1 Laaja matematiikka 5 Kevät 2010 1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, sitten 3 n kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen :ään. Kaikissa tapauksissa yhteisenä ominaisuutena on integraalin liittyminen kumulatiivisiin ilmiöihin. Esimerkiksi tasoalueen (region) pintatiheyden ρ(x,y) ja pienten pintaalkioiden Δa i tulojen ρ(x,y)δa i summista saadaan :n massa. Ajatuksena on jakaa integroitava tason joukko pieniin palasiin, kuten yhden muuttujan tapauksessa väli [a,b] jaettiin osaväleihin. Nyt joukot voivat kuitenkin olla huomattavasti monimutkaisempia kuin yhden muuttujan tapauksessa. Oheisissa kuvissa alue on jaettu samankokoisiin (mikä ei yleisesti ole välttämätöntä) palasiin k sisältäpäin.
2 2 Avaruudessa sanomme väleiksi sellaisia suorakulmioita, jotka ovat sivuiltaan koordinaattiakselien suuntaisia. Karteesista tuloa hyväksi käyttäen suljetun välin muoto on siis 2 I = [a,b] [c,d] = {(x,y) a x b, c y d}. Vastaavasti määritellään avoimet välit. Suljetun välin pinta-ala katsotaan selviöksi ja sovitaan, että se on a(i) = (b-a)(d-c). Avoimen välin pinta-ala on sama. (Tämä voitaisiin todistaa alla olevan pinta-alamitan määritelmän avulla.)
3 Suljetut välit ovat sisäosiltaan erillisiä, jos niiden sisäosat eivät leikkaa. (eunoissa saa olla yhteisiä pisteitä.) Olkoon tason rajoitettu joukko. Joukkoa voidaan approksimoida sisältäpäin suljettujen sisäosiltaan erillisten välien k äärellisillä yhdisteillä: k k. Vastaavasti ulkopuolelta: Sk. k Näillä välien yhdisteillä on äärellisinä summina pinta-alat: a( k )=a( 1 )+ a( 2 )+..., a( Sk )=a(s 1 )+ a(s 2 )+.... k k Joukon sisäala on kaikkien mainitun tyyppisten sisäpuolelta approksimoivien väliyhdisteiden pinta-alojen pienin yläraja, ja vastaavasti ulkoala ulkopuolelta approksimoivien väliyhdisteiden pintaalojen suurin alaraja. Joukko on (Jordan-)mitallinen, jos sisäala ja ulkoala ovat samat. Silloin yhteinen arvo on joukon ala (Jordan-mitta, pinta-ala, pintamitta,...), merkitään a(). Joukko on nollamittainen, jos sen ala on 0. Yhtäpitävä karakterisointi on seuraava: Joukko on nollamittainen, jos ja vain jos jokaista positiivista lukua ε vastaa sellainen välien joukko I 1, I, että k I ja i= 1 i k ai ( i) < ε. i= 1, k
4 Jonkin ominaisuuden sanotaan olevan voimassa melkein kaikkialla X:ssä, jos se on voimassa kaikkialla X:ssä, paitsi mahdollisesti nollamittaisessa X:n osajoukossa. Voidaan osoittaa, että rajoitettu tasojoukko on Jordan-mitallinen täsmälleen silloin, kun sen reuna on nollamittainen. Siis ei-mitalliset joukot ovat siinä mielessä melko "patologisia", että niillä on paljon reunaa: eunan pinta-ala on ei-mitallisilla joukoilla positiivinen. Nyt voidaan tasointegraali joukon yli määritellä analogisesti yhden muuttujan tapauksen kanssa iemannin summilla. Kun integroimisjoukon jako pienempiin osiin tehdään, jokaisen jakoon kuuluvan osajoukon pinta-ala on määritelty, mikäli osat ovat Jordan-mitallisia. Koska Jordan mitallisilla joukoilla pinta-ala on sama kuin sisäala, voidaan jako ilmeisesti korvata approksimatiivisesti välien yhdisteellä. 2 Funktion f: iemannin integraali yli tasojoukon määritellään iemannin summien raja-arvona, kun jakoa tihennetään: f ( xyda, ) = lim f( x, y) Δa D 0 i i i i Tätä merkitään usein myös fda = f. Jako tässä määritelmässä voidaan aina saada aikaan siten, että sijoitetaan yhteen väliin I = [a,b] [c,d] ja jaetaan yksiulotteiset välit [a,b] ja [c,d] kukin osaväleihin. Kun näiden osavälien jakoja tihennetään, tihenee välin I jako ja samalla :n jako. Merkintä D tarkoittaa jaon normia, joka voidaan laskea osavälien jakojen normien D 1 ja D 2 avulla muodossa D = (D 1,D 2 ) 2. Pinta-ala Δa i kuvaa jaon yleisen välin i pinta-alaa ja piste (x i,y i ) on väliltä i valittu jokin piste.
5 Voidaan todistaa, että funktio f on Jordan-mitallisessa joukossa iemann-integroituva täsmälleen silloin, kun se on siellä rajoitettu ja melkein kaikkialla jatkuva. (Lebesguen integroituvuusehto iemannintegraalille) Erityisesti siis jos on suljettu (rajoitettuhan se on jo aikaisemman oletuksen mukaan) niin jokainen jatkuva funktio on kompaktissa joukossa rajoitettu ja siis iemann-integroituva. Jos funktio f(x,y)=1 joukossa, niin integraali antaa :n pinta-alan (Jordan mitan): a ( ) = 1da. Toisin ilmaistuna: Joukon karakteristisen funktion χ (x) = 1, kun x, χ (x) =0 muuten, integraali yli :n sisältävän välin I on joukon pinta-ala: a() = χda, I I. Useissa esityksissä integraali määritellään aluksi pelkästään tapauksissa, joissa on integroitava jonkin välin I yli. Sen jälkeen yleinen tapaus mielivaltaisen rajoitetun Jordan mitallisen joukon yli saadaan integraalilla f χ da, I I
6 Kytkentä tasointegraalin ja tilavuuden välille saadaan, kun todetaan, että kahden muuttujan funktion f(x,y) 0 kuvaajan ja xy-tason välisen kappaleen tilavuus on { ( x, yz, ) } 3 ( xy, ) 2,0 z f ( xy, ) V = f( x, y) da. (Vertaa yhden muuttujan funktion tilanteeseen: Kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on määrätty integraali.) Oheisessa kuviossa on pinta z=f(x,y) ja sitä on approksimoitu kohdassa ( x1, y 1) tason palasella T 1, joka on ( x, y) -tason suuntainen ja jonka projektio tälle on 1. Pylvään tilavuus on silloin f ( x1, y1) Δx1Δ y1. Tilavuus saadaan siis iemannin summana. (Jälkimmäisessä kuvassa pylvään mittasuhteita on liioiteltu suuremmiksi.)
Pylväiden tihentämistä ja summaamista havainnollistaa myös seuraava kuva: 7
8
9 Tällainen integraali voidaan laskea kaksinkertaisena integraalina edellyttäen, että pohja on esitettävissä kahden funktion välissä olevana = ( xy, ) a x b, g( x) y g( x), tasoalueena { 1 2 } jonka voi "maalata" y-akselin suuntaisin vedoin, kuten seuraavassa kuvassa:
10 Integraali voidaan esittää iteroituna integraalina, jolloin laskenta palautuu kahdeksi yhden muuttujan peräkkäiseksi integroinniksi: b g 2( x ) 2( ) merk. b g x f ( xyda, ) = ( f( xydydx, ) ) = f( xydydx, ). a g1( x) a g1( x) Sisempi integraali antaa yllä olevassa kuvassa näkyvän pinta-alan A( x ): g2( x) A( x) = f( x, y) dy. g1( x) Tätä laskettaessa muuttuja x on siis parametrina vakion roolissa. Jos alue voidaan esittää muodossa = ( xy, ) c y d, h ( y ) x h ( y ) { 1 2 } niin silloin maalataan vaakasuorin vedoin eli x-akselin suuntaisesti. Jos voidaan esittää molemmilla yllä mainituilla tavoilla, niin b g2( x) d h2( y) f ( x, y) da = f ( x, y) dydx = f ( x, y) dxdy. a g1( x) c h1( y) Silloin sanotaan, että on kyseessä on integroimisjärjestyksen vaihto. Tilanne on yksinkertaisin, jos on suorakulmio [a,b] [c,d]: b d d b f ( x, y) da = ( f ( x, y) dy) dx = ( f ( x, y) dx) dy. a c c a
