Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman funktion integraalifunktioita, jos niiden derivaattafunktiot ovat samat. D F ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) D F ( ) D ( ) () ( ) ( ) ( ) Koska sekä funktion F ( ) että funktion F ( ) derivaattafunktio on f( ), molemmat funktiot F ja F ovat ( ) funktion f integraalifunktioita.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K. Funktion f( ) kaikki integraalifunktiot ovat F( ) ( )d C. 6 Koska funktion F kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin on oltava F(). C 6 C 6 ) ) C 6 9 C 6 6 6 C Kysytty funktio on F 6 ( ). K. Funktion f() = sin kaikki integraalifunktiot ovat F( ) sind sin d cos C. Kuvassa ovat integraalifunktion F kuvaajat alhaaltapäin lueteltuina integroimisvakion C arvoilla, ja.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K5. a) Integraalifunktio F, jonka kuvaaja kulkee pisteen F(π). cos(π) C cos π cos πc ( ) C C C 9 C C Kysytty integraalifunktio on b) F( ) cos. (6 ) 9 d (6 ) C (6 ) C 9 9 (6 ) d (6 ) d 6 d 6 ( ) d ( ) d C ln( ) (π, ) täyttää ehdon
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 c) K6. a) b) c) ( ) d ( +)d e e e e d e d d d d d e e e e C ( + )d ( )d C C C ( ) ( ) d d ( )d C ( ) d ( )d ( )d ln C ln C
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K7. a) Funktion f() = e kaikki integraalifunktiot ovat F( ) e d d e e C. Funktiolle F on voimassa F() = : e C C C C. Kysytty funktion f integraalifunktio on F e ( ).
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 b) Funktion f() = sin kaikki integraalifunktiot ovat F() sind sind cos C. Koska F() =, niin cos( ) C cos C C C. Kysytty funktion f integraalifunktio on F ( ) cos. c) Funktion f() = cos sin kaikki integraalifunktiot ovat F( ) cos sin d cos (sin ) d sin C. Koska F() =, niin (sin ) C C C. Kysytty funktion f integraalifunktio on F ( ) sin.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K8. f ( ) f( )d ja f ( ) f( )d f( ) ( ( ) d ( ( )d ( 5 )d 5 5 5 C 8 Koska f (), niin 5 5 8 5 C 5 8 5 C 8 5 C 5 C 5 5 Funktion f derivaattafunktio on f( ) 5. Funktio f saadaan integroimalla funktio f : 5 5 5 6 5 6 5 5 D. 5 f( ) ( 5 )d 6 5 D
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Funktiolle f on voimassa f (), joten 6 5 5 D 5 D 5 D 7 D. Kysytty funktio on 5 7 f 6 5 ( ).
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Määrätty integraali KERTAUSTEHTÄVIÄ K9. Funktion f arvojen muutos välillä [, 5] on f(5) f(). K. a) f ( ) f( )d, joten f(5) f() = 5 f ( )d. 5 5 5 6d (6) d (6) d 5 5 ( 6) ( 6) / 9/ (( 5 6) 9 ( 6) ) 9 9 9 8 6 (9 ) ( 9 (9 9 ) Funktion f arvojen muutos välillä [, 5] on 8 5 5 vt ()dt 5dt 5 / 5t (55) (5 ) 75 5 b) Kohdan a tulos 5 tarkoittaa kappaleen kulkemaa matkaa aikavälillä [, 5]. Kappale siis kulkee 5 metriä kolmen sekunnin aikana..
