Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
Puutodennäköisyydet Puudiagrammien käyttö todennäköisyyslaskennassa Periaatteessa jokainen alkeistodennäköisyyslaskennan tehtävä voidaan ratkaista käyttämällä apuna ns. puudiagrammeja. Tällöin tehtävään liittyvä satunnaisilmiö on osattava kuvata puudiagrammilla. Jos tehtävän satunnaisilmiö on osattu kuvata puudiagrammilla, tehtävän ratkaisemisessa tarvittavat puutodennäköisyydet saadaan määrätyksi käyttämällä kahta yksinkertaista laskusääntöä, tulosääntöä ja yhteenlaskusääntöä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
Puutodennäköisyydet Puudiagrammin konstruointi 1/2 Satunnaisilmiötä voidaan kuvata puudiagrammilla, jos ilmiö osataan esittää seuraavassa muodossa: (i) Ilmiöllä on yksi alkutila ja yksi tai useampia lopputiloja. (ii) Ilmiö koostuu vaihtