Lineaarialgebra. Osa 2. Turun yliopisto. Markku Koppinen

Lineaarialgebra Osa 2 Turun yliopisto Markku Koppinen

Sisältö 1 Koordinaattivektorit ja kannan vaihdot 1 11 Koordinaattivektorit 1 12 Kannan vaihdot 2 2 Lineaarikuvaukset 6 21 Kuvauksista 6 22 Lineaarikuvaukset 7 23 Lineaarikuvauksen määräytyminen kantavektoreista 9 24 Lineaarikuvauksen matriisi 11 25 Lineaarikuvauksen matriisin muuntuminen 13 26 Lineaarikuvauksen ydin ja kuva 15 27 Injektiiviset ja bijektiiviset lineaarikuvaukset 18 3 Aliavaruuksien suora summa 21 31 Kahden aliavaruuden summa ja suora summa 21 32 Kannat suorissa summissa 23 33 Useamman aliavaruuden summa ja suora summa 26 4 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 27 41 Johdanto 27 42 Hiukan kompleksiluvuista 28 43 Matriisin ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvoyhtälö 29 44 Similaariset matriisit 31 45 Matriisin diagonalisointi 32 46 Ominaisavaruudet 34 47 Ominaisarvon algebrallinen ja geometrinen kertaluku 35 48 Diagonalisoituvan matriisin potenssit 37 49 Matriisipolynomit ja CayleynHamiltonin lause 38 410 Lineaarikuvauksen ominaisarvot ja -vektorit 40 i

SISÄLTÖ ii 5 Ortogonaalisuus 42 51 Ortogonaaliset ja ortonormaaliset vektorijoukot 42 52 Vektorijoukon ortogonalisointi GraminSchmidtin menetelmällä 44 521 Lineaarisesti riippumattoman joukon tapaus 44 522 Yleinen tapaus 45 53 Ortogonaalikomplementti ja -projektio 46 54 Ortogonaalimatriisi 47 6 Symmetriset matriisit 50 61 Symmetrisen matriisin ominaisarvot 50 62 Ortogonaalinen diagonalisointi 51 63 Neliömuodon diagonalisointi 54 64 Sovellus: pääakseliprobleema 55 7 Pinnoista 58 71 Yleistä 58 72 Toisen asteen pintojen tyypit 59

Luku 1 Koordinaattivektorit ja kannan vaihdot 11 Koordinaattivektorit Vektoriavaruuden R n kantaa E = {e 1,, e n }, missä e 1 = (1, 0,, 0) T,, e n = (0, 0,, 0, 1) T, sanotaan sen luonnolliseksi kannaksi Jokaisella vektorilla x = (x 1,, x n ) T R n on esitys kannassa E, x = x 1 e 1 + + x n e n (11) Olemme tottuneet käsittelemään R n :n vektoreita luonnollisessa kannassa Toisaalta R n :n aliavaruuksilla ei yleensä luonnollisia kantoja ole, vaan niille joudutaan käyttämään niitä kantoja jotka onnistutaan löytämään Usein R n :ssäkin on edullista käyttää muuta kuin luonnollista kantaa, sillä kulloinenkin tehtävä saattaa yksinkertaistua sopivasti valitun kannan avulla Tämä käy myöhemmin hyvin selväksi lineaarikuvauksien yhteydessä Tässä luvussa selvittelemme kannan vaihtamisen menetelmää Olkoon B = {b 1,, b n } jokin R n :n kanta Jokaisella vektorilla x R n on kantaesitys x = r 1 b 1 + + r n b n (r 1,, r n R) (12) Kertoimia r 1,, r n sanotaan x:n koordinaateiksi kannan B suhteen Niistä muodostettu pystyvektori ) X B = (13) r n on x:n koordinaattivektori kannan B suhteen Esimerkiksi kannan E suhteen vektorin x = (x 1,, x n ) T koordinaattivektoriksi saadaan ) X E = ( r1 ( x1 1 x n, (14)

LUKU 1 KOORDINAATTIVEKTORIT JA KANNAN VAIHDOT 2 toisin sanoen x on sama kuin oma koordinaattivektorinsa luonnollisen kannan suhteen Esimerkki 111 Avaruudella R 2 on kanta B = {b 1, b 2 }, missä b 1 = ( 10 ) ja b2 = ( 11 ) Vektorin ( ) 23 x = kantaesitys kannassa B on x = b1 + 3b 2, joten sen koordinaattivektori tämän kannan ( ) suhteen on 1 X B = 3 Esimerkki 112 Tarkastellaan ( ) edellisen esimerkin tilanteessa yleistä vektoria xy x = Kirjoitetaan se kannassa B ratkaisemalla yhtälö x = r 1 b 1 + r 2 b 2 Vektorien komponenteista tulee yhtälöpari { r1 + r 2 = x, r 2 = y e b 2 2 yb 2 ye x 2 e 1=b 1 (x y)b 1 xe 1 ( ) ( ) ( ( Kirjoitetaan tämä matriisiyhtälönä r1 xy A r = 2, missä 1 1 A = 0 1) Koska A 1 1 1 = 0 1), saadaan ( ) ( ) ( ) ( ) r 1 r = A 1 xy x y = 2 y Siis x:n koordinaattivektori on x y XB = y Kannan vaihto voidaan nähdä myös koordinaatiston vaihtona Edellisessä esimerkissä siirryttiin erääseen vinokulmaiseen koordinaatistoon 12 Kannan vaihdot Esimerkissä 112 siirtyminen koordinaattiesityksestä toiseen, siis kuvaus X E X B, saatiin aikaan kertomalla vasemmalta sopivalla matriisilla A 1 Johdamme nyt kannan vaihtoa varten yleiset kaavat Olkoot B = {b 1,, b n } ja C = {c 1,, c n } kaksi R n :n kantaa Kirjoitetaan vektorit c 1,, c n kannassa B: c 1 = p 11 b 1 + + p n1 b n, (15) c n = p 1n b 1 + + p nn b n Kertoimista muodostetun matriisin transponoitua matriisia P = P B C = p 11 p 1n (16) p n1 p nn sanotaan kannanvaihdon B C matriisiksi Siis uusi kanta C lausutaan vanhassa kannassa B ja näin syntyvät koordinaattivektorit laitetaan P :n pystyriveiksi Lause 121 Olkoot B = {b 1,, b n } ja C = {c 1,, c n } kaksi R n :n kantaa ja olkoon P B C kannanvaihdon B C matriisi Olkoot vektorin x R n koordinaattivektorit ko kantojen suhteen X B ja X C Silloin X B = P B C X C (17)

LUKU 1 KOORDINAATTIVEKTORIT JA KANNAN VAIHDOT 3 Todistus Merkitään X C = (r 1,, r n ) T, toisin sanoen x = r 1 c 1 + + r n c n Siirrytään tässä kantaan B: x = n r j c j = j=1 n ( n ) r j p ij b i = j=1 i=1 n j=1 i=1 n r j p ij b i = n ( n p ij r j )b i i=1 j=1 Siis X B = n j=1 p 1jr j p 11 p 1n r 1 = = P B C X C n j=1 p njr j p n1 p nn r n Esimerkki 122 Tarkastellaan uudelleen esimerkkiä 112 Kannavaihdon B E matriisi saadaan lausumalla e 1 ja e 2 kannassa B; helposti nähdään, että { e 1 = b 1, e 2 = b 1 + b 2, ( ) ( ) joten kannanvaihdon matriisi on 1 1 P = P B E = 0 1 Olkoot yleisen vektorin xy x = R 2 ( ) ( ) koordinaattivektorit X E ja X B Silloin xy X E =, ja siis x y XB = P X E = y Lemma 123 Olkoot A ja B n n-matriiseja Jos Ax = Bx kaikilla vektoreilla x R n, niin A = B Todistus Identiteettimatriisi on I = ( e 1 e 2 e n ), missä ej :t ovat luonnolliset kantavektorit Laskemalla pystyriveittäin saadaan A = AI = A ( e 1 e 2 e n ) = ( Ae1 Ae 2 Ae n ) Samoin B = ( Be 1 Be 2 Be n ) Koska Aej = Be j j, seuraa A = B Lause 124 Kun B, C ja D ovat R n :n kantoja, niin P B D = P B C P C D (18) Todistus Kun vektorin x R n koordinaattivektoreita ko kannoissa merkitään X B, X C ja X D, niin lauseen 121 mukaan X B = P B D X D ja X B = P B C X C = P B C P C D X D Siis P B D X D = P B C P C D X D Tämä on voimassa kaikilla vektoreilla x, ja kun x käy koko R n :n, niin selvästi X D käy koko R n :n Väite seuraa lemmasta Seuraus 125 P B C = (P C B ) 1 Todistus Lauseen mukaan P B C P C B = P B B, joka selvästi on identiteettimatriisi

