Seuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ.

Luku 4 Täydellisyyslause Ristiriidattomuus ja toteutuvuus Määritelmä 4.1Olkoon Φ L S kaavajoukko. (a) Φ on ristiriidaton eli konsistentti, Con(Φ), jos ei ole olemassa kaavaa ϕ, jolla Φ ϕ ja Φ ϕ. (b) Φ on ristiriitainen eli inkonsistentti, Inc(Φ), jos se ei ole ristiriidaton. Apulause 4.1 Olkoon Φ L S kaavajoukko. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) Φ on ristiriitainen (2) Φ ϕ pätee jokaisella kaavalla ϕ. Todistus. Jos ehto (2) pätee, niin Φ ϕ ja Φ ϕ millä hyvänsä kaavalla ϕ, joten Φ on ristiriitainen. Oletetaan sitten, että Φ on ristiriitainen. Olkoon ϕ kaava. On olemassa kaava ψ, jolla Φ ψ ja Φ ψ, joten on olemassa johdettavat sekventit Γ ψ ja ψ s.e. Set(Γ), Set( ) Φ. Soveltamalla sääntöä (Ant) näihin sekventteihin saadaan johdettua sekventit Γ ψ ja Γ ψ. Soveltamalla edelleen sääntöä (Ctr ) saadaan johdettua sekventti Γ ϕ. KoskaSet(Γ )= Set(Γ) Set( ) Φ, nähdään, että Φ ϕ. Seuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ. Kaikki sekventit Γ ϕ ovat äärellisiä. Jos siis Φ ϕ, niin on olemassa äärellinen Φ 0 Φ, jolla Φ 0 ϕ. Käyttämällä tätä havaintoa, on helppo todistaa seuraava tulos: Apulause 4.3 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos jokainen sen äärellinen osajoukko Φ 0 on ristiriidaton. Todistus. Oletetaan ensin, että Φ 0 on ristiriitainen jollain (äärellisellä) Φ 0 Φ. Tällöin Φ 0 ϕ ja Φ 0 ϕ jollain kaavalla ϕ. Siis on olemassa johdettavat sekventit Γ ϕ ja ϕ s.e. Set(Γ), Set( ) Φ 0. Mutta tällöin myös Set(Γ), Set( ) Φ, joten Φ ϕ ja Φ ϕ. 30

Oletetaan sitten, että Φ on ristiriitainen, eli Φ ϕ ja Φ ϕ jollain kaavalla ϕ. Edelläolevan havainnon mukaan tällöin on olemassa äärelliset joukot Φ 1, Φ 2 Φ s.e. Φ 1 ϕ ja Φ 2 ϕ. Siispä Φ 0 =Φ 1 Φ 2 on joukon Φ äärellinen osajoukko, jolla Φ 0 ϕ ja Φ 0 ϕ. Määritelmä 4.2Kaavajoukko Φ on toteutuva, Sat(Φ), jos on olemassa tulkinta I, jolla I =Φ. Apulause 4.4 Jos Sat(Φ), niin Con(Φ). Todistus. Oletetaan, että Φ on toteutuva, eli on olemassa tulkinta I, jolla I = Φ. Tehdään sitten vastaoletus: Φ on ristiriitainen. Siis on olemassa kaava ϕ s.e. Φ ϕ ja Φ ϕ. Nyt Korrektisuuslauseen 3.1 perusteella Φ = ϕ ja Φ = ϕ, joten I = ϕ ja I = ϕ. Tämä on mahdotonta, joten vastaoletus ei voi olla tosi. Siispä Φ on ristiriidaton. Apulause 4.5 Olkoon Φ kaavajoukko ja ϕ kaava. Tällöin: (a) Φ ϕ jos ja vain jos Inc(Φ { ϕ}). (b) Φ ϕ jos ja vain jos Inc(Φ {ϕ}). (c) Jos Con(Φ), niin joko Con(Φ {ϕ}) tai Con(Φ { ϕ}). Todistus. (a) Oletetaan ensin, että Φ ϕ. Selvästi tällöin myös Φ { ϕ} ϕ, ja toisaalta käyttämällä sääntöä (Assm) nähdään, että Φ { ϕ} ϕ. Siispä Φ { ϕ} on ristiriitainen. Oletetaan sitten, että Φ { ϕ} on ristiriitainen. Tällöin Apulauseen 4.1 nojalla Φ { ϕ} ϕ, eli on olemassa johdettava sekventti Γ ϕ s.e. Set(Γ) Φ { ϕ}. Jos Set(Γ) Φ, seuraa väite Φ ϕ välittömästi. Muussa tapauksessa voidaan olettaa, että Γ on muotoa Γ ϕ (tarpeen vaatiessa jonon Γ kaavojen järjestystä voidaan muuttaa säännöllä (Ant)). Toisaalta