PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä lauseke a a. Anna tulos muodossa p a q. Ratkaisu a) Kertomalla :lla saadaan > p > < =.. b) Saadaan + ( ) = p Ratkaisukaavalla ± ( ) ( ) Huom. Vain laskinratkaisu ilman yhtälön kirjoitusta ma p c) = = tai =. a a = ( a a ) p ( a ) a a. = = Huom. Laskinratkaisut hyväksytään kohdissa a) ja c), jos maininta laskimen käytöstä. Vastaus a) < b) = tai = c) a. a) Hinta nousee ensin % ja laskee sitten %. Kuinka monta prosenttia ja mihin suuntaan hinta kokonaisuudessaan on muuttunut? Anna tulos prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Geometrisen lukujonon kolmas termi on,5 ja neljäs termi on 6,75. Määritä jonon ensimmäinen termi. c) Määritä funktion f( ) = sin välillä π < < π olevat nollakohdat. Esitä perustelut. Ratkaisu a) Hinta aluksi a. Hinta muutoksien jälkeen ( + ) ( ),96 a= a p eli 96, % alkuperäisestä hinnasta. Täten hinta alentunut % 96,% =,68%,7 %. Huom. Jos puuttuu a, niin ma p a 6,75 b) Jonon suhdeluku q = = =,5. p a,5

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 a,5 Ensimmäinen termi a = = =. q, 5 Huom. Voidaan edetä myös termi termiltä. c) sin = = n π, n on kokonaisluku. p n π n = π,ei käy n =,ei käy n = π,ei käy n = π,ei käy n = π,käy n = π,ei käy Huom. Pelkkä oikea vastaus ma p Vastaus a), 7 % b) a = c) = π Siis ainoa välillä π < < π oleva nollakohta on = π. 8. a) Muodosta funktion f( ) = +, +,, missä, kulkukaavio. Määritä funktion f( ) pienin arvo. b) Määritä ympyrän 6 6 6y y + + = keskipiste ja säde. 8 Ratkaisu a) Derivaatta f ( ) = +,, missä > p Derivaatan nollakohdat 8 =, = ( = ) tai =, joka on välillä >. Kulkukaavio: f () ++++ f () Absol. minimi f () =, 6 < ja f () = >. 9 Pienin arvo f () = 8,. Huom. Derivaatan nollakohta ja pienin arvo voi selvittää myös laskimen avulla. b) 6 6+ 6y + y = : 6 + y + y = 6 ( ) + ( y+ ) = 9 6 ( ) + ( y+ ) =, josta ympyrän keskipiste (, )

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Huom. Neliöksi täydentäminen voidaan myös tehdä laskimen avulla. Vastaus a) f () = 8, b) Keskipiste (, ) ja säde ja säde =.. Viisarikellon minuutti- ja tuntiosoittimien kärkien väli on,5 cm klo. ja,5 cm klo 5.. a) Määritä osoittimien pituudet. b) Kuinka suuri on osoittimien kärkien väli klo 6.? Anna tulos millimetrin tarkkuudella. Ratkaisu a) Olkoon minuuttiosoittimen pituus y ja tuntiosoittimen pituus. Klo tilanteesta saadaan yhtälö y =,5 ja klo 5 tilanteesta Pythagoraan lauseen nojalla yhtälö Saadaan + y =,5. p + ( +, 5) =, 5 + 6 =. ± ( 6) Ratkaisukaavalla saadaan = =,5 tai ( = ). Tuntiosoittimen pituus siis,5 cm ja minuuttiosoittimen, cm. Huom. yhtälöpari/yhtälö voidaan ratkaista myös symbolisella laskimella. jos viisarien pituudet toisinpäin, niin -p b) Klo 6. osoittimien välinen kulma on astetta. o Kosinilauseella saadaan d =,5 +,,5,cos. d Huom.b)-kohta voidaan tehdä myös muistikolmioiden avulla. = 9, 5 d = 9,5 =,8..., cm. Vastaus a) Tuntosoitin,5 cm ja minuuttiosoitin, cm b), cm 5. Tero voittaa Kirstin yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä 5 % ja Kirsti voittaa Teron yksittäisessä sakkipelissä todennäköisyydellä %, loput pelit päättyvät tasan. Oletetaan, että pelin tulos on riippumaton edellisen pelin tuloksesta. He pelaavat ystävyysturnauksen, jossa turnaus loppuu, kunnes jompikumpi voittaa kaksi peliä. a) Laske todennäköisyys, että pelejä tarvitaan täsmälleen kolme. b) Mikä on todennäköisyys sille, että turnaus ratkeaa viidennessä pelissä Kirstin hyväksi? Anna tulokset prosentin kymmenyksen tarkkuudella. Ratkaisu: a) Tasapelin tn = %. Mahdollisuudet ovat kolme peliä siten, että Kirsti tai Tero voittaa kaksi peliä ja yksi peli on tasapeli tai Kirsti tai Tero voittaa lukemin -. p Koodaus: = Kirsti, y = Tero ja t = tasapeli. Mahdollisuudet ovat t tai t tai tyy tai yty tai y tai y tai yy tai yy. =,, +,5,+,,5+,,5 =, =, %.