LUKU 1 KOORDINAATTIVEKTORIT JA KANNAN VAIHDOT 4 Esimerkki 126 Merkitään B = {b 1, b 2, b 3 }, missä b 1 = (1, 1, 2) T, b 2 = (3, 1, 0) T ja b 3 = (2, 0, 1) T Silloin B on R 3 :n kanta, sillä det(b 1 b 2 b 3 ) = 8 0 Etsitään vektorin x = (2, 1, 6) T kantaesitys B:n suhteen Vektorit b j on valmiiksi annettu luonnollisessa kannassa E, joten ja siis Näin ollen P = P E B = 1 3 2 1 1 0, 2 0 1 P B E = P 1 = 1 1 3 2 1 5 2 8 2 6 4 X B = P B E X E = 1 1 3 2 2 1 5 2 1 = 1 7 15, 8 8 2 6 4 6 34 toisin sanoen x = 7 8 b 1 15 8 b 2 + 34 8 b 3 Tulos on helppo tarkistaa: kun sijoitetaan vektorit b j, pitää tulla (2, 1, 6) T Esimerkki 127 Mikä käyrä on x 2 + y 2 + xy = 1? Siirrymme x y -koordinaatistoon, joka on saatu xy-koordinaatistosta kiertämällä sitä 45 vastapäivään Osoittautuu, että silloin käyrän yhtälö muuntuu tunnistettavaan muotoon (Kysymystä, miten tällainen parempi koordinaatisto löydetään, tutkimme myöhemmin) Tehtävänämme on nyt lausua käyrän yhtälö x y -koordinaattien avulla y y x e 2 b 1 b 2 x ẹ 1 y y x x Kannan E = {e 1, e 2 } sijasta otamme käyttöön kannan B = {b 1, b 2 }, missä b 1 saadaan e 1 :stä ja b 2 saadaan e 2 :sta 45 kierrolla Siis b 1 = 1 2 (1, 1) ja b 2 = 1 2 ( 1, 1) Kannanvaihdon matriisi on P = P E B = 1 ( ) 1 1 2 1 1 ( ) ( ) Merkitään pisteen xy x = koordinaatteja uudessa koordinaatistossa x y Tämä tarkoittaa, ( ) ( ) että x:n koordinaattivektorit kantojen E ja B suhteen ovat xy X E = ja x XB = y Koska

LUKU 1 KOORDINAATTIVEKTORIT JA KANNAN VAIHDOT 5 X E = P X B, niin ( ) x y = 1 ( 1 1 2 1 1 ) ( x y ), eli { x = 1 2 (x y ), y = 1 2 (x + y ) Nämä ovat koordinaattien väliset muunnoskaavat Sijoitetaan ne yhtälöön x 2 + y 2 + xy = 1: ( 2 ( 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 (x y )) + 2 (x + y )) + 2 (x y ) 2 (x + y ) = 1 Sievennettynä tulee 3 2 x 2 + 1 2 y 2 = 1 Kyseessä on siis ellipsi; x y -koordinaatisto on sen ns pääakselikoordinaatisto Esimerkki 128 Kun B on R 2 :n kanta, joka saadaan kiertämällä luonnollinen kanta kulman α verran vastapäivään, niin kannanvaihdon E B matriisi on ( ) cos α sin α sin α cos α Esimerkki 129 Mikä on kannanvaihdon matriisi, kun R 3 :n luonnollinen kanta kierretään kulman α verran vastapäivään a) z-akselin ympäri, b) y-akselin ympäri?

Luku 2 Lineaarikuvaukset 21 Kuvauksista Olkoot A ja B joukkoja Vastaavuutta (joka saattaa olla annettuna jollain laskukaavalla tai muulla säännöllä), joka liittää jokaiseen A:n alkioon a yksikäsitteisen B:n alkion f(a), sanotaan kuvaukseksi eli funktioksi f joukosta A joukkoon B Käytetään merkintää f : A B Esimerkki 211 Lausekkeesta x 2 saadaan esimerkiksi kuvaus R R, f(x) = x 2 Tässä jokaiseen alkioon x R liitetään alkio f(x) = x 2 R; siis yo määritelmän vastaavuus on nyt annettu laskukaavalla f(x) = x 2 Sama lauseke x 2 antaa myös esimerkiksi kuvauksen g : R R 0 (= {y R y 0}), g(x) = x 2 Tämä on eri kuvaus kuin f! Esimerkki 212 Olkoon A = {a, b, c} ja B = {p, q, r, s} Määritellään kuvaus f : A B luettelemalla: f(a) = p, f(b) = p, f(c) = q Esimerkki 213 Determinantin otto n n-matriiseista on kuvaus det : M n (R) R Esimerkki 214 n m-matriisien transponointi antaa kuvauksen M n m M m n Olkoon f : A B kuvaus Käytetään seuraavia nimityksiä: A on f:n määrittelyjoukko B on f:n maalijoukko Kun b = f(a), niin b on alkion a kuva f:n arvojoukko eli kuvajoukko on Im(f) = f(a) = {f(a) a A} Osajoukon A 0 A kuva eli kuvajoukko on f(a 0 ) = {f(a) a A 0 } Kun B 0 B, niin f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } on B 0 :n alkukuva Kuvaus f on surjektio (tai surjektiivinen) jos Im(f) = B 6

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 7 Kuvaus f on injektio (tai injektiivinen) jos aina eri alkioilla on eri kuvat, toisin sanoen jos on voimassa: Kun a 1, a 2 A ja a 1 a 2, niin f(a 1 ) f(a 2 ) Kuvaus f on bijektio (tai bijektiivinen), jos se on sekä injektio että surjektio Esimerkki 215 Tutkitaan, mitkä edellisten esimerkkien kuvaukset ovat injektiivisiä ja mitkä surjektiivisia Edelleen: Kaksi kuvausta f 1, f 2 : A B ovat yhtäsuuria, merkitään f 1 = f 2, jos f 1 (a) = f 2 (a) aina kun a A Huomaa, että yhtäsuurilla kuvauksilla on sama määrittelyjoukko ja sama maalijoukko Identiteettikuvaus A A on kuvaus id A, joka määritellään: id A (a) = a a A Kuvausten f : A B ja g : B C yhdistetty kuvaus eli tulo on kuvaus g f : A C, joka määritellään (g f)(a) = g(f(a)) a A Kuvaukset f : A B ja g : B A ovat toistensa käänteiskuvauksia, jos g f = id A ja f g = id B ; tällöin merkitään g = f 1 ja f = g 1 Jos f on kuvaus A B ja jos A 0 A, niin kuvaus g : A 0 B, joka määritellään g(a) = f(a) a A 0, on f:n rajoittuma eli restriktio A 0 :lle; merkitään g = f A0 Seuraavat seikat on helppo osoittaa: Kun f on kuvaus A B, niin f id A = f = id B f Kun f : A B, g : B C ja h : C D ovat kolme kuvausta, niin h (g f) = (h g) f (kuvauksia A D) Siis kuvaustulo on assosiatiivinen Kun f on kuvaus A A, merkitään f n = f f (n tekijää) On voimassa f i f j = f i+j Kuvauksella f : A B on olemassa käänteiskuvaus tarkalleen silloin, kun f on bijektio Esimerkki 216 Merkitään R 0 = {x R x 0} Kuvaus f : R R, f(x) = x 2, ei ole bijektio, joten sillä ei ole käänteiskuvausta Sama koskee sen restriktiota g = f R 0 : R 0 R Sen sijaan kuvaus h : R 0 R 0, h(x) = x 2, on bijektio ja sillä on käänteiskuvaus h 1 : R 0 R 0, nimittäin h 1 (x) = x x R 0 22 Lineaarikuvaukset Määritelmä 221 Kuvausta f : R n R m sanotaan lineaariseksi, jos se täyttää ehdot L1 f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) x 1, x 2 R n, L2 f(ax) = af(x) x R n, a R

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 8 Ehdot L1 ja L2 yhdessä ovat ekvivalentit seuraavan ehdon kanssa: L12 f(a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = a 1 f(x 1 ) + a 2 f(x 2 ) x 1, x 2 R n, a 1, a 2 R Induktiolla on helppo näyttää, että lineaarikuvaus säilyttää lineaarikombinaatiot, eli f(a 1 x 1 + + a k x k ) = a 1 f(x 1 ) + + a k f(x k ) x 1,, x k R n, a 1,, a k R (21) Valitsemalla ehdossa L2 a = 0 todetaan, että f(0) = 0; siis lineaarikuvaus kuvaa nollavektorin nollavektoriksi Esimerkki 222 Nollakuvaus R n R m on kuvaus, joka kuvaa kaikki vektorit 0:ksi Selvästi se on lineaarikuvaus Nollakuvausta merkitään yleensä 0:lla Esimerkki 223 Olkoon c R kiinnitetty Määritellään homotetiakuvaus h c : R n R n asettamalla h c (x) = cx x R n Osoitetaan, että h c on lineaarinen ja tutkitaan sitä c:n eri arvoilla Esimerkki 224 Olkoon x 0 kiinnitetty vektori x 0 0 Translaatiokuvaus t : R n R n, joka määritellään t(x) = x + x 0 x R n, ei ole lineaarikuvaus, koska esimerkiksi t(0) 0 Esimerkki 225 Olkoon f : R n R n kohtisuora peilaus x-akselin suhteen, toisin sanoen f(x, y) = (x, y) x, y R 2 Osoitetaan, että se on lineaarinen Esimerkki 226 Tarkastellaan yleisemmin R 2 :n kohtisuoraa peilausta f suoran ax + by = 0 suhteen, missä (a, b) (0, 0); kts kuvio Miten lasketaan f(x) mielivaltaiselle pisteelle x = (x, y) T? Onko f lineaarinen? Suoran L normaali on n = (a, b) T, joten f(x) = x + tn, missä t R on sellainen, että x + 1 2tn L Koska L:n yhtälö on x n = 0 (missä x n = (x, n) on sisätulo), niin L n y x x f(x) x + 1 2 tn L (x + 1 2 tn) n = 0 x n + 1 2 tn n = 0 t = 2x n n n Sijoittamalla tämä lausekkeeseen f(x) = x + tn saadaan Kun sijoitetaan x ja n, niin sieventämisen jälkeen f(x) = + by) = 2(ax a 2 + b 2 f(x) = x 2x n n 2 n (22) 1 a 2 + b 2 ( ( a 2 + b 2 )x 2aby, 2abx + (a 2 b 2 )y ) T (23) Nyt f voidaan näyttää lineaariseksi käyttäen kumpaa tahansa lausekkeista (22) ja (23) Edellisellä pääsee paljon vähemmällä kirjoittamisella