sääntöä (Assm) soveltamalla saadaan sekventti Γ ϕ ϕ. Kun näihin kahteen sekventtiin sovelletaan vielä sääntöä (Ctr), saadaan johdettua Γ ϕ. Siispä Φ ϕ. (b) Todistus on samankaltainen kuin kohdassa (a). (c) Oletetaan, ettäφ {ϕ} ja Φ { ϕ} ovat ristiriitaisia. Tällöin kohtien (b) ja (a) perusteella Φ ϕ ja Φ ϕ, jotenmyös Φ on ristiriitainen. Apulause 4.6 Olkoot Φ i, i N, kaavajoukkoja s.e. Φ 0 Φ 1 Φ 2, ja olkoon Ψ= i N Φ i. Jos Con(Φ i ) jokaisella i N, niin myös Con(Ψ). Todistus. Oletetaan, että Φ i on ristiriidaton jokaisella i N, ja tehdään vastaoletus: Ψ on ristiriitainen. Apulauseen 4.3 nojalla on olemassa äärellinen Ψ 0 Ψ, joka on ristiriitainen. Olkoon Ψ 0 = {ψ 1,...,ψ n }.KoskaΨ 0 Ψ= i N Φ i,onjokaisella j {1,...,n} olemassa i j N s.e. ψ j Φ ij. Olkoon m =max{i 1,...,i n }. Nyt ψ j Φ ij Φ m jokaisella j {1,...,n}, jotenψ Φ m. Mutta tällöin Φ m on ristiriitainen vastoin oletusta. 31

Henkin-konstruktio Päätavoitteena tässä luvussa on todistaa predikaattilogiikan Täydellisyyslause: Jokaisella kaavajoukolla Φ ja kaavalla ϕ pätee: jos Φ = ϕ, niin Φ ϕ. Todistamme tätä varten seuraavan tuloksen: Jokaisella kaavajoukolla Φ pätee: jos Con(Φ), niin Sat(Φ). Täydellisyyslause on tämän tuloksen välitön seuraus: Jos Φ ϕ, niin Apulauseen 4.5(a) perusteella pätee Con(Φ { ϕ}). Siis Sat(Φ { ϕ}), joten on olemassa tulkinta I, jolla I =Φ { ϕ}. Nyt on siis voimassa I =ΦjaI = ϕ, mikä osoittaa, että Φ = ϕ. Tavoitteena on siis rakentaa tulkinta I =(A,β), jolla I = Φ, kun Φ L S on annettu ristiriidaton kaavajoukko. Henkin-konstruktiossa malli A muodostetaan termeistä t T S. Tulkinta I pyritään muodostamaan niin, että jokaisella kaavalla ϕ L S on voimassa ehto ( ) I = ϕ Φ ϕ. Tällöin mallin alkioiksi ei voi kuitenkaan ottaa termejä t T S sellaisenaan, sillä yleensä on olemassa termit t = t s.e. Φ t t, jolloin ehto ( ) eipätisi kaavalla ϕ = t t. Tämä ongelma ratkaistaan määrittelemällä termien joukossa ekvivalenssirelaatio, ja tarkastelemalla sen ekvivalenssiluokkia termien sijasta. Määritellään t t Φ t t, kun t, t T S. Todistamme aluksi, että on todella ekvivalenssirelaatio, ja että se on yhteensopiva funktioiden ja relaatioiden kanssa. Apulause 4.7 (a) Relaatio on joukon T S ekvivalenssi. (b) Relaatio on yhteensopiva symbolijoukon S funktioiden kanssa: jos f S on n-paikkainen ja t 1 t 1,...,t n t n, niin ft 1...t n ft 1...t n. (c) Relaatio on yhteensopiva symbolijoukon S relaatioiden kanssa: jos R S on n-paikkainen ja t 1 t 1,...,t n t n, niin Φ Rt 1...t n Φ Rt 1...t n. Todistus. (a) Relaation refleksiivisyys seuraa identiteetin säännöstä (Ref): sen perusteella Φ t t kaikilla t T S. Symmetrisyys seuraa puolestaan sekventtikalkyylin johdetusta säännöstä (Sym): Γ t t Γ t t. Jos nimittäin t t, niin sekventti Γ t t voidaan johtaa jollain Γ, jolla Set(Γ) Φ. Soveltamalla sääntöjä (Assm) ja (Sym) saadaan Γ t t t t. Näistä saadaan edelleen ketjusäännöllä (Ch) Γ t t, jotent t. Relaation transitiivisuus todistetaan samalla tavalla käyttämällä johdettua identiteettisääntöä (Tran). 32

(b) Oletetaan, että t 1 t 1,...,t n t n.tällöin on olemassa kaavajonot Γ 1,...,Γ n, joilla Set(Γ i ) Φ ja sekventtikalkyylissä voidaan johtaa Γ i t i t i, kun i {1,...,n}. Olkoon Γ kaavajono, jolla Set(Γ) = 1 i n Set(Γ i). Käyttämällä edeltäjäsääntöä (Ant) näistä saadaan sekventit Γ t i t i, i {1,...,n}. Soveltamalla näihin edelleen johdettua sääntöä (Cong)(b) saadaan johdetuksi sekventti Γ ft 1...t n ft 1...t n. Siis ft 1...t n ft 1...t n. (c) Todistus on samankaltainen kuin kohdassa (b). (Harjoitustehtävä) Termin t T S ekvivalenssiluokka (ekvivalenssissa ) on joukko [t] := {t T S t t}. Jätämme jatkossa alaindeksin pois tästä merkinnästä, kun relaatio on asiayhteydestä selvä. Nyt voimme määritellä mihin hyvänsä kaavajoukoon Φ liittyvän tulkinnan, jonka alkioina ovat ekvivalenssiluokat [t], t T S : Määritelmä 4.3Olkoon Φ L S kaavajoukko. Tällöin I Φ = (A,β) on S- tulkinta, missä: (1) A = {[t] t T S } = T S / (2) c A =[c], kun c S on vakiosymboli (3) f A : A n A on funktio, jolla f A ([t 1 ],...,[t n ]) = [ft 1...t n ], kun f S on n-paikkainen funktiosymboli (4) ([t 1 ],...,[t n ]) R A Φ Rt 1...t n, kun R S on n-paikkainen relaatiosymboli (5) β(v i )=[v i ], kun i N Huomautus: Mallin A funktiot f A ovat hyvinmääriteltyjä Lemman 4.7(b) perusteella: funktion arvo f A ([t 1 ],...,[t n ]) ei riipu ekvivalenssiluokkien [t 1 ],...,[t n ] edustajien t 1,...,t n valinnasta. Samoin relaatiot R A ovat hyvinmääriteltyjä Lemman 4.7(c) perusteella. Apulause 4.8 (a) Kaikilla t T S pätee I Φ (t) =[t]. (b) Kaikilla atomikaavoilla ϕ L S pätee I Φ = ϕ Φ ϕ. (c) Kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee (d) Kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee I Φ = xϕ I Φ = ϕ[t/x] jollain t T S. I Φ = xϕ I Φ = ϕ[t/x] kaikilla t T S. Todistus. (a) Induktiolla termin t suhteen. Jos t = v i, i N, niin I Φ (t) =β(v i ), joka on määritelmän mukaan [v i ]. Jos t = c S, niin I Φ (t) =c A =[c]. Oletetaan sitten, että t = ft 1...t n ja väite pätee termeille t 1,...,t n.tällöin I Φ (t) = f A (I Φ (t 1 ),...,I Φ (t n )), joka on iduktio-oletuksen perusteella f A ([t 1 ],...,[t n ]) = [ft 1...t n ]. (b) Tapauksessa ϕ = t t päätellään seuraavasti: I Φ = ϕ joss I Φ (t) =I Φ (t ) joss [t] = [t ]josst t joss Φ ϕ. Tässä toinen ekvivalenssi saadaan (a)- kohdasta. 33

Jos taas ϕ = Rt 1...t n,päätellään: I Φ = ϕ joss (I Φ (t 1 ),...,I Φ (t n )) R A joss ([t 1 ],...,[t n ]) R A joss Φ ϕ. Toinen ekvivalenssi saadaan taas (a)-kohdasta. (c) Oletetaan ensin, että I Φ = xϕ. Tällöin on olemassa a A s.e. I Φ [a/x] = ϕ. Joukon A määritelmän nojalla on olemassa t T S, jolla a = [t], ja edelleen (a)-kohdan mukaan a = I Φ (t). Siis I Φ [I Φ (t)/x] = ϕ, joten Apulauseen 2.8(b) perusteella I Φ = ϕ[t/x]. Toisaalta jos I Φ = ϕ[t/x], niin Apulauseen 2.8(b) mukaan I Φ [I Φ (t)/x] = ϕ, joten I Φ = xϕ. (d) Todistetaan samaan tapaan kuin kohta (c). (Harjoitustehtävä) Tavoitteena ollut ehto ( ) pätee siis tulkinnalle I Φ kaikilla atomikaavoilla ϕ, mutta on helppo nähdä, että se ei välttämättä päde muilla kaavoilla. Esimerkiksi, jos Φ={ xrx}, niin ei ole olemassa termiä t T S, jolla Φ Rt, joteni Φ = xrx, vaikka Φ xrx. Samoin, jos Φ = {Rv 0 Rv 1 }, on helppo nähdä, ettäφ Rv 0 ja Φ Rv 1. Siis I Φ = Rv 0 ja I Φ = Rv 1,jotenI Φ = Rv 0 Rv 1, vaikka Φ Rv 0 Rv 1. Näiden ongelmien korjaamiseksi tarvitaan kaksi lisäehtoa kaavajoukolle Φ. Määritelmä 4.4(a) Kaavajoukko Φ L S on negaatiotäydellinen, jos kaikilla ϕ L S pätee Φ ϕ tai Φ ϕ. (b) Kaavajoukko Φ L S on Henkin-täydellinen, jos jokaisella muotoa xϕ olevalla S-kaavalla on olemassa termi t T S, jolla Φ ( xϕ ϕ[t/x]). Apulause 4.9 Olkoon Φ L S ristiriidaton, negaatiotäydellinen ja Henkin-täydellinen. Tällöin kaikilla kaavoilla ϕ, ψ L S pätee: (a) Φ ϕ Φ ϕ. (b) Φ (ϕ ψ) Φ ϕ tai Φ ψ. (c) Φ xϕ Φ ϕ[t/x] jollain t T S. Todistus. (a) Jos Φ ϕ, niin on oltava Φ ϕ, sillä muuten Φ olisi ristiriitainen. Jos taas Φ ϕ, niin ei voi olla Φ ϕ, sillä tällöin Φ ei olisi negaatiotäydellinen. (b) Oletetaan, että Φ (ϕ ψ). Jos Φ ϕ, niin (a)-kohdan perusteella Φ ϕ. Soveltamalla nyt aikaisemmin johdettua sääntöä (disjunktio ja negaatio) nähdään, että Φ ψ. Γ (ϕ ψ), Γ ϕ Γ ψ Oletetaan kääntäen, että Φ ϕ tai Φ ψ. Tällöin sääntöä ( S) käyttämällä saadaan välittömästi Φ (ϕ ψ). (c) Oletetaan, että Φ xϕ. Koska Φ on Henkin-täydellinen, on olemassa t T S, jolla Φ ( xϕ ϕ[t/x]). Soveltamalla nyt johdettua modus ponens sääntöä (MP) nähdään, että Φ ϕ[t/x]. Toisaalta jos Φ ϕ[t/x], niin soveltamalla sääntöä ( S) nähdään, että Φ xϕ. 34

Kaavan ϕ L S syvyys, dp(ϕ) N, määritellään rekursiolla seuraavasti: dp(ϕ) := 0, kun ϕ on atomikaava dp( ϕ) := dp(ϕ)+1 dp(ϕ ψ) := max{dp(ϕ), dp(ψ)} +1 dp( xϕ) := dp(ϕ)+1. Lause 4.10 (Henkinin lause) Olkoon Φ L S ristiriidaton, negaatiotäydellinen ja Henkin-täydellinen. Tällöin kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee I Φ = ϕ Φ ϕ. Todistus. Todistamme väitteen induktiolla kaavan ϕ syvyyden dp(ϕ) suhteen. Jos dp(ϕ) = 0, on ϕ atomikaava, jolloin väite seuraa Apulauseesta 4.8(b). Oletetaan sitten, että dp(ϕ) = n>0 ja että väite pätee kaikilla kaavoilla η, joilla dp(η) <n.tällöin ϕ ei voi olla atomikaava, joten se on muotoa ψ, (ψ θ) tai xψ. Ensimmäisessä tapauksessa dp(ψ) = n 1 < n, joten voimme päätellä seuraavasti: I Φ = ϕ I Φ = ψ Φ ψ Φ ϕ, missä toinen ekvivalenssi seuraa induktio-oletuksesta, ja kolmas seuraa Apulauseesta 4.9(a). Toinen tapaus, ϕ =(ψ θ), todistetaan samaan tapaan käyttämällä Apulausetta 4.9(b). Oletetaan lopuksi, että ϕ = xψ. Tällöin Apulauseen 4.8(c) perusteella I Φ = ϕ joss I Φ = ψ[t/x] jollain termillä t T S. Nyt selvästi dp(ψ[t/x]) = dp(ψ) = n 1 <n, joten induktio-oletuksen perusteella I Φ = ψ[t/x] jossφ ψ[t/x]. Siis I Φ = ϕ joss Φ ψ[t/x] jollain t T S,jotenväite seuraa Apulauseesta 4.9(c). Seuraus 4.11 Jos kaavajoukko Φ L S on ristiriidaton, negaatiotäydellinen ja Henkin-täydellinen, niin I Φ =Φ. Erityisesti Φ on toteutuva. Täydellisyyslause: numeroituva tapaus Oletamme tässä luvussa, että S on numeroituva tai äärellinen symbolijoukko. Tällöin Apulauseen 1.2 nojalla myös kaavajoukko L S on numeroituva. Osoitamme aluksi, että jos kaavajoukko Φ L S on ristiriidaton, ja siinä esiintyy vain äärellinen määrä eri vapaita muuttujia, niin Φ on toteutuva. Tämä todistetaan seuraavan kahden apulauseen avulla. Käytämme ensimmäisessä apulauseessa merkintää Free(Φ):= {Free(ϕ) ϕ Φ}. Apulause 4.12 Oletetaan, että kaavajoukko Φ L S on ristiriidaton, ja Free(Φ) on äärellinen. Tällöin on olemassa ristiriidaton ja Henkin-täydellinen Ψ L S, jolla Φ Ψ. 35

Todistus. Koska L S on numeroituva, muotoa xϕ olevien S-kaavojen joukko voidaan esittää muodossa { x i ϕ i i N}. Määritellään kullakin i N kaavajoukko Ψ i, jolla Free(Ψ i )onäärellinen, muuttuja y i,sekäkaavaψ i rekursiolla seuraavasti: Ψ 0 := Φ y 0 on jonon v 0,v 1,v 2,... ensimmäinen muuttuja, jolla y 0 Free(Φ) ψ 0 := ( x 0 ϕ 0 ϕ 0 [y 0 /x 0 ]). Oletetaan että y i, ψ i ja Ψ i on määritelty, ja Free(Ψ i )onäärellinen. Tällöin asetetaan: Ψ i+1 := Ψ i {ψ i };tällöin Free(Ψ i+1 )=Free(Ψ i ) Free(ψ i )onäärellinen y i+1 on jonon v 0,v 1,v 2,... ensimmäinen muuttuja, jolla y i+1 Free(Ψ i+1 ) ψ i+1 := ( x i+1 ϕ i+1 ϕ i+1 [y i+1 /x i+1 ]). Määritellään lopuksi Ψ := i N Ψ i. Nyt Φ = Ψ 0 Ψ. On myös helppo nähdä, että Ψ on Henkin-täydellinen: jos θ = xϕ L S, niin on olemassa i N, jolla θ = x i ϕ i, ja siten Selvästi tällöin Ψ ( xϕ ϕ[y i /x]). ψ i =( xϕ ϕ[y i /x]) Ψ i+1 Ψ. Vielä pitää osoittaa, että Ψ on ristiriidaton. Apulauseen 4.6 perusteella tätä varten riittää todistaa, että Ψ i on ristiriidaton jokaisella i N. Tehdään tämä induktiolla luvun i suhteen. Ensinnäkin Ψ 0 = Φ on ristiriidaton oletuksen nojalla. Oletetaan sitten, että Ψ i on ristiriidaton, ja tehdään vastaoletus: Ψ i+1 on ristiriitainen. Tällöin millä hyvänsä S-lauseella θ on olemassa kaavajono Γ s.e. Set(Γ) Ψ i,jasekventti Γ ψ i θ on johdettavissa. Lähtemällä liikkeelle tästä sekventistä voimme päätellä uusia sekventtejä allaolevaan tapaan. Merkitsemme tässä yksinkertaisuuden vuoksi x := x i, y := y i ja ϕ := ϕ i. Huomaa myös, että ( xϕ ϕ[y/x]) on lyhennysmerkintä kaavalle ( xϕ ϕ[y/x]). (1) Γ ( xϕ ϕ[y/x]) θ Oletus (2) Γ xϕ xϕ (Assm) (3) Γ xϕ ( xϕ ϕ[y/x]) ( S) 2 (4) Γ xϕ θ (Ch) 1& 3 (5) Γ ϕ[y/x] ϕ[y/x] (Assm) (6) Γ ϕ[y/x] ( xϕ ϕ[y/x]) ( S) 5 (7) Γ ϕ[y/x] θ (Ch) 1& 6 (8) Γ xϕ θ ( A) 7 ( ) (9) Γ θ (PC) 4&8 ( ): Muuttujan y = y i valinnasta seuraa, että se ei esiinny vapaana jonon Γ kaavoissa; se ei myöskään ole vapaana kaavassa θ, koskaθ on lause. 36

Ylläolevan päättelyn nojalla Ψ i θ kaikilla S-lauseilla θ. Erityisesti Ψ i η ja Ψ i η, missä η on lause v 0 (v 0 v 0 ). Siis Ψ i on ristiriitainen, mikä on vastoin oletusta, joten vastaoletus ei pidä paikkaansa, eli Ψ i+1 on ristiriidaton. Apulause 4.13 Oletetaan, että kaavajoukko Ψ L S on ristiriidaton. Tällöin on olemassa ristiriidaton ja negaatiotäydellinen Θ L S, jolla Ψ Θ. Todistus. Koska L S on numeroituva, se voidaan esittää muodossa {ϕ i i N}. Määritellään kaavajoukot Θ i L S, i N rekursiolla seuraavasti: Θ 0 := Ψ Θ i {ϕ i }, Θ i+1 := Θ i, jos Θ i {ϕ i } on ristiriidaton muuten. Todistetaan induktiolla, että Θ i on ristiriidaton jokaisella i N. KoskaΘ 0 =Ψ, se on ristiriidaton oletuksen perusteella. Jos Θ i {ϕ i } on ristiriidaton, niin Θ i+1 on ristiriidaton suoraan määritelmän perusteella. Muussa tapauksessa Θ i+1 =Θ i, joka on ristiriidaton induktio-oletuksen perusteella. Määritellään sitten Θ := i N Θ i. Nyt Ψ = Θ 0 Θ, ja Θ on ristiriidaton Apulauseen 4.6 nojalla. Vielä pitää osoittaa, että Θ on negaatiotäydellinen. Olkoon siis ϕs-kaava. Tällöin on olemassa i N s.e. ϕ = ϕ i. Jos Θ i {ϕ i } on ristiriidaton, on määritelmän mukaan ϕ Θ i Θ, jolloin Θ ϕ. Muussa tapauksessa Θ i {ϕ} on ristiriitainen, jolloin Apulauseen 4.5(b) nojalla Θ i ϕ, ja siis myös Θ ϕ. Seuraus 4.14 Oletetaan, että Φ L S on ristiriidaton kaavajoukko, jolla Free(Φ) on äärellinen. Tällöin Φ on toteutuva. Todistus. Apulauseen 4.12 perusteella on olemassa ristiriidaton Henkin-täydellinen Ψ L S s.e. Φ Ψ. Edelleen Apulauseen 4.13 perusteella on olemassa ristiriidaton negaatiotäydellinen Θ L S s.e. Ψ Θ. On helppo todeta, että Θonmyös Henkin-täydellinen. Nyt Seurauksen 4.11 nojalla I Θ =Θ.Väite seuraa tästä, koska Φ Θ. Edellisessä tuloksessa on rajoittava oletus, että Free(Φ) onäärellinen. Se voidaan eliminoida käyttämällä muuttujasymbolien tilalla tuoreita vakiosymboleja: Laajennetaan ensin symbolijoukko S lisäämällä siihen ääretön joukko vakiosymboleja c i S, i N, jaasetetaans = S {c i i N}. Määritellään sitten jokaisella ϕ L S kaava ϕ L S seuraavasti: ϕ := ϕ[c 0...c n 1 /v 0...v n 1 ], missä n on pienin luku, jolla ϕ L n S. Selvästi ϕ on S -lause. Apulause 4.15 Olkoon Φ L S ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin kaavajoukko Φ := {ϕ ϕ Φ} L S on myös ristiriidaton. Todistus. Riittää osoittaa, että jokainen äärellinen osajoukko Φ 0 Φ on ristiriidaton. Olkoon siis Φ 0 = {ϕ ϕ Φ 0 } jollain äärellisellä Φ 0 Φ. Koska Φ 0 on 37

äärellinen, on Free(Φ 0 )myös äärellinen, joten Seurauksen 4.12 nojalla on olemassa S-tulkinta I =(A,β) s.e. I =Φ 0.Määritellään nyt S -tulkinta I =(A,β ) asettamalla A = A, X A = X A jokaisella X S, c A i = β(v i ) jokaisella i N, ja β = β. Tällöin jokaisella kaavalla ϕ L n S pätee: I = ϕ I = ϕ[c 0...c n 1 /v 0...v n 1 ] I [c A 0...c A n 1/v 0...v n 1 ] = ϕ I [β(v 0 )...β(v n 1 )/v 0...v n 1 ] = ϕ I [β(v 0 )...β(v n 1 )/v 0...v n 1 ] = ϕ I = ϕ. Tässä toinen ekvivalenssi seuraa Apulauseesta 2.8(b), neljäs Apulauseesta 2.2(b), ja viimeinen siitä, että I[β(v 0 )...β(v n 1 )/v 0...v n 1 ]=I. Erityisesti nyt pätee I =Φ 0,jotenΦ 0 on ristiriidaton Apulauseen 4.4 perusteella. Nyt voimme todistaa Seurauksen 4.14 yleistyksen tapaukseen, jossa vapaiden muuttujien joukkoa Free(Φ) ei rajoiteta äärelliseksi. Lause 4.16 Olkoon S korkeintaan numeroituva symbolijoukko. Jos Φ L S ristiriidaton kaavajoukko, niin Φ on toteutuva. Todistus. Oletetaan, että Φ L S on ristiriidaton. Apulauseesta 4.15 seuraa, että tällöin myös kaavajoukko Φ = {ϕ ϕ Φ} on