x = u = Luennolla läpi laskettuja lisäesimerkkejä: Esimerkki.3 Etsi yhtälön yleinen ratkaisu. Esimerkki.4 Etsi yhtälön F (y x x. t t u(x, t + x x u(x, t = u(x, t (.3 t u(x, t + 4 x u(x, t = (.3 yleinen ratkaisu, ja sen jälkeen yksikäsitteinen ratkaisu joka toteuttaa alkuehdon Esimerkki.5 Etsi yhtälön yleinen ratkaisu. u(x, = + x. (.3 t t u(x, t + u x u(x, t = xu(t, x (.33
Menetelmä yleistyy suoraviivaisesti korkeampiin ulottuvuuksiin. Kvasilineaarinen. kertaluvun ODY R n :ssä on (x = (x,..., x n P (x, u u x + P (x, u u x +... + P n (x, u u x n = R(x, u. (.34 Yleinen ratkaisu saadaan ratkaisemalla n riippumatonta DYä dx P = dx P =... = dx n P n = du R. Näiden ratkaisut ovat η i (x, u =, i =,..., n. Yleinen ratkaisu on implisiittisesti F (η,..., η n =, missä F on mielivaltainen. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi kun u annetaan n -ulotteisella hyperpinnalla, joka ei sisällä yhtään karakteristikaa. 3 Toisen kertaluvun kvasilineaariset osittaisdifferentiaaliyhtälöt Siirrymme seuraavaksi toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiin. Aloitamme kahdella tärkeällä esimerkillä, aaltoyhtälöllä ja diffuusioyhtälöllä. Ratkaisumenetelmistä tärkeimmät ovat yhtälön muuntaminen algebralliseksi yhtälöksi Fourier-muunnoksella ja separointimenetelmä. Näistä jälkimmäinen soveltuu parhaiten tapauksiin joissa yhtälön ratkaisua etsitään äärellisessä alueessa jonka reunalla ratkaisun käyttäytyminen tunnetaan (reunaehdot. Aloitamme kuitenkin yksiulotteisella aaltoyhtälöllä, jolle käyttökelpoinen kolmas menetelmä on ns. d Alembertin ratkaisu. Sen esittelyn jälkeen siirrymme Fourier-menetelmään ja separointimenetelmään, jotka ovat siis jokaiselle fyysikolle tärkeimmät opittavat menetelmät. 3. Aaltoyhtälö 3.. d Alembertin ratkaisu Aloitamme tutkimalla yksiulotteista aaltoyhtälöä u c t u x = (3. alueessa x R, t >. Tehdään valistunut arvaus: muuttujanvaihto { ξ = x ct η = x + ct { x = (η + ξ/ t = (η ξ/. Miltä aaltoyhtälö (3. näyttää näissä muuttujissa? Ketjusäännön nojalla x = ξ x ξ + η x η = ξ + η, eli ( x = ξ + = η ξ + ξ η + η. 3
Samoin joten t = ξ t ξ + η t ( η = c η, ξ ( t = c η ( = c ξ ξ ξ η +. η Sijoittamalla saadut lausekkeet aaltoyhtälöön, saadaan Näistä viimeisen yleinen ratkaisu on selvästikin (3. 4 u ξ η = u ξ η =. u(η, ξ = f(η + g(ξ, missä f ja g ovat mielivaltaisia kahdesti derivoituvia funktioita R R. Niimpä päätellään, että (3.:n yleisen ratkaisun on oltava u(x, t = f(x + ct + g(x ct. (3. Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla (Cauchyn alkuehdot: { u(x, = ϕ(x u t (x, = ψ(x (3.3 Sijoittamalla ratkaisu (3. alkuehtoihin (3.3 saadaan ehto { f(x + g(x = ϕ(x cf (x + cg (x = ψ(x Näistä alempi voidaan integroida, jolloin saadaan On siis oltava f(x g(x = c x ψ(sds + f( g(. { f(x + g(x = ϕ(x f(x g(x = x ψ(sds + f( g( c eli { [ f(x = ϕ(x x [ ψ(sds + f( g(] c g(x = ϕ(x + x ψ(sds f( + g(]. c Niimpä yksikäsitteiseksi (3.:n ja (3.3:n toteuttavaksi ratkaisuksi saadaan u(x, t = [ ϕ(x ct + ϕ(x + ct + x+ct ] ψ(sds, (3.4 c nk. D Alembertin ratkaisu. Eräs mielenkiintoinen erikoistapaus on ψ ja ϕ(x jos ja vain jos x [ ɛ, ɛ] ( häiriö. Tällöin ratkaisu on u(x, t = (ϕ(x ct + ϕ(x + ct (3.5 eli superpositio kahdesta vastakkaiseen suuntaan etenevästä häiriöstä. Lisäksi häiriöt etenevät pitkin karakteristikoita ξ = x ct = vakio ja η = x + ct = vakio. TÄHÄN KUVA? 4 x ct
