Algebran peruskurssi I

Algebran peruskurssi I Turun yliopisto Markku Koppinen

Alkusanat 8. elokuuta 2006 Algebran peruskurssit I ja II ovat jatkoa lineaarialgebran kurssille. Perehdytään erilaisiin algebrallisiin systeemeihin: ryhmiin, vektoriavaruuksiin, renkaisiin, kuntiin. Näitä tärkeitä rakenteita tarvitaan, paitsi matematiikan eri alueilla, kaikkialla muuallakin, missä matematiikkaa sovelletaan. Nämä Algebran peruskurssit I ja II noudattavat melko tarkoin Tauno Metsänkylän aikaisemmin kirjoittamia monisteita. Suurin ero on, että nyt lineaarikuvauksiin tutustutaan jo lineaarialgebran kurssilla (vektoriavaruuksien R n tapauksessa) ja abstraktit vektori- ja sisätuloavaruudet tulevat Algebran peruskursseissa; aikaisemmin nämä olivat päinvastoin. Lisäksi aineistoa on järjestelty muutenkin uudestaan, käsittelyä on paikoin muutettu ja esimerkkejä on lisätty. Useista esimerkeistä ei ratkaisua ole kirjoitettu näkyviin. Niitä ratkottaneen luennoilla ja demonstraatioissa. Kaikkia ei varmasti ehditä kurssilla käsitellä, joten loput jäävät omakohtaista harjoittelua varten. Osa on melko vaikeitakin. Monisteen kolmas luku, yleiset vektoriavaruudet, on suurelta osin lineaarialgebran kurssilta tuttua asiaa, jota nyt vain käsitellään yleisemmällä tasolla. Siksi sitä ei käytäne luennoilla aivan yksityiskohtaisesti läpi. i

Sisältö 1 Lukuteoriaa 1 1.1 Ekvivalenssirelaatio................................... 1 1.2 Kokonaislukujen tekijöihinjako............................ 4 1.2.1 Suurin yhteinen tekijä............................. 6 1.2.2 Aritmetiikan peruslause............................ 8 1.3 Kongruenssi....................................... 9 2 Ryhmä 13 2.1 Ryhmän käsite..................................... 13 2.1.1 Perusominaisuuksia.............................. 17 2.1.2 Ryhmätaulu................................... 18 2.1.3 Ryhmien suora tulo.............................. 19 2.2 Aliryhmä........................................ 20 2.2.1 Osajoukon generoima aliryhmä........................ 22 2.3 Syklinen ryhmä..................................... 23 2.4 Sivuluokat........................................ 24 2.4.1 Normaali aliryhmä. Tekijäryhmä....................... 27 2.5 Ryhmähomomorsmit................................. 30 2.5.1 Kuva ja ydin.................................. 32 2.5.2 Ryhmien isomora............................... 34 2.5.3 Homomoralause................................ 35 3 Vektoriavaruus 37 3.1 Johdanto........................................ 37 3.2 Yleinen reaalinen vektoriavaruus........................... 37 3.3 Aliavaruus........................................ 40 3.3.1 Vektorijoukon virittämä aliavaruus...................... 41 3.4 Lineaarinen riippuvuus................................. 42 3.5 Kanta ja dimensio................................... 44 3.6 Koordinaattivektorit ja kannan vaihto........................ 48 ii

SISÄLTÖ iii 3.7 Aliavaruuksien suora summa............................. 49 3.8 Lineaarikuvaus..................................... 50 3.9 Lineaarikuvauksen ydin ja kuva............................ 51 3.10 Säännöllinen lineaarikuvaus.............................. 53 3.10.1 Vektoriavaruuksien isomorsmi........................ 53 3.11 Lineaarikuvauksen matriisi.............................. 54 3.12 Lineaarikuvauksen ominaisarvot ja -vektorit..................... 56

Luku 1 Lukuteoriaa 1.1 Ekvivalenssirelaatio Joukkojen A 1 ja A 2 karteesisella tulolla A 1 A 2 tarkoitetaan joukkoa, jonka muodostavat kaikki järjestetyt parit (a 1, a 2 ), missä a 1 A 1 ja a 2 A 2 ; toisin sanoen A 1 A 2 = {(a 1, a 2 ) a 1 A 1, a 2 A 2 }. Karteesisesta tulosta A A käytetään myös merkintää A 2. Olkoon R A A jokin osajoukko. Silloin sanotaan, että R on relaatio joukossa A. Kun (a, b) R, sanotaan, että alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa, ja merkitään lyhyesti a R b. Usein relaatio määritellään antamalla sääntö sille, milloin a R b on voimassa. Tällöin relaatioksi R voidaan kutsua myös tätä sääntöä (hiukan epätäsmällisesti). Esimerkki 1.1.1 a) Määritellään joukossa R relaatio R asettamalla sääntö x R y x < y. Siis R on reaalilukujen tavallinen pienemmyysrelaatio. Usein tämä ilmaistaan sanomalla, että R on relaatio <, mutta tarkasti ottaen R määritellään joukkona R = {(x, y) R 2 x < y}. b) Olkoon A = {x, y, z} ja R = {(x, y), (x, z), (y, z)}. Silloin R:n määrittämässä relaatiossa on x R y, x R z ja y R z. c) Määritellään n n-matriisien joukossa relaatio sanomalla, että matriisi A on relaatiossa matriisin B kanssa, jos ne kommutoivat. Määritelmä 1.1.2 Joukossa A määriteltyä relaatiota R sanotaan ekvivalenssirelaatioksi tai ekvivalenssiksi, jos se täyttää seuraavat ehdot: E1. Kun a A, niin a R a. (reeksiivisyys) E2. Kun a, b A ja a R b, niin b R a. (symmetrisyys) E3. Kun a, b, c A ja a R b ja b R c, niin a R c. (transitiivisuus) 1

LUKU 1. LUKUTEORIAA 2 Ekvivalenssirelaatiota merkitään usein symbolilla. Jos a b, sanotaan, että a on ekvivalentti b:n kanssa tai että a ja b ovat ekvivalentit. Esimerkki 1.1.3 Tutkitaan, millä esimerkin 1.1.1 relaatioista on mitkäkin ominaisuuksista E1 E3. Esimerkki 1.1.4 Jokaisessa joukossa A yhtäsuuruusrelaatio on ekvivalenssirelaatio. Esimerkki 1.1.5 Matriisien vaakariviekvivalenssi on ekvivalenssirelaatio joukossa M m n (R). Esimerkki 1.1.6 Matriisien similaarisuus on ekvivalenssirelaatio joukossa M n (R). Esimerkki 1.1.7 Tason suorien joukossa yhdensuuntaisuus L 1 L 2 on ekvivalenssirelaatio. Määritelmä 1.1.8 Olkoon jokin joukon A ekvivalenssirelaatio. Alkion a A kanssa ekvivalenttien alkioiden joukkoa sanotaan a:n ekvivalenssiluokaksi [a]; siis [a] = {b A b a}. (1.1) Lemma 1.1.9 Olkoon joukon A ekvivalenssirelaatio. Jos b [a], niin [a] = [b]. Todistus. Oletetaan, että b [a]; siis b a. Olkoon ensin c [b], toisin sanoen c b. Silloin c b a, joten transitiivisuuden nojalla c a, eli c [a]. Näin ollen [b] [a]. Koska b a, niin symmetrisyyden perusteella a b. Jo todistetun nojalla [a] [b]. Ekvivalenssiluokan [a] jokaista alkiota sanotaan luokan edustajaksi. Lemman mukaan ekvivalenssiluokka [a] määräytyy jokaisesta edustajastaan. Kun kustakin ekvivalenssiluokasta valitaan tarkalleen yksi edustaja, saatua joukkoa sanotaan ekvivalenssiluokkien edustajistoksi. Lause 1.1.10 Olkoon joukon A ekvivalenssirelaatio. Silloin A on erillisten (eli alkiovieraiden) ekvivalenssiluokkien unioni. Tarkemmin: Jos D on jokin ekvivalenssiluokkien edustajisto, niin A = [a], [a] [a ] = kun a, a D, a a. (1.2) a D Todistus. Koska ehdon E1 nojalla aina a [a], niin A = a A [a]. Kaksi ekvivalenssiluokkaa ovat joko erilliset tai yhtäsuuret; jos nimittäin [a] [b], niin valitaan c [a] [b], jolloin lemmasta seuraa [a] = [c] = [b]. Kun nyt unionissa A = a A [a] annetaan a:n käydä vain jokin edustajisto D, unioniin tulee jokainen erisuuri ekvivalenssiluokka tarkalleen kerran. Esimerkki 1.1.11 Määritellään kokonaislukujen joukossa Z ekvivalenssirelaatio: n m n = m. Silloin [0] = {0}, [1] = [ 1] = { 1, 1}, [2] = [ 2] = { 2, 2},....