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K. Kappaleen kiihtyvyys a on kappaleen nopeuden v muutosnopeus eli a(t) = v (t), joten vt () at ()d. t Nyt nopeuden muutos ajanhetkestä t = ajanhetkeen t = : / 9,8dt 9,8t (9,8) (9,8) 9, Vasaran nopeus hetkellä, kun se osuu maahan on noin 9 m/s. Kappaleen nopeus v on paikan s muutosnopeus eli v(t) = s (t), joten s() t v()d. t t Nyt paikan muutos ajanhetkestä t = ajanhetkeen t = : 9,8tdt 9,8 tdt 9,8 / t 9,8 9,5 9,8( ) Vasara putoaa noin m, joten rakennusteline on noin metriä korkea.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K. a) e d ln ln ln e ln /e b) Kirjoitetaan lauseke ilman itseisarvomerkkejä. Funktion + kuvaaja on nouseva suora y = +. Funktion nollakohta saadaan yhtälöstä + =, josta Nyt + <, kun ja +, kun., joten (), kun, kun, kun, kun Määrätty integraali lasketaan kahdessa välissä [, ] ja [, ]. d ( )d ()d /( ) ( ) / [( ) ( ( ) ( ))] 8 6 8 6 [( ) ( 6 8)] [ ( )] 8 8 [( ( ) ( ) ( ( ) ( ))]
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Käyrien rajoittaman alueen pinta-ala KERTAUSTEHTÄVIÄ K. A III, B I ja C II K. ( )d ( )d A f /( ) ( ) 6 Pinta-ala on 6. K5. a) Funktio e saa välillä [, ] positiivisia arvoja, joten A e d / e e e e e. Pinta-ala on e e.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 7 b) Funktio saa välillä [, ] sekä negatiivisia että positiivisia 9 arvoja, joten pinta-ala määritetään kahden osavälin avulla. Funktion merkki vaihtuu sen nollakohdassa. Ratkaistaan funktion nollakohta. 7 9 7 7 7 7 7 A d ( )d 9 9 7 7 ( )d ( )d 9 9 9 9 ( )d ( )d 9 9 / / ( ) ( ) 6 6 7 7 7 [ ] [ ] 6 9 5 6 6 Pinta-ala on 5. 6
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 c) Funktio saa välillä [, ] positiivisia arvoja, joten A d d / / ( ) Pinta-ala on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K6. a) Käyrä y = 5 + leikkaa -akselin, kun y =. 5 + =, josta = tai =. Käyrä leikkaa -akselin kohdissa = ja =. b) Tasoalue on -akselin alapuolella, joten A ( 5)d 5 /( ) 8 9 ( ) 6 Pinta-ala on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K7. Molemmat funktiot ja saavat ei-negatiivisia arvoja tarkasteltavalla välillä [, e]. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Käyrien y ja y leikkauskohta: ( ),. Tasoalueen pinta-ala saadaan kahden määrätyn integraalin avulla. e A d d d d e / ln / 5 Pinta-ala on. e
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K8. Käyrät y = cos ja y = cos leikkaavat toisensa, kun cos = cos. cos cos n, n n tai n n n n n : n n Tarvittavat leikkauspisteet saadaan n:n arvoilla ja. Kun n =, saadaan alueen vasemman reunan leikkauskohta =. Alueen oikean reunan leikkauskohta saadaan yhtälöstä n, kun n = :. Tarkasteluvälillä cos > cos, joten alueen pinta-ala saadaan määrättynä integraalina A (cos cos )d. A (cos cos )d cos d cos d / sin sin / (sin sin ) (sin( ) sin()) Vastaus: Leikkauskohdat ovat = ja = ja pinta-ala on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K9. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Funktio f ( ) on muuttujan funktio, jonka kuvaajana on käyrä y. Koska aluetta rajaa y-akselilla suorat y = ja y =, alueen pinta-ala saadaan laskemalla muuttujan y funktion määrätty integraali välillä [, ]. Ratkaistaan yhtälö y muuttujan suhteen. y y y Kysytyn alueen pinta-ala saadaan määrättynä integraalina ( y )d y / ( y y) ( ) ( ). Pinta-ala on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Tilavuus KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan määrätyn integraalin avulla. V ( ) d d 5 / 5 5 5 ( ) 5 5 5 5 5 ( ) Tilavuus on 5. K. Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla: Selvitetään käyrien y = ja y leikkauspiste yhtälöstä. Yhtälön määrittelyehto on, josta (juurrettava) ja, josta (neliöjuuren arvo). Ehdot ovat yhtä aikaa voimassa, kun.