Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä

Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä

Vääntö Kulmakiihtyvyys on kappaleen pyörimisnopeuden muutos ajan suhteen. Miten voimasta voi seurata pyörivän kappaleen kulmakiihtyvyys? Tarkastellaan voiman aiheuttamaa vääntömomenttia (torque) ja sen yhteyttä kappaleen kulmakiihtyvyyteen Määritellään analogisesti liikemäärän kanssa määritellään liikemäärämomentti (angular momentum) Havaitaan, että liikemäärämomentille pätee yhtä vahva säilymislaki kuin liikemäärällekin

Vektori- eli ristitulo Kertaus Kahden vektorin ristitulon itseisarvo A B = A B sin ϕ Ristitulovektorin suunta tulon tekijöitä vastaan: A B A A B B A B:n suunta oikean käden säännöstä Yhdensuuntaiset tulontekijät (ϕ = 0 tai 180 ) A B = 0 A B A ϕ B B A = A B

Vääntömomentti Kuinka voima aiheuttaa tai muuttaa pyörimisliikettä? Voiman suuruuden lisäksi myös voiman vaikutuspiste vaikuttaa Määritellään voiman F vääntömomentti τ pisteen O suhteen τ = lf missä l on voimavektorin F ja voiman vaikutussuoran kohtisuora etäisyys

Vinosti vaikuttava voima Jos voima F ja vaikutuspisteen paikkavektori r eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan, on vaikutussuoran kohtisuora etäisyys l = r sin φ missä φ on vektorien F ja r välinen kulma Tällöin vääntömomentti on τ = rf sin φ

Vääntömomenttivektori Voiman tangentiaalinen komponentti F tan = F sin φ Sen avulla vääntömomentti saadaan muotoon τ = rf tan = r F Määritellään vääntömomentti yleisessä tapauksessa τ = r F Vääntömomentti

Voiman komponentit Jäykän kappaleen massapisteeseen m i vaikuttaa kokonaisvoima F i Voima jaetaan komponentteihin pyörimisakselin suhteen Vain tangentiaalinen komponentti aiheuttaa vääntömomenttia akselin y suhteen (radiaalinen komponentti yhdensuuntainen voiman kanssa = ristitulo nolla) Radan tangentin suunnassa pätee pyörimisakseli F i,y y r i m i r i x z F i, tan F i, rad F i,tan = m i a i,tan = m i r i α = τ i = F i,tan r i = m i r 2 i α

Newtonin 2. lain analogia Koko kappaleelle pätee τ i = i i m i r 2 i α = Iα Newtonin 2. lain analogia voidaan kirjoittaa τ tot = Iα, missä I on kappaleen hitausmomentti, eli massan analogia pyörimisliikkeessä / pyörimisen inertiaominaisuus. Vrt. Fext = ma Huom! Tämä yhtälö pätee vain jäykän kappaleen pyörimisliikkeessä, taipuminen otettava huomioon eri tavalla (ei tämän kurssin aihepiirissä) = Jäykän kappaleen jokaisella pisteellä sama kulmakiihtyvyys α

Ulkoiset vääntömomentit Painovoima voidaan redusoida kappaleen massakeskipisteeseen vaikuttavaksi voimaksi M g Sisäisten voimien (esimerkiksi jännitykset) aiheuttamia vääntömomentteja ei tarvitse huomioida N-III sisäiset vääntömomentit kumoavat toisensa pareittain Seuraus: Yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa τext = Iα

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja

Steinerin sääntö Jäykän kappaleen hitausmomentti riippuu akselista, jonka suhteen hitausmomentti lasketaan Steinerin sääntö eli (parallel-axis theorem) Olkoon I CM on kappaleen hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen Hitausmomentti jonkun pisteen P kautta kulkevan, alkuperäisen akselin kanssa yhdensuuntaisen akselin suhteen on I p = I CM + Md 2, Steinerin sääntö missä d on akselien välinen kohtisuora etäisyys.

Steinerin säännön todistus Kappaleen massakeskipiste origossa O Akselit kulkevat pisteiden O ja P läpi z-akselin suuntaisesti Pisteiden välisen etäisyyden x-koordinaatti a ja y-koordinaatti b = d 2 = a 2 + b 2 x i b m CM O y d m i P Hitausmomentti massakeskipisteen O kautta kulkevan akselin suhteen I O = I CM = m i (xi 2 + yi 2 ) i a y i x

Todistus jatkuu Hitausmomentti pisteen P kautta kulkevan akselin suhteen on siten I P = [ ] m i (x i a) 2 + (y i b) 2 i [ ] m i xi 2 2ax i + a 2 + yi 2 2by i + b 2 = i = i + i m i (xi 2 + yi 2 ) 2a m i x i 2b m i y i m i (a 2 + b 2 ) i i

Steinerin säännön seuraukset Edellinen voidaan vielä esittää massakeskipisteen koordinaattien avulla I P = i m i (x 2 i + y 2 i ) 2aMx CM 2bMy CM + i m i (a 2 + b 2 ) = i m i (x 2 i + y 2 i ) + Md 2 Seuraus: kappaleen hitausmomentti aina pienin massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen, koska termi Md 2 > 0. Huom! Sääntö ei sovellettavissa, elleivät akselit yhdensuuntaisia.