LUKU 1. LUKUTEORIAA 3 Edustajistoksi voidaan valita vaikkapa D = {0, 1, 2,...}. Lauseen antama hajotelma on Z = [n] = {0} {±1} {±2}. n=0 Esimerkki 1.1.12 Vaikka edustajisto voidaankin yleensä valita monella eri tavalla, niin toisinaan on jokin muita luonnollisempi valinta. Niinpä esimerkin 1.1.5 ekvivalenssiluokille saadaan lineaarialgebran kurssista eräs edustajisto. Mikä? Jos joukko A on erillisten osajoukkojensa A i unioni (i käy jonkin indeksijoukon I), siis jos A = A i, A i A j = kun i, j I, i j, (1.3) i I sanotaan, että nämä osajoukot muodostavat A:n partition. Lause 1.1.10 voidaankin muotoilla näin: Jos joukossa A on määritelty ekvivalenssirelaatio, niin ekvivalenssiluokat muodostavat A:n partition. Myös käänteinen pätee: Jos joukossa A on annettu jokin partitio (1.3), niin voidaan määritellä relaatio A:ssa asettamalla, että a b jos a ja b ovat samassa osajoukossa A i. Tämä on ilmeisestikin ekvivalenssirelaatio, ja A i :t ovat juuri sen ekvivalenssiluokat. Esimerkki 1.1.13 Katsotaan, millaisia ovat ekvivalenssiluokkien antamat partitiot eo. esimerkeissä esiintyneissä ekvivalenssirelaatioissa. Esimerkki 1.1.14 Kirjoitetaan reaalilukujen joukko alkiovieraana unionina R = n Z [n, n+1). Voidaanko vastaava ekvivalenssirelaatio lausua millään mukavalla säännöllä? Kaikkien ekvivalenssiluokkien joukkoa (eli parvea; parvi = joukkojen joukko) sanotaan A:n osamääräjoukoksi tai tekijäjoukoksi ko. ekvivalenssirelaation suhteen. Sitä merkitään symbolilla A/ ; siis A/ = { [a] a A} = { [a] a D}. (1.4) Tähän liittyy kuvaus A A/, a [a], jossa siis kukin alkio kuvautuu edustamakseen ekvivalenssiluokaksi. Voidaan ajatella, että kuvaus samaistaa samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat alkiot keskenään. Esimerkki 1.1.15 Millainen on joukko R/ esimerkin 1.1.14 relaatiolle? Esimerkki 1.1.16 a) Määritellään R:ssä relaatio x y x y Z. Osoitetaan, että se on ekvivalenssirelaatio. Havainnollistetaan vastaavaa osamääräjoukkoa. b) Tarkastellaan samalla tavoin R 2 :n relaatiota (x, y) (x, y ) y y Z.

LUKU 1. LUKUTEORIAA 4 1.2 Kokonaislukujen tekijöihinjako Seuraavassa tutkitaan kokonaislukujen joukkoa Z = {0, ±1, ±2,...}. Jos kokonaisluku a on jaollinen kokonaisluvulla b, toisin sanoen jos on sellainen c Z, että a = bc, merkitään b a. Käytetään myös sanontoja: b jakaa a:n, b on a:n tekijä, a on b:n monikerta. Vastakohta merkitään b a. Esimerkiksi 2 8 ja 3 15 mutta 6 21. Jaollisuudella on seuraavat yksinkertaiset ominaisuudet (perustele ne!): Kun a, b, c Z, niin (i) a a ; (ii) jos a b ja b a, niin a = ±b ; (iii) jos a b ja b c, niin a c ; (iv) jos a b ja a c, niin a (b + c). Kokonaislukua p > 1, jonka ainoat tekijät ovat ±1 ja ±p, sanotaan alkuluvuksi tai jaottomaksi luvuksi (engl. prime). Muita kokonaislukuja n > 1 sanotaan yhdistetyiksi luvuiksi (composite number). Yhdistetty luku n voidaan siis hajottaa muotoon (hajottaa tekijöihin) n = n 1 n 2, 1 < n 1 < n, 1 < n 2 < n. Jatkamalla tässä tekijöiden n 1 ja n 2 hajottamista (jos mahdollista) saadaan lopulta luvun n alkutekijähajotelma n = p 1 p 2 p s (p 1,..., p s alkulukuja). (1.5) Se voidaan kirjoittaa myös muodossa n = q h 1 1 qh 2 2 qh r r (q 1,..., q s erisuuria alkulukuja, h i 1 i). (1.6) Myöhemmin todistetaan ns. aritmetiikan peruslause, jonka mukaan luvun n alkutekijähajotelma (1.5) on yksikäsitteinen, samoin siis (1.6), tekijöiden järjestystä lukuun ottamatta. Jälkimmäistä sanotaan luvun n kanoniseksi (alkutekijä)hajotelmaksi. Esimerkki 1.2.1 700 = 2 2 5 5 7 = 2 2 5 2 7. Alkulukujen joukkoa merkitään P:llä; siis P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57,...}. Lause 1.2.2 (Eukleides) Alkulukuja on äärettömän monta. Todistus. Tehdään vastaoletus: p 1,..., p r ovat kaikki alkuluvut. Muodostetaan luku n = p 1 p r + 1.

LUKU 1. LUKUTEORIAA 5 Koska n > 1, se voidaan hajottaa alkutekijöihin. Olkoon q jokin alkutekijöistä. Vastaoletuksen mukaan q on jokin p i. Nyt siis q n p 1 p r = 1, ristiriita! Kun kokonaisluku jaetaan toisella kokonaisluvulla, jää yleensä jakojäännös. Seuraavassa lauseessa tämä seikka muotoillaan tarkasti. (Lauseen nimi on hiukan harhaanjohtava; algoritmiksi voi kutsua sitä menetelmää, jolla jakolasku suoritetaan esimerkiksi jakokulmassa.) Lause 1.2.3 (Jakoalgoritmi) Jos a, b Z ja b 0, on yksikäsitteiset sellaiset q, r Z, että a = qb + r, 0 r < b. (1.7) Todistus. Todistetaan lukujen q, r olemassaolo. Olkoon ensin b > 0. Valitaan joukosta {a nb n Z} pienin epänegatiivinen luku r. (Miksi se on mahdollista?) Merkitään r = a qb, missä q Z. Silloin a = qb + r. Lisäksi r < b = b, sillä muuten em. joukossa olisi r:ää pienempikin epänegatiivinen luku r b = a (q + 1)b. Olkoon nyt b < 0. Tämä tapaus palautuu edelliseen seuraavasti: Koska b > 0, niin a = q( b) + r, missä 0 r < b, ja nyt a = ( q)b + r ja 0 r < b. Lopuksi todistetaan yksikäsitteisyys. Oletetaan, että myös luvut q ja r toteuttavat lauseen ehdot. Yhtälöstä qb + r = q b + r saadaan ja koska 0 r < b ja 0 r < b, niin r r = (q q)b, 0 r r < b. Jos olisi q q, niin q q 1 ja siis r r = (q q)b b, ristiriita. Näin ollen q = q, ja nyt yhtälöstä qb + r = q b + r seuraa r = r. Esimerkki 1.2.4 50 = 4 11 + 6, 19 = ( 2)( 7) + 5, 8 = ( 1) 10 + 2. Huomautus 1.2.5 Jakoalgoritmin todistuksessa haluttiin pitäytyä kokonaisluvuissa. Katsomalla Z:aa R:n osajoukkona jakoalgoritmia voi ajatella myös seuraavasti. Tarkastellaan tapausta b > 0. Vastaavasti kuin esimerkissä 1.1.14 reaalilukujen joukolle saadaan partitio käyttämällä b:n mittaisia välejä: R = n Z [nb, (n + 1)b). Koska kyseessä on partitio, niin annettu luku a Z kuuluu tarkalleen yhteen väleistä; kun ko. väli on [qb, (q + 1)b) ja merkitään r = a qb, saadaan lauseen luvut q, r. Edellä esitetty todistus on silti hyvin hyödyllinen, kun halutaan johtaa vastaavanlaisia tuloksia muissa tilanteissa. Esimerkiksi polynomeille on aivan analoginen jakoalgoritmi kuin kokonaisluvuille, ja todistuskin käy saman mallin mukaan; tämä tulee esille Algebran peruskurssissa II.

LUKU 1. LUKUTEORIAA 6 1.2.1 Suurin yhteinen tekijä Kahdella kokonaisluvulla a ja b, joista ainakin toinen on 0, on aina vähintään yksi yhteinen positiivinen tekijä, nimittäin 1. Suurimmasta yhteisestä tekijästä (joka siis on aina 1) käytetään merkintää syt(a, b) tai (a, b). Jos syt(a, b) = 1, sanotaan, että a ja b ovat suhteellisia alkulukuja tai keskenään jaottomia. Lemma 1.2.6 Kun a, b Z ja ainakin toinen on 0, niin syt(a, b) on joukon {xa + yb x, y Z} pienin positiivinen luku. Todistus. Kyseisessä joukossa on varmasti pienin positiivinen luku; olkoon se d = ua + vb, missä u, v Z. Näytetään ensin, että d a. Jakoalgoritmin mukaan a = qd + r, missä 0 r < d. Silloin r = a qd = (1 qu)a + ( qv)b, joten myös r kuuluu mainittuun joukkoon. Jos r > 0, tämä on ristiriidassa d:n minimaalisuuden kanssa. Näin ollen r = 0 ja siis d a. Symmetrian perusteella myös d b. Siis d on a:n ja b:n yhteinen tekijä. Jos myös c on niiden yhteinen tekijä, niin c (ua + vb) eli c d. Koska d > 0, tästä seuraa c d. Siispä d = syt(a, b). Seuraava tulos saadaan suoraan lemmasta ja sen todistuksesta. Lause 1.2.7 Luku d = syt(a, b) täyttää seuraavat ehdot: (i) d on jaollinen jokaisella lukujen a ja b yhteisellä tekijällä; (ii) on sellaiset kokonaisluvut u ja v, että d = ua + vb (Bezout'n identiteetti). Huomaa, etteivät kertoimet u ja v ole yksikäsitteisiä: esimerkiksi syt(4, 6) = 2 = 2 4 1 6 = ( 1) 4 + 1 6. Suurin yhteinen tekijä syt(a, b) voidaan laskea Eukleideen algoritmilla. Siinä sovelletaan jakoalgoritmia toistuvasti. Olkoon b 0. Jos a b, niin syt(a, b) = a. Oletetaan, että a b. Saadaan a = q 1 b + r 1, 0 < r 1 < b, b = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2,....................................... r n 2 = q n r n 1 + r n, 0 < r n < r n 1, r n 1 = q n+1 r n + 0.

LUKU 1. LUKUTEORIAA 7 Menettely päättyy, koska jakojäännökset r i muodostavat aidosti vähenevän jonon kokonaislukuja 0. Viimeinen nollasta poikkeva jakojäännös r n on haettu syt: r n = syt(a, b). Tämä nähdään seuraavasti. Viimeisen yhtälön mukaan r n r n 1 ; siis edellisen yhtälön mukaan r n r n 2, ja niin edelleen. Jatkamalla näin yhtälöketjussa ylöspäin saadaan lopulta r n b ja r n a. Siis r n on lukujen a ja b yhteinen tekijä. Jos toisaalta c a ja c b, niin ensimmäinen yhtälö antaa c r 1, toinen c r 2, ja niin edelleen, ja lopuksi saadaan c r n. Näin ollen r n on yhteisistä tekijöistä suurin. Eukleideen algoritmilla voidaan myös ratkaista sellaiset u, v Z, että r n = ua+bv. Tämä käy eliminoimalla r n 1, r n 2,..., r 1 yhtälöketjusta, esimerkiksi sijoitusmenettelyllä alhaalta lähtien. Esimerkki 1.2.8 Saadaanko kaikki kokonaisluvut k muodossa k = 13n + 16m, missä n, m Z? Kyllä. Nimittäin syt(13, 16) = 1, joten on sellaiset u, v Z, että 1 = 13u + 16v. Siis k = 13(uk)+16(vk). Jos tarvitaan jokin ratkaisu (n, m) eksplisiittisesti, sellainen löydetään etsimällä jotkin u ja v. Käytetään Eukleideen algoritmia: 16 = 1 13 + 3, 13 = 4 3 + 1, 3 = 3 1 + 0. Saadaan 1 = 13 4 3 = 13 4 (16 1 13) = 5 13 4 16. Näin ollen (u, v) = (5, 4), ja k = 13(5k) + 16( 4k) k Z. Esimerkki 1.2.9 Hallussamme on esine, jonka pitäisi painaa 82 grammaa, ja haluaisimme tarkistaa tämän. Käytössämme on kaksivartinen vaaka ja suuri määrä 12 ja 18 gramman punnuksia. Onnistuuko? Esimerkki 1.2.10 Lasketaan syt(306, 657) ja lausutaan se muodossa 306u + 657v (u, v Z). Suurimman yhteisen tekijän käsitteen kanssa analoginen on lukujen a ja b pienin yhteinen monikerta (eli pienin yhteinen jaettava) pyj(a, b). Jos a ja b ovat positiivisia, niin nämä käsitteet sitoo toisiinsa kaava Tämä näkee helpoiten alkutekijähajotelmista. syt(a, b) pyj(a, b) = ab. Huomautus 1.2.11 Lukujen suurin yhteinen tekijä syt(a 1,..., a n ) voidaan tietenkin määritellä useammallekin kuin kahdelle luvulle, kun ainakin yksi luvuista a i on 0. Samoin kuin lemmassa 1.2.6 todistetaan, että syt(a 1,..., a n ) on joukon {x 1 a 1 + + x n a n x 1,..., x n Z}

LUKU 1. LUKUTEORIAA 8 pienin positiiviluku, ja sen voi siis aina esittää muodossa u 1 a 1 + +u n a n, missä u 1,..., u n Z. Sen voi laskea myös rekursiivisesti kaavasta syt(a 1, a 2,..., a n ) = syt(a 1, syt(a 2,..., a n )), kun ainakin yksi luvuista a 2,..., a n on 0. Emme todista tätä, vaikka todistus olisikin helppo. 1.2.2 Aritmetiikan peruslause Seuraavan lauseen antama ominaisuus karakterisoi alkuluvut uudella tavalla, sillä yhdistetyt luvut selvästikään eivät toteuta lauseen ehtoa. Ensimmäisenä sovelluksena siitä johdetaan aritmetiikan peruslause. Lause 1.2.12 Olkoon p alkuluku. Jos p ab (a, b Z), niin p a tai p b. Todistus. Koska p on alkuluku, niin syt(p, a) on p tai 1. Edellisessä tapauksessa p a. Jälkimmäisessä tapauksessa Bezout'n identiteetti antaa 1 = up + va joillakin kokonaisluvuilla u, v. Siis b = 1b = (up + va)b = (ub)p + v(ab). Koska p ab, nähdään että p b. Seuraus 1.2.13 Jos p on alkuluku ja jos p a 1 a k (a i Z), niin p jakaa jonkin luvuista a i. Todistus. Tämä saadaan lauseesta induktiolla. Lause 1.2.14 (Aritmetiikan peruslause) Jokainen kokonaisluku n > 1 voidaan esittää alkulukujen tulona eli muodossa tekijöiden järjestystä vaille yksikäsitteisesti. n = p 1 p 2 p s (p i P i) Todistus. Alkutekijähajotelman olemassaolo perusteltiin pykälän 1.2 alussa. Yksikäsitteisyyden todistamiseksi oletetaan, että n:llä on myös esitys n = q 1 q 2 q r, missä q i :t ovat alkulukuja. Siis p 1 p s = q 1 q r. Silloin p 1 q 1 q r, joten seurauksen 1.2.13 nojalla p 1 jakaa jonkin q i :n. Voidaan olettaa, että p 1 q 1 ; tarvittaessa muutetaan q i :den numerointia. Koska kyseessä on alkuluvut, niin p 1 = q 1. Seuraa p 2 p s = q 2 q r. Jatkamalla samoin saadaan (mahdollisesti numerointia muuttamalla) p 2 = q 2,..., p s = q s ja r = s.

LUKU 1. LUKUTEORIAA 9 On luonnollista sopia, että luvulla 1 on esitys tyhjänä alkulukutulona (siis s = 0). Negatiivisilla kokonaisluvuilla taas on yksikäsitteinen esitys muodossa p 1 p s. Kahden luvun syt voidaan laskea tietysti määrittämällä ensin niiden alkutekijähajotelmat. Suurilla luvuilla Eukleideen algoritmi on kuitenkin nopeampi menetelmä. Esimerkki 1.2.15 Koska 72 = 2 3 3 2 ja 60 = 2 2 3 5, niin syt(72, 60) = 2 2 3 = 12. Huomautus 1.2.16 Jaollisuuskäsite voidaan yleistää tietyt ehdot täyttäviin renkaisiin, joista Z on vain erikoistapaus; esimerkkinä mainittakoon muotoa a+b n olevien lukujen joukko, missä a, b Z ja n on sopivasti valittu kiinteä kokonaisluku. Näiden lukujen jaottomuus määritellään vastaavasti kuin Z:ssa. Mutta lukujen esitys jaottomien lukujen tulona ei tällaisessa renkaassa ole yleensä yksikäsitteinen! 1.3 Kongruenssi Seuraavassa esitettävä kongruenssin käsite mahdollistaa jaollisuuteen liittyvien asioiden käsittelyn yhtälöiden tapaan. Määritelmä 1.3.1 Olkoon m positiivinen kokonaisluku. Jos a, b Z ja jos a b on jaollinen luvulla m, sanotaan, että a on kongruentti b:n kanssa modulo m, ja merkitään a b (mod m). Tätä joukon Z relaatiota nimitetään kongruenssiksi; luku m on sen moduli. Edellisen vastakohta: a on epäkongruentti (eli inkongruentti) b:n kanssa modulo m, merkintä a b (mod m). Esimerkki 1.3.2 38 2 (mod 6), 12 13 (mod 5), 100 1 (mod 10). Määritelmän mukaan a b (mod m) tarkalleen silloin kun m a b, eli a b (mod m) a = b + mq, q Z. (1.8) Tästä nähdään helposti, että kongruenssi modulo m on joukon Z ekvivalenssirelaatio (tarkista ehdot E1E3), joka hajottaa Z:n seuraavanlaisiin ekvivalenssiluokkiin: [a] = {a + mk k Z} (a Z). (1.9) Ekvivalenssiluokkaa [a] sanotaan luvun a jäännösluokaksi modulo m (tai mod m); siitä käytetään yleensä merkintää a tai a + mz. Samaan jäännösluokkaan a kuuluvat luvut antavat m:llä jaettaessa saman jakojäännöksen. Kaikki mahdolliset jakojäännökset ovat 0, 1,..., m 1, kokonaislukujen pienimmät epänegatiiviset jäännökset modulo m, ja nämä muodostavatkin jäännösluokkien mod m erään edustajiston.