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 () ( ) 69 7 ( 7) ( 7), josta tai 5. Yhtälön ratkaisuista vain = 5 toteuttaa määrittelyehdon. Käyrä y leikkaa -akselin, kun y =. Suoran y = ja -akselin leikkauskohta: = = Pyörähdyskappaleen tilavuus voidaan laskea kahden pyörähdyskappaleen tilavuuden avulla. Ulompi kappale syntyy, kun käyrä y pyörähtää välillä [, 5] ja sisempi, kun suora y = pyörähtää välillä [, 5] -akselin ympäri. 5 5 V ( ) d ( ) d 5 5 ( )d ( 69)d 5 5 /( ) ( 9 ) / 8 8 6 Tilavuus on 6.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K. Koska käyrä pyörähtää y-akselin ympäri, niin pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan määrättynä integraalina muuttujan y suhteen. Ratkaistaan yhtälö y = ln (,5) muuttujan suhteen: y = ln (,5) e y =,5 e y = Integroimisrajat y-akselilta saadaan selville muuttujan arvoilla e ja e: alaraja: y ln(,5 ) ln( ) ln( ) e e e yläraja: y = ln (,5 e) = ln e =. Pyörähdyskappale syntyy, kun käyrä = e y pyörähtää y-akselin ympäri välillä ], [. Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan määrättynä integraalina y y V ( e ) dy ( e )dy / e y ( e e ) e ( e ) ( 5,57...) e e Tilavuus on e. e
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 K. Saviruukun sisäosan pohjaneliön sivun pituus on cm cm cm = 6 cm ja suuaukon neliön sivun pituus on 6 cm cm = cm. Saviruukun pohjaneliön sivun pituus kasvaa tasaisesti (lineaarisesti) korkeudelta cm korkeuteen cm sivun pituudesta 6 cm sivun pituuteen cm. Sivun pituuden kasvu korkeuden yhtä senttimetriä kohti on cm 6 cm 6 cm 8,. cm cm 8 cm 9 Kun ruukkua leikataan korkeutta vastaan kohtisuoralla leikkauksella korkeudelta h, on poikkileikkausneliön sivun pituus 6 + 8 9 h. Poikkileikkausneliön pinta-ala korkeudella h saadaan lausekkeesta 8 56 6 (6 h) 56 h h (6 +,h) = 56 +,8h +,6h. 9 9 6 Ruukun sisäosan korkeus on cm cm = 8 cm. Ruukun tilavuus saadaan määrättynä integraalina: 8 56 6 (56 )d V h h h 9 6 8 6 8 /(56 h h h ) 9 6 698,67(cm ) (dm ). Ruukun tilavuus on noin litraa.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f kuvaaja on paraabeli, ja kuvaajista ainoa paraabeli on kuvassa D. Varmistetaan vielä laskemalla, että pisteet (, ) ja (, ) ovat on funktion f kuvaajalla. f() = = f() = = Kuvaaja D on funktion f kuvaaja, siis f D. Toisen asteen polynomifunktion integraalifunktio on kolmatta astetta oleva polynomifunktio. Kuvaajista ainoa kolmannen asteen polynomifunktion mahdollinen kuvaaja on kuvassa B, joten F B. Funktion g kuvaaja voidaan päätellä jäljelle jääneistä kuvista A ja C laskemalla esim. arvo g(). Siis g C. Nyt ainoa jäljelle jäänyt funktio on G, joten sen kuvaaja on kuvassa A. Siis G A. b) F ( ) f( )d ( )d C Koska funktion F kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin F() =. Ratkaistaan vakio C tämän tiedon avulla. F () C ) ) C C 6 6 C 6 Yhtälöstä 6 C ratkaistaan C: C 7 6 7 Siis F ( ). 6
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 G ( ) ( )d g dln ClnC Koska funktion G kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin G() =. Ratkaistaan vakio C tämän tiedon avulla. G() = ln + C = + C = C Koska G() =, niin nyt oltava C =. Siis G() = ln +. Vastaus: a) f D, F B, g C ja G A 7 b) F ( ) ja G ( ) ln 6. Funktion f kaikki integraalifunktiot ovat F( ) e d e C. a) Hahmotellaan funktion e kuvaaja. Eksponenttifunktioiden kuvaajat kulkevat aina pisteen (, ) kautta, sillä a =, kaikilla a >. Koska halutun integraalifunktion kuvaaja kulkee origon, eli pisteen (, ) kautta, täytyy funktion e kuvaajaa siirtää yksi yksikkö alaspäin. Kysytty funktio on e.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 b) Suora = on y-akseli. Koska halutun integraalifunktion kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, täytyy funktion e kuvaajaa siirtää kaksi pykälää ylöspäin. Kysytty funktio on e +.. F ( ) sindcosc Ratkaistaan vakio C tiedon F() = avulla. F() = cos + C = + C Nyt + C = C = Siis F() = cos +. Vastaus: F() = cos +