ristiriidaton. Koska selvästi Free(Φ )=, Seurauksen 4.14 perusteella on olemassa S -tulkinta I =(A,β ) s.e. I =Φ. Määritellään nyt S-tulkinta I =(A,β) asettamalla A = A, X A = X A jokaisella X S, jaβ(v i )=c A i jokaisella i N. Tällöin päättelemällä täsmälleen samalla tavalla kuin Apulauseen 4.15 todistuksessa nähdään, että kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee I = ϕ joss I = ϕ. Siis erityisesti I =Φ. Täydellisyyslause: yleinen tapaus Luovumme nyt oletuksesta, että symbolijoukko S on korkeintaan numeroituva. Ylinumeroituvat symbolijoukot ovat mielekkäitä jahyödyllisiä, kun logiikkaa tarkastellaan joukko-opillisesta näkökulmasta. Esimerkiksi, jos tutkitaan reaalilukujen struktuuria, voidaan ottaa käyttöön oma vakiosymboli c r jokaista reaalilukua r R kohti. Tällöin ylinumeroituva lausejoukko { c r c s r, s R,r = s} on tosi annetussa mallissa A täsmälleen silloin, kun vakiosymbolien c A r tulkinnat ovat kaikki eri alkioita. Tavoitteena on todistaa Lause 4.16 ilman rajoitusta numeroituviin symbolijoukkoihin. Tarvitsemme tätä varten Apulauseita 4.12 ja 4.13 vastaavat yleistetyt tulokset. 38

Apulause 4.17 Olkoon Φ L S ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin on olemassa symbolijoukko S, jolla S S, ja ristiriidaton ja Henkin-täydellinen Ψ L S, jolla Φ Ψ. Todistus. Liitetään kaikkiin kaavoihin ϕ L S vakiosymbolit c ϕ siten, että (1) c ϕ S, ja (2) c ϕ = c ψ, kun ϕ = ψ. Määritellään nyt symbolijoukko S ja kaavajoukko Φ L S (3) S := S {c xϕ xϕ L S }, ja (4) Φ := Φ {( xϕ ϕ[c xϕ /x]) xϕ L S }. seuraavasti: Osoitetaan aluksi, että Φ on ristiriidaton. Tätä varten riittää osoittaa, että jokainen äärellinen osajoukko Φ 0 Φ on toteutuva. Jokainen tällainen Φ 0 on muotoa Φ 0 {( x i ϕ i ϕ[c i /x i ]) i<n}, missä Φ 0 Φonäärellinen, ja c i on lyhennysmerkintä vakiosymbolille c xi ϕ i. Koska Φ on ristiriidaton, myös Φ 0 on ristiriidaton. Koska Φ 0 on äärellinen, on olemassa äärellinen S 0 S, jolla Φ 0 L S0. Lauseen 4.16 ehdot ovat siis voimassa, joten on olemassa S 0 -tulkinta I =(A,β) s.e. I =Φ 0. Valitaan kullakin i<n jokin alkio a i A, jolla I[a i /x i ] = ϕ i,joställainen alkio on olemassa; muuten alkio a i jätetään määrittelemättä. Määritellään nyt S 0 {c i i<n}-tulkinta I =(A,β ) seuraavasti: A = A, X A = X A jokaisella X S 0, c A i = a i kullakin i<n,jaβ = β. KoskaI on tulkinnan I redukti aakkostoon S 0 ja Φ 0 L S0,pätee I =Φ 0. Edelleen, jos I = x i ϕ i, niin samasta syystä I = x i ϕ i,joteni[a i /x i ] = ϕ i.tästä puolestaan seuraa, että I [c A i /x i ] = ϕ i, ja siten Apulauseen 2.8(b) nojalla I = ϕ[c i /x i ]. Siispä myös I =( x i ϕ i ϕ i [c i /x i ]) jokaisella i<n,joteni =Φ 0. Olemme nyt osoittaneet, että kaavajoukko Φ on ristiriidaton. Se ei kuitenkaan vielä (välttämättä) ole Henkin-täydellinen, sillä siinä ei vielä ole muotoa ( xϕ ϕ[c/x]) olevia kaavoja, kun ϕ L S \ L S.Tämä ongelma ratkaistaan toistamalla operaatiota S S,Φ Φ äärettömän monta kertaa. Määritellään siis nousevat jonot S i, i N, symbolijoukkoja