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 9 Esimerkki 227 Osoitetaan, että kuvaus f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 4x + 5y + 6z), on lineaarinen Laskuista pitäisi syntyä havainto, että lineaarisuus seuraa siitä, että komponenttikuvaukset R 3 R, (x, y, z) x + 2y + 3z ja (x, y, z) (4x + 5y + 6z) ovat lineaarisia eli 1 astetta ja ilman vakiotermiä Onkohan tämä sattuma, vai voisikohan tästä muotoilla yleisen tuloksen kuvausten R n R m lineaarisuudesta? Huomautus 228 Tässä kurssissa käsittely rajoittuu avaruuksiin R n Yleiset vektoriavaruudet tulevat Algebran peruskursseissa I ja II Ne määritellään aksiomaattisesti: Vektoriavaruus on joukko, jossa on annettuna yhteenlaskuoperaatio ja skalaarillakertomisoperaatio ja jossa tietty lista aksioomia on voimassa Skalaaritkin voivat olla jotain muuta kuin reaalilukuja, esimerkiksi kompleksilukuja tai jonkin yleisen ns kunnan alkioita Tässä yleisessäkin tilanteessa lineaarikuvaukset määritellään juuri samoin kuin määritelmässä 221, tosin tietenkin R n ja R m korvataan yleisillä vektoriavaruuksilla ja R ko skalaarien kunnalla 23 Lineaarikuvauksen määräytyminen kantavektoreista Esimerkki 231 Olkoot c 1,, c n R kiinnitettyjä lukuja Määritellään kuvaus f : R n R seuraavasti: f(x 1,, x n ) = x 1 c 1 + + x n c n ((x 1,, x n ) T R n ) Osoitetaan, että f on lineaarinen ja että luonnollisten kantavektorien kuvat ovat f(e i ) = c i (i = 1,, n) Esimerkki 232 Yleistetään edellistä esimerkkiä: Olkoot y 1,, y n R m kiinnitettyjä vektoreita Määritellään kuvaus f : R n R m : f(x 1,, x n ) = x 1 y 1 + + x n y n ((x 1,, x n ) T R n ) Silloin f on lineaarinen ja f(e i ) = y i (i = 1,, n) Näissä esimerkeissä on kyse siitä, että lineaarikuvaus voidaan aina määritellä yksikäsitteisesti antamalla kantavektorien kuvat Kirjoitamme tämän tosiseikan yleiseksi lauseeksi ja todistamme sen tarkasti Lause 233 Olkoon {x 1,, x n } jokin R n :n kanta, ja olkoot y 1,, y n kiinnitettyjä R m :n vektoreita (eivät ehkä erisuuria) Silloin on yksikäsitteinen sellainen lineaarikuvaus f : R n R m, että f(x i ) = y i (i = 1,, n) (24) Todistus Määritellään kuvaus f seuraavalla tavalla: Jokaisella vektorilla x R n on yksikäsitteinen esitys muodossa x = a 1 x 1 + + a n x n (a 1,, a n R), joten voidaan asettaa f(x) = a 1 y 1 + + a n y n

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 10 Silloin f on hyvin määritelty kuvaus Osoitetaan, että se on lineaarinen Kun vektoreilla x, x R n on kantaesitykset x = n i=1 a ix i ja x = n i=1 a i x i, niin summalla x + x on kantaesitys x + x = n i=1 (a i + a i )x i, joten n n n f(x + x ) = (a i + a i)y i = a i y i + a iy i = f(x) + f(x ); i=1 samoin saadaan, että kun a R, niin ax = n i=1 aa ix i, ja siis n n f(ax) = aa i y i = a a i y i = af(x) i=1 i=1 Näin ollen f on lineaarinen Se toteuttaa myös vaaditun ehdon (24) Lopuksi näytetään yksikäsitteisyys Oletetaan, että g on sellainen lineaarikuvaus R n R m, että g(x i ) = y i (i = 1,, n) Kun x = n i=1 a ix i on mielivaltainen, niin ( n ) g lin n n g(x) = g a i x i = a i g(x i ) = a i y i = f(x) Siis g = f i=1 i=1 Esimerkki 234 Koska R 2 :lla on kanta {(1, 2), (3, 4)}, niin on yksikäsitteinen sellainen lineaarikuvaus f : R 2 R 3, että i=1 i=1 i=1 f(1, 2) = (0, 1, 2), f(3, 4) = (2, 1, 0) Kantavektorien kuvista voidaan helposti johtaa yleisen vektorin (x, y) kuva (kts yo todistusta); tulos on f(x, y) = (2x y, x + y, 4x + 3y) Ennakoiden seuraavan pykälän asiaa panemme merkille, että f(x, y) voidaan kirjoittaa (pystyvektoreita käyttäen) matriisitulona ( ) xy f = ( 2 1 1 1 4 3 ) (x Esimerkki 235 Tarkastellaan uudestaan esimerkkiä 226 Siis f : R 2 R 2 on kohtisuora peilaus suoran L : x n = 0 suhteen, missä n = (a, b) T 0 Suoralla L on suuntavektori s = ( b, a) T, koska s n = 0 Nyt {n, s} on R 2 :n kanta: n ja s ovat lineaarisesti riippumattomia ja dim R 2 = 2 Lauseen 233 mukaan f (koska se on lineaarinen) määräytyy jo siitä, miten se kuvaa vektorit n ja s Ilmeisesti f(n) = n, f(s) = s y ) L y n s x f(x) x Yleisen vektorin x kuva f(x) saadaan lausumalla x ensin kannassa {n, s}, siis muodossa x = cn + ds, jolloin f(x) = f(cn + ds) = cf(n) + df(s) = cn + ds (25) Vertaa tätä saman kuvauksen lausekkeeseen (23), jossa vektorit on kaikki lausuttu luonnollisessa kannassa Ilmiselvästi f:n käsittelyssä kannattaa käyttää kantaa {n, s} Vektorit n ja s ovat f:n ominaisvektoreita; näistä puhutaan myöhemmin tarkemmin

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 11 24 Lineaarikuvauksen matriisi Esimerkissä 234 saimme lineaarikuvauksen esitetyksi matriisin avulla Tässä pykälässä näytämme, miten sama tehdään yleisestikin Esimerkin 235 mukaisesti ei ole syytä rajoittua luonnollisiin kantoihin vaan kannattaa kehittää teoria koskemaan mielivaltaisia kantoja Määritelmä 241 Olkoon f : R n R m lineaarikuvaus Kiinnitetään R n :lle kanta B = {b 1,, b n } ja R m :lle kanta C = {c 1,, c m } Muodostetaan vektorien f(b 1 ),, f(b n ) kantaesitykset: f(b 1 ) = a 11 c 1 + + a m1 c m, (26) f(b n ) = a 1n c 1 + + a mn c m Kertoimista muodostettua (transponoitua) matriisia a 11 a 1n A = (27) a m1 a mn sanotaan lineaarikuvauksen f matriisiksi kantojen B ja C suhteen; sanotaan myös että matriisi A esittää f:ää ko kantojen suhteen Merkitään A = M B,C (f) tai lyhyesti A = M(f) Jos n = m, niin yleensä käytetään samaa kantaa, siis B = C; tällöin merkitään A = M B (f) ja sanotaan, että A on f:n matriisi kannan B suhteen Siis M B,C (f) muodostetaan niin, että määrittelyavaruuden kantavektoreiden kuvat f(b j ) lausutaan maaliavaruuden kannassa C ja syntyvät koordinaattivektorit asetetaan matriisin pystyriveiksi Lause 242 Olkoon f lineaarikuvaus R n R m ja olkoon kiinnitetty R n :n ja R m :n kannat B ja C Kun x R n ja y R m ovat mielivaltaisia vektoreita ja X B ja Y C ovat niiden koordinaattivektorit ko kantojen suhteen, niin y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Todistus Riittää todeta, että f(x):n koordinaattivektori kannan C suhteen on M(f)X B Merkitään B = {b 1,, b n } ja C = {c 1,, c m } sekä M(f) = (a ij ) m n Olkoon X B = (x 1,, x n ) T, toisin sanoen x = x 1 b 1 + + x n b n Lasketaan f(x) kannassa C: f(x) = f(x 1 b 1 + + x n b n ) = x 1 f(b 1 ) + + x n f(b n ) = x 1 (a 11 c 1 + + a m1 c m ) + + x n (a 1n c 1 + + a mn c m ) = (a 11 x 1 + + a 1n x n )c 1 + + (a m1 x 1 + + a mn x n )c m Siis f(x):n koordinaattivektori on a 11 x 1 + + a 1n x n a 11 a 1n x 1 = = M(f)X B a m1 x 1 + + a mn x n a m1 a mn x n