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6. a) ( )d () C s'( ) u( s( )) U( s( )) b) e d e d e d e C s'( ) u( s( )) U ( s( )) ( ) c) d) d d d ln C lnc d d ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ) U( s( )) s'( ) C C Vastaus: a) ( ) C b) e C c) ln C d) C u( s( ))
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 5. Lasketaan määrätty integraali. / a a a 9a 9 8 a a a a ( a )d ( ) ( ) a Ehdosta ( a )d saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a: a = a = 8 a = Ehdon täyttävä funktio on. Vastaus: a =, jolloin kysytty funktio on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 6. Paraabeli y = 6 aukeaa ylöspäin, koska toisen asteen termin kerroin on positiivinen. Ratkaistaan paraabelin nollakohdat ja hahmotellaan kuva tilanteesta. 6 ( ) tai tai Ylöspäin aukeava paraabeli saa nollakohtiensa välissä negatiivisia arvoja, joten paraabelin ja suoran y =, eli -akselin, rajoittama alue on -akselin alapuolella. Kysytyn alueen pinta-ala on ( 6 )d ( ) / (( ) ) (8 ) ( ) Vastaus: Alueen pinta-ala on. ( 6 )d.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 7. a) Määrätty integraali antaa funktion kuvaajan ja -akselin välisen alueen pinta-alan vain, kun alue on -akselin yläpuolella. Alue koostuu π kahdesta osasta, välillä, alue on -akselin yläpuolella, jolloin π A sin dja välillä π π,π -akselin alapuolella, jolloin A sin d. Kuvaaja on symmetrinen, joten kyseiset pinta-alat ovat yhtä suuret. Koska integraali laskettiin välillä [, π], integraalin arvo on A A =. b) Kysytyn alueen pinta-ala on π π A sin d ( sin d ) π π π ( cos ) ( cos ) / / π π π (cos cos()) (cosπ cos ) (cos π cos ) (cos π cos π) ( ) ( ( )) ( ) () Vastaus: a) Hän ei ottanut huomioon, että osa alueesta on -akselin alapuolella. b) Alueen pinta-ala on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 8. a) Lasketaan määrätty integraali. d b b/ bb 6 bb b b Määrätyn integraalin arvo on, joten b b b b 96 b 5 b 5 b 5 tai b 5 b b ( ) ( ) ( ) b) Lasketaan määrätty integraali. b b b b e d / e e e e e Määrätyn integraalin arvo on, joten b e e b e e b e e e e b e e a y log a y, loge ln e bln e log log log y e y bln( e) ln e bln( e) Vastaus: a) b = tai b = b) b = ln (e + )
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 9. Funktiot f, f, f ja f ovat kasvavia välillä [a, b], joten derivaattafunktiot f, f, f ja f ovat ei-negatiivisia. Näin ollen derivaattafunktioiden kuvaajien ja -akselin välisten alueiden pinta-alat ovat määrätyt integraalit b a b a b a b a f ( )d f ( b) f ( a ) f ( )d f ( b) f ( a) f ( )d f ( b) f ( a) f ( )d f ( b) f ( a ). Kaikki nämä ovat yhtä suuria, koska funktiot f, f, f ja f saavat sekä kohdassa a että kohdassa b saman arvon, jolloin arvojen erotus on kaikilla funktioilla sama.. esim. a) f() = tai f() = + b) f() = tai f() =