3.. Ratkaisu Fourier-muunnoksen avulla Vaihtoehtoinen lähestymistapa on yhtälön Fourier-muuntaminen. Menetelmä toimii ainakin silloin kun alkuehdon funktioiden Fourier muunnokset ja käänteismuunnokset ovat hyvin määriteltyjä (esim. kun ψ, Fψ, ϕ ja Fϕ ovat integroituvia eli silloin, kun identiteetti f(x = (F (Ff(x pätee molemmilla funktioilla. Tällöin voimme etsiä ratkaisua Tällöin π R u(x, t = π R ũ(k, we i(kx ωt dkdω. (3.6 (k ω ũ(k, we i(kx ωt dkdω = u c c t u x = = (k ω ũ(k, w = = c ( k ω ( k + ω ũ(k, w =. c c Näin alkuperäinen osittaisdifferentiaaliyhtälö koordinaattiavaruudessa on muuntunut algebralliseksi yhtälöksi Fourier-avaruudessa. Ratkaisu löytyy käyttämällä hyväksi Diracin deltafunktion ominaisuutta xδ(x =, näin ollen ũ(k, ω π = δ(ω cka(k + δ(ω + ckb(k eli u(x, t = π R A(ke i(kx ckt + B(ke i(kx+ckt dk. Ratkaisun esittäminen Fourier-muunnoksena on myös helposti fysikaalisesti tulkittavissa. Se on summa (superpositio monokromaattisia vastakkaiseen suuntaan eteneviä tasoaaltoja, painokertoimilla A(k ja B(k, missä k on tasoaallon aaltoluku (ja λ = /k olisi sen aallonpituus. Jos aallosta valitaan jokin tietty kohta, esim. aallosta exp(i(kx ckt kohta jonka vaihetekijä on φ = i(kx ckt ajanhetkenä t kohdassa x, nähdään että myöhempänä ajankohtana t sama paikka aallosta on edennyt kohtaan x = x + c(t t, jotta vaihetekijä olisi sama (eikä tarkasteltaisi eri kohtaa itse aallossa. Tasoaalto exp(i(kx ckt etenee siis positiivisen x-akselin suuntaan ("oikealle". Katsotaan seuraavaksi mitä alkuehdoista (3.3 saadaan: (A(k + B(ke ikx dk = u(x, = ϕ(x = ϕ(ke ikx dk π π R R eli Lisäksi, eli ic π R A(k + B(k = ϕ(k. k( A(k + B(ke ikx dk = u t (x, = ψ(x = π ick( A(k + B(k = ψ(k. R ψ(ke ikx dk 5
Näistä voidaan ratkaista ja ( A(k = ϕ(k + i ψ(k (3.7 c k ( B(k = ϕ(k i ψ(k, (3.8 c k jotka määräävät u(x, t:n yksikäsitteisesti. Vastaavasti kolmiulotteisessa tapauksessa, kun aaltoyhtälö on u c t u =, (3.9 voimme etsiä ratkaisua Fourier-muunnoksen avulla (x = (x, x, x 3, k = (k, k, k 3 : u(x, t = ũ(k, te i(k x ωt d 3 kdω (π 4/ R 4 = = u c t u = ( k ω /c ũ(k, te i(k x ωt d 3 kdω (π 4/ R 4 joten yleinen ratkaisu on = = (ω c k (ω + c k ũ(k, ω = ũ(k, ω = π [δ(ω c k A(k + δ(ω + c k B(k], u(x, t = [ A(ke ic k t + B(ke ic k t] e ik x d 3 k. (3. (π 3/ R 3 Ratkaisu saadaan yksikäsitteiseksi asettamalla Cauchyn alkuehdot { u(x, = ϕ(x u t (x, = ψ(x, (3. missä x R 3 (Ehdot määräävät A:n ja B:n vastaavasti kuin -ulotteisessa tapauksessa. 3. Diffuusioyhtälö Tutkitaan vielä hieman toista yhtälöä, nk. diffuusioyhtälöä: u t D u x =, (3. missä < x < ja t > sekä D R. Termodynamiikassa yhtälö (3. tunnetaan myös nimellä Fourier n (lämpöyhtälö, jolloin se kuvaa lämmön johtumista väliaineessa (kun vallitsee lokaali terminen tasapaino jolloin u kuvaa paikallista lämpötilaa ja vakiota D kutsutaan tässä yhteydessä lämmönjohtumisvakioksi (ja siitä käytetään usein merkintää α. Etsitään taas ratkaisua Fourier-muunnnoksen avulla. Voisimme edetä kuten aaltoyhtälön tapauksessa ja muuntaa kaikki muuttujat t, x. Tällä kertaa esittelemme kuitenkin toisen hyö- 6
dyllisen tavan: Fourier-muunnamme ainoastaan paikkamuuttujan x ja säilytämme aikariippuvuuden, u(x, t = ũ(k, te ikx dk π R = = u t Du xx = ( ũ(k, t + Dk ũ(k, t e ikx dk π t Alkuehdosta = tũ(k, t = Dk ũ(k, t = ũ(k, t = ũ(k, e Dkt. u(x, = ϕ(x = π R R ϕ(ke ikx dk saadaan ũ(k, = ϕ(k. Niinpä yleinen ratkaisu on u(x, t = ϕ(ke ikx Dkt dk. (3.3 π R Huomaa että ratkaisu pysyy rajoitettuna (, kun t vain jos Dt > eli D > ja t > tai D < ja t < ; diffuusioyhtälö kuvaa irreversiibeliä prosessia. Tämä on seuraus siitä että diffuusioyhtälö ei ole invariantti aikaheijastuksen t t suhteen. Mitä jos valitaan ϕ(x = S δ(x = pistelähde? Tällöin ϕ(k = S/ π ja ( u(x, t = S S exp x ( ( e ikx Dkt 4Dt Dtk ik dk = exp π π dk. Dt Tekemällä muuttujanvaihto z = Dtk saadaan ( S exp x 4Dt u(x, t = π Dt R ik Dt ic ic R =: Dtk ik Dt ci, jolloin dk = dz/ Dt, e z dz = S exp ( x. 4πDt 4Dt Viimeinen välivaihe, eli integraali = π, jääköön ylimääräiseksi harjoitustehtäväksi (vrt. FyMM Ia. Vastaavasti valinnalla ϕ(x = Sδ(x x saadaan S u(x, t = exp ( (x x. 4πDt 4Dt Alkuarvo-ongelman u(x, = ϕ(x = ϕ(x δ(x x dx ratkaisu saadaan superponoimalla pistemäisen lähteen ratkaisut (summa integraali: u(x, t = R ϕ(x exp ( (x x dx. 4πDt 4Dt Tässä painofunktio on nk. Diffuusioyhtälön Greenin funktio. Näin saatu kaava on siinä mielessä kätevämpi, ettei tätä varten tarvitse laskea alkudatan Fourier-muunnosta! 7