LUKU 1. LUKUTEORIAA 10 Jäännösluokkien joukkoa merkitään Z m (siis merkinnän (1.4) mukaisesti Z m on Z/ ), ja se voidaan kirjoittaa seuraavasti: Z m = { 0, 1,..., m 1 }. (1.10) Esimerkki 1.3.3 Z 3 = { 0, 1, 2 }, missä 0 = 3Z = {3k k Z} = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9,...}, 1 = 1 + 3Z = {1 + 3k k Z} = {..., 8, 5, 2, 1, 4, 7, 10,...}, 2 = 2 + 3Z = {2 + 3k k Z} = {..., 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,...}. Joukko Z 3 voidaan esittää myös esimerkiksi muodoissa { 1, 0, 1 } tai { 7, 33, 2 }. Esimerkki 1.3.4 Rajatapauksessa m = 1 kongruenssi on triviaali: a b (mod 1) kaikilla kokonaisluvuilla a, b. Erityisesti siis Z 1 = {0}, missä 0 = Z. Lause 1.3.5 (i) Jos a b (mod m) ja c d (mod m), niin a + c b + d, ac bd (mod m). (ii) Jos ca cb (mod m) ja syt(c, m) = 1, niin a b (mod m). (iii) Jos a b (mod km), missä k on kokonaisluku > 0, niin a b (mod m). Todistus. (i) Luku (a + c) (b + d) = (a b) + (c d) on jaollinen m:llä, koska a b ja c d ovat. Samoin nähdään, että ac bd = (a b)c + b(c d) on jaollinen m:llä. (ii) Ehdoista m c(a b) ja syt(c, m) = 1 yhdessä seuraa, että m a b (ajattele lukujen kanonisia hajotelmia). (iii) Jos km a b, niin m a b. Lauseen (i)-kohdan mukaan kongruensseja mod m voidaan laskea yhteen ja kertoa puolittain, samoin siis vähentää puolittain. Huomaa erikoistapaus c = d : jos a b (mod m) niin ca cb (mod m). Kohdan (ii) mukaan kongruenssin jakaminen puolittain c:llä on luvallista, jos syt(c, m) = 1; vertaa tätä siihen, että tavallisen yhtälön saa jakaa puolittain luvulla 0. Esimerkki 1.3.6 Lasketaan jakojäännös jaettaessa 18 2 + 2 100 luvulla 11. Esimerkki 1.3.7 Jakamalla kongruenssi 3 15 (mod 12) puolittain 3:lla saataisiin 1 3 mod 12, mikä ei pidä paikkaansa. Lauseen (ii)-kohdasta ei siis oletusta syt(c, m) = 1 voi jättää pois. Huomaa kuitenkin, että 1 5 (mod 4). Keksi tästä ja perustele yleinen tulos! Esimerkki 1.3.8 Jos a b (mod m), niin lauseen 1.3.5 nojalla esimerkiksi 2 + 5a + 3a 2 2 + 5b + 3b 2 (mod m). Yleisesti, jos P (x) on jokin kokonaiskertoiminen polynomi, siis jos P (x) = c 0 + c 1 x + + c t x t (c 0,..., c t Z), niin kongruenssista a b (mod m) seuraa P (a) P (b) (mod m).

LUKU 1. LUKUTEORIAA 11 Esimerkki 1.3.9 Mitkä jakojäännökset ovat mahdollisia, kun kokonaisluvun a neliö a 2 jaetaan luvulla 8? Jos a b (mod 8), niin a 2 b 2 (mod 8). Siksi kaikki mahdolliset jakojäännökset löydetään jo, kun a käy jäännösluokkien mod 8 edustajiston, esimerkiksi luvut 0, 1,..., 7. Siis mahdolliset jakojäännökset ovat 0, 1, 4. a 0 1 2 3 4 5 6 7 a 2 0 1 4 1 0 1 4 1 Jäännösluokkien joukosta Z m saadaan tärkeä algebrallinen systeemi, kun siinä määritellään yhteen- ja kertolasku sopivasti. Tätä käsitellään jäljempänä ryhmien ja Algebran peruskurssissa II renkaiden yhteydessä. Asian valmistelemiseksi esitellään kyseisten laskutoimitusten määritelmät jo tässä: Kun a Z m ja b Z m, niin a + b = a + b, a b = ab. (1.11) Ongelmana kuitenkin on, että jäännösluokat ilmaistaan edustajien avulla, esimerkiksi jäännösluokka a edustajansa a avulla, eikä edustajan valinta ole yksikäsitteinen. On siis näytettävä, että näin määritellyt summa ja tulo ovat silti yksikäsitteisiä, toisin sanoen riippumattomia edustajien valinnasta. Tällainen tilanne, jossa määritelmä sisältää näennäisen riippuvuuden (ekvivalenssi)luokan edustajan valinnasta, on matematiikassa tavallinen. Kun on osoitettu, ettei riippuvuus ole todellinen, on tapana sanoa, että ko. käsite on hyvinmääritelty (well dened). Lause 1.3.10 Yhtälöiden (1.11) mukaiset jäännösluokkien summa ja tulo ovat hyvinmääritellyt. Todistus. Oletetaan, että a = a ja b = b. Silloin a a ja b b (mod m). Lauseen 1.3.5 kohdan (i) mukaan siis a + b a + b, ab a b (mod m). Tästä seuraa, että a + b = a + b ja ab = a b, mikä todistaa väitteen. Esimerkki 1.3.11 Jäännösluokkien mod 7 joukossa 4 + 5 = 2. Toisaalta 4 = 60 ja 5 = 75, siis 4 + 5 = 60 + 75 = 135. Varmistu laskemalla, että 135 = 2. Kongruensseja sovelletaan mm. tutkittaessa Diofantoksen yhtälöitä. Nämä ovat yhtälöitä, joille haetaan kokonaislukuratkaisuja. Esimerkki 1.3.12 Tarkastellaan Diofantoksen yhtälöä x 2 2y 2 = 5. Osoitetaan, ettei sillä ole (kokonaisluku)ratkaisuja. Tutkitaan ensin kongruenssia x 2 2y 2 5 (mod 8). Esimerkistä 1.3.9 nähdään, että x 2 0, 1, 4 (mod 8) ja samoin y 2 0, 1, 4 (mod 8). Laskemalla kaikki mahdolliset kombinaatiot todetaan, että x 2 2y 2 0, 1, 2, 4, 6, 7 (mod 8). Näin ollen kongruenssilla x 2 2y 2 5 (mod 8) ei ole kokonaislukuratkaisuja, eikä siis ole alkuperäisellä yhtälölläkään.