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 APUVÄLINEET SALLITTU. Funktion f kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F + C, jossa F () = f(). Funktion f kaikki integraalifunktiot F ovat kasvavia, jos f() kaikilla muuttujan arvoilla. Koska kaikilla muuttujan arvoilla, niin tällä perusteella ja siten +. Siis funktion f() = + arvot ovat aina positiivisia ja tällä perusteella kaikki funktion f integraalifunktiot F + C ovat kasvavia. Määritetään funktion F lauseke. F ( ) ( )d C. Koska integroimisvakio C =, niin kysytty integraalifunktio on F() = + +.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6. a) Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Käyrien leikkauskohdat saadaan yhtälöstä + = + 5 + 5 = ( 5) =. Yhtälön ratkaisut ja käyrien leikkauskohdat ovat 5, ja 5. b) Alue rajoittuu. neljännekseen, joten rajat ovat = ja 5. Osoitetaan, että käyrän y = + kuvaaja on ylempänä kuin käyrän y = + 5 + kuvaaja tällä välillä. Tarkastellaan vastaavien funktioiden arvoja testikohdassa väliltä ], 5 [. Valitaan kohdaksi =, jossa funktio + saa arvon + =, ja funktio + 5 + saa arvon + 5 + =. Funktion + arvot ovat tarkasteltavalla välillä suurempia. Alueen pinta-ala on 5 5 A (( ) ( 5))d ( 5 )d 5 5 / ( )d 5 6 Vastaus: a) 5, ja 5 b) Alueen pinta-ala on 5.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6. Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Ratkaistaan käyrien leikkauskohdat. cos = cos = ± +n π π = n tai n. Välillä ], π[ on leikkauskohta π. Osoitetaan, että funktion cos kuvaaja on ylempänä kuin funktion cos π kuvaaja välillä ], [. π Välillä olevassa kohdassa funktion cos arvo on ja funktion cos arvo on cos π =, joten funktion cos kuvaaja on ylempänä. Käyrien rajoittaman alueen pinta-ala on π π A (cos cos ) d (sin / sin ) Vastaus: Alueen pinta-ala on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6. Piirretään kuva. a) Merkitään f ( ) ja g( ). 8 Ratkaistaan leikkauskohdat yhtälöstä. 8 Yhtälöllä voi olla ratkaisuja vain kun ja. 8 Koska aina, niin yhtälön ratkaisun tulee toteuttaa ehto. 8 Ratkaistaan yhtälö. 8 tai Kuvaajat leikkaavat kohdissa = ja =. Lasketaan molempien funktioiden arvot leikkauskohtien välillä olevassa testikohdassa, joka valitaan kohdaksi = : f() = = g() = 8 8 Kuvan ja kohdassa = laskettujen arvojen perusteella neliöjuurifunktion f kuvaaja on ylempänä välillä [, ]. Alueen pintaala on siten A ( f ( ) g( ))d.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 d d / / / A 8 8 8 ( 8 6 6 6 8 6 6 8 b) Syntyvän pyörähdyskappale on ontto. Sen tilavuus saadaan vähentämällä ulomman pyörähdyskappaleen tilavuudesta sisemmän pyörähdyskappaleen tilavuus. Ulompi pyörähdyskappale syntyy kun käyrän y ja -akselin rajaama alue pyörähtää -akselin ympäri välillä [, ]. Lasketaan sen tilavuus V. 6 V d d / ( ) 8 Sisempi pyörähdyskappale syntyy kun käyrän y ja -akselin 8 rajaama alue pyörähtää -akselin ympäri välillä [, ]. Lasketaan sen tilavuus V. 5 5 ( ) d d / ( 8 6 6 5 V Kysytyn pyörähdyskappaleen tilavuus on 6 6 VV 8. 5 5 5 5 Vastaus: a) Alueen pinta-ala on 6 ) 5 5. π b) Kappaleen tilavuus on 5.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 5. Paraabeli y + = kirjoitettaan muotoon = y +. Piirretään kuva. Koska paraabeli = y + aukeaa oikealle, alueen pinta-ala on helpointa laskea vaakasuunteisesti alueena jota rajoittaa oikealta suora = y + 7 ja paraabeli. Lasketaan kuvaajien leikkauskohdat. y + = y + 7 y y 6 = y = tai y = A ( y7) ( y ) d ( y y6)d / y y 6y 5 5 6 6 Vastaus: Alueen pinta-ala on 5. 6
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 6. Piirretään kuva. Koska alue pyörähtää y-akselin ympäri, rajat ja rajoittavat käyrät on esitettävä muuttujan y avulla. y,5 y y,5 y y,5 y y tai y,5 y,5 tai Molempien paraabelien huiput ovat y-akselilla joten pyörähtävä alue on symmetrisesti y-akselin molemmin puolin. Koska alue pyörähtää y-akselin ympäri, ei ole väliä pyörähtääkö -akselin oikealla vai vasemmalla oleva alue, syntyvä pyörähdyskappale on molemmissa tapauksissa sama. Valitaan pyörähtäväksi alueeksi y-akselin oikealla puolella oleva alue. Nyt y ulompi käyrä pyörähtää y-akselin ympäri välillä,5 y. y,5 Sisempi käyrä pyörähtää y-akselin ympäri välillä,5 y sillä paraabelin huippu on pisteessä (;,5).