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 b) Kirstin pitää voittaa viides peli. Mahdollisuudet ovat viisi peliä siten, että Kirsti voittaa kaksi ja tulee kolme tasapeliä tai Kirsti voittaa kaksi peliä, tulee kaksi tasapeliä ja Tero voittaa yhden pelin. + t ttt taittt taitttt tai ttt.,, =,.! + t+ y tty,,,5=,6.! Siis kysytty todennäköisyys on, +, 6 =, 59, 6 %. Vastaus: a), % b),6 % 6. Suunnikkaan ABCD kaksi kärkipistettä ovat B = (,,) ja D= (6,,). uuur Lävistäjänä on vektori AC = i + j + 6 k. a) Muodosta vektori uuur BD ja laske suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste E. b) Määritä pisteen A koordinaatit. c) Laske suunnikkaan terävän kulman suuruus asteen kymmenesosan tarkkuudella. Ratkaisu a) uuur BD = (6 ) i + ( ) j + ( ) k = i j + 6 k. p Lävistäjien leikkauspiste E on janan BD keskipiste, joten + 6 + + 5 E = (,, ) = (,,7). uuur uuur uuur b) Paikkavektori OA = OE + EA uuur uuur 5 = OE AC = i + j + 7 k (i + j + 6 k ) = i + j + k. Täten piste A = (,,). uuur uuur c) Vektori AD = 7i + j + 6k ja AB = i + j. uuur uuur uuur uuur AD AB cos( AD, AB) = uuur uuur AD AB kulma 7 + + 6 = =, 7 + + 6 + 8 uuur uuur o o ( AD, AB) = cos ( ) = 6,58... 6,5. 8 Huom. c)- kohta voidaan ratkaista myös symbolisella laskimella. uuur 5 Vastaus a) BD = i j + 6k, E = (,,7) b) A = (,,) c) 6,5 o

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 7. Määritä käyrältä y = + ne pisteet, joiden etäisyys suorasta 5 y = on. a + by + c Ratkaisu Käytetään pisteen etäisyys suorasta kaavaa. p a + b Suoran yhtälö saadaan muotoon + y+ 5=, joten a = b= c = = y = +,, 5, ja. Saadaan Täten + ( + ) + 5 + = + + = 9 9 tai 9 + + = + + = Edellisestä saadaan ratkaisukaavalla ± = = = ( ) tai. ± 9 ja jälkimmäisestä ratkaisukaavalla = ei ratkaisuja. Vastaavat y-arvot ovat y = ( ) + = ja y = ( ) + =. 6 Huom. Symbolista laskinta saa käyttää yhtälöstä Vastaus a) (, ) ja (, ) 6 + ( + ) + 5 + = lähtien. 8. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on cm. Määritä kolmion suurin mahdollinen pinta-ala. Perustele vastauksesi myös muulla tavalla kuin laskimella, esim. derivaatan avulla. Ratkaisu Olkoon suorakulmion kanta, jolloin Pythagoraan lauseen mukaan kolmion korkeus on =, missä < <. Huom. Hyväksytään myös väli. p ( ), sillä. Kolmion pinta A = = < < 8 Derivaatta A ( ) = =, < <. Derivaatan nollakohta = ( ) = ( = ) tai ( = ) tai = =,. Saadaan kulkukaavio A () + A() Absol. maksimi

