Sysmianalyysin laboraorio Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Sysmianalyysin laboraorio Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK
Sysmianalyysin laboraorio Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair Uusiminn Vioiun komponni korvaaan uusilla» Samalla voidaan uusia muiakin komponnja» Uusiminn hdään jonkin poliiikan mukaissi ks. suraava kalvo Ennalahkäisvä huolo Huollolla pyriään vikaanumisn sämisn» Esim. lnokonn huolo vikaanumisia i halua Huollon yhydssä vikaanun komponni korjaaan ai uusiaan» Vr. auon huolo jarrupala jn. Kysymyksiä» Min usin huollo piäisi hdä? missä laajuudssa? Korjaaminn Järjslmä korjaaan vain sn vikaanussa» Esim. salliii nnalahkäisvä huolo liian kallisa Kysymyksiä» Ikäänyvissä järjslmissä usin nmmän vikoja missä vaihssa korjaaminn i nää kannaa? Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo
Sysmianalyysin laboraorio Järjslmin korjaaminn Komponnin uusiminn Kun komponni vikaanuu, s vaihdaan uun» Esimrkiksi hhkulamppujn vaiho koona Kysymyksiä» Monako komponnia piäisi olla varasossa, joa varasoimisn ja vikaanumishäiriöidn yhnlasku kusannuks minimoiuva?» Onko vikaanun komponni pakko uusia hi?» Minkä poliiikan mukaan komponni piäisi uusia? Uusimispoliiikkoja Vikaanumisprusainn failur rplacmn:» Kukin komponni uusiaan vain sn vikaanussa Ikäänymisprusainn ag rplacmn» Kukin komponni uusiaan, kun s vikaanuu ai sn käyöikä saavuaa asun uusimisvälin c kumpi näisä sin ouuukin komponnin kohdalla nsiksi Eräprusainn block rplacmn» Komponni uusiaan, kun s vikaanuu ai ullaan uusimisajankohaan c,c,3c..., jolloin kaikki komponni uusiaan» Tällöin voidaan siis jouua uusimaan sllaisiakin komponnja, joka ova oimivia ja joka ova oll oiminnassa vain vähän aikaa Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 3
Sysmianalyysin laboraorio Uusimispoliiikkojn vrailua Huomioia c Kun, ikäänymis- ja räprusainn uusiminn lähsyvä vikaanumisprusaisa Ikäänymisprusaisssa uusimisssa arviaan odousarvoissi nmmän komponnja kuin vikaanumisprusaisssa» Näin siksi, ä uusiaan myös komponnja, joka saavuava uusimisvälinsä oiminakunnossa Eräprusaisssa arviaan odousarvoissi nmmän komponnja kuin ikäänymisprusaisssa» Näin siksi, ä uusiaan myös komponnja, joka ova oimivia ja joka ivä ol vilä oll oiminnassa koko uusimisväliä Pä siis n f na nb, > n, n, n missä f a b ova hkn mnnssä arviavin uusin komponnin lkm: vikaanumis-, ikäänymis- ja räprusaisssa uusimisssa Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 4
Sysmianalyysin laboraorio Vikaanumisalius Komponnin vikaanuminn Jos vikaaajuusfunkio h on kasvava, niin vikaanumisn kasvaa ajan myöä war-ou» Tyypillinn ilann, kun via aihuuva kulumissa Jos vikaaajuusfunkio h on vähnvä, niin vikaanumisn pinn ajan myöä burn-in» Voi olla ilann uudn järjslmän käyöönoossa, kys simrkiksi alkuvaihn lapsnaudisa, joidn jälkn järjslmä oimii parmmin Molmpia apauksia varn arviaan linikämallja, joissa vikaaajuus i ol vakio Ylisimmin i-vakioisia vikaaajuusfunkioia mallinnaan Wibull- ja gamma-jakaumilla Käyöarkoiuksia Yksiäisn komponnin riskianalyysi Pisprosssi, joissa komponnja uusiaan» Komponnin vikaanumisajankohaa kuvaa saunnaismuuuja T» Korjaamisn ja uusimisn kuluva aika olaan mrkiyksömäksi» Kukin komponni saadaan uudnvroisksi viivä joko uusimalla ai korjaamalla Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 5
Sysmianalyysin laboraorio Wibull-jakauma /3 Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 6
Sysmianalyysin laboraorio Wibull-jakauma /3 Ominaisuuksia Sovluu sllaisn prosssin mallinamisn, jossa vikaanumisn muuuu ajan myöä Elinikää kuvaava funkio >, >, H -muooparamri määriää jakauman muodon» < vikaaajuusfunkio vähnvä» vikaaajuusfunkio vakio s. ksponnijakauma Wibullin rikoisapaus» > vikaaajuusfunkio kasvava Pä f S h E[ T r ] r r Γ r Ts. odousarvo- ja muu momni saadaan gammafunkiosa, joka on aulukoiu Elinikäodo L i siävissä suljussa muodossa Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 7