3.3 Aaltoyhtälö äärellisellä välillä, ratkaisu separointimenetelmällä Seuraavaksi esittelemme toisen tärkeän ratkaisumenetelmän, separointimenetelmän eli muuttujien erottelumenetelmän. Sitä käytetään tapauksessa jossa yhtälön ratkaisua etsitään äärellisessä alueessa. Esimerkkimme tavoitteena on nyt ratkaista u c t u =, (3.4 x äärellisessä alueessa < x < L ja ajoille t >. Lisäksi tietysti vaaditaan (Cauchyn alkuehto: { u(x, = ϕ(x u t (x, = ψ(x, (3.5 kun < x < L. Koska alue on äärellinen, on uutena lisätietona asetettava reunaehdot pisteissä x = ja x = L (t >. Esimerkiksi u(, t = u(l, t = kaikilla t > (kuvaa värähtelevää kieltä, jonka päät pysyvät paikoillaan, kuten esim. kitarassa. Reunaehtoja joissa poikkeama u on vakio (nolla, kutsutaan myös Dirichlet n reunaehdoiksi. Kun reunaehdot ovat jaksollisia, voidaan u(x, t kehittää Fourier-sarjaksi x:ssä. Tällöin ODY palautuu ryhmäksi tavallisia differentiaaliyhtälöitä Fourier-sarjan kertoimille. Esimerkiksi yo. reunaehdoilla ratkaisu voidaan arvata olevani muotoa u(x, t = a n (t sin( nπx L, n= missä kertoimet a n (t ratkaistaan sijoittamalla eo. yrite yhtälöihin (3.4 ja (3.5 ja ratkaisemalla niistä saatavat yhtälöt kertoimille a n. Esittelemme nyt separointimenetelmän tarkastelemalla yksityiskohtaisemmin toista esimerkkiä, missä alkuehdot ovat kuten yllä, mutta reunaehdot ovat { u(, t = u x (L, t =. (3.6 Tämä kuvaa värähtelevää kieltä, jonka toinen pää (x = L on vapaa (ns. Neumannin reunaehto. Ratkaistaan muuttujien erottelulla: Etsitään ratkaisua, joka on muotoa u(x, t = X(xT (t. Tällöin (3.4 T (tx(x = c T (tx (x T (t T (t = c X (x X(x. Koska vasen puoli riippuu t:stä ja oikea vain x:stä, on molempien oltava vakioita. Vakion nimeäminen ei ole aivan yhdentekevää. Tässä tapauksessa kätevä valinta on λ, sillä X:n ja T :n nähdään silloin toteuttavan tuttu harmonisen oskillaattorin differentiaaliyhtälö jonka ratkaisujen pitäisi olla joka fyysikolle tuttuja: Reunaehdoista seuraa nyt X (x = (λ/c X(x = X(x = A sin(λx + B cos(λx. X( = = B = (3.7 X (L = = Aλ c cos(λl c = (3.8 = λ = λ n = c L (n + π = cπ L (n +, n =,,, 3,... (3.9 8
Vain tietyt arvot (nk. ominaisarvot kelpaavat! Niinpä ja X(x = A n sin((n + πx L T (t = C n sin(λ n t + D n cos(λ n t vastaavasti. Aaltoyhtälön yleinen ratkaisu reunaehdoilla u(, t = u x (L, t = on siis u(x, t = [C n sin(λ n t + D n cos(λ n t] sin( λ nx. (3. c n= Lopulta kertoimet C n ja D n määräytyvät alkuehdoista D n sin((n + / πx = u(x, = ϕ(x L ja n= n= Käyttäen identiteettiä (ξ = x/l (n + / πc L C n sin((n + / πx L = u t(x, = ψ(x. ( ominaisfunktioiden ortogonaalisuus, saadaan sin[(n + /πξ] sin[(k + /πξ]dξ = δ nk D n = L L ja C n = c(n + /π jotka määräävät ratkaisun yksikäsitteisesti. ϕ(x sin[(n + /πξ]dx (3. L ψ(x sin[(n + /πξ]dx, (3. Luennolla laskettuja esimerkkejä Esimerkki 3. Osoita sijoittamalla että d Alembertin ratkaisu toteuttaa -ulotteisen aaltoyhtälön. Esimerkki 3. Ratkaise -ulotteinen aaltoyhtälö alkuehdoilla (Käytä d Alembertin ratkaisua. Esimerkki 3.3 Ratkaise aaltoyhtälö (c = äärellisellä välillä x, Dirichlet n reunaehdoilla ja alkuehdoilla u(x, = sin x ; u t (x, = x. (3.3 t u(t, x xu(t, x = (3.4 u(, t = u(, t = (3.5 u(x, = sin πx + sin 3πx + 3 sin 7πx ; u t(x, = π sin πx. (3.6 9