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 12 Lause sanoo siis, että kun kannat B ja C on kiinnitetty, niin lineaarikuvaus f vastaa koordinaattivektoreiden X B kertomista vasemmalta matriisilla M B,C (f) Esimerkki 243 Olkoon f : R 2 R 3 esimerkissä 234 määritelty kuvaus Sille saatiin lauseke f(x, y) = (2x y, x + y, 4x + 3y) Siis luonnollisten kantavektoreiden kuvat ovat f(e 1 ) = f(1, 0) = (2, 1, 4) ja f(e 2 ) = f(0, 1) = ( 1, 1, 3) Nämä ovat valmiiksi kuva-alkioiden koordinaattivektorit R 3 :n luonnollisen kannan suhteen Siis f:n matriisi luonnollisten kantojen suhteen on M(f) = M E,E (f) = ( ) 2 1 1 1 4 3 Esimerkissä 234 todettiin, että (luonnollisia kantoja käytettäessä) f saadaan kertomalla vasemmalta juuri tällä matriisilla: f(x) = M(f)x x R 2 Esimerkki 244 Merkitään B = {b 1, b 2 }, missä b 1 = (1, 2) T ja b 2 = (3, 4) T ; tämä on R 2 :n kanta Esimerkin 234 kuvaus määriteltiin antamalla kantavektorien b 1, b 2 kuvat R 3 :n luonnollisessa kannassa E Saadaan heti f:n matriisi näiden kantojen suhteen: M B,E (f) = ( 0 2 1 1 2 0 Esimerkki 245 Katsotaan taas R 2 :n peilausta f suoran x n = 0 suhteen Käytetään samoja merkintöjä kuin esimerkeissä 226 ja 235 Kirjoitetaan f:n matriisi sekä luonnollisen kannan suhteen että kannan B = {n, s} suhteen: M E (f) = 1 a 2 + b 2 ( a 2 + b 2 2ab 2ab a 2 b 2 ) ) ( ) 1 0, M B (f) = 0 1 Jos on annettu matriisi A M m n, niin voidaan määritellä kuvaus f : R n R m asettamalla f(x) = Ax Matriisitulon ominaisuuksista seuraa, että f on lineaarinen Sanotaan, että f on matriisin A määräämä tai indusoima lineaarikuvaus (luonnollisten kantojen suhteen) Lisäksi A = M E,E (f) Huomautus 246 Tarkemmin tutkimalla todetaan, että yo vastaavuus f A antaa kääntäen yksikäsitteisen vastaavuuden lineaarikuvausten R n R m ja m n-matriisien välille Esimerkki 247 Matriisin ( 1 1 0 1 1 4 ) indusoima lineaarikuvaus f : R 3 R 2 on f((x, y, z) T ) = (x + y, x + y + 4z) T ((x, y, z) T R 3 ) Seuraava tulos on ehkä tärkein syy sille, että matriisitulo määriteltiin niin kuin määriteltiin: matriisitulo vastaa kuvaustuloa eli kuvausten yhdistämistä Lause 248 Olkoon avaruuksilla R n, R m ja R k vastaavasti kannat B, C ja D Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarikuvauksia, niin g f on lineaarikuvaus ja sen matriisi on M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f)

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 13 Todistus Yhdistetyn kuvauksen g f lineaarisuus nähdään ehdosta L12: (g f)(a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = g(f(a 1 x 1 + a 2 x 2 )) = g(a 1 f(x 1 ) + a 2 f(x 2 )) = a 1 g(f(x 1 )) + a 2 g(f(x 2 )) = a 1 (g f)(x 1 ) + a 2 (g f)(x 2 ) Olkoon x R n Merkitään y = f(x) ja z = g(y) ja käytetään vastaavista koordinaattivektoreista merkintöjä X B, Y C ja Z D Lauseesta 242 saadaan Siis Y C = M(f)X B, Z D = M(g)Y C = M(g f)x B M(g)M(f)X B = M(g f)x B Lemman 123 nojalla M(g)M(f) = M(g f), koska x on mielivaltainen ( ) Esimerkki 249 a) Tutkitaan, millaisen kuvauksen R 2 R 2 matriisi cos α sin α R α = sin α cos α määrää luonnollisten kantojen suhteen b) Trigonometristen kaavojen avulla lasketaan, että R α R β = R α+β Mikä on vastaava lineaarikuvauksia koskeva seikka? Esimerkki 2410 Olkoon f kuvaus R 3 R 3, f(x, y, z) = (y, z, 0) Muodostetaan f:n matriisi A Todetaan, että A 3 = O Päätellään tästä, että f 3 = 0 (eli että f f f on nollakuvaus) Esimerkki 2411 Olkoon π = (j 1, j 2,, j n ) lukujen 1, 2,, n permutaatio Siitä saadaan lineaarikuvaus f π : R n R n asettamalla kantavektorien e i kuviksi f π (e i ) = e ji (i = 1,, n) Mikä R n :n yleisen vektorin kuva on? Millainen matriisi P π = M E (f π ) on? Matriiseja P π sanotaan permutaatiomatriiseiksi 25 Lineaarikuvauksen matriisin muuntuminen Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää matriisilla M B,C, kun B ja C ovat kiinnitettyjä R n :n ja R m :n kantoja Aiemmin johdetuista kaavoista saamme nyt helposti selvitetyksi f:n matriisin muunnoksen, kun suoritetaan kannan vaihdot B B R n :ssä ja C C R m :ssä: Lause 251 Olkoon f : R n kannat C ja C Silloin R m lineaarikuvaus Olkoon R n :llä kannat B ja B ja R m :llä M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B (28) Todistus Olkoon x R n mielivaltainen ja olkoon y = f(x) Merkitään x:n ja y:n koordinaattivektoreita ko kantojen suhteen X B, X B, Y C ja Y C Lauseen 242 mukaan Y C = M B,C (f)x B Kun tähän sijoitetaan kannan vaihtoja koskevat kaavat Y C = P C C Y C ja X B = P B B X B (lause 121), saadaan P C C Y C = M B,C (f)p B B X B

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 14 Kerotaan vasemmalta matriisilla (P C C ) 1 = P C C (seuraus 125): Toisaalta lauseen 242 mukaan Y C = P C CM B,C (f)p B B X B Y C = M B,C (f)x B Väite seuraa nyt lemmasta 123, koska x on mielivaltainen Hyvin tärkeä erikoistapaus on lineaarikuvauksen f : R n R n matriisin M B (f) muuntuminen kannan vaihdossa Muistetaan, että tämä matriisi muodostetaan käyttäen R n :ssä samaa kantaa B, katsottiinpa R n :ää sitten f:n määrittely- tai maaliavaruutena Kannan vaihtaminen B :ksi merkitsee silloin samaa kannan vaihtoa sekä maali- että määrittelyavaruudessa Lauseesta saadaan suoraan: Seuraus 252 Kun f : R n R n on lineaarikuvaus ja B ja B ovat kaksi R n :n kantaa, niin missä P = P B B M B (f) = P 1 M B (f)p, (29) Yleisesti n n-matriiseja A ja B sanotaan similaarisiksi, jos on sellainen säännöllinen matriisi Q, että B = Q 1 AQ Kuvausta M n M n, joka kuvaa jokaisen matriisin A matriisiksi Q 1 AQ, sanotaan similaarisuusmuunnokseksi, jonka matriisi Q välittää Similaarisuudesta meillä tulee tarkemmin puhe matriisien ominaisarvojen yhteydessä Seuraus 252 merkitsee erityisesti, että lineaarikuvauksen matriisi muuntuu kannan vaihdossa similaarisuusmuunnoksella, jonka ko kannanvaihdon matriisi välittää Esimerkki 253 Tarkastellaan taas kerran R 2 :n kohtisuoraa peilausta f suoran L : ax+by = 0 suhteen Johdetaan nyt f:n lauseke toisella tavalla kuin esimerkissä 226 Olkoon n = (a, b) T ja s = ( b, a) T, L:n normaali- ja suuntavektorit, ja merkitään B = {n, s} Koska f(n) = n ja f(s) = s, niin M B (f) = Luonnollisen kannan suhteen f:n matriisi on siis ( 1 0 0 1 ) M E (f) = Q 1 M B (f)q, missä Q on kannanvaihdon matriisi Q = P B E Koska n = (a, b) T ja s = ( b, a) T ovat koordinaattiesityksiä kannassa E, niin ( ) a b P E B = = Q 1, b a joten Q = (P E B ) 1 = ( 1 a a 2 + b 2 b ) b a Laskemalla matriisitulo M E (f) = Q 1 M B (f)q saadaan sama tulos kuin esimerkissä 245 Siitä taas saadaan f:n lauseke (23)