LUKU 1. LUKUTEORIAA 12 Esimerkki 1.3.13 A osti isoja munkkeja hintaan 15 mk/kpl ja pieniä 11 mk/kpl. (Tästä on joitakin vuosia.) Lasku oli 137 mk. Montako kumpaakin lajia oli? Ratkaistavana on Diofantoksen yhtälö 15x+11y = 137. Ratkaistaan se siirtymällä kongruenssiin 15x 137 (mod 11). Yleisestikin lineaarisen kahden tuntemattoman Diofantoksen yhtälön ratkaiseminen on ekvivalentti tehtävä kongruenssin ax + my = c (1.12) ax c (mod m) (1.13) ratkaisemisen kanssa. Jotta ratkaisuja olisi olemassa, on oltava syt(a, m) c (katso (1.12)), ja tällöin tehtävä voidaan palauttaa tapaukseen syt(a, m) = 1. (Miten?) Ratkaisuja koskee seuraava tulos. Lause 1.3.14 Jos syt(a, m) = 1, niin kongruenssilla (1.13) on yksikäsitteinen ratkaisu x Z välillä 0 x m 1. Todistus. Oletuksen nojalla on sellaiset luvut u, v Z, että au + mv = 1 ja siis a(uc) + m(vc) = c. Kongruenssilla on täten ratkaisu x = uc. Tämän ratkaisun kanssa kongruentit luvut x = uc+km (k Z) ovat myös ratkaisuja. Toisaalta kongruenssin kaikki ratkaisut ovat keskenään kongruentteja mod m, sillä lauseen 1.3.5 (ii)-kohdan mukaan ax 1 ax 2 (mod m) = x 1 x 2 (mod m). Ratkaisuista siis tarkalleen yksi on välillä 0 x m 1. Todistuksessa saatiin jopa: Seuraus 1.3.15 Jos syt(a, m) = 1, niin kongruenssin (1.13) ratkaisut muodostavat yhden jäännösluokan mod m. Pienillä m:n arvoilla ratkaisu x {0,..., m 1} löydetään usein helpoiten kokeilemalla. Joskus voi myös käyttää lauseen 1.3.14 todistuksen ideaa. Esimerkki 1.3.16 Ratkaistaan kongruenssit 4x 3 (mod 7), 3x 6 (mod 12), 5x 7 (mod 10). Kongruensseja käsitellään tarkemmin lukuteorian kurssissa. Esimerkki 1.3.17 Olkoon syt(a, b) = 1. Bezout'n identiteetissä 1 = au + bv kertoimet u ja v eivät ole yksikäsitteiset. Millaisen joukon ratkaisut (u, v) muodostavat?

Luku 2 Ryhmä 2.1 Ryhmän käsite Joukossa S määritellyllä binäärioperaatiolla tarkoitetaan kuvausta S S S, merkitään (a, b) a b. Siis jos on annettu binäärioperaato joukossa S, niin jokaista alkioparia a, b S kohti määräytyy yksikäsitteinen kolmas saman joukon alkio a b. Esimerkki 2.1.1 Kokonaislukujen joukossa Z on aiemmin määritelty ainakin kolme binäärioperaatiota, summa, tulo ja erotus ( +,, ). Määrittelemällä a b = ab + a + b a, b Z saataisiin uusi binäärioperaatio. Esimerkki 2.1.2 Olkoon X joukko. Merkitään F X :llä kaikkien kuvausten X X joukkoa. Kuvaustulo eli kuvausten yhdistäminen on binäärioperaatio joukossa F X. Algebran peruskursseissa I ja II esitellään muutama algebrallinen systeemi: ryhmä, rengas, kunta, yleinen vektoriavaruus ja sisätuloavaruus. Algebralliset systeemit ovat joukkoja, joissa on määritelty yksi tai useampi laskutoimitus ja jotka toteuttavat jotkin annetut aksioomat. Usein laskutoimitukset ovat binäärioperaatioita. Aloitamme määrittelemällä ryhmän (group), joka on yksinkertaisimpia ja samalla tärkeimpiä algebrallisia systeemejä. Määritelmä 2.1.3 Olkoon G epätyhjä joukko. Paria (G, ) sanotaan ryhmäksi, jos on joukossa G määritelty binäärioperaatio, joka täyttää seuraavat ehdot: G1. On voimassa assosiatiivilaki a (b c) = (a b) c a, b, c G. G2. On sellainen alkio e G (neutraalialkio), että a e = e a = a a G. 13

LUKU 2. RYHMÄ 14 G3. Jokaista G:n alkiota a kohti on sellainen alkio a 1 G (a:n käänteisalkio), että a a 1 = a 1 a = e. Pari (G, ) on kommutatiivinen ryhmä eli Abelin ryhmä, jos se toteuttaa lisäksi seuraavan ehdon: G4. On voimassa kommutatiivilaki a b = b a a, b G. Kun (G, ) on ryhmä, sanotaan myös, että G on ryhmä (binäärioperaation suhteen). Esimerkki 2.1.4 (Lukuryhmät) Joukot Z, Q, R ja C ovat Abelin ryhmiä yhteenlaskun suhteen. Neutraalialkiona on 0 ja luvun a käänteisalkiona vastaluku a. Merkitään Q = Q \ {0}, R = R \ {0}, C = C \ {0}. Nämä lukujoukot ovat Abelin ryhmiä kertolaskun suhteen. Neutraalialkiona on 1 ja luvun a käänteisalkiona käänteisluku 1/a. Mikseivät Q, R ja C ole ryhmiä kertolaskun suhteen? Entä Z tai Z \ {0}? Lause 2.1.5 Ryhmän G neutraalialkio on yksikäsitteinen, samoin kunkin alkion a käänteisalkio a 1. Todistus. Jos myös e on G:n neutraalialkio, niin G2 antaa e = e e = e. Jos alkiolla a on myös käänteisalkio a, niin a = a e = a (a a 1 ) = (a a) a 1 = e a 1 = a 1. Tässä tarvittiin kaikki aksioomat G1G3 sekä oletus, että myös a on a:n käänteisalkio. Ryhmäteoriassa ryhmän G laskutoimitus merkitään yleensä kertolaskuna: a b = a b = ab. Tällöin neutraalialkiota kutsutaan myös ykkösalkioksi ja merkitään e = 1 = 1 G. Sanotaan, että (G, ) on multiplikatiivinen ryhmä (tai että ryhmä G merkitään multiplikatiivisesti). Toisinaan ryhmäoperaatiolle käytetään yhteenlaskumerkintää, a b = a + b. Tässä tapauksessa neutraalialkiota kutsutaan nolla-alkioksi ja merkitään e = 0 = 0 G, ja alkion a käänteisalkiota a 1 kutsutaan vasta-alkioksi, merkitään a. Tällöin sanotaan, että (G, +) on additiivinen ryhmä (tai että ryhmä G merkitään additiivisesti). Additiivista merkintätapaa käytetään usein, kun G on Abelin ryhmä, sekä tietenkin silloin, kun käsiteltävä laskutoimitus on todellinen yhteenlasku, kuten vaikkapa esimerkin 2.1.4 ryhmän (Z, +) tapauksessa.

LUKU 2. RYHMÄ 15 Mitkä esimerkin 2.1.4 ryhmistä tuntuu luonnolliselta merkitä additiivisesti ja mitkä multiplikatiivisesti? Ryhmän G alkioiden lukumäärää #G sanotaan G:n kertaluvuksi (order). (Tässä kurssissa joukon S alkioiden lukumäärälle käytetään merkintää #S; muita tavallisia merkintöjä ovat esimerkiksi S tai card S.) Esimerkki 2.1.6 Reaalisen vektoriavaruuden R n vektorit muodostavat additiivisen Abelin ryhmän vektorien yhteenlaskun (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ) suhteen, nolla-alkiona on nollavektori ja vektorin a = (a 1,..., a n ) vasta-alkiona vastavektori a. Esimerkki 2.1.7 Matriisijoukko M m n (R) on additiivinen Abelin ryhmä, nolla-alkiona nollamatriisi ja matriisin A vasta-alkiona A. Esimerkki 2.1.8 Säännöllisten n n-matriisien joukko GL n (R) = {A M n (R) det(a) 0} on multiplikatiivinen ryhmä, ykkösalkiona identiteettimatriisi I n ja matriisin A käänteisalkiona käänteismatriisi A 1. Tätä ryhmää sanotaan yleiseksi lineaariseksi ryhmäksi (general linear group). Se ei ole kommutatiivinen, kun n > 1. Esimerkki 2.1.9 (Jäännösluokkaryhmät) Jäännösluokat mod m muodostavat additiivisen Abelin ryhmän (Z m, +), kun yhteenlasku määritellään kuten oli jo esillä, siis a+b = a + b. Nollaalkiona on 0 ja alkion a vasta-alkiona a. Tämä on esimerkki äärellisestä ryhmästä: joukkona Z m on {0,..., m 1 }, joten #Z m = m. Joukossa Z m määriteltiin myös kertolasku, a b = ab, joka heti todetaan assosiatiiviseksi (sillä ( a b ) c = abc = a ( b c ) ) ja jolla on neutraalialkio 1 (sillä 1 a = a = a 1 ). Sen sijaan kaikilla jäännösluokilla ei ole käänteisalkiota; triviaalisti esimerkiksi 0:lla ei ole. Siksi Z m ei ole kertolaskun suhteen ryhmä. Tutkitaan, millä jäännösluokilla a on käänteisalkio x. Ehto a x = x a = 1, eli ax = 1, saadaan muotoon ax 1 (mod m). Lauseen 1.3.14 ja sitä edeltävän huomautuksen mukaan tällainen x on olemassa jos ja vain jos syt(a, m) = 1. Tämän ehdon toteuttavia jäännösluokkia a kutsutaan alkuluokiksi mod m ja niiden joukkoa merkitään Z m:llä; siis Z m = { a Z m syt(a, m) = 1} = { a Z m on sellainen x Z m että a x = 1 }. (2.1) (Huomaa, että vaikka edellinen muoto näyttääkin riippuvan jäännösluokkien edustajien valinnasta, niin jälkimmäisestä muodosta nähdään, ettei riippuvuus ole todellinen.)