Esimerkki 3.4 Ratkaise vaimennettu (screened Poissonin yhtälö u( r λ u( r = ρ( r (3.7 kahdessa ulottuvuudessa Fourier-muuntamalla. Oleta sen jälkeen että ρ( r = ρ(r, missä r r (kiertosymmetria. Sievennä ratkaisua, voit tarvita Besselin funktion integraaliesitystä J (x = π Erityisesti voit vielä tarkastella tapausta ρ( r = ρ δ( r. 3.4 Toisen asteen ODYiden luokittelu π dϕ e ix sin ϕ. (3.8 Yleisin toisen asteen kvasilineaarinen ODY R n :ssä on muotoa: n u A ij (x + F (u, x, u =. (3.9 x i x j x i ij= Oletamme että kerroinfunktiot A ij (x ovat reaaliarvoisia, jolloin voimme ajatella niiden olevan n n-reaalimatriisin A = (A ij (x komponentteja. Käytimme yhtälössä (myös jatkossa lyhennettä F (u, x, u xi := F (u, x, u x,..., u xn. Koska u xi x j = u xj x i, voimme olettaa A ij = A ji. Miksi? Tarkastellaan summaa ij A ijm ij, missä M ij = i j = j i = M ji. A ij t voidaan hajoittaa symmetriseen ja antisymmetriseen osaan: A ij = (A ij + A ji + (A ij A ji =: A s ij + A a ij, missä A s ij = A s ji ja A a ij = A a ji. Tällöin A ij M ij = ij ij A s ijm ij + ij A a ijm ij, mutta jälkimmäinen summa häviää, sillä A a ijm ij = A a ijm ji = ij ij ij A a jim ji = ij A a ijm ij, missä viimeisessä välivaiheessa vain nimesimme indeksit uudelleen (muista x = x x =. Voimme siis tarvittaessa symmetrisoida (A ij :n muuttamatta yhtälöä. Tarkastellaan seuraavaksi kerroinmatriisin A ij (x ominaisarvoja. Ominaisarvot saadaan ratkaistua ominaisarvoyhtälöstä det(a λi n =, (3.3 missä I n on n n-yksikkömatriisi. Ominaisarvoyhtälöstä saadaan n kappaletta ominaisarvoja λ i, joista osa voi olla samoja, jos ominaisarvoyhtälöllä on moninkertainen juuri jonkin tietyn arvon kohdalla (tällöin ominaisarvo on degeneroitunut. Ominaisarvot tarjoavat tavan luokitella toisen asteen kvasilineaariset ODYt elliptisiin, hyperbolisiin ja parabolisiin yhtälöihin. Koska kerroinmatriisi oli reaaliarvoinen ja symmetrinen, kaikki ominaisarvot ovat reaalilukuja. Elliptisen yhtälön tapauksessa kaikki ominaisarvot ovat samanmerkkisiä, joko positiivisia tai negatiivisia. Hyperbolisen yhtälön tapauksessa taas osa ominaisarvoista on positiivisia ja Muistutus: kvasilineaarinen = lineaarinen korkeimmassa kertaluvussa.
osa negatiivisia. Jos yksi tai useampi ominaisarvo on nolla ja muut ominaisarvot ovat samanmerkkisiä, yhtälö on parabolinen. Mikäli vain yksi ominaisarvo on nolla, yhtälö on normaalinen parabolinen yhtälö. Koska kerroinmatriisi, ja siten myös ominaisarvot, voi riippua muuttujista, yhtälön tyyppi voi vaihdella pisteittäin. Miksi tällainen luokittelu sitten on kätevä? Tarkastellaan seuraavaksi vakiokertoimista tapausta, jossa siis kerroinmatriisi ja ominaisarvot ovat vakioita. Koska matriisi A on reaalinen ja symmetrinen voidaan muuntaa diagonaalimatriisiksi similaarimuunnoksella ja sitä vastaavalla lineaarisella muuttujanvaihdolla 3. Aloitetaan määrittämällä ortogonaalinen 4 matriisi O, joka diagonalisoi matriisin A. Matriisin diagonalisoinnin pitäisi olla tuttua Mapu II:lta, joten kerrataan tässä vain tärkeimmät asiat. Matriisi saadaan diagonalisoitua määrittämällä sen ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit, ja asettamalla nämä ominaisvektorit matriisin O sarakevektoreiksi. Ominaisvektorit v i saadaan tutusta kaavasta ja matriisi diagonalisoiva matriisi on tällöin A v i = λ i v i, (3.3 O = ( v v v n. (3.3 Tässä kohdassa on tärkeää muistaa normittaa ominaisvektorit ( v i =. Koska reaalisen symmetrisen matriisin ominaisvektorit ovat ortonormitettuja, matriisi O on ortogonaalinen: v O T v O =...... = I n. (3.33 v n Diagonalisointi tapahtuu nyt similaarimuunnoksella, eli kertomalla matriisi A vasemmalta puolelta transpoosilla O T ja oikealta matriisilla O: λ O T λ AO =......, (3.34 λ n jolloin ominaisarvot asettuvat diagonaalille ominaisvektorien mukaisessa järjestyksessä. Mitä merkitystä tällä sitten on differentiaaliyhtälön ja muuttujien kannalta? Tarkastellaan muuttujanvaihtoa x = n O ji ξ j, (3.35 j= jonka käänteismuunnos on yhtälön (3.33 nojalla ξ i = n O T ijx j = j= n O ji x j. (3.36 j= 3 Jos kertoimet eivät ole vakioita, muuttujanvaihto on epälineaarinen, eikä matriisia A pysty diagonalisoimaan näin yksinkertaisella menetelmällä. 4 Ortogonaalinen matriisi O toteuttaa O T O = OO T = I.