11 Muuttujan vaihto tasointegraalissa esitetään tarkemmin myöhemmin luvussa 2. Mainitaan heti kuitenkin tärkein tapaus, eli siirtyminen napakoordinaatistoon x = rcos ϕ, y = rsinϕ : f ( x, y) da = f ( rcos ϕ, rsin ϕ) rdrdϕ. S Huomaa lausekkeeseen ilmaantunut tekijä r (joka on ns. Jacobin determinantti). Integroimisalue on tässä muuntunut ( r, ϕ) -tason alueeksi S. Alla olevassa kuvassa on esimerkki tilanteesta, jossa napakoordinaatteihin siirtyminen on järkevää: 3 π /2 f ( xyda, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ) rdϕdr. 0 0
12
13 Avaruusintegraali 3 Integrointia 3-ulotteisen avaruuden osajoukon Ω yli sanotaan usein avaruusintegroinniksi, vaikka sitä useampiulotteisetkaan integraalit eivät ole harvinaisia. Yleistys 2-ulotteisesta tapauksesta on suoraviivaista. Väli on nyt 3- ulotteinen suorakulmainen särmiö, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaiset: I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. Välin I mitta on tilavuus ja vastaavanlaisella konstruktiolla kuin tasossa saadaan mielivaltaisen rajoitetun joukon Ω sisä- ja ulkotilavuus. Joukko on Jordan-mitallinen, jos sisä- ja ulkotilavuus ovat samat, ja silloin niiden yhteinen arvo on joukon Ω tilavuus (3-ulotteinen Jordan-mitta, tilavuusmitta). Nollamittainen joukko on sellainen, jonka tilavuus on 0. ajoitetun joukon voidaan osoittaa olevan Jordan-mitallinen täsmälleen silloin, kun sen reunan tilavuus on 0. iemannin integraali määritellään iemannin summien raja-arvona. ajoitettu joukko Ω, jonka yli integroidaan, sijoitetaan riittävän isoon väliin ("laatikkoon"), jonka koordinaattiakselien suuntaiset särmät jaetaan yksiulotteisen välin jakojen mukaisesti. Kun kunkin särmän jakoa tihennetään, tihenee laatikon jako ja iemannin summan edellyttämä tihennys saadaan aikaan. Avaruusintegraali yli joukon Ω merkitään f ( x ) dv. Ω Lebesguen integroituvuusehto on voimassa avaruusintegraaleillekin. Oheisessa kuvassa on kolmiulotteisen avaruuden kappale ja sen sisällä näkyvillä yksi väli eli suorakulmainen särmiö Q 1, ns. tilavuuselementti.
14 Funktion f ( xyz=,, ) 1 integraali antaa nyt joukon tilavuuden: v(ω) = 1dv. Ω Myös avaruusintegraalit voidaan laskea iteroituina integraaleina, jos alue Ω on sopivaa muotoa. Kappale Ω on silloin rakennettava kolmiulotteisista tilavuuselementeistä koordinaattiakseleiden suuntaisesti. Helpoin tilanne on, jos Ω on suorakulmainen särmiö [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]: Ω b1 b2 b3 f ( xyzdv,, ) = ( ( f( xyzdzdydx,, ) ) ) a1 a2 a3 merk. b1 b2 b3 a1a2 a3 f ( xyzdzdydx,, ) =. Siirtyminen sylinterikoordinaatistoon x = rcos ϕ, y= rsin ϕ, z= z tapahtuu samaan tapaan kuin tasossa napakoordinaatteihin: f ( xyzdv,, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ, zrdrd ) ϕdz, Ω Ωrϕ z missä Ω on muunnettu sylinterikoordinaatein ilmaistuksi alueeksi Ω rϕ z.