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 99 A () = 9,96 > ja A (6) = <. 99 Vastaus cm Suurin arvo saadaan kohdassa =, jolloin pinta-ala A ( ) =. Huom. Symbolista laskinta saa käyttää derivaatan ja sen nollakohtien määrittämisessä. Voidaan soveltaa myös Fermatin lausetta, jolloin kulkukaaviota ei tarvita. Voidaan tutkia myös sisäfunktiota s ( ) =, sillä ulkofunktio on aidosti kasvava. 9. Superpallo pudotetaan,8 metrin korkeudelta lattialle, jolloin pallo alkaa pomppia. Pompun jälkeen pallon maksimikorkeus on pudonnut % edellisestä maksimikorkeudesta. a) Kuinka korkealle pallo pomppaa yhdeksännellä pomppauskerralla? ( p) b) Kuinka monennella kerralla pompun korkeus jää ensimmäisen kerran alle cm:n? (p) c) Muodosta funktio S( ), joka ilmoittaa pallon kulkevan kokonaismatkan, kun (p) pomppuja on kappaletta. Ratkaise yhtälö S( ) =. Ratkaisu a) Ensimmäinen pomppaus a = (, ),8 m =,8 m. Toinen pomppaus a,78, = a joten pomppujen korkeus muodostaa geometrisen jonon, jonka suhdeluku q =,78. Joten a n =,8, 78 =,8, 78 a =, 78,8 m =, 99...m cm. p n n 9 9 Huom. a) kohdan ongelman voi ratkaista myös systemaattisesti taulukoimalla n n b) Saadaan yhtälö,8,78 <,,78 < ln( ) n> = ln(, 78) 9,888..., joten n=. Huom. b) kohdan epäyhtälön voi ratkaista myös systemaattisella taulukoinnilla c) Kokonaismatka on. pudotus +. pomppu ylös ja alas eli a ja jne. Siis S ( ) =,8 + a+ a +... + a = + + + +,8 (,78,8,78,8...,78,8) = + + + + Sulkeissa oleva lauseke on geometrinen summa, jonka suhdeluku q =,78.,8 5, 6(, 78, 78..., 78 ), missä yhteenlaskettavia kappaletta.,78 (,78 ) =,8 + 5,6( ),78 6 9 9 Siten saadaan yhtälö, 78 =, 78 =. 55 55 9 Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä yhtälön vasen puoli saa vain positiivisia arvoja. Huom. b) kohdan yhtälön voi ratkaista symbolisella laskimella Jos c)-kohdan vastauksessa likiarvoja, niin ma p b)- kohdan voi myös ratkaista myös systemaattisella taulukoinnilla 6 9 Vastaus a) cm b). kerralla c) S( ) =,78, ei ratkaisua 55 55. Polynomifunktion P ( ) toinen derivaatta P ( ) = D( P ( )) = 6 ja käyrän y = P( ) kuvaajalle kohtaan = piirretyn tangentin yhtälö on y+ =.

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Laske määrätyn integraalin P( ) d tarkka arvo. Ratkaisu P ( ) = P ( ) d = (6 ) d = + C. p P( ) = P ( ) d = ( + C) d = + C + D. Annetun suoran kulmakerroin on, joten P () =. Toisaalta P () =, sillä annettu tangentti kulkee pisteen (, ) kautta. Saadaan yhtälöpari + C = C = jad= + C + D = Polynomifunktio P( ) = + + P( ) d = ( + + ) d Vastaus 5 = /( + + ) = =.. a) Määritä lukujen 86 ja suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla. b) Ilmaise suurin yhteinen tekijä lukujen 86 ja lineaarikombinaationa. c) Määritä Diofantoksen yhtälön 86+ y = ne ratkaisut, jotka toteuttavat epäyhtälön + y 5. Ratkaisu: a) 86 = + 6 = 6 + p 6 =. Syt on viimeinen nollasta eroava jakojäännös, ts. syt( 86,) =. b) Toisaalta jakoyhtälöitä kääntäen soveltaen saadaan = 6 = (86 ) = 86 = 86 ( ) +. Huom. b)-kohdan lineaariyhdistely ei ole yksikäsitteinen esim. = 86 ( ) + 56. c) b )-kohdan vastauksesta nähdään, että = 86 ( ) +, josta kertomalla 5:llä saadaan = 86 ( 5) + 65, joten Diofantoksen yhtälön 86+ y = eräs ratkaisu on = 5, y = 65. ( myös joku muu yksittäisratkaisu käy )