Osittaisderivaatat muuntuvat nyt ketjusäännön mukaisesti x i = n j= ξ j ξ j x i = Sijoittamalla tämän tuloksen differentiaaliyhtälöön (3.9 saamme n i,j= A ij n k= ξ k O ik n l= n (O T AO kl ξ k n λ k δ kl ξ k k,l= n k,l= k n j= ( O jl u + F u, ξ i, ξ l ξ l u + F ξ l u + F λ k u + F ξk ξ j O ij. (3.37 ( u, ξ i, ( u, ξ i, ( u, ξ i, = ξ i (3.38 = ξ i (3.39 = ξ i (3.4 =. ξ i (3.4 Nyt yhtälö on yleisessä normaalimuodossa. Kannattaa huomata, että ominaisarvot kertovat toisen kertaluvun termejä, ja näiden termien joukossa ei ole sekatermejä, joissa esiintyisi kahden eri muuttujan osittaisderivaattoja. Tämä on hyödyllistä, sillä se mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen separointimenetelmällä. Palataan nyt aiempaan kysymykseen siitä, miksi ominaisarvot ovat hyödyllisiä yhtälöiden luokittelussa. Korkeimman kertaluvun termit määräävät differentiaaliyhtälön käyttäytymisen yleisellä tasolla, joten normaalimuodossa ominaisarvot määräävät yhtälön käyttäytymisen, ja sen minkälaisia alku- ja reunaehtoja voidaan asettaa. Yhtälöiden luokittelu kerroinmatriisin ominaisarvojen mukaan perustuu juuri tähän ominaisuuteen. Tarkastellaan seuraavaksi eri yhtälöluokkia. Elliptinen yhtälö Kaikki ominaisarvot λ i ja samanmerkkisiä. Esimerkiksi yhtälöt u = u = f (Laplace (Poisson ( ± k u = (Helmholtz ovat elliptisiä (kaikilla A = = yksikkömatriisi on valmiiksi diagonalisoitu. Voimme olettaa että λ i > kaikilla i (kerrotaan tarvittaessa yhtälöä :llä. Tehdään lisäksi muuttujanvaihto z k = ξ k / λ k, jolloin λ k u ξ k = u. zk Elliptinen yhtälö saadaan siis aina nk. normaalimuotoon n k= u z k + F (z, u, u z i =. (3.4
Hyperbolinen yhtälö Kaikki ominaisarvot λ i, mutta erimerkkisiä. Esimerkiksi aaltoyhtälö, on hyperbolinen sillä tällöin A = u u =, c t c Mikä on hyperbolisen yhtälön normaalimuoto? Indeksöidään ominaisarvot s.e. λ,..., λ p > ja λ p+..., λ n <, < p < n. Muuttujanvaihdolla z k = ξ k / λ k yhtälö saadaan muotoon p k= u z k n k=p+ u z k joka on normaalimuoto hyperbolisessa tapauksessa. Parabolinen yhtälö. + F (z, u, u z i =, (3.43 Vähintään yksi λ i = ; normaalinen parabolinen, jos tasan yksi ominaisarvo ja muut samanmerkkisiä. Esimerkiksi diffuusioyhtälö on (normaalinen parabolinen yhtälö, sillä tällöin Muuttujakertoimiset yhtälöt A = D D D Jos A ij (x ei ole vakio, yhtälön tyyppi määritellään pisteittäin ja se voi vaihdella pisteestä toiseen. Esimerkiksi Tricomin yhtälö y u x + u y = on hyperbolinen alueessa y <, elliptinen alueessa y > ja (normaalinen parabolinen suoralla y =.. Luennoilla laskettuja esimerkkejä Esimerkki 3.5 Mikä on yhtälön xu(x, y x y u(x, y + 3 yu(x, y = tyyppi? Muunna yhtälö normaalimuotoon. Esimerkki 3.6 Tutki alueittain mitä tyyppiä on yhtälö y xu(x, y x x y u(x, y + x yu(x, y =. 3
3.5 Karakteristiset pinnat Karakteristiset pinnat ovat pintoja ω(x,..., x n =, jotka toteuttavat epälineearisen ODYn n A ij (x ω ω x i x j =. (3.44 ω(x= i,j= Tapauksessa n =, ω(x, y = on käyrä (karakteristika, ja yleisessä tapaupksessa (n - ulotteinen pinta. Diagonalisoivissa muuttujissa ξ i (kts. edellinen kappale, on n ( ω (3.44 λ k =, (3.45 ξ k k= joten elliptisessä tapauksessa ei ole reaalisia karakteristisia pintoja. Jos laajennamme karakteristisen pinnan käsitteen myös kompleksiarvoisiin tapauksiin, saamme elliptisessä tapauksessa ratkaisuja kompleksilukujen joukossa. Esimerkiksi kaksiulotteiselle Laplacen yhtälölle ( ( ω ω (3.44 + =, x y jonka ratkaisut ovat Hyperbolisessa tapauksessa (3.44 ω(x, y = y ± ix + C. (3.46 p k= ( ω λ k = ξ k n k=p+ ( ω λ k ξ k joten reaalisia ratkaisuja löytyy. Esimerkiksi aaltoyhtälölle (Huom. x R n (3.44 ( ω = ω ω, c t jonka ratkaisuja ovat mm. valokartiot sekä valoluontoiset tasot w(t, x = c (t t x x w(t, x = ct + e x C, eli valokartioiden tangenttitasot, missä C on vakio ja e =. Parabolisessa tapauksessa (3.44 n k=+m ( ω λ k =, (3.47 ξ k missä < m < n, joten reaalisia ratkaisuja ei ole. Esimerkiksi kaksiulotteiselle diffuusioyhtälölle (kaksi paikkakoordinaattia ja aikakoordinaatti ( ( ω ω (3.44 + =, x y jonka ratkaisut ovat aiemman perusteella ω(x, y = y ± ix + C. (3.48 4