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 15 Esimerkki 254 Johdetaan samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä M E (f), kun f on kohtisuora projektio suoralle L (Edellisen esimerkin merkinnöin siis f(n) = 0 ja f(s) = s) Todetaan, että M E (f) 2 = M E (f) Miten tämä tulos olisi nähty jo ennalta? Esimerkki 255 Olkoot L 1 ja L 2 kaksi suoraa R 2 :ssa, L 1 L 2 = {0} Määritellään, mitä tarkoittaa (vino) peilaus f suoran L 1 suhteen suoran L 2 suunnassa (kts kuvio) Miten f:n lauseke (tai matriisi) luonnollisessa kannassa laskettaisiin? Mistä tiedetään, jo ennen kuin mitään on laskettu, että M E (f) 2 = I? t L 1 y x f(x) s x Esimerkki 256 Aurinko paistaa vektorin (1, 1, 1) suunnasta Ajatellaan, että sen säteet ovat yhdensuuntaiset Valkoinen taso on asetettu xy-tasoon Jokainen tason yläpuolella oleva pistemäinen esine heittää sille varjon Katsotaan tämä kuvaukseksi f : R 3 R 2 Oletetaan tunnetuksi, että f on lineaarinen Selvitetään, miten sen lauseke luonnollisten kantojen suhteen voidaan johtaa lähtemällä siitä, että ilmeisesti f(1, 0, 0) = (1, 0), f(0, 1, 0) = (0, 1), f(1, 1, 1) = (0, 0) 26 Lineaarikuvauksen ydin ja kuva Lause 261 Olkoon f : R n R m lineaarikuvaus (i) Kun U R n on aliavaruus, niin f(u) on R m :n aliavaruus (ii) Kun V R m on aliavaruus, niin f 1 (V ) on R n :n aliavaruus Todistus Todistetaan ensin (i) Ensinnäkin f(u), sillä 0 U joten f(0) f(u) Olkoot v, w f(u) mielivaltaisia Silloin on sellaiset x, y U, että v = f(x) ja w = f(y) Kuvauksen f lineaarisuuden perusteella v + w = f(x) + f(y) = f(x + y) f(u), sillä x + y U Kun a R, niin av = af(x) = f(ax) f(u) Siis f(u) on aliavaruus Seuraavaksi todistetaan (ii) Koska f(0) = 0 V, niin 0 f 1 (V ), joten f 1 (V ) Olkoot x, y f 1 (V ) mielivaltaisia, toisin sanoen f(x) V ja f(y) V Silloin f(x + y) = f(x)+f(y) V, koska V on aliavaruus; siis x+y f 1 (V ) Kun a R, niin f(ax) = af(x) V, joten ax f 1 (V ) Näin ollen f 1 (V ) on aliavaruus Valitsemalla U = R n ja V = {0} (R m :n nolla-aliavaruus), saadaan kaksi tärkeää erikoistapausta: f(r n ) = Im(f) ja f 1 ({0}) ovat aliavaruuksia, edellinen R m :n ja jälkimmäinen R n :n Näistä käytetään seuraavia nimityksiä Määritelmä 262 Olkoon f : R n R m lineaarikuvaus Silloin R m :n aliavaruutta Im(f) = f(r n ) = {f(x) x R n } sanotaan f:n kuva-avaruudeksi, ja R n :n aliavaruutta sanotaan f:n ytimeksi (engl kernel) Ker(f) = f 1 ({0}) = {x R n f(x) = 0} L 2

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 16 Esimerkki 263 Esimerkin 256 kuvauksen kuva-avaruus on Im(f) = R 2 ja ydin Ker(f) on suora r = t(1, 1, 1) Esimerkki 264 Tarkastellaan lineaarikuvausta f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x + y, x + y + 4z), joka oli esimerkissä 247 Se todetaan helposti surjektioksi; jos nimittäin (a, b) R 2 on mielivaltainen, niin yhtälöparille { x + y = a x + 4y + z = b löydetään ratkaisu (x, y, z), joten (a, b) kuuluu f:n kuva-avaruuteen Siis Im(f) on koko R 2 Entä mikä f:n ydin on? On löydettävä ne pisteet (x, y, z), jotka f kuvaa 0:ksi Saadaan yhtälöpari { x + y = 0, x + 4y + z = 0 Ratkaisuavaruus koostuu vektoreista ( y, y, 5y) (y R) Siis Ker(f) = L( 1, 1, 5) on yksiulotteinen aliavaruus Näissä esimerkeissä oli dim Im(f) = 2 ja dim Ker(f) = 1, ja huomataan, että 2 + 1 = 3 = dim R 3 on f:n määrittelyavaruuden dimensio Tämä on voimassa yleisestikin: Lause 265 (Lineaarikuvauksen dimensioyhtälö) Kun f : R n R m on lineaarikuvaus, niin dim R n = dim Ker(f) + dim Im(f) (210) Todistus Valitaan Ker(f):lle kanta {x 1,, x k } ja Im(f):lle kanta {v 1,, v r } Silloin on sellaiset y 1,, y r R n, että f(y 1 ) = v 1,, f(y r ) = v r Osoitetaan, että {x 1,, x k, y 1,, y r } on R n :n kanta Tämä antaa silloin lauseen väitteen Näytetään ensin, että x 1,, x k, y 1,, y r ovat lineaarisesti riippumattomia Olkoon a 1 x 1 + + a k x k + b 1 y 1 + + b r y r = 0, missä a i, b i R Kun tästä otetaan f puolittain, niin f:n lineaarisuuden nojalla a 1 f(x 1 ) + + a k f(x k ) + b 1 f(y 1 ) + + b r f(y r ) = f(0), eli 0 + + 0 + b 1 v 1 + + b r v r = 0 Koska v i :t ovat lineaarisesti riippumattomia, niin seuraa b 1 = = b r = 0 Silloin a 1 x 1 + + a k x k = 0, joten x i :den lineaarinen riippumattomuus antaa a 1 = = a k = 0 Osoitetaan toiseksi, että x 1,, x k, y 1,, y r virittävät koko R n :n Olkoon z R n mielivaltainen Silloin f(z) voidaan lausua Im(f):n yo kannan avulla, f(z) = c 1 v 1 + + c r v r Merkitään z = z c 1 y 1 c r y r R n Silloin f(z ) = f(z) c 1 v 1 c r v r = 0

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 17 Siis z Ker(f), joten z voidaan lausua Ker(f):n kannassa: z = d 1 x 1 + + d k x k Nyt saadaan z = z + c 1 y 1 + + c r y r = d 1 x 1 + + d k x k + c 1 y 1 + + c r y r, mikä antaa väitteen Joskus lineaarikuvauksen f kuva-avaruuden dimensiota dim Im(f) sanotaan f:n asteeksi (engl rank, merkitään r(f)) ja ytimen dimensiota dim Ker(f) sanotaan f:n nulliteetiksi Edellistä lausetta kutsutaankin usein aste-nulliteetti-lauseeksi Huomautus 266 Dimensioyhtälön (210) vasemmalla puolella voitaisiin tietysti kirjoittaa dim R n = n, mutta muoto (210) on mukavampi, sikäli että dimensioyhtälö pätee lineaarikuvauksille yleistenkin vektoriavaruuksien tapauksessa (jotka eivät kylläkään kuulu tähän kurssiin) muodossa: Jos f : V W on lineaarikuvaus, niin dim V = dim Ker(f) + dim Im(f) Todistuskin käy oleellisesti samoin kuin edellä Esimerkki 267 Lineaarikuvaus f : R n R n on nilpotentti, jos jokin f k = 0 (Tässä f k = f f ja 0 tarkoittaa nollakuvausta, kts esimerkki 2410) Tutkitaan, mitä nilpotenttisuus merkitsee Olkoon k pienin eksponentti, jolla f k = 0 Oletetaan, että k > 1 (muuten f = 0) Koska f i+1 (R n ) = f i (f(r n )) f i (R n ), niin aliavaruudet f i (R n ) = Im(f i ) muodostavat ketjun R n Im(f) Im(f 2 ) Im(f k 1 ) Im(f k ) = {0} Sovitaan vielä, että f 0 = I, jolloin ketjun ensimmäinen jäsen R n on Im(f 0 ) Osoitetaan, että ketjussa kaikki sisältymiset ovat aitoja eli että Im(f i 1 ) Im(f i ) kun 1 i k Tehdään tämä näyttämällä, että dim Im(f i 1 ) > dim Im(f i ) Lineaarikuvauksen dimensioyhtälöstä, sovellettuna lineaarikuvauksiin f i 1 ja f i, saadaan dim Im(f i 1 ) + dim Ker(f i 1 ) = n = dim Im(f i ) + dim Ker(f i ) Siis epäyhtälön dim Im(f i 1 ) > dim Im(f i ) sijasta voimme yhtä hyvin todistaa epäyhtälön dim Ker(f i 1 ) < dim Ker(f i ) Edelleen, Ker(f i 1 ) Ker(f i ), sillä jos f i 1 (x) = 0, niin f i (x) = f(f i 1 (x)) = f(0) = 0, joten riittää osoittaa, että on sellainen x, että x Ker(f i ) ja x / Ker(f i 1 ) Valitaan y Im(f k 1 ), y 0; tämä on mahdollista, koska k:n valinnasta johtuen f k 1 0 eli Im(f k 1 ) {0} On sellainen z R n, että y = f k 1 (z) Merkitään x = f k i (z) Silloin f i (x) = f i (f k i (z)) = f k (z) = 0 ja f i 1 (x) = f k 1 (z) = y 0 Esimerkki 268 Osoitetaan, että nilpotentin lineaarikuvauksen f : R n R n matriisi on sopivan kannan suhteen alakolmiomatriisi, jonka päälävistäjäalkiot ovat nollia (Käänteinenkin väite pätee Lisäksi alakolmiomatriisien sijasta voitaisiin yhtä hyvin käyttää yläkolmiomatriiseja)

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 18 Esimerkki 269 Neliömatriisia A sanotaan nilpotentiksi, jos A k = 0 jollain k:lla Päätellään edellisestä esimerkistä, että jos matriisi A on nilpotentti, niin on sellainen säännöllinen matriisi P, että P 1 AP on alakolmiomatriisi, jonka päälävistäjäalkiot ovat nollia (Käänteinenkin pätee) Lause 2610 Olkoon f : R n R m lineaarinen Merkitään A = M E,E (f) Silloin Im(f) = A:n pystyriviavaruus P (A), (211) Ker(f) = yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisuavaruus (212) Todistus Olkoon A = ( a 1 a n ), missä a1, a n R m ovat pystyrivit Käytämme tuttua kaavaa Ax = x 1 a 1 + + x n a n (x = (x 1,, x n ) T ) Tästä saadaan (211), sillä ja Im(f) = {Ax x R n } P (A) = L(a 1,, a n ) = {x 1 a 1 + + x n a n x 1,, x n R} Väite (212) on selvä, koska x Ker(f) f(x) = 0 Ax = 0 Seuraus 2611 dim Im(f) = r(a) Siis f:n aste r(f) on sama kuin A:n aste r(a) Koska lisäksi matriisin aste säilyy kerrottaessa sitä säännöllisillä matriiseilla, niin r(f) = r(b), oli B = M B,C (f) muodostettu minkä kantojen B ja C suhteen tahansa; kts lause 251 Nyt näemme, että lineaarikuvauksen dimensioyhtälö onkin ennestään tuttu tulos: Kun A M m n, niin lineaarisen homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio on n r(a) 27 Injektiiviset ja bijektiiviset lineaarikuvaukset Muistetaan, että kuvaus f : A B on injektiivinen, jos f(a 1 ) f(a 2 ) aina kun a 1 a 2 (a 1, a 2 A) Lineaarikuvausten injektiivisyydelle saadaan yksinkertaisempi kriteeri, kohta (ii) seuraavassa lauseessa Lause 271 Lineaarikuvaukselle f : R n R m seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) f on injektio; (ii) Ker(f) = {0}; (iii) dim Im(f) = dim R n ; (iv) jos {x 1,, x n } on R n :n kanta, niin f(x i ) f(x j ) kun i j ja {f(x 1 ),, f(x n )} on Im(f):n kanta

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 19 Todistus Oletetaan ensin (i) ja todistetaan (ii) Jos x Ker(f), niin f(x) = 0 = f(0), joten f:n injektiivisyyden nojalla x = 0 Siis Ker(f) = {0} Oletetaan nyt (ii) ja todistetaan (i) Olkoot x, y R n sellaisia, että f(x) = f(y) Silloin f(x y) = f(x) f(y) = 0, joten x y Ker(f) Koska Ker(f) = {0}, seuraa x y = 0 eli x = y Näin ollen f on injektio Nyt on osoitettu ehtojen (i) ja (ii) ekvivalenttisuus Dimensioyhtälön nojalla dim Im(f) = dim R n dim Ker(f) = 0 Ker(f) = {0}; siis myös (iii) on ekvivalentti ehtojen (i) ja (ii) kanssa Oletetaan (i) ja todistetaan (iv) Olkoon {x 1,, x n } R n :n kanta Vektorit f(x 1 ),, f(x n ) virittävät kuva-avaruuden Im(f), sillä jokainen f(x) voidaan esittää muodossa f(x) = f(a 1 x 1 + + a n x n ) = a 1 f(x 1 ) + + a n f(x n ) (a 1,, a n R) Lisäksi f(x 1 ),, f(x n ) ovat lineaarisesti riippumattomia Jos nimittäin a 1 f(x 1 ) + + a n f(x n ) = 0, niin f(a 1 x 1 + + a n x n ) = 0, joten ehdon (ii) perusteella a 1 x 1 + + a n x n = 0 Seuraa a 1 = = a n = 0 Näin ollen (iv) on voimassa Vihdoin, jos oletetaan (iv), niin siitä saadaan heti (iii) Injektiivistä lineaarikuvausta sanotaan myös säännölliseksi Lauseen 271 mukaan lineaarikuvaus f : R n R m ei voi olla bijektio, jos m n Lause 272 Lineaarikuvaukselle f : R n R n seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) (ii) (iii) f on injektio; f on surjektio; f on bijektio Todistus Surjektiivisuuden määritelmästä ja lauseesta 271 saadaan f surjektio Im(f) = R n dim Im(f) = dim R n f injektio Huomautus 273 Lausetta voi verrata äärellisten joukkojen välisiä kuvauksia koskevaan tosiasiaan: Jos g : A A on kuvaus, missä A on äärellinen joukko, niin g on injektio tarkalleen silloin kun se on surjektio (jolloin se on myös bijektio) Lause 274 Jos f : R n R n on bijektiivinen lineaarikuvaus, niin myös f:n käänteiskuvaus f 1 on lineaarinen Todistus Kun x, y R n ja a, b R ovat mielivaltaisia, niin f:n lineaarisuuden nojalla f ( (af 1 (x) + bf 1 (y) ) = af(f 1 (x)) + bf(f 1 (y)) = ax + by, ja ottamalla puolittain f 1 saadaan af 1 (x) + bf 1 (y) = f 1 (ax + by)

LUKU 2 LINEAARIKUVAUKSET 20 Lause 275 Olkoon f : R n R n lineaarikuvaus ja olkoon B jokin R n :n kanta Silloin f on bijektio jos ja vain jos sen matriisi M B (f) on säännöllinen, ja tällöin M B (f) 1 = M B (f 1 ) Todistus Kun f on bijektio, niin f f 1 = id Lauseesta 248 saadaan M B (f)m B (f 1 ) = M B (id) Selvästi M B (id) on identiteettimatriisi I Siis M B (f) on säännöllinen ja M B (f) 1 = M B (f 1 ) Oletetaan nyt, että M B (f) on säännöllinen Lauseen 272 mukaan riittää osoittaa, että f on injektio Olkoon f(x) = 0 ja olkoon X B x:n koordinaattivektori Silloin M B (f)x B = (0,, 0) T (lause 242) Kertomalla vasemmalta M B (f) 1 :llä saadaan X B = (0,, 0) T Siis x = 0 Esimerkki 276 Kuvaus f : R 3 R 3, f((x, y, z) T ) = (x, x + y, y + z) T, on bijektio, sillä se on lineaarinen ja sen matriisi M E (f) = ( ) 1 0 0 1 1 0 0 1 1 on säännöllinen (determinantti = 1) Laskemalla käänteismatriisi ( ) 1 0 0 M E (f) 1 = 1 1 0 1 1 1 saadaan f:n käänteiskuvaukseksi f 1 ((x, y, z) T ) = (x, x + y, x y + z) T (x, y, z R)

