MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. Alustava pisteitys. Kuvaajan perusteella suora kulkee origon ja pisteen (,) kautta. Sen kulmakerroin on silloin ja yhtälö y x. Suora kulkee pisteiden (0,) ja (,0) kautta. Sen kulmakerroin on 0 0 Se leikkaa y-akselin kohdassa y. Yhtälö on siten y x. Suora on x-akselin suuntainen ja leikkaa y-akselin kohdassa y. Tämä on myös suoran yhtälö. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 8..05
. x(4x) x( x) x4x xx xx x, jonka arvo on, kun x. b) Esimerkkiyhtälö x 0, jonka yksi juuri on. c) Sijoitetaan x yhtälöön x( x 5) ax, jolloin saadaan ( ) a a 8 a 4.. Vertailu: 68 08 08,097..., 0 joten naisen maksimisyke on noin % korkeampi. b) Alaraja on 0,60 (6 0) 7,6 8. Yläraja on 0,70 (6 0) 7, 7. 4. Pythagoraan mukaan BC 8, 4, 4 46, 5 6,8007... 6,8 (cm). b) Jos terävät kulmat ovat ja, niin 4,4 sin 0,54...,904...,9. 8, Tällöin 90 57, c) Pinta-ala on AB BC 4,4 6,8007 4,966... 5,0 ) 5. (h,t)-koordinaatiston pisteiden (0,5) ja (, 56) kautta kulkevan suoran s kulmakerroin k 565 7. 0 Tämä tarkoittaa, että alueella 0 h km ilma jäähtyy 7 astetta, kun noustaan km ylöspäin. Kilometrin nousua kohti ilma jäähtyy 7 6,4545... 6,5 astetta. b) Suora s leikkaa T-akselin kohdassa T 5 ja sen kulmakerroin k 7. Sen yhtälö on siten Th ( ) 7h 5, jossa 0 h km. Kuvaaja on se osa suorasta s, joka vastaa arvoja 0 h. Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 8..05
6. Pressun pinta-alaehto: ( x h) 0, josta x 0 h. Pinon tilavuus V( h) x h(0 h) h0h h, h 0. V( h) 0 4h, jonka nollakohta on h 5. Koska funktion V( h ) kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, on kyseessä maksimikohta. Tällöin leveys x 0 h 5 (m) ja pinon korkeus on,5 m. 7. Laaditaan taulukko: Nopeus (km/h) Aika (min) Talvi x 5 Kesä x 0 Nopeus ja matka-aika ovat kääntäen verrannollisia suureita. Saadaan verranto: x, x0 5 josta 5x x 40 x 80 (km/h). TAI: Olkoot tieosuuden pituus s, kesänopeus v k, talvinopeus v t. Talvella kulunut aika 5 min = 0,5 h ja kesällä kulunut aika min = 0,0 h. s s Nopeusehdosta vk vt 0 saadaan yhtälö 0, 0,0 0,5 josta s 0. Talvinopeusrajoitus v 0 t 80 (km/h). 0,5 8. Populaatio 4 tunnin kuluttua on 4 N(4) 000,5 758,68... 000 yksilöä. b) Koska mallin kasvukerroin on,5, kasvaa populaatio joka tunti 5 %. c) Populaation koko ylittää miljoonan, kun Nt ( ) 000 000 eli t 6 t 0,5 0,5 000. Ottamalla puolittain 0-kantaiset logaritmit, saadaan t lg,5 t 0,9565..., joten miljoona ylittyy tunnin kuluttua. lg,5 Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 8..05
9. Käyrä y( x)( x)( x 4) leikkaa x-akselin, kun x 0 x0 x40 x x x 4. Näistä keskimmäinen on x. Käyrän yhtälö on avattuna y x x. Derivaatasta y x saadaan tangentin kulmakertoimeksi y( ) 0. Jos kysytty kulma on, niin tan 0, josta 84,894... 84,. 0. Tuloksen 0 pistettä voi saavuttaa vain arvaamalla kaikki oikein, joten 0 P(0). Tulosta 9 pistettä ei voi saavuttaa mitenkään, sillä yksi väärä arvaus antaa 9 8 pistettä. Näin ollen P(9) 0. Tuloksessa 8 pistettä yksi väärä vastaus voi sattua 0:een eri kysymykseen. 0 9 0 Binomitodennäköisyyden kaavalla: P(8) 0. Kysytty todennäköisyys on 0 0,007... % P(8) P(9) P(0) Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 8..05
. b) c) Taulukoidaan tiedot: Tiedostojen määrä (kpl) Tiedoston koko (kt) Luvattu hinta/tiedosto ( ) Kopiointinopeus/ tiedosto (s) Kuvatiedostot x 0 00 5 Tekstitiedostot y 8 Kokonaispalkkio K( xy, ) 00x 8y, jossa x, y 0. 0x000 Rajoitusehdot:, joissa x, y 0. 5x600 0x000. 5x 600 0x y000 x 80 Rajoitussuorien leikkauspiste:. 5x y600 00 0x y000 x 00 Suorien leikkauspisteet akseleilla: ja 0 0 x0 x0. 5x y600 600 Vertaillaan K-funktion arvoja kärkipisteissä: K(0,600) 4800, K(80,00) 9600, K(00,0) 0000. Koska viimeisin arvo on suurin, kannattaa vakoojan kopioida pelkkiä kuvatiedostoja 00 kpl.. Merkitään: kuvaruudun leveys 6a, korkeus 9a ja lävistäjä d 40 tuumaa 40,54 cm =0,6 cm. Pythagoraan lauseen mukaan (6 (9 d, josta d 7a d a 5,545.... 7 Kuvaruudun leveys on 6a 88,550... 88,6 (cm) ja korkeus 9a 49,805... 49,8 (cm). b) Kuvaruudun pinta-ala on (9 (6 44a 440,8... 44 4(cm ). Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 8..05
. Jos arvosanan numeroarvo on x ja lukumäärä (frekvenssi) on f, niin saadaan taulukko: x f f x x f x 7 7 49 49 4 6 0 0 6 70 5 0 50 5 750 4 6 64 6 56 9 7 9 8 4 8 4 6 0 0 0 0 0 86 48 66 fx 48 Arvosanojen keskiarvo x 4,8604... 4,86 f 86. 4. 66 48 Arvosanojen keskihajonta x x 86 86 =,497, 5. Jos vuotuinen korkokerroin on x, niin saadaan ehto 000 x 086,7, 086,7 josta x,0867 x,0867 000,079...,08. Nimellinen vuosikorkoprosentti on siten noin,8. b) Inflaation takia rahan arvo on laskenut. 000 vuonna 00 vastaa 000,085 = 085 vuonna 0. Todellista korkoa talletukselle on kertynyt siten 086,7 085,7 ( ) kolmessa vuodessa. 5. b) Sivuvektorit ovat OA i j ja OB i 4j. Tällöin lävistäjävektori OP OA OB ( ) i ( 4) j 4i j. Neljäs kärki on siten (4, ). Pinta-ala on OA OB ( 4) 5 0 00 0. c) Särmävektorit ovat OA i j k, OB i j k ja OC i k. Tällöin avaruuslävistäjävektori on OP OA OB OC ( ) i ( ) j ( ) k 4i j. Origon vastainen kärki on siten (4,,0). Matematiikan koe, lyhyt oppimäärä 8..05