3.6 Yleinen kahden muuttujan toisen kertaluvun ODY Yleisessä kahden muuttujan tapauksessa jolloin kerroinmatriisi on a(x, y u x + b(x, y u y x + c(x, y u y + F =, ( a b A = b c Ominaisarvot saadaan yhtälöstä det(a(x λ = a λ b jonka ratkaisu on selvästi λ = λ(x, y = a + c = a + c. b c λ =, (a + c ± ac + b 4 (a + c ± det(a. 4 Kerroinmatriisin determinantti määrää nyt yhtälön luonteen det(a > = elliptinen det(a = = parabolinen det(a < = hyperbolinen. Tämä determinanttisääntö on voimassa vain kahden muuttujan tapauksessa. Esimerkiksi kaksiulotteiselle aaltoyhtälölle det(a =, mutta yhtälö on silti hyperbolinen. Kannattaa myös huomata, että yleisessä tapauksessa determinantti on muuttujien funktio, ja yhtälön tyyppi voi vaihdella pisteittäin. Eräs hyödyllinen menetelmä yleisen yhtälön L(u = a u x + b u x y + c u y = (3.49 ratkaisemiseksi on karakterististen käyrien integrointi. Karakteristinen yhtälö on tässä tapauksessa ( ( ( ( ω ω ω ω + b + c =. (3.5 x x y y Aiemmin todettiin, että karakteristiset pinnat ovat pintoja ω(x, y = vakio, joten karakteristisen käyrän differentiaali on Tästä saamme säännön dω = ω x dx + ω y dy =. (3.5 ω x = dy ω y dx, (3.5 ja sijoittamalla yhtälöön (3.5 saamme ( ( dy dy a b + c =. (3.53 dx dx 5
Saimme siis toisen asteen yhtälön, jonka ratkaisu on dy dx = b ± b ac = b ± det A. (3.54 a a Integroimalla puolittain saamme karakteristiset pinnat muodossa ω(x, y = C, (3.55 missä C on integroimisvakio. Näemme nyt, että kerroinmatriisin determinantti det(a määrää karakterististen pintojen luonteen, kuten aiemman perusteella voisi olettaakin. Vakiokertoiminen kahden muuttujan toisen kertaluvun ODY Tarkastellaan seuraavaksi vakiokertoimista yhtälöä, jolloin yhtälön (3.54 integrointi on triviaalia ja saamme karakteristikoiksi ω(x, y = y + r ± x = y b ± det A x = C = vakio. (3.56 a missä r ± ovat yhtälön juuret. Hyperbolisessa tapauksessa det(a < ja molemmat juuret ovat reaalisia. Yleinen ratkaisu on tässä tapauksessa u(x, y = F (y + r + x + G(y + r x, (3.57 missä F ja G ovat mielivaltaisia kahdesti derivoituvia funktioita eli F, G C. Parabolisessa tapauksessa det(a = ja juuret yhtyvät r + = r r eli saamme vain yhden ratkaisun u (x, y = F (y + rx. (3.58 Toinen ratkaisu on esimerkiksi u (x, y = xg(y + rx sillä L(u = G (y + rx (a b a b b a + c + G (y + rx ( a ba + b =. (3.59 Elliptisessä tapauksessa taas det(a >, jolloin juuret ovat kompleksisia ja r + = r r. Yleinen ratkaisu on tällöin kompleksinen u(x, y = F (y + rx + G(y + r, (3.6 mutta reaali- ja imaginääriosat toteuttavat differentiaaliyhtälön erikseen. Esimerkiksi Laplacen yhtälölle yleinen ratkaisu on funktion u(x, y = f(x + iy + g(x iy reaali- tai imaginääriosa. Valitsemalla g ja merkitsemällä z = x + iy huomataan, että ratkaisu on jonkin analyyttisen funktion reaali- tai imaginaariosa. Toisaalta analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosat ovat aina harmonisia (FyMM Ia. 3.7 Alkuehdot Oikeat alku- ja reunaehdot tekevät ratkaisun yksikäsitteiseksi. Yhtälön tyyppi määrää, mitkä alkuehdot ovat sopivat. 6
3.7. Hyperboliset yhtälöt Tarkastellaan yhtälöjä, jotka ovat (sopivien muuttujien vaihtojen jälkeen muotoa u tt (x,..., x n ; t = c n u xi x i + f(x, t, u, u xi, u t, (3.6 i= missä x = (x,..., x n U R n ja t (t,. Mikäli U R n, on annettava reunaehdot ratkaisualueen reunalla. Kun ratkaisualue U (t, on tarpeeksi säännöllinen (ja luonnollisesti yhtenäinen, on sen reuna sileä (hyperpinta f(x, t =. Hyperboliseen tapaukseen käy Cauchyn reunaehdot: u(x,..., x n, t = ϕ(x,..., x n, t ja (3.6 u n = n u = ψ(x,..., x n, t (3.63 kaikilla (x, t, jotka kuuluvat alueen reunalle (f(x, t =, missä on pinnan f(x, t = n normaaliderivaatta. Tärkeää: Pinta f = ei saa olla karakteristinen pinta ω =! Selitämme syyn rajoitukseen kahdessa ulottuvuudessa u = u(x, t (epähomogeenisille yhtälölle L(u = au xx + bu xt + cu tt F (x, t,... =. Reunapinta (eli reunakäyrä olkoon C = {(x (s, t (s : s R}. Sen tangenttivektori kohdassa s on (dx /ds, dt /ds ja normaalivektori n(s = (dt /ds, dx /ds. Oletetaan että alkuehtoina on annettu ratkaisun u(t, x ja sen normaaliderivaatan u/ n = n u arvo käyrällä C: u u(x (s, t (s = f(s sekä n (x (s, t (s = g(s, missä siis f(s ja g(s ovat alkuehtoina annettuja funktioita. Seuraavakse kokeilemme pystymmekö ODY:ä käyttäen löytämään ratkaisun u(x, y:n yksikäsitteisesti myös alkuehtokäyrän C :n ympäristössä. Käytämme apuna (kahden muuttujan Taylorin kehitelmää. Olkoon (x, t := (x (s, t (s C, tällöin u(x, t = u(x, t + u x (x, t (x x + u t (x, t (t t + u xx(x, t (x x + u xt (x, t (x x (t t + u tt(x, t (t t. Löydämme siis yksikäsitteisen ratkaisun jos pystymme ratkaisemaan kaikkien termien kertoimet alkuehtojen ja ODY:n avulla. Ensimmäinen "nollannen kertaluvun"termi u(x (s, t (s = f(s tunnetaan, entä ensimmäisen kertaluvun kerrointermit u x ja u t? Yksi yhtälö niiden ratkaisemiseksi saadaan kun kirjoitetaan f (s }{{} tunnetaan = u (s = u x (x, t dx (s ds }{{} tunnetaan +u t (x, t dt (s, } ds {{} tunnetaan mutta tarvitsemme vielä toisen yhtälön. Tämä saadaan toisesta Cauchyn ehdosta kirjoittamalla g(s = u }{{} tunnetaan Näistä voimme siis ratkaista u x :n u y :n. n = n u = ux(x, t dt(s } ds {{} tunnetaan u t (x, t dx (s. } ds {{} tunnetaan 7
Toisessa kertaluvussa on käytössä kolme yhtälöä: u x(s = u xx (x, t dx (s ds u t(s = u tx (x, t dx (s + u xt (x, t dt (s ds, + u tt (x, t dt (s ds ds, ja L(u = a(x, t u xx (x, t + b(x, t u xt (x, t + c(x, t u tt (x, t F =. vastaavasti loput Taylorin sarjan termit saadaan rekursiivisesti. Yo. yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa myös matriiisimuodossa: a b c u xx F dx dt u ds ds tx =. (3.64 u tt dx ds dt ds Yo. lineaarinen yhtälö ei ole kääntyvä, eli toisen kertaluvun osittaisderivaatoille ei ole (yksikäsitteistä ratkaisua, mikäli yhtälöryhmän determinantti a b c ( ( dx dt ds ds = a dt dx + c b dx dt =. (3.65 ds ds ds ds dx ds dt ds Niinpä jos C on käyrä siten, että (3.65 pätee, eli kun (lokaalisti t = t(x siten, että ( dt a b dt + c =, (3.66 dx dx ei yhtälöryhmällä ole ratkaisua eikä ratkaisun määrittely onnistu. Lopuksi huomataan, että (3.66 on itseasiassa ekvivalentti ODYn L(u = karakteristisen yhtälön ( ( ( ( ω ω ω ω a + b + c x x t t kanssa. Karakteristisella pinnalla eli = dω = ( ω x + ω dt dx, t dx ω dt dx = x. Käyttämällä tätä identiteettiä ja jakamalla karakteristinen yhtälö ( ω/ t huomaamme, että yhtälöt ovat ekvivalentit. 3.7. Paraboliset yhtälöt ω t Yhtälöt muotoa u t = i= nu xi x i + f, (3.67 missä x = (x,..., x n U R n ja t (t,. Sopivat reunaehdot ovat: alkuehto u(x, t = t = ϕ(x (3.68 ja reunaehto esimerkiksi n u + k i u xi = g(x, t (3.69 i= kaikilla t < t < kun x U =: U:n reuna. 8
3.7.3 Elliptiset yhtälöt Yleiselle elliptiselle yhtälölle sopivan säännöllisessä alueessa V R n sopivia reunaehtoja ovat Dirichlet n ehto u(x V = a(x, (3.7 Neumannin ehto tai sekaehto (Robinin ehto jollakin α >. u n = b(x (3.7 V [ ] u n + α(xu(x V Osoitetaan esimerkinomaisesti, että Poisson n yhtälön, = c(x (3.7 u(x = f(x, x V ratkaisu on yksikäsitteinen. Oletetaa, että sekä u ja u ovat yhtälön ratkaisuja. Tällöin ψ = u u toteuttaa sekä yhden ehdoista tai Sijoittamalla Gaussin lakiin ψ(x = f(x f(x = (3.73 ψ V =, (3.74 ψ n = (3.75 V [ ] ψ n + α(xψ(x V V d 3 x V = V =. (3.76 d σ n V V = ψ ψ saadaan Greenin ensimmäinen identiteetti d 3 x(( ψ + ψ = d 3 x( ψ = V V V d σψ ψ n. (3.77 Ehdoilla (3.74 tai (3.75 saadaan suoraan d 3 x( ψ = (3.78 V eli ψ = eli ψ on vakio. Niinpä u = u + C. Lisäksi (3.74 C =. Neumannin ehdolla ratkaisu on siis vakiota vaille yksikäsitteinen. Toisaalta jos (3.76 pätee, niin reunalla Niinpä (3.77 saa muodon V ψ n = α(xψ(x. (3.79 d 3 x( ψ = d σ α(x(ψ(x, V }{{} 9