Hitausmomentin laskeminen yleisessä tapauksessa Steinerin sääntö varsin rajattu Yleisessä tapauksessa joudutaan käyttämään hitausmomentin määritelmää I = m i ri 2 i kun kappale koostuu hiukkasista Summaus korvautuu integroinnilla kun kyseessä jatkuva kappale I = r 2 dm Hitausmomentti

Hitausmomentin laskeminen: tilavuusintegraali Koska m = ρv, niin differentiaalinen massaelementti on dm = ρdv Hitausmomentti on tällöin I = r 2 ρdv Yleisessä tapauksessa ρ on paikan funktio ρ = ρ(x, y, z) Probleema jakautuu kahteen osaan: miten kappaleen muoto esitetään integraalissa (sinä teet) ja miten integraali lasketaan (tietokone tekee) Ei yleistä ratkaisureseptiä, muutama laskettu esimerkki kalvosetin loppupäässä

Liikemäärämomentti Kulmaliikemäärä, rörelsemängdmoment, angular momentum Hiukkasen liikemäärämomentti pisteen O suhteen L = r p = r m v missä r on paikkavektori O:sta lukien Liikemäärämomenttivektorin itseisarvo L = mvr sin φ missä φ on paikkavektorin ja nopeusvektorin välinen kulma p r φ p = m v

N-II:n analogia Otetaan liikemäärämomentin aikaderivaatta d L dt = d r dt p + r d p dt = v m v + r d p dt = r d p dt Jos hiukkaseen vaikuttaa nettovoima F net = d p/dt d L dt = r d p dt = r F net = τ! Liikemäärämomentti ja vääntömomentti laskettava saman pisteen suhteen Pätee kaikille hiukkassysteemeille vain ulkoiset vääntömomentit otetaan huomioon d L dt = τ ext

Liikemäärämomentin säilyminen Kun nettovääntömomentti on nolla, niin d L/dt = 0 eli L on vakio = Liikemäärämomentin säilymislaki Yhtä yleinen fysikaalinen periaate kuin liikemäärän säilyminen Esimerkiksi jos eristetyn systeemin hitausmomentti muuttuu arvosta I 1 I 2, niin silloin täytyy myös kulmanopeuden muuttua I 1 ω 1 = I 2 ω 2 Esimerkiksi karusellit ja vauhtipyörät

Gyroskooppi Kappale pyörii pääakselinsa ympäri eikä siihen vaikuta ulkoisia vääntömomentteja Pyörimissuunta ja kulmanopeus eivät muutu Gyroskooppi koostuu pyörivästä renkaasta ja tukisysteemistä Tuet sijoitettu s.e. renkaan akseli pystyy pyörimään vapaasti joka suuntaan Gyroskooppia käänneltäessä huomataan että renkaan pyörimisakseli osoittaa aina samaan suuntaan Kuva: New Oxford American Dictionary 2nd edition c 2005 by Oxford University Press, Inc.

Paikanmääritys Pyörivä systeemi pyrkii säilyttämään pyörimisaskelin suunnan Voidaan käyttää hyväksi suunnistamisessa maan pinnalla Kun gyroskooppi laitetaan pyörimään tiettyyn suuntaan, se pysyy aina samassa asennossa suhteessa avaruuteen Maapallon pyöriessä akselinsa ympäri, kääntyy gyroskoopin akseli maan pinnan suhteen Kun gyroskooppi sitten viedään eri leveyspiirille, saadaan akselin ja maan pinnan välisestä kulmasta paikan leveysaste Lisäksi jos kellonaika eli maan asento tunnetaan, saadaan myös pituuspiiri selville

Prekessiokulmanopeus Ulkoiset vääntövoimat aiheuttavat gyroskoopin liikemäärämomentin muutoksen vääntömomentin suuntaan d L dt = τ = d L = τ dt = r F dt Liikemäärämomentin pieni muutos d L aina vääntömomentin suuntaan Alkutilassa gyroskoopilla liikemäärämomentti L, hetken dt kuluttua se on L + d L = L + τ dt Tämä vastaa pyörimisakselin kääntymistä kulman dφ = d L verran Kääntymiskulman kääntymiskulmanopeus = prekessiokulmanopeus Ω Ω = dφ dt = τ L = τ Iω L