ja Φ i L Si, i N, kaavajoukkoja rekursiolla seuraavasti: (5) S 0 := S ja Φ 0 := Φ; (6) S i+1 := (S i ) ja Φ i+1 := (Φ i ). Asetetaan lopuksi S := i N S i ja Ψ := i N Φ i. Nyt S = S 0 S ja Φ = Φ 0 Ψ. Lisäksi Ψ on Henkin-täydellinen: Jos xϕ L S, niin on olemassa i N, jolla xϕ L Si.Tällöin ( xϕ ϕ[c/x]) (Φ i ) = Φ i+1 Ψ, missä c = c xϕ. Erityisesti siis Ψ ( xϕ ϕ[c/x]). Todetaan vielä lopuksi, että Apulauseen 4.6 perusteella Ψ on ristiriidaton, sillä helpolla induktiolla nähdään, että Φ i on ristiriidaton jokaisella i N. Toisen aputuloksen todistamiseen tarvitaan Zornin lemmaa, joka on valintaaksiooman kanssa yhtäpitävä joukko-opillinen väite. 39

Zornin lemma voidaan muotoilla seuraavaan tapaan. Olkoon M = joukko. Joukko C P(M) onketju, jos kaikilla B,C Cpätee B C tai C B. Zornin lemma: Olkoon M = ja olkoon B P(M) epätyhjä joukko M:n osajoukkoja, joka on suljettu ketjujen yhdisteiden suhteen: Jos = C Bon ketju, niin C B. Tällöin joukko B sisältää maksimaalisen alkion B : ei ole olemassa joukkoa B B, jolla B B. Apulause 4.18 Olkoon Ψ L S ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin on olemassa ristiriidaton ja negaatiotäydellinen Θ L S, jolla Ψ Θ. Todistus. Tarkastellaan Zornin lemmaa tapauksessa M := L S ja B := {Ξ L S Ψ Ξja Con(Ξ)}. Koska Ψ on ristiriidaton, on B=. Osoitetaan seuraavaksi, että B on suljettu ketjujen yhdisteiden suhteen. Olkoon siis C Bepätyhjä ketju, ja olkoon Ω := C.Tällöin Ξ Ω jokaisella Ξ C,jotenΨ Ω. Lisäksi jokaisella äärellisellä osajoukolla Ω 0 Ω on olemassa Ξ Cs.e. Ω 0 Ξ (Harjoitustehtävä). Siis kaikki joukon Ω äärelliset osajoukot ovat ristiriidattomia, joten myös Ω on ristiriidaton. Näin olemme päätelleet, että Ω B. Zornin lemman nojalla joukossa B on olemassa maksimaalinen alkio Θ. Koska Θ B,onΨ Θ ja Θ on ristiriidaton. Vielä pitää osoittaa, että Θ on negaatiotäydellinen. Oletetaan siis, että ϕ L S. Jos Θ ϕ, niin Apulauseen 4.5(a) nojalla Θ { ϕ} on ristiriidaton. Tällöin joukon Θ maksimaalisuuden nojalla Θ { ϕ} = Θ, eli ϕ Θ, mistä jo seuraakin, että Θ ϕ. Seuraus 4.19 Jos kaavajoukko Φ on ristiriidaton, niin Φ on toteutuva. Todistus. Oletetaan, ettäφ L S on ristiriidaton. Apulauseen 4.17 nojalla on olemassa symbolijoukko S ja ristiriidaton Henkin-täydellinen kaavajoukko Ψ L S s.e. S S ja Φ Ψ. Edelleen Apulauseen 4.18 nojalla on olemassa ristiriidaton negaatiotäydellinen kaavajoukko Θ L S s.e. Ψ Θ. Koska Ψ on Henkin-täydellinen joukko S -kaavoja, on Θ myös Henkin-täydellinen. Siis Seurauksen 4.11 perusteella on olemassa S -tulkinta I =(A,β) s.e. I =Θ.Tällöin I = Φ, missä I =(A,β)jaA on mallin A redukti symbolijoukkoon S. Muotoillaan vielä lopuksi täydellisyyslause sekä sekventtikalkyylin adekvaattisuuslause, joka saadaan yhdistämällä korrektisuuslause ja täydellisyyslause. Lause 4.20 (Täydellisyyslause) Olkoon Φ L S kaavajoukko ja ϕ L S kaava. Jos Φ = ϕ, niin Φ ϕ. Lause 4.21 (Adekvaattisuus) Olkoon Φ L S kaavajoukko ja ϕ L S kaava. (a) Φ = ϕ jos ja vain jos Φ ϕ. (b) Sat(Φ) jos ja vain jos Con(Φ). 40