LUKU 2. RYHMÄ 16 Alkuluokkien mod m joukko Z m on kertolaskun suhteen Abelin ryhmä, ykkösalkiona 1 ja alkion a käänteisalkiona sellainen x, että ax 1 (mod m). Tämän osoittamista varten pitäisi ensinnäkin todeta, että kertolasku antaa myös Z m:lle binäärioperaation, toisin sanoen että a, b Z m = a b Z m, ja toiseksi pitäisi tarkistaa, että aksioomat G1G4 toteutuvat. Sivuutamme tässä tämän suoraviivaisen työn. Ryhmää (Z m, ) sanotaan multiplikatiiviseksi jäännösluokkaryhmäksi mod m. Merkitään sen kertalukua #Z m = ϕ(m); tätä m:n funktiota sanotaan Eulerin ϕ-funktioksi. Esimerkiksi Z 9 = { 1, 2, 4, 5, 7, 8 } ja #Z 9 = ϕ(9) = 6. Kun p P, niin Z p = { 1,..., p 1 } ja ϕ(p) = p 1. Esimerkki 2.1.10 Olkoon X joukko ja olkoon F X kuvausten X X joukko. Kuvaustulo on binäärioperaatio joukossa F X. Selvästikin se on assosiatiivinen, ja identiteettikuvaus id X : X X toimii sen neutraalialkiona. Joukosta F X ei operaatiolla varustettuna kuitenkaan tule ryhmää, koska kaikilla kuvauksilla ei ole käänteisalkiota (jos #X > 1). Jotta kuvauksella f F X olisi käänteisalkio g F X, niin pitäisi olla f g = g f = id X, toisin sanoen g:n olisi oltava f:n käänteiskuvaus totutussa mielessä. Merkitään F X = {f : X X f on bijektio}. Helposti todetaan, että (F X, ) todellakin on ryhmä; neutraalialkio on id X ja alkion f F X käänteisalkio on sen käänteiskuvaus f 1. Esimerkki 2.1.11 (Symmetriset ryhmät) Äärellisen joukon J n = {1, 2,..., n} permutaatioksi sanotaan bijektiivistä kuvausta α : J n J n. Kun α(j) = k j j J n, permutaatio α voidaan merkitä muodossa ( ) 1 2... n α =, (2.2) k 1 k 2... k n missä siis k 1, k 2,..., k n ovat luvut 1, 2,..., n jossakin järjestyksessä. (Vertaa lineaarialgebran kurssiin, jossa permutaatioiksi sanottiin jonoja (k 1, k 2,..., k n ).) Esimerkin 2.1.10 mukaan joukon J n = {1, 2,..., n} permutaatiot muodostavat kuvaustulon suhteen ryhmän. Sitä sanotaan n-alkioisen joukon symmetriseksi ryhmäksi, merkitään S n = {α : J n J n α on bijektio}. (2.3) Ykkösalkiona on J n :n identiteettikuvaus ja permutaation α käänteisalkiona käänteiskuvaus α 1. Jos n > 2, S n ei ole Abelin ryhmä. Tunnetusti #S n = n!.

LUKU 2. RYHMÄ 17 Permutaatioiden merkintätapa (2.2) sopii hyvin kuvaustulon laskemiseen. Esimerkiksi ryhmässä S 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 =, =. 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3 2 1 1 3 2 3 1 2 Huomaa, missä järjestyksessä tulokuvaukset muodostetaan; esimerkiksi vasemmanpuoleisessa tulossa alkiot kuvautuvat näin: 1 3 2, 2 2 3, 3 1 1. Huomautus 2.1.12 Olkoon joukon G binäärioperaatio. Jos pari (G, ) täyttää ryhmän määritelmän postulaatin G1, sitä sanotaan puoliryhmäksi, ja jos lisäksi G:ssä on neutraalialkio, toisin sanoen myös G2 on voimassa, niin kyseessä on monoidi. Esimerkiksi Z ja 2Z ( = parillisten kokonaislukujen joukko) ovat kertolaskun suhteen puoliryhmiä, ja edellinen on jopa monoidi. Matriisien joukko M n (R) on matriisikertolaskun suhteen monoidi. Esimerkissä 2.1.10 (F X, ) on monoidi. Puoliryhmien ja monoidien teoriaa ei käsitellä tässä kurssissa. 2.1.1 Perusominaisuuksia Seuraavassa ryhmä G merkitään multiplikatiivisesti, ellei toisin mainita. Koska a(bc) = (ab)c, kolmen ja useamman alkion tulo ryhmässä voidaan merkitä ilman sulkeita, esimerkiksi a(bc) = abc. Ryhmän alkion potenssi määritellään tavalliseen tapaan: a 0 = 1, a n = a a a (n tekijää, n 1), a n = (a 1 ) n (n 1). (2.4) Määritelmästä saadaan helposti johdettua laskusäännöt a m a n = a m+n, (a m ) n = a mn. (2.5) (Huomaa, että negatiivisten eksponenttien tapauksessa tarvitaan eri perustelu.) Sen sijaan sääntö (ab) n = a n b n ei tietenkään päde, ellei G ole kommutatiivinen! Samalla päättelyllä, jolla lineaarialgebrassa todistettiin säännöllisille matriiseille (AB) 1 = B 1 A 1, saadaan nyt yleisemmin (ab) 1 = b 1 a 1 a, b G. (2.6) Huomautus 2.1.13 Additiivista merkintätapaa käytettäessä potenssia a n na. Muotoile kaavat (2.4)(2.6) tässä tapauksessa. Esimerkki 2.1.14 Merkitään S 3 :ssa τ = ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ja σ =. Silloin 2 1 3 2 3 1 vastaa monikerta τ 2 = 1, σ 3 = 1, τστ = σ 2 ( = σ 1 ). (2.7) Voidaan todeta, että S 3 = {1, τ, σ, στ, σ 2, σ 2 τ}, esimerkiksi laskemalla ko. 6 kuvausta, jolloin ne osoittautuvat erisuuriksi, ja käyttämällä sitä, että #S 3 = 3! = 6.

LUKU 2. RYHMÄ 18 Lause 2.1.15 Olkoon G ryhmä. Kun a, b G, niin (i) yhtälöllä ax = b on ryhmässä G yksikäsitteinen ratkaisu x = a 1 b; (ii) yhtälöllä xa = b on ryhmässä G yksikäsitteinen ratkaisu x = ba 1. Todistus. Kertomalla yhtälö ax = b vasemmalta a 1 :llä saadaan x = a 1 b. Kääntäen, x = a 1 b toteuttaa yhtälön ax = b, koska a(a 1 b) = b. Toinen yhtälö käsitellään samoin. Lauseen nojalla (tai suoraan, kertomalla c 1 :llä vasemmalta tai oikealta) nähdään, että ryhmässä on voimassa supistamissäännöt ac = bc = a = b; ca = cb = a = b. (2.8) Esimerkki 2.1.16 Nyt esimerkissä 2.1.14 mainitut S 3 :n alkiot 1, τ, σ, στ, σ 2, σ 2 τ on helpompi osoittaa erisuuriksi. Jos esimerkiksi olisi στ = σ 2 τ, niin kertomalla vasemmalta σ 1 :llä ja oikealta τ 1 :llä saataisiin 1 = σ, siis ristiriita. Samoin käsitellään muutkin tapaukset. (Huomaa kuitenkin, että S 3 :ssa voi silti olla voimassa epätriviaalin näköisiä yhtäsuuruuksia, esimerkiksi στσ = τστ.) 2.1.2 Ryhmätaulu Äärellinen ryhmä voidaan esittää kirjoittamalla sen ryhmätaulu, johon merkitään taulukon muodossa kaikki tulot; vaaka- ja pystyrivit nimetään alkioiden mukaan ja vaakarivin a ja pystyrivin b risteyskohtaan kirjoitetaan se alkio c, joka on tulo c = ab. (On syytä muistaa, etteivät ab ja ba yleensä ole sama alkio.) Vaakariville a tulee silloin kaikki tulot ax, x G. Lauseesta 2.1.15 seuraa, että jokainen vaakarivi sisältää ryhmän kaikki alkiot, kunkin tarkalleen kerran, samoin jokainen pystyrivi. Esimerkki 2.1.17 Additiivinen ryhmä (Z 2, +) on joukkona Z 2 = { 0, 1 }, ja siinä on voimassa 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1, 1+1 = 0. Sen ryhmätaulu on vasemmanpuoleisena (kirjoitetaan lyhyesti a eikä a, ja ymmärretään, että luvut tulkitaan mod 2). (Z 2, +) (Z 3, ) + 0 1 0 0 1 1 1 0 1 2 1 1 2 2 2 1 Multiplikatiivinen ryhmä (Z 3, ) on joukkona Z 3 = { 1, 2 }; sen ryhmätaulu on oikealla (luvut tulkitaan mod 3). (Ryhmätaulut näyttävät rakenteeltaan samanlaisilta. Se merkitsee, että nämä ryhmät ovat keskenään isomorset; tämä käsite määritellään myöhemmin tarkasti. Itse asiassa edellä mainitun ominaisuuden vuoksi ei muunlaisia kahden alkion ryhmiä voi ollakaan.)