Tason päällä pyörivä hyrrä Kulmanopeus ω, liikemäärämomenttivektori hyrrän akselin suuntainen Jos pyörimisakseli muodostaa kulman α tason kohtisuoran kanssa ja massakeskipiste hyrrän kärjestä mitattuna on r c Hyrrään kohdistuu ulkoinen vääntömomentti τ = r c M g, τ = Mgr c sin α τ kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan Hyrrä prekessoi kulmanopeudella Ω = Mgr c sin α Iω Kulman α kasvaessa Ω kasvaa, samoin hyrrän kulmanopeuden ω laskiesssa Suuri ω = α ei pysy vakiona, vaan muuttuu ajan suhteen = nutaatio

Esimerkki 1 Kappale, jonka massa on m, riippuu köydestä joka on kierretty sylinterinmuotoisen väkipyörän ympärille. Kun kappale päästetään liikkeelle levosta, niin mikä on a) kappaleen kiihtyvyys ja b) köysivoima, kun väkipyörän massa on M ja säde R.

Ratkaisu Kappaleen liikeyhtälö F y = mg T = ma Väkipyörän pyörimisyhtälö τ O = RT = Iα Köysi ei liu u: v = Rω = a = Rα, I = 1 2 MR2 T = Iα R = a MR2 2R = Ma 2 2 a) ma = mg Ma = a = mg 2 m + M 2 b) T = Ma 2 = Mmg 2m + M = Mg 2 + M m

Esimerkki 2 Laske homogeenisen kiekon hitausmomentti (akseli 1) suhteessa kiekkoa vastaan kohtisuoraan akseliin, joka kulkee kiekon reunan kautta (akseli 2). Akseli 2 Akseli 1

Ratkaisu Hitausmomentti suhteessa massakeskipisteen kautta kulkevaan kiekkoa vastaan kohtisuoraan akseliin on I CM = 1 2 MR2 Kiekon reunan pisteen P kautta kulkevan akselin suhteen se on I P = I CM + MR 2 = 3 2 MR2

Esimerkki 3 Laske ohuen homogeenisen sauvan hitausmomentti sitä vastaan kohtisuoran, massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen.

Ratkaisu I CM = ρr 2 dv, missä r = x dv = Adx ja ρ = M AL = I CM = L/2 L/2 M AL x 2 Adx = 2 M L L 3 3 8 = 1 12 ML2

Esimerkki 4 Laske homogeenisen sylinterin hitausmomentti sylinterin massakeskipisteen kautta kulkevan, sylinterin päätyä vastaan kohtisuoran akselin suhteen (kuvassa z-akseli).

Ratkaisu I = ρr 2 dv, missä r = r, ρ = M πr 2 L I = R 0 ja dv = 2πLrdr = M πr 2 L r 2 2πLrdr = 2M R 2 = 2M R 2 R 4 4 = 1 2 MR2 R 0 r 3 dr

Esimerkki 5 Laske homogeenisen pallon hitausmomentti pallon massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen käyttäen hyväksi homogeenisen kiekon hitausmomentin lauseketta.

Ratkaisu I = di, missä dz-paksuiselle kiekolle di = 1 2 r 2 dm dm = ρdv = M V πr 2 dz = I = 1 2 r 2 3M 4πR 3 πr 2 dz = 3M 8R 3 3M 4πR 3 πr 2 dz = R R r 4 dz Koska R 2 = r 2 + z 2, niin r 2 = R 2 z 2, joten I = 3M 8R 3 R R (R 2 z 2 ) 2 dz = 3M 8R 3 = 3M 4R 3 8 15 R5 = 2 5 MR2 R R (R 4 2R 2 z 2 + z 4 )dz

Esimerkki 6 Tehtävänanto Luoti, jonka massa on m = 10 g, osuu nopeudella v = 400 m s 1 kohtisuoraan oven keskelle ja jää siihen kiinni. Mikä on herkästi saranoidensa varassa kääntyvän oven, jonka leveys on l = 1 m ja massa M = 15 kg, alkukulmanopeus törmäyksen jälkeen? Ratkaisu Luodin liikemäärämomentti saranan suhteen on L1 = r 1 p 1 = L 1 = 0.5 m mv. Oven liikemäärämomentti L on törmäyksen jälkeen on L 2 = Iω = 1 3 Ml2 ω. Liikemäärämomentti säilyy = L 1 = 0.5 m mv = L 2 = 1 3 Ml2 ω = ω = 3 0.5 m mv Ml 2 = 0.40 s 1