Sysmianalyysin laboraorio Wibull-jakauma 3/3 Esim. virakykimn oimina Toimina-aika noudaaa Wibull-jakaumaa paramrin.4 vrk - ja.8. Min kauan kykin odousarvoissi ksää? Millä n:llä s ksää vähinään 5 vrk:a? Enä vähinään vilä 5 vrk:ä, jos s on oiminu vrk:a? Rakaisu Odousarvo saadaan kaavasa E[ T ] Γ 66.8 Tn sill, ä kykin ksää vähinään 5 vrk:a saadaan loonjäämisfunkiosa S5 Ehdollinn n sill, ä kykin oimii vähinään vrk:a, jos s on jo oiminu vrk:a S misä saadaan.4.8.4 5.8.8.53.4 S, 8 S.4. S7 7.459 S S5 T T Tämä n pinmpi kuin, syynä kasvava vikaaajuusfunkio kasvava.8 > S T T.8 Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 8
Sysmianalyysin laboraorio 9 Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo Gammajakauma/ Gammajakauma/ Elinikäfunkio anaa rikoisapauksna ksponnijakauman Eloonjäämisfunkio i siävissä suljussa muodossa» Sama kosk myös kumulaiivisa riskiaajuusfunkioa ja jäljllä olvaa linikä-odoa» Mm. näisä syisä Wibullin jakauma on käyännössä ylismpi kuin Gamma-jakauma Erlangin jakauma Jos T,T,..., T n ova oisisaan riippumaomia ksponnijakauunia saunnaismuuujia paramrilla, niin noudaaa Erlangin jakaumaa gammajakauma, missä n r r x r T E dx x d F f τ τ τ ] [ Γ Γ Γ H L n i i T n k k n k S n f!!
Sysmianalyysin laboraorio Gammajakauma / Esim. urvallisuuskriiinn varusaminn Luoaimn visinäjärjsjslmän komponnin on oimiava avaruudssa v kuluua vähinään odnnäköisyydllä 99,99%. Monako varakomponnia on oava mukaan, jos komponnin vikaanumisaajuus on.5/v? Rakaisu Erlangin jakauman pruslla n:s komponnisa muodosuva järjslmä oimii v:n pääsä n:llä k n.5.5 S k k! S 3 99,987% S4 99,999% Koska ja niin olava ainakin 4 komponia li 3 varall Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo
Sysmianalyysin laboraorio Vikaanumisn lukumäärä Noaaioa Järjslmä oaa käyöön ajanhkllä T Komponni vikaanuu hkllä T ja s joko korjaaan ai korvaaan uudlla viipymää Toinn komponni vikaanuu hkllä T, minkä sill hdään samoin Näin mnlln hkn mnnssä arviaan komponnja N max { k T } k Lasknaprosssin ominaisuuksia N on i-vähnvä N N Jos <, niin on aikavälin, ] kulussa vikaanunidn komponnin lukumäärä Prosssilla on riippumaoma lisäyks, jos minkä ahansa kahdn oisiaan likkaamaoman aikavälin, ] ja 3, 4 ] aikana apahunidn vikaanumisn lukumäärä ova oisisaan riippumaomia Prosssi on saionaarinn saionary, jos minkä ahansa aikavälin kulussa vikaanunidn komponnin lukumäärä riippuu vain aikavälin piuudsa Uusiuumisprosssissa rnwal procss vikaanumisapahumin välis aja ova oisisaan riippumaomia ja idnissi jakauunia Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo
Sysmianalyysin laboraorio Homogninn Poisson-prosssi Poisson-prosssi paramrilla ouaa suraava hdo Alussa hkllä vikaanumisn lkm N Toisiaan likkaamaomin aikavälin aikana apahunidn vikaanumisn lukumäärä ova riippumaomia Minkä ahansa :n lvyisn aikavälin aikana vikaanumisn lkm on Poisson-jakauunu paramrilla sin, ä P missä Esim. Tarkasllaan dllisä avaruusluoaina. Mikä on odnnäköisyys sill, ä 7 vuodn kulussa on vikaanunu asan komponnia? Rakaisu Ny P N [ N N n] jon P n,,, n [ ] n! n Tn Tn n!.5 7.5 7 [ x] S S [ N7 ].3%! Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo
Sysmianalyysin laboraorio Ei-homogninn Poisson-prosssi Ominaisuuksia Vikaanumis ivä apahdu vakioaajuudlla, vaan niiä apahuu aikariippuvan funkion mukaissi; ää kusuaan innsiifunkioksi Kunnolaan huononva paranva järjslmä mallinnaan kasvavalla vähnvällä :llä Hkn mnnssä vikaanunidn komponnin odousarvoinn lkm saadaan kumulaiivissa innsiifunkiosa Λ τ dτ Tasan n komponnia vikaanuu aikavälillä a b] odnnäköisyydllä b n P τ dτ n! a b a τ dτ [ N b N a n] Huomioia Ensimmäisn komponnin vikaanumisn kuluva odousarvoinn aika sama kuin yksiäisn komponnin vikaaajuusfunkiolla Sn sijaan myöhmmä vikaanumis riippuva innsiifunkiosa komponnin myöhmmä vikaanumisväli riippuva siiä, milloin aimma vikaanumis ova apahun Ei siis nää kys uusiuumisprosssisa! Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 3