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 = 5 + n = 5 + n Kaikki ratkaisut ovat muotoa, n on kokonaisluku. 86 y = 65 n = 65 n Vaatimus < + y< 5 < 5 n< 5 5 5 < n<,66... < n< 5,55... n= tai n= 5 Täten = ja y = 8 tai = ja y = 5. Vastaus: a) syt( 86,) = b) = 86 ( ) + = ja y = 8 tai = ja y = 5 c). Määrätyn integraalin d arvo arvioidaan Simpsonin säännöllä. a) Laske integraalin arvon likiarvo käyttäen neljää osaväliä ja laske suhteellinen virhe prosentin kymmenyksen tarkkuudella. b) Kuinka monta jakoväliä n tarvitaan, jotta absoluuttinen virhe olisi korkeintaan ( b a) () Käytä arviossa taulukkokirjan virhekaavaa En = f ( t), missä a< t < b. 8n 5? Ratkaisu a) Integroimisvälin pituus on =, joten yhden osavälin pituus h = =,5. Olkoon f( ) = =.,5 d [ f() + f(,5) + f() + f(,5) + f()] = ( + + + + ) =,. 6,5,5 Tarkka-arvo d = d = / ln = ln (,97...), ln Suhteellinen virhe % =,6...%,%. ln Huom. Integraalin tarkan arvon saa ottaa laskimesta. b) f( t) = t f ( t) = t f ( t) = t f ( t) = t ja () 5 neljäs derivaatta f ( t) = 8t on aidosti vähenevä välillä < t <, (5) sillä viides derivaatta f ( t) = < välillä < t <. 6 t

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 () 8 8 Täten f ( t) = < = 8, kun < t <. 5 5 t 5 ( ) 8 Saadaan arvio E n < 8 =. 8n 5n 8 56 Siten n 9, 65, joten tarvitaan osaväliä. 5n Huom. Neljännen derivaatan saa ottaa symbolisesta laskimesta. Epäyhtälön saa ratkaista laskimella. Todellisuudessa pienempi osavälien lukumäärä riittää, sillä arvio oli karkea. Vastaus a), ja suhteellinen virhe,% b) osaväliä. a) Millä vakion a arvolla funktio ja aidosti vähenevä? b) Millä muuttujan arvoilla sarja summa?, kun a f( ) = on kaikkialla jatkuva a( + ), kun < a + + ( ) + ( ) +... suppenee ja mikä on sarjan Ratkaisu a) Ylemmän palan kuvaaja on osa laskevaa suoraa, joten se on aidosti vähenevä. Alemman palan kuvaaja on osa suoraa, joka kulmakerroin on a. Täten välttämätön vaatimus, että funktio f( ) on aidosti vähenevä on a <. p Funktio on triviaalisti jatkuva väleillä > a tai < a, joten funktio f on jatkuva kaikkialla jos se on jatkuva kohdassa = a. Täten lim ( ) = lim ( a( + )) = f( a). + a a ± ( ) Saadaan a= a+ a a + a = a = a= 5 tai a = + 5. Vain edeltävä arvo toteuttaa vaatimuksen a <. Huom. nollakohdat saa katsoa laskimesta. n b) Jonon yleinen termi an = ( ), n=,,,... eli jono on geometrinen ja. Jonon suhdeluku q =. Oltava q < <, < p Korottamalla neliöön saadaan < 6+ 9 <. a Sarjan summa S = = = = =. q Huom. itseisarvoepäyhtälön saa ratkaista symbolisella laskimella Vastaus a) a = 5 b) < ja summa on, < *. a) Olkoon polynomifunktion P ( ) derivaatan nollakohta ja toinen derivaatta P ( ) <. Päättele perustellen onko ääriarvokohta vai ei. Jos on, niin onko mahdollinen ääriarvo maksimi vai minimi.