15 Siirtyminen pallokoordinaatistoon: Pallokoordinaatit ovat x = ρ sinφcos θ, y = ρsinφsin θ, z= ρcosφ, jotka selittyvät oheisesta kuviosta. Alemmassa kuvassa on esitetty pisteen (2 2,2 6,4 2) pallokoordinaatit. Muunnoskaava integraalille on nyt 2 f ( xyzdv,, ) = f( ρ sinφcos θρ, sinφsin θρ, cos φρ ) sinφdρφθ d d. Ω Ωrφθ
16 n Integraali avaruudessa määritellään täysin analogisesti edellisten kanssa: Korvataan vain dimensiot 2 tai 3 yleisellä n:llä, väli on n:n reaalivälin karteesinen tulo. Ala ja tilavuus korvautuvat yleisellä Jordanin mitalla. n Lopuksi todettakoon Jordanin mitasta: Se täyttää kaikki :n mitalle yleensä asetetut vaatimukset (tyhjän joukon mitta on 0, ei-negatiivinen, siirto-invariantti, äärellisesti additiivinen) paitsi numeroituvasti additiivisuutta. Erillisten joukkojen yhdisteen mitta on joukkojen mittojen summa äärellisen monelle joukolle, mutta Jordan-mitan tapauksessa ei välttämättä äärettömän monen. Tämä aiheuttaa ongelmia monissa rajaarvokysymyksissä, josta syystä Jordan-mitta ei ole kovin yleisessä käytössä pitemmälle menevissä matemaattisissa tarkasteluissa (sen ja iemannin integraalin on korvannut mm. Lebesguen mitta ja integraali).
17 Esimerkkejä 1. I= kolmio. xyda, missä on suorien y=x ja x=4 sekä x-akselin rajaama 4 x 4 4. 2 3 4 Silloin I = xydydx = x 1x dx = 1x dx = 14 = 32 2 2 8 0 0 0 0 Sama tulos saadaan myös integroimalla toisessa järjestyksessä eli 44 xydxdy. 0 y
18 2. Lasketaan sen nelitahokkaan tilavuus, jota rajoittavat taso 2x + y+ z= 2 ja koordinaattitasot. Piirtämällä kuvio nähdään, että tilavuus saadaan funktion z= f( x, y) = 2 2x y integraalina yli xy-tason alueen. V= 12 2x (2 2 x yda ) = (2 2 x ydydx ) 0 0 (2(2 2 x ) 2 x (2 2 x ) (2 2 x ) ) dx = 2/3. 2 = 1 2
19 3. Lasketaan sen avaruuden 3 ei-negatiivisessa oktantissa olevan kappaleen tilavuus, jota rajoittavat koordinaattitasot, taso x + y = 2 ja 2 pinta z= 4 x. 2 2 y 2 2 20 3 V= (4 x ) da= (4 x ) dxdy= =. 0 0
20 2 2 4. Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jonka sylinteri x + y = 2y 2 2 2 leikkaa pallosta x + y + z = 4. π 2sinθ 2 2 2 (siirryttiin napakoordinaatistoon) V = 2 4 x y da = 2 4 r rdrdθ 0 0 π /22sinθ 0 0 π π 4 rrdrd 2 θ d d /2 /2 2 2 3/2 3/2 32 3 3 3 0 0 = 4 = 2 ((4 4sin θ ) 4 ) θ = (cos θ 1) θ taul. = + π. 64 16 9 3
21 5. Lasketaan funktion f ( xy, ) = xyavaruusintegraali yli nelitahokkaan, jota rajoittavat koordinaattitasot ja taso 2x + y+ z= 4. 2 4 2x 4 2x y 15 32 xydv = xydzdydx = =. 0 0 0 Ω Sama integraali voitaisiin laskea myös esimerkiksi järjestyksessä 4 4 y(4 y z)/2 xydxdzdy (Katso alla olevaa kuvaa.) 0 0 0
22
23 2 6. Lasketaan pinnan z = 4 y ja tasojen x + z= 4, x= 0, z= 0 rajoittaman kappaleen tilavuus. V= 4 2 2 y 4 z 1 128 dv = dxdzdy = =. 5 Ω 2 0 0