Luku 3 Aliavaruuksien suora summa 31 Kahden aliavaruuden summa ja suora summa Määritelmä 311 Kun U 1 ja U 2 ovat R n :n aliavaruuksia, niin niiden summa U 1 + U 2 on R n :n aliavaruus U 1 + U 2 = {u 1 + u 2 u 1 U 1, u 2 U 2 } (31) Helposti nähdään, että U 1 + U 2 todella on aliavaruus Lisäksi U 1 U 1 + U 2 ja U 2 U 1 + U 2 ; esimerkiksi jokainen U 1 :n alkio u 1 voidaan kirjoittaa muodossa u 1 = u 1 + 0, missä u 1 U 1 ja 0 U 2 Yhdistämällä nämä huomiot päätellään helposti, että U 1 + U 2 on suppein R n :n aliavaruus, joka sisältää sekä U 1 :n että U 2 :n Sanotaan myös, että U 1 + U 2 on U 1 :n ja U 2 :n yhdessä generoima aliavaruus Esimerkki 312 Tarkastellaan R 3 :n tasoja T 1 : x + y + z = 0, T 2 : x 2y + z = 0 Ne kulkevat origon kautta ja ovat siis aliavaruuksia Lasketaan T 1 + T 2 Väitämme, että T 1 + T 2 = R 3 Koska T 1 + T 2 on R 3 :n aliavaruus, niin väite seuraa, kun osoitetaan, että summa on koko R 3, toisin sanoen että jokainen R 3 :n vektori kuuluu summaan Olkoon v = (a, b, c) R 3 mielivaltainen Jotta se olisi summassa T 1 + T 2, se olisi voitava esittää muodossa v = u 1 + u 2, missä u 1 T 1 ja u 2 T 2 Huomataan, että T 1 :llä on kanta {x 1, x 2 }, missä x 1 = (1, 1, 0) ja x 2 = (1, 0, 1); nimittäin nämä kuuluvat T 1 :een ja ovat lineaarisesti riippumattomia, ja lisäksi dim T 1 = 2 Samoin T 2 :lla on kanta {y 1, y 2 }, missä y 1 = (1, 1, 1) ja y 2 = (1, 0, 1) Siis ehto v = u 1 + u 2 (u i U i ) voidaan kirjoittaa v = r 1 x 1 + r 2 x 2 + s 1 y 1 + s 2 y 2 (r 1, r 2, s 1, s 2 R) Sijoitetaan tähän ko vektorit Komponenteista tulee yhtälöryhmä r 1 + r 2 + s 1 + s 2 = a, r 1 + s 1 = b, r 2 + s 1 s 2 = c, 21

LUKU 3 ALIAVARUUKSIEN SUORA SUMMA 22 siis 3 yhtälöä ja 4 tuntematonta Sillä on äärettömän monta ratkaisua, sillä jos esimerkiksi valitaan s 2 :lle jokin arvo, niin tuntemattomille r 1, r 2, s 1 jää neliömäinen yhtälöryhmä, jonka kerroinmatriisin determinantti on 0 Erityisesti ratkaisu on aina olemassa, joten T 1 +T 2 = R 3 Esimerkki 313 Esimerkissä 312 käytettiin aliavaruuksien summan määritelmää Tässä nimenomaisessa esimerkissä päästäisiin helpommalla dimensioita laskemalla Miten? Esimerkki 314 Tarkastellaan taas avaruutta R 3 Lasketaan kahden yksiulotteisen aliavaruuden L 1 = L ( (1, 1, 0) ) ja L 2 = L ( (1, 2, 1) ) summa Saadaan L 1 + L 2 = {u + v u L 1, v L 2 } = {r(1, 1, 0) + s(1, 2, 1) r, s R} = L ( (1, 1, 0), (1, 2, 1) ) = {(r + s, r + 2s, s) r, s R} On selvää, että L 1 + L 2 on origon O ja pisteiden (1, 1, 0) ja (1, 2, 1) kautta kulkeva taso T (Kannattaa piirtää kuvio) Sen yhtälö saadaan vaikkapa muodossa x y z 1 1 0 1 2 1 = 0, eli x y + z = 0 Esimerkissä 312 jokaisella R 3 :n vektorilla v oli peräti äärettömän monta hajotelmaa v = u 1 + u 2 (u i T i ) Se, etteivät ratkaisut ole yksikäsitteisiä, johtuu siitä, että T 1 T 2 {0} Tämä näkyy seuraavasta yleisestä lauseesta Määritelmä 315 Olkoot U 1 ja U 2 R n :n aliavaruuksia Niiden summaa sanotaan suoraksi summaksi, merkitään U 1 U 2, jos jokaisella summan vektorilla v on vain yksi esitys muodossa v = u 1 + u 2 (u 1 U 1, u 2 U 2 ) Lause 316 Kun U 1 ja U 2 ovat R n :n aliavaruuksia, niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) Summa U 1 + U 2 on suora (ii) U 1 U 2 = {0} (iii) Jos u 1 + u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2, niin u 1 = u 2 = 0 Todistus Oletetaan ensin, että summa U 1 +U 2 on suora Olkoon x U 1 U 2 mielivaltainen Sille saadaan kaksi hajotelmaa, x = x+0 = 0+x, joissa kummassakin ensimmäinen yhteenlaskettava on U 1 :ssä ja toinen U 2 :ssa Hajotelman yksikäsitteisyyden nojalla x = 0 Siis U 1 U 2 = {0} Oletetaan toiseksi, että U 1 U 2 = {0} Olkoon u 1 + u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2 Silloin u 1 = u 2 U 1 U 2, joten oletuksen nojalla u 1 = u 2 = 0 Näin ollen (iii) seuraa Oletetaan lopuksi, että ehto (iii) on voimassa Olkoon v U 1 + U 2, ja olkoon sillä kaksi hajotelmaa v = u 1 +u 2 = u 1+u 2, missä u 1, u 1 U 1 ja u 2, u 2 U 2 Yhtälöstä u 1 +u 2 = u 1+u 2

LUKU 3 ALIAVARUUKSIEN SUORA SUMMA 23 saadaan (u 1 u 1) + (u 2 u 2) = 0 Koska u 1 u 1 U 1 ja u 2 u 2 U 2, niin oletuksen (iii) mukaan u 1 u 1 = u 2 u 2 = 0 Siis u 1 = u 1 ja u 2 = u 2 Toisin sanoen v:n ko hajotelmat olivatkin samat; siis summa U 1 + U 2 on suora Esimerkki 317 Esimerkissä 314 on voimassa T = L 1 L 2, sillä selvästi L 1 L 2 = {0} Siis jokaisella T :n vektorilla v on yksikäsitteinen hajotelma v = r(1, 1, 0) + s(1, 2, 1) (r, s R) Toisaalta tämähän merkitsee tietenkin juuri sitä, että vektorit (1, 1, 0) ja (1, 2, 1) muodostavat T :n kannan Esimerkki 318 Esimerkissä 312 summa T 1 + T 2 ei ollut suora Voitaisiinko vaikkapa T 2 :n tilalle valita jokin pienempi aliavaruus U, siten että summa T 1 + U olisi suora ja olisi edelleen koko R 3? Käytetään samoja T 1 :n ja T 2 :n kantoja {x 1, x 2 } ja {y 1, y 2 } kuin esimerkissä 312 Nyt x 2 = y 2, ja ilmeisestikin x 2 juuri virittää leikkauksen T 1 T 2 Yritetään U = L(y 1 ) Olkoon v = (a, b, c) R 3 mielivaltainen Samoin kuin esimerkissä 312 ehdosta v = u 1 + u 2 (u 1 T 1, u 2 U) saadaan yhtälöryhmä, ja nyt siksi tulee r 1 + r 2 + s 1 = a, r 1 + s 1 = b, r 2 + s 1 = c Tällä on yksikäsitteinen ratkaisu Siis u 1 ja u 2 ovat olemassa ja yksikäsitteiset Näin ollen R 3 = T 1 U (Piirrä kuvio aliavaruuksista T 1, T 2, U) Esimerkki 319 Olkoon E M n idempotentti matriisi; tämä tarkoittaa, että E 2 = E Merkitään V 1 = {x R n Ex = x}, V 0 = {x R n Ex = 0} Osoitetaan, että R n = V 1 V 0 Esimerkki 3110 Osoitetaan, että U 1 = {(a, a, 0) a R} ja U 2 = {(a, b, b) a, b R} ovat R 3 :n aliavaruuksia ja että R 3 = U 1 U 2 32 Kannat suorissa summissa Olkoot U 1 ja U 2 R n :n aliavaruuksia ja niillä vastaavasti kannat {x 1,, x k } ja {y 1,, y m } Selvästikin nämä kannat yhdessä virittävät summan U 1 + U 2 : ensinnäkin vektorit x i ja y i kuuluvat aliavaruuteen U 1 + U 2, ja toisaalta jokainen u 1 + u 2 (u i U i ) voidaan kirjoittaa niiden lineaarikombinaationa Lause 321 Olkoot U 1 ja U 2 R n :n aliavaruuksia Muodostakoot vektorit x 1,, x k aliavaruuden U 1 kannan ja vektorit y 1,, y m aliavaruuden U 2 kannan Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) Summa U 1 + U 2 on suora (ii) Vektorit x 1,, x k, y 1,, y m muodostavat summan U 1 + U 2 kannan