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Syntyvä pyörähdyskappale on ontto ja sen tilavuus saadaan vähentämällä ulomman pyörähdyskappaleen tilavuudesta V sisemmän pyörähdyskappaleen tilavuus V. y /,5,5,5 π 8 85π 96 V π dy π y dy π y π,5 6 6 6 y,5 6 /,5,5,5 6 6 6 6 6 6 9π V π dyπ y dyπ y y π,5,5 π Kysytyn pyörähdyskappaleen tilavuus on V 85π 9π 59π V,9 (dm ). 96 Massa saadaan kertomalla tiheys,5kg/dm tilavuudella 59π 96 dm :,5kg/dm 59π 96 dm,8 kg. Vastaus: Astian tilavuus on n.,9 dm ja sen massa on n.,8 kg.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 7. Piirretään kuva. Kirjoitetaan molempien käyrien yhtälöt muuttujan avulla. y y y y Koska alue on koordinaatiston ensimmäisessä neljänneksessä, ovat ja y ei-negatiivisia ja toisen käyrän yhtälo y. Lasketaan käyrien leikkauspisteet. ja Kysytty alue on välillä [, ]. Osoitetaan, että tällä välillä käyrä y = on ylempänä kuin käyrä = y. Kun = on y = >, joten käyrä y = on ylempänä. Alueen pinta-ala on / A ( )d 5. Vastaus: Alueen pinta-ala on 5.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 8. Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Jaetaan kuvassa alue kahtia suoralla = c. Kun ovat arvot + 5( + ) positiivisia. Näin ollen koko alueen pinta-ala A on 5( ) d. 5 / / A 5( ) d 5( ) 6 Suoran = c vasemmalla puolella olevan osan pinta-alan A tulee olla puolet koko alueen pinta-alasta: A = 8 Esitetään sama pinta-ala määrättynä integraalina. c c 5( ) d / A 5 6 c c c Tästä saadaan yhtälö c 6c 8 ( c), c c c 6c8c8 c 8c8 c 8 96 8 6 6 Koska c, niin c 6. Vastaus: Alue voidaan jakaa kahtia esim. suoralla 6.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 9. Hahmotellaan tilannetta piirtämällä kuva. Ympyrän + y = keskipiste on origossa ja sen säde on. b Tilavuuden laskemiseksi kaavalla V A( )d on selvitettävä integroimisrajat a ja b ja poikkileikkauspinta-ala A. Koska kappaleen pohja on ympyrän sisäpuoli, sijaitsee kappale välillä. Siis a = ja b =. Piirretään pohjaympyrän kuva ja määritetään sen avulla poikkileikkauskolmion sivun pituus. a y y y tai y
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kohdassa poikkileikkauskolmion kärjet ovat pisteissä (, ) ja (, ). Siten kolmion sivun pituus kohdassa on. Lasketaan poikkileikkauskolmion pinta-ala kaavalla A bcsin. Koska kolmio on tasasivuinen, kaikki sivut ovat pituudeltaan ja kaikki kulmat ovat 6. Poikkileikkauskolmion pinta-ala on A( ) sin6 ( ). Kappaleen tilavuus on siten ( )d / V ( ) Vastaus: Tilavuus on.
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6. Funktion f derivaattafunktion muutosnopeus on funktion f toinen derivaatta, siis f () = e e. Määritetään derivaattafunktion f lauseke. f '( ) f ''( )d ( e e )de e C Koska funktion f pienin hetkellinen muutosnopeus on, niin derivaattafunktion f pienin arvo on. Määritetään kulkukaavion avulla missä funktio f saa pienimmän arvonsa. Lasketaan tätä varten toisen derivaatan nollakohdat. f ''( ) e e Koska derivaattafunktion pienin arvo saavutetaan kohdassa, niin f () =. Ratkaistaan vakion C arvo tämän tiedon perusteella. f '() e e C C + C = C = Siis '( ) f e e. Määritetään funktion f lauseke. f ( ) f '( )d ( e e )de e D Koska funktion f kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, niin f() =. Ratkaistaan vakion D arvo tämän tiedon perusteella. f () e e D D, mistä saadaan D =. Siis ( ) f e e. Vastaus: ( ) f e e.