Sysmianalyysin laboraorio Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 4
Sysmianalyysin laboraorio Ei-homogninn Poisson Esimrkki virakykin Olkoon innsiifunkio τ, > paramrin.4 ja.8 so. sama kuin Wibull-jakauman vikaaajuusfn kalvolla 3. Millä odnnäköisyydllä ämän innsiinmukaissi huononuvassa järjslmässä komponni vikaanuu 3 kr vrk:n kulussa? Rakaisu Ny Λ Tän P [ N 3] τ dτ.4 6 3.% τ dτ 3!.8 3 3 [.4 τ dτ.8 ] Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 5
Sysmianalyysin laboraorio Korjaaminn ja saaavuus Järjslmin korjaamissa Tsaamisn, korjaamisn ja uusimisn mn usin aikaa, miä pisprosssikuvaus i oa huomioon Mrkiään X i :llä i:nn vikaanumisn ja R i :llä i:nn korjaamisn kuluvaa aikaa Järjslmän ila riippuu ny siiä, min kauan vikaanumisn ja korjaamisn kuluu aikaa Mrkiään järjslmän ilaa muuujalla, järjslmä oimii hkllä X, järjslmä i oimi hkllä Saaavuus availabiliy, A Tarkoiaa odnnäköisyyä, jolla järjslmä on oiminakunoinn jonakin ajankohana ai aikavälinä Lähsyy ajan kulussa vakioraja-arvoa, kun X i :n ja R i :n jakauma pysyvä samoina Voidaan käsinä äsmnää ri avoin Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 6
Sysmianalyysin laboraorio Saaavuus Hkiäinn saaavuus Engl. poin availabiliy A P X E[ X ], > Sama kuin loonjäämisfunkio S komponnill, joa i voida korjaa Raja-arvoinn saaavuus Engl. limiing availabiliy A lim A Min suurn osan ajasa järjslmä oimii pikässä juoksussa? Kskimääräinn saaavuus välillä,c] Engl. avrag availabiliy [ ] c A c A d, c > c Min suurn osan aikavälisä,c] järjslmä oimii odousarvoissi? Raja-arvoinn kskimääräinn saaavuus Engl. limiing avrag availabiliy A lim A c Min suurn osan ajasa ylipääään järjslmä oimii? Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 7
Sysmianalyysin laboraorio Saaavuudn määriäminn Lähökohia Olaan, ä X i ja R i i,,... ova oisisaan riippumaomia ksponnijakauunia saunnaismuuujia paramrin ja Aikavälin, ] pääyssä järjslmä oimii, jos s oimi hkllä ikä hajonnu nnn :ä, ai s i oiminu hkllä, mua korjaiin nnn :ä Saadaan siis A Kun, niin A A A A A' A A A, > Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo 8
Sysmianalyysin laboraorio 9 Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo Saaavuus ja vikaanumisaja Saaavuus ja vikaanumisaja Kskimääräinn saaavuus Vain nsimmäinn rmi jää jäljll, kun Raja-arvoja Raja-arvoinn saaavuus siis Koska kskimääräinn vikaanumisaika MTTF / man im o failur ja korjausaika MTTR / man im o rpair, niin kromalla yllä osoiaja ä nimiäjä rmillä / saadaan Raja-arvoinn saaavuus riippuu siis siiä, min nopasi järjslmä saadaan korjaua suhssa siihn, min nopasi s vikaanuu Tämä pä myös, kun korjausaika oisin jakauunu sim. korjaus ksolaan vakiopiuinn lim A A MTTR MTTF MTTF A c c c c d c A c
Sysmianalyysin laboraorio Esimrkkjä saaavuudsa / Esim. uusiuumisprosssi Olaan järjslmän vikaanuminn ja korjaaminn ksponnijakauuniksi. Kskimääräinn vikaanumisaika on unia ja korjausaika unia. Järjslmä on aluksi oiminakunoinn. Mikä on järjslmän» oiminaodnnäköisyys hkllä?» raja-arvoinn saaavuus?» kskimääräinn saaavuus välillä,]? Rakaisu Ny /MTTF. ja /MTTR., jon.. A.. 99.37 % Raja-arvoinn saaavuus saadaan, kun hkiäisssä saaavuudssa. A 99,%.. Kskimääräinn saaavuus. A. 99,63 %....... Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo
Sysmianalyysin laboraorio Esimrkkjä saaavuudsa / Esim. laauohjlma suunnilu Laaohjlman avulla pyriään puoliamaan skä kskimääräinn vikaanumisaika ä kskimääräinn korjausaika. Jos nämä avoi saavuaan, mikä on laauohjlman vaikuus järjslmän saaavuun? Rakaisu Ennn laauohjlmaa järjslmä on poissa käyösä ajan A Laauohjlman jälkn vasaava osuus ajasa on A Suhksi saadaan siis A A ½ Usin olnnaissi pinmpi kuin, jon aika, jona järjslmä i ol saaavissa aln noin nljäsosaansa ½ ½ ½ ½ 4 Ma-.7 Riskianalyysi / Ahi Salo