joten tässäkin tapauksessa on oltava ψ = eli ψ = c = vakio. Lisäksi, jos α(x ei ole identtisesti nolla, niin yo. yhtlöketjun jälkimmäisestä yhtälöstä seuraa c =. Huom. Neumannin ehdossa b(x ei ole täysin mielivaltainen esim. Poisson n yhtälölle, sillä d σb(x = d σ u n = d 3 x u = V V u n = b(x, (3.8 V V V d 3 xf(x. (3.8 Kuitenkin b on additiivista tai multiplikatiivista vakiota vaille mielivaltainen. Toisin sanoen, kaikilla b C voidaan valita c R s.e. cb tai b + c toteuttaa integraaliehdon. 3.8 Muuttujien erottelu Olemme aiemmin esitelleet muuttujien erottelu -menetelmän tapauksessa jossa yhtälössä oli kaksi muuttujaa. Tässä välissä olemme oppineet että osittaisdifferentiaaliyhtälöt voidaan esittää normaalimuodossa, jossa ei esiinny eri muuttujien osittaisderivaattojen sekatermejä. Muuttujien erottelu sopii tällöin ratkaisumenetelmäksi. Useamman muuttujan tapauksessa osittaisdifferentiaaliyhtälön purkaminen useammaksi tavalliseksi yhden muuttujan differentiaaliyhtälöksi etenee useassa vaiheessa, ja joka vaiheessa otetaan käyttöön uusi vakio. Tässä luvussa käymme läpi tutuimpien usean muuttujan yhtälöiden separointia eri koordinaatistoissa. Muista että separointi sopii erityisesti tilanteeseen jossa yhtälöä ratkaistaan rajatussa alueessa, tällöin alueen symmetria kertoo mikä on sopivin koordinaatistovalinta (esim. karteesiset, napa- tai sylinterikoordinaatit ja pallokoordinaatit. Tässä välillähän olemme myös käyneet läpi erilaiset reunaehtotyypit. Muuttujien erottelu tarkoittaa yleisesti yritteen u(x,..., x n = f (x f (x... f n (x n käyttämistä. Esimerkiksi kolmiulotteinen Helmholtzin yhtälö ( + k u = ratkeaa seuraavasti. Tehdään yrite u(x, y, z = X(xY (yz(z. Tällöin u + k u = X Y Z + XY Z + XY Z + k XY Z = X X + Y Y + Z Z + k =. Seuraavaksi pyrimme "perkaamaan" erikseen tavallisia differentiaaliyhtälöitä askel kerrallaan. Siirrämme aina yhden muuttujan funktion kerrallaan yhtälön vasemmalle puolelle jättäen muut termit yhtälön oikealle puolelle. Koska eri puolet riippuvat eri muuttujista, yhtälö toteutuu joka pisteessä vain jos kumpikin puoli on erikseen vakio. Menetelmän juju on keksiä vakiolle sopiva notaatio. Nimeämisessä auttaa muistaa ulkoa joukko tavallisia differentiaaliyhtälöitä, erityisesti yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin differentiaaliyhtälö y + ω y =. Yo. tapauksessa aloitamme X:stä: X (x X(x = k Y Y Z = vakio = l, }{{ Z} ei riipu x:stä joten X(x = A l sin(lx + A l cos(lx. Samoin Y (y Y (y = l k Z = vakio = m, }{{ Z} ei riipu y:stä 3
joten Y (y = B m sin(my + B m cos(my. Viimein joten Z(z = C n sin(nz + C n cos(nz. Z (z Z(z = m + l k = n, (k = l + n + m, Superpositioperiaatteen mukaan yleinen ratkaisu on u(x, y, z = ( A l sin(lx + A l cos(lx (B m sin(my + Bm cos(my l,m,n (C n sin(nz + C n cos(nz, missä summataan yli indeksien siten että l + m + n = k. Kertoimet A, B ja C määräytyvät reunaehdoista. Muuttujien erottelu on käyttökelpoinen lineearisen, homogeenisen yhtälön tapauksessa (eli kun superpositioperiaate pätee. Toinen esimerkki: Laplacen yhtälö (Dirichlet n ongelma suorakaiteessa: Reunaehdot: u x + u =, x a, y b. y u(x, = F (x, u(x, b =, u(, y =, u(a, y =. Vaaditaan lisäksi F ( = F (a =, jotta reunafunktio on jatkuva. Tehdään yrite u(x, y = X(xY (y, jolloin joten Reunaehdoista sekä u x + u y = X X + Y Y = X = k X, Y = k Y, X k (x = A k sin(kx + A k cos(kx ja Y k (y = B k sinh(ky + B k cosh(ky. u(, y = X k (Y k (y = A k ( B k sinh(ky + B k cosh(ky = = A k = u(a, y = X k (ay k (y = A k sin(ka ( B k sinh(ky + B k cosh(ky = Lisäksi ehdosta u(x, b = saadaan = sin(ka = = k = nπ a, n =,, 3,... B k sinh(kb + B k cosh(kb = = B k = C k cosh( kπb a ja B k = C k sinh( kπb a. 3