LUKU 3 ALIAVARUUKSIEN SUORA SUMMA 24 Todistus Oletetaan ensin (i) Lauseen edellä todettiin, että x 1,, x k ja y 1,, y m yhdessä virittävät summan U 1 + U 2, joten on vain osoitettava, että vektorit x 1,, x k, y 1,, y m ovat lineaarisesti riippumattomia Oletetaan, että jokin niiden lineaarikombinaatio on 0, r 1 x 1 + + r k x k + s 1 y 1 + + s m y m = 0, missä r i, s i R Silloin r 1 x 1 + + r k x k = 0 ja s 1 y 1 + + s m y m = 0 lauseen 316 kohdan (iii) mukaan, joten U 1 :n ja U 2 :n kantojen lineaarisesta riippumattomuudesta seuraa r 1 = = r k = 0 ja s 1 = = s m = 0 Tämä antaa väitetyn lineaarisen riippumattomuuden Oletetaan nyt (ii) On osoitettava, että summa U 1 +U 2 on suora; käytetään tähän lauseen 316 kohtaa (iii) Olkoon u 1 + u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2 Lausumalla u 1 ja u 2 ko kannoissa, siis u 1 = p 1 x 1 + + p k x k, u 2 = q 1 y 1 + + q m y m, saadaan p 1 x 1 + + p k x k + q 1 y 1 + + q m y m = 0, joten kannan {x 1,, x k, y 1,, y m } lineaarisen riippumattomuuden nojalla p 1 = = p k = q 1 = = q m = 0 Siis u 1 = u 2 = 0 Seuraus 322 dim(u 1 U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 Esimerkki 323 Esimerkissä 318 oli R 3 = T 1 U Siitä saadaan R 3 :lle kanta {x 1, x 2, y 1 } = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} Esimerkki 324 Olkoon T origon kautta kulkeva R 3 :n taso ja L origon kautta kulkeva R 3 :n suora Näytetään, että jos L T, niin R 3 = T L Ensinnäkin selvästi T L = {0} (Tämän voi perustella tarkastikin: T L on L:n aito aliavaruus, joten sen dimensio on < 1) Seuraa, että summa T + L on suora Sen dimensio on seurauksen 322 mukaan dim(t L) = 2 + 1 = 3, joten T L on koko R 3 Esimerkki 325 Muistetaan, että 2 2-matriisien avaruus M 2 on 4-ulotteinen avaruus, jolla on luonnollisena kantana matriisit ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0, 0 0, 1 0, 0 1) ; voidaan vaikka katsoa, että M2 on R 4, missä vektorit on vaaka- tai pystyvektorien sijasta kirjoitettu neliömuotoon Matriisia A sanotaan symmetriseksi, jos A T = A (missä A T on A:n transponoitu matriisi), ja vinosymmetriseksi, jos A T = A Merkitään M s 2:llä symmetristen ja M v 2:llä vinosymmetristen 2 2-matriisien joukkoa a) Osoitetaan, että M s 2 ja M v 2 ovat M 2 :n aliavaruuksia b) Osoitetaan, että M 2 = M s 2 M v 2 c) Selvitetään M s 2:lle ja M v 2:lle jotkin kannat ja muodostetaan niistä lauseen 321 mukainen M 2 :n kanta Huomautus 326 Voidaan osoittaa seurausta 322 yleisempi tulos: Jos U 1 ja U 2 ovat R n :n aliavaruuksia, niin dim(u 1 + U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 dim(u 1 U 2 ) (32)

LUKU 3 ALIAVARUUKSIEN SUORA SUMMA 25 Esimerkki 327 Tarkastellaan R 4 :n aliavaruuksia U 1 ja U 2, jotka määritellään yhtälöpareilla U 1 : { x 1 + x 2 + x 4 = 0, x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0, U 2 : { x 1 x 2 x 4 = 0, x 1 2x 2 3x 3 = 0; siis U 1 ja U 2 ovat yhtälöparien ratkaisuavaruudet Yhtälöparit ovat lineaarisia ja homogeenisia, joten U 1 ja U 2 ovat R 4 :n aliavaruuksia Onko summa U 1 + U 2 suora? Onko se koko R 4? Mitkä ovat aliavaruuksien U 1, U 2, U 1 + U 2 ja U 1 U 2 dimensiot? Ratkaisuavaruuksien dimensiot saadaan kerroinmatriisien asteista: ( ) 1 1 0 1 dim U 1 = 4 r = 4 2 = 2 1 2 3 0 ja dim U 2 = 4 r ( ) 1 1 0 1 1 2 3 0 = 4 2 = 2 Leikkaus U 1 U 2 on sen neljän yhtälön ryhmän ratkaisuavaruus, jonka yo yhtälöparit muodostavat yhdessä; siis 1 1 0 1 1 2 3 0 dim(u 1 U 2 ) = 4 r 1 1 0 1 = 4 3 = 1 1 2 3 0 Olettaen yhtälö (32) tunnetuksi saadaan Siis U 1 + U 2 R 4 dim(u 1 + U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 dim(u 1 U 2 ) = 2 + 2 1 = 3 Esimerkki 328 Olkoot U 1 ja U 2 R 3 :n aliavaruudet U 1 = {(a, a, b) a, b R} ja U 2 = {(a, b, b) a, b R} Selvitetään aliavaruuksien U 1, U 2, U U 2 ja U 1 + U 2 dimensiot Määritelmä 329 Jos R n = U V, niin aliavaruuksia U ja V sanotaan toistensa komplementtiavaruuksiksi (tai komplementeiksi tai suorasummakomplementeiksi) R n :ssä Lause 3210 Jokaisella R n :n aliavaruudella U on komplementtiavaruus R n :ssä Todistus Valitaan U:lle kanta {u 1,, u k } Se on lineaarisesti riippumaton ja voidaan siis täydentää R n :n kannaksi {u 1,, u k, v 1,, v n k } Lauseen 321 mukaan V = L(v 1,, v n k ) on U:n komplementtiavaruus Esimerkki 3211 Etsitään R 4 :ssä vektoreiden (1, 2, 3, 4) ja (0, 1, 0, 1) virittämälle aliavaruudelle jokin komplementtiavaruus Esimerkki 3212 Kun f : R n R n on lineaarikuvaus, niin dimensioyhtälön (210) mukaan dim Ker(f) + dim Im(f) = n Tämä tuo mieleen mahdollisuuden, että ehkä R n olisi Ker(f):n ja Im(f):n suora summa Näin ei yleensä ole! Tarkastellaan esimerkkeinä a) idempotenttia kuvausta, b) nilpotenttia kuvausta

LUKU 3 ALIAVARUUKSIEN SUORA SUMMA 26 33 Useamman aliavaruuden summa ja suora summa Aliavaruuksien summan ja suoran summan käsitteet yleistyvät helposti useamman kuin kahden aliavaruuden tapaukseen: Jos U 1,, U h ovat R n :n aliavaruuksia, niiden summa määritellään U 1 + + U h = {u 1 + + u h u 1 U 1,, u h U h }, ja summaa sanotaan suoraksi, merkitään U 1 U h, jos sen jokaisen alkion u esitys muodossa u = u 1 + + u h (u 1 U 1,, u h U h ) on yksikäsitteinen Todistetaan lauseen 316 ekvivalenssia (i) (iii) vastaava tulos: Lause 331 Aliavaruuksien U 1,, U h summa on suora jos ja vain jos on voimassa: u 1 + + u h = 0, u 1 U 1,, u h U h = u 1 = = u h = 0 (33) Todistus Jos summa on suora, niin (33) seuraa siitä, että 0:lle tulee kaksi esitystä 0 = u 1 + + u h = 0 + + 0 ja näiden tulee olla samat Oletetaan (33) Jos jollain alkiolla u on kaksi esitystä, u = u 1 + + u h = u 1 + + u h, missä u i, u i U i, niin vähentämällä nämä toisistaan saadaan (u 1 u 1) + + (u h u h ) = 0 Tässä u i u i U i, joten oletuksen (33) mukaan u i u i = 0 ja siis u i = u i (i = 1,, h) Kantoja koskeva lause 321 yleistyy useamman aliavaruuden tapaukseen ilmeisellä tavalla Kirjoitamme tuloksen lauseeksi, mutta sivuutamme todistuksen, joka olisi hyvin saman tapainen lauseen 321 todistuksen kanssa; tietyissä kohdin vedottaisiin lauseen 316 sijasta lauseeseen 331 Lause 332 Olkoot U 1,, U h R n :n aliavaruuksia, joiden summa on suora Valitaan kullekin U i :lle kanta {x i1,, x ini } (Siis n i = dim U i ) Silloin on summan U 1 U h kanta {x 11,, x 1n1, x 21,, x 2n2, x 31,,, x hnh } Huomautus 333 Lauseen 316 kohtaa (ii) vastaava tulos useamman aliavaruuden tapauksessa on mutkikkaampi kuin ehkä odottaisi: Summa U 1 + + U h on suora tarkalleen silloin kun kaikki leikkaukset U i (U 1 + + U i 1 + U i+1 + + U h ) ovat = {0} (i = 1,, n) Todistus ei ole sen vaikeampi kuin muidenkaan edellä esiintyneiden samantapaisten tulosten Esimerkki 334 Merkitään R 4 :ssä U 1 = L((1, 0, 0, 0)), U 2 = L((1, 1, 0, 0)), U 3 = L((1, 1, 1, 0)), U 4 = L((1, 1, 1, 1)) Koska ko neljä vektoria muodostavat R 4 :n kannan, niin jokaisella vektorilla v R 4 on yksikäsitteinen esitys niiden lineaarikombinaationa, siis myös yksikäsitteinen esitys muodossa v = u 1 + u 2 + u 3 + u 4, missä u i U i Siis R 4 = U 1 U 2 U 3 U 4