LUKU 2. RYHMÄ 19 Esimerkki 2.1.18 Millaisia kolmen alkion ryhmiä on? Jos G = {1, a, b} on ryhmä, niin sen ryhmätaulu voidaan täyttää yleisten ominaisuuksien nojalla: ensin käytetään sitä, että 1 on ykkösalkio ja sitten sitä, että jokaisella vaaka- ja pystyrivillä kukin alkio esiintyy tarkalleen kerran. Saadaan vasemmanpuoleinen ryhmätaulu. 1 a b 1 1 a b a a b 1 b b 1 a + 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 Onko G todella ryhmä? Tämä voitaisiin selvittää tarkistamalla, toteutuvatko aksioomat G1 G3. Helpommalla päästään, jos löydetään ryhmä, jolla on tämä ryhmätaulu. Tässä tapauksessa riittää löytää jokin kolmen alkion ryhmä, sillä edellä päätellyn mukaisesti sen ryhmätaulu on välttämättä juuri tämä. Eräs sellainen ryhmä on (Z 3, +), ja sen ryhmätaulu on oikealla. Tulos: Kolmen alkion ryhmiä on olennaisesti vain yksi. (Tarkemmin ilmaistuna : kolmen alkion ryhmiä on isomoraa vaille vain yksi. Tämä ryhmä voidaan esittää muodossa G = {1, a, a 2 }, missä a 3 = 1. Tällaista ryhmää kutsutaan sykliseksi; tarkka määritelmä esitetään myöhemmin.) Esimerkki 2.1.19 Näytetään, että neljän alkion ryhmiä on kaksi (olennaisesti erilaisia eli epäisomorsia). Niiden ryhmätaulut ovat seuraavat: syklinen ryhmä C 4 1 a b c 1 1 a b c a a b c 1 b b c 1 a c c 1 a b Kleinin neliryhmä 1 a b c 1 1 a b c a a 1 c b b b c 1 a c c b a 1 Esimerkki 2.1.20 Olkoon S 3 = {1, τ, σ, στ, σ 2, σ 2 τ} kuten esimerkissä 2.1.14. Näytetään, miten ominaisuuksista (2.7) voidaan laskea tulot S 3 :ssa. Kirjoitetaan S 3 :n ryhmätaulua. 2.1.3 Ryhmien suora tulo Lause 2.1.21 Ryhmien G 1 ja G 2 karteesinen tulo G 1 G 2 on ryhmä seuraavan binäärioperaation suhteen: (a 1, a 2 )(b 1, b 2 ) = (a 1 b 1, a 2 b 2 ) (a 1, b 1 G 1, a 2, b 2 G 2 ). (2.9) Todistus. Aksioomien G1G3 voimassaolo on helppo tarkistaa. Ykkösalkio on (1, 1), ja käänteisalkiot saadaan kaavasta (a 1, a 2 ) 1 = (a 1 1, a 1 2 ). Lauseessa muodostettua ryhmää G 1 G 2 sanotaan ryhmien G 1 ja G 2 suoraksi tuloksi (tai suoraksi summaksi käytettäessä additiivista merkintää).

LUKU 2. RYHMÄ 20 Huomaa, että kaavan (2.9) tulossa a 1 b 1 on kyse ryhmän G 1 operaatiosta ja tulossa a 2 b 2 ryhmän G 2 operaatiosta. Esimerkki 2.1.22 Kun G 1 = G 2 = R (additiivinen ryhmä), niin suora tulo on tuttu ryhmä R R = R 2, jossa (u 1, u 2 ) + (v 1, v 2 ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ); katso esimerkki 2.1.6. Suora tulo (ja summa) määritellään vastaavalla tavalla useammankin kuin kahden ryhmän tapauksessa. 2.2 Aliryhmä Määritelmä 2.2.1 Olkoon G ryhmä. Jos H G ja jos H on ryhmä G:n binäärioperaation G G G restriktion suhteen, sanotaan, että H on G:n aliryhmä. Merkintä: H G. Kirjoitamme määritelmän konkreettisempaan muotoon. Lause 2.2.2 Kun G on ryhmä ja H sen osajoukko, niin H on G:n aliryhmä tarkalleen silloin kun seuraavat ehdot toteutuvat: AR1. a, b H = ab H; AR2. 1 G H; AR3. a H = a 1 H. Todistus. Oletetaan ensin, että H G. Silloin G:n binäärioperaatio G G G antaa restriktiona binäärioperaation (kuvauksen) H H H; siis AR1 on voimassa. Osoitetaan että G:n ja H:n ykkösalkiot 1 G ja 1 H ovat sama alkio, jolloin AR2 seuraa. Yhtäsuuruus 1 H 1 H = 1 H on voimassa, kun tulo lasketaan ryhmässä H, siis myös kun tulo lasketaan ryhmässä G (tulo on sama!). Näin ollen 1 H toteuttaa G:ssä yhtälön x 2 = x. Mutta ainoa G:n alkio, joka toteuttaa tämän yhtälön, on x = 1 G (kerrotaan yhtälö x 1 :llä). Siis 1 H = 1 G. Kun a H ja b on a:n käänteisalkio H:ssa, niin ab = ba = 1 H = 1 G, joten b on a:n käänteisalkio myös G:ssä. Koska käänteisalkio on yksikäsitteinen, niin a 1 = b H. Oletetaan nyt, että ehdot AR1AR3 ovat voimassa. Ehdon AR1 nojalla G:n binäärioperaatio antaa restriktiona binäärioperaation H:lle. Assosiatiivilaki on voimassa H:ssa, koska se on voimassa koko G:ssä. Ehdon AR2 mukaan H:ssa on ykkösalkio, nimittäin 1 G, ja ehdon AR3 mukaan jokaisella H:n alkiolla on käänteisalkio H:ssa, nimittäin sama kuin käänteisalkio G:ssä. Esimerkki 2.2.3 Jokaisessa ryhmässä G on ns. triviaalit aliryhmät {1} ja G. Jos H G ja H G, sanotaan, että H on G:n aito aliryhmä, merkitään H < G. Esimerkki 2.2.4 Olkoon G = {1, a, b, c} Kleinin neliryhmä. Osajoukko H = {1, a} on sen aliryhmä.

LUKU 2. RYHMÄ 21 Esimerkki 2.2.5 Z < Q < R < C (additiiviset ryhmät) ja Q < R < C (multiplikatiiviset ryhmät). Lauseen 2.2.2 ehtoja voi yksinkertaistaa: Lause 2.2.6 (Aliryhmäkriteeri) Olkoon G ryhmä ja H G. (i) Jos H ja ab 1 H a, b H, niin H on G:n aliryhmä. (ii) Olkoon G äärellinen. Jos H ja ab H a, b H, niin H on G:n aliryhmä. Todistus. (i) Valitsemalla jokin c H ( ) saadaan 1 G = cc 1 H oletuksen (i) nojalla. Kun a, b H, niin b 1 = 1 G b 1 H, joten ab = a(b 1 ) 1 H. Ehdot AR1AR3 ovat siis voimassa, toisin sanoen H G. (ii) Oletetaan nyt, että G on äärellinen, H ja ab H a, b H. Osoitetaan, että kun b H, niin b 1 H; silloin seuraa, että ab 1 H a, b H, ja väite saadaan (i)-kohdasta. Kun b H, niin b, b 2, b 3,... H. Koska G on äärellinen, niin jotkin näistä ovat samoja; olkoon b k = b j, missä k > j > 0. Kertomalla yhtälö b k = b j puolittain b j :llä saadaan b k j = 1 G, ja kertomalla vielä b 1 :llä saadaan b 1 = b k j 1 H. Seuraus 2.2.7 Jos H G ja K G, niin H K G. Todistus. Koska 1 H K, leikkaus ei ole tyhjä. Jos a, b H K, niin ab 1 H ja ab 1 K, sillä H ja K ovat aliryhmiä. Siis ab 1 H K. Esimerkki 2.2.8 Tapaus G = Q ja H = Z \ {0} osoittaa, ettei (ii)-kohdan äärellisyysoletusta voi ilman muuta jättää pois. Esimerkki 2.2.9 Osoitetaan, että seuraavat ryhmien G osajoukot H ovat aliryhmiä: a) G = GL n (R), H = SL n (R) = {A GL n (R) det(a) = 1} (special linear group); b) G = F X, H = {f F X f(x 0) = x 0 } (x 0 X kiinnitetty piste); c) G = Z (addit.), H = mz = {mk k Z}. d) G = C, H = {z C z = 1}. Esimerkki 2.2.10 Olkoon G = GL n (R) ja H = { (a ij ) GL n (R) a ij Z i, j }. Onko H GL n (R):n aliryhmä? Entä H SL n (R)? Esimerkki 2.2.11 Tunnistetaan S 3 :sta joitakin aliryhmiä. Symmetristen ryhmien S n aliryhmiä kutsutaan permutaatioryhmiksi. Esimerkki 2.2.12 Ryhmän G alkiot a ja b kommutoivat, jos ab = ba. Osoitetaan, että ne G:n alkiot, jotka kommutoivat kaikkien G:n alkioiden kanssa, muodostavat aliryhmän. Sitä sanotaan G:n keskukseksi, merkitään usein Z(G):llä.