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 (p) b) Jos funktion y= P( ) toinen derivaatta P ( ) <, niin käyrän sanotaan olevan tässä kohdassa kupera ylöspäin. Vastaavasti, jos P ( ) >, niin käyrän sanotaan olevan kupera alaspäin. Piste, jossa käyrän kuperuussuunta muuttuu, on nimeltään käännepiste. 5 Määritä käyrän y= + 5 + 5 käännepisteet. (p) c) Osoita, että jos kolmannen asteen polynomifunktiolla P ( ) = + a + b+ con derivaatan + nollakohdat = ja =, missä, niin funktiolla on käännepiste kohdassa =. (p) Ratkaisu a) Koska toinen derivaatta saa negatiivisen arvon kohdassa, niin ensimmäinen derivaatta P ( ) on vähenevä kohdassa, joten derivaatan merkki muuttuu positiivisesta nollan kautta negatiiviseksi. Kyseessä on siis maksimikohta. p b) Koska käännepisteessä käyrä ei ole kupera ylöspäin eikä myöskään kupera alaspäin, on käännepiste välttämättä toisen derivaatan nollakohta. p Käännepisteessä toisen derivaatan merkki muuttuu kohtaa ohitettaessa. 5 y= + 5 + 5 y = + 6 6 6 6 = 6( + ) = 6( ( + ) ( + )) = 6( )( + ) Toisen derivaatan nollakohta = tai =. Testipisteiden f ( ) = 8<, f () = 6< ja f () = 5 > avulla päätellään, että käyrän ainoa käännepiste on kohdassa = y() = 7. c) Derivaatalla on tekijä ( )( ) P ( ) = ( )( ) = +. Joten toinen derivaatta P ( ) = 6. + Nollakohdat: 6 = =. Kyseessä on todella käännekohta, sillä toisen derivaatan kuvaaja on nouseva suora, joten derivaatan merkki vaihtuu negatiivisesta nollan kautta positiiviseksi. Vastaus a) Maksimi b) (, 7) + 5*. a) Osoita, että funktio f( ) = ei saa arvoa. (p) b) Funktio f on aidosti kasvava, jos kaikilla määrittelyjoukon arvoilla a, b pätee: (p) Jos a< b,niin f( a) < f( b). Osoita, että funktio f( n) = n+ n, n=,,,... on aidosti kasvava käyttäen tätä määritelmää. c) Funktio f() t on kaikkialla jatkuva ja derivoituva sekä funktion arvojoukko on välillä t väli [, ]. Määritä funktion g ( ) = [ ft ( )] dt ääriarvokohta. (p)

Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 Ratkaisu a) Tehdään antiteesi: funktio saa arvon, joten + = + 6 = ( ) + =. Tämä on mahdotonta, sillä yhtälön vasen puoli saa vain positiivisia arvoja. Huom. Tehtävän voi tehdä myös funktion kulkua tarkastelemalla. b) Väite: Jos a< b,niin f( a) f() b <. f( a) f( b) = a + a b b= ( a b) + ( a b ) = + + + = + + + ( a b) ( a b)( a ab b ) ( a b)( a ab b ) b b = ( a b) ( + ( a+ ) + ). b b Tulon ( a b) ( + ( a+ ) + ) tekijä a b on oletuksen mukaan negatiivinen, mutta koska toinen tekijä on positiivinen, niin tulo saa vain negatiivisia arvoja. Vastaus c) c) g ( ) = [ ft ( )] dt= ( ft ( ) + [ ft ( )] ) dt = dt + f ( t) dt [ f ( t)] dt p = /( t+ A B), missä A< jab >, sillä f() t <. ( A ja B äärellisiä lukuja) = + A B (kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli) g ( ) = + A nollakohta = A, joka on maksimikohta. (laskeva suora) Selkeä vastaus Huom. Jatkuvuus ja muut alkuehdot takaavat integraalin ts. se on äärellinen luku. = f () t dt maksimikohta f () t dt suppenemisen