LUKU 2. RYHMÄ 22 2.2.1 Osajoukon generoima aliryhmä Olkoon G ryhmä ja S jokin sen osajoukko. Tarkastellaan kaikkien niiden G:n aliryhmien H parvea, jotka sisältävät S:n. Parvessa on ainakin yksi jäsen, nimittäin G. Otetaan niiden leikkaukselle käyttöön merkintä S ; siis S = H. (2.10) S H G Samalla keinolla, jota käytettiin seurauksen 2.2.7 todistuksessa, nähdään, että S on G:n aliryhmä. Sanotaan, että S on joukon S generoima G:n aliryhmä. Joukon S alkioita sanotaan aliryhmän S generoijiksi. Jos generoijajoukko S on äärellinen, sanotaan, että S on äärellisesti generoitu; kun S = {a 1,..., a k }, käytetään merkintää S = a 1,..., a k. (2.11) Määritelmästä seuraa, että S on suppein S:n sisältävä G:n aliryhmä, toisin sanoen että S H G = S H. (2.12) Esimerkiksi = {1} ja 1 = {1}. Jos H G, niin H = H. Lause 2.2.13 Ryhmän G osajoukon S generoima aliryhmä S koostuu kaikista tuloista, jotka on muodostettu S:n alkioista ja niiden käänteisalkioista (mukaan luettuna tyhjä tulo = 1), toisin sanoen S = { a 1 a 2 a m a i tai a 1 i S kun i = 1,..., m; m 0}. (2.13) Todistus. Merkitään H 1 :llä yhtälön (2.13) oikean puolen joukkoa. Aliryhmäkriteeristä nähdään, että H 1 on G:n aliryhmä. Lisäksi S H 1, sillä H 1 :ssä ovat mukana yhden alkion tulot a 1 (a 1 S). Näin ollen H 1 on eräs leikkauksessa (2.10) esiintyvä aliryhmä. Siis S H 1. Toisaalta jokainen leikkauksessa (2.10) esiintyvä H sisältää H 1 :n, koska H sisältää kaikki S:n alkiot ja siis aliryhmänä se sisältää myös kaikki tulot a 1 a 2 a m (a i S tai a 1 i S i). Näin ollen H 1 sisältyy leikkaukseen (2.10), siis H 1 S. Nämä sisältymiset yhdessä antavat S = H 1. Huomautus 2.2.14 Jos G on äärellinen ryhmä, niin kaava (2.13) saa yksinkertaisemman muodon S = { a 1 a 2 a m a i S i; m 0}. (2.14) Nimittäin lauseen 2.2.6 todistuksessa nähtiin, että äärellisen ryhmän tapauksessa alkion a käänteisalkio on aina jokin a:n positiivinen potenssi, a 1 = a n. Esimerkki 2.2.15 Esimerkin 2.1.19 syklinen ryhmä C 4 = {1, a, b, c} on alkion a generoima, C 4 = a, sillä b = a 2 ja c = a 3. Niin ikään c = C 4, mutta b = {1, b}.

LUKU 2. RYHMÄ 23 Esimerkki 2.2.16 Kleinin neliryhmässä G (esimerkki 2.1.19) yhden alkion 1 generoimat aliryhmät ovat a = {1, a}, b = {1, b}, c = {1, c}, koska a 2 = b 2 = c 2 = 1. Toisaalta G = a, b, sillä ab = c. Esimerkki 2.2.17 Ääretön ryhmä Z on äärellisesti generoitu: Z = {n 1 n Z} = 1. Esimerkki 2.2.18 Ryhmän R osajoukko P generoi aliryhmän Q +, joka koostuu kaikista positiivista rationaaliluvuista. 2.3 Syklinen ryhmä Ryhmää G sanotaan sykliseksi, jos se on yhden alkion generoima, toisin sanoen jos on sellainen a G, että G = a. Lause 2.3.1 Olkoon G syklinen ryhmä, G = c. (i) Jos G on äärellinen, niin c n = 1 jollakin luvulla n > 0 ja G = {1, c, c 2,..., c n 1 }. (2.15) Jos n > 0 on pienin, jolla c n = 1, niin alkiot 1, c, c 2,..., c n 1 ovat erisuuria, ja siis #G = n. (ii) Jos G on ääretön, niin G = {..., c 2, c 1, 1, c, c 2,...} (2.16) ja kaikki alkiot c m ovat erisuuria (m Z). Todistus. Lauseen 2.2.13 nojalla G = {..., c 2, c 1, 1, c, c 2,...} = {c m m Z}. Oletetaan ensin että G on äärellinen. Silloin jotkin alkiot c m ovat samoja; olkoot k ja j jotkin sellaiset, että c k = c j ja k > j. Seuraa c k j = 1 ja k j > 0. Olkoon n > 0 sellainen, että c n = 1. (Tällaisia on siis olemassa.) Jakoalgoritmin mukaan jokainen m Z voidaan kirjoittaa muotoon m = qn + r, missä 0 r < n, ja saadaan c m = c qn+r = (c n ) q c r = 1 q c r = c r. Näin ollen G = {1, c, c 2,..., c n 1 }. Jos n > 0 on pienin, jolla c n = 1, niin alkiot 1, c, c 2,..., c n 1 ovat erisuuria. Muutenhan löydettäisiin sellaiset k, j {0,..., n 1} että k > j ja c k j = 1, mikä olisi ristiriidassa n:n minimaalisuuden kanssa. Olkoon nyt G ääretön. Silloin kaikki alkiot c m (m Z) ovat erisuuria, sillä muuten seuraisi kuten edellä, että G on äärellinen.

LUKU 2. RYHMÄ 24 Käytämme n alkion sykliselle ryhmälle merkintää C n ja äärettömälle sykliselle ryhmälle merkintää C. Siis jos c on C n :n generoija, niin C n = c = {1, c, c 2,..., c n 1 }, missä c n = 1 ja alkiot 1, c, c 2,..., c n 1 ovat erisuuria. (Myöhemmin, kun olemme määritelleet ryhmien isomorakäsitteen, voimme sanoa, että kaikki samaa kertalukua n olevat sykliset ryhmät ovat keskenään isomorset ja samoin kaikki äärettömät sykliset ryhmät ovat keskenään isomorset. Tässä vaiheessa tyydymme toteamaan, että tässä isomorsiksi mainitut ryhmät ovat oleellisesti samanlaiset huomaamalla, että niiden ryhmätaulut ovat rakenteeltaan samanlaiset.) Esimerkki 2.3.2 Kirjoitetaan ryhmän C n ryhmätaulu. Esimerkki 2.3.3 Todetaan, että (Z, +) on ääretön syklinen ryhmä. Esimerkki 2.3.4 Kun m > 0, niin (Z m, +) on syklinen kertalukua m oleva ryhmä, Z m = { 0, 1, 2,..., k,..., m 1 } = { m 1, 1 1, 2 1,..., k 1,..., (m 1) 1 } = 1. Esimerkki 2.3.5 Näytetään, että Z 5 = 2. Mistä syklisen ryhmän nimitys johtuu? Jos C n = c, niin lähtemällä jostakin alkiosta c m ja kertomalla sitä c:llä yhä uudestaan saadaan jono c m, c m+1, c m+2,..., jossa samat alkiot c m,..., c m+n 1 alkavat toistua ja muodostavat siis syklin. Tarkemmin: c k = c h k h (mod n). (2.17) Syklisyys näkyy myös C n :n ryhmätaulun rivejä verrattaessa. (Ääretöntä syklistä ryhmää voi ajatella rajatapauksena, jossa on vain yksi äärettömän pitkä sykli.) 2.4 Sivuluokat Määritelmä 2.4.1 Olkoon H G ja olkoon a kiinnitetty G:n alkio. Osajoukkoa ah = {ah h H} sanotaan aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi G:ssä (left coset). Vastaavasti Ha = {ha h H} on H:n oikea sivuluokka G:ssä (right coset). (Additiivista merkintää käytettäessä sivuluokat kirjoitetaan a + H ja H + a.) Seuraavassa käsitellään lähinnä vain vasempia sivuluokkia; oikeat sivuluokat käyttäytyvät samalla tavalla. Jos G on Abelin ryhmä, niin ah = Ha a G ja määreet vasen ja oikea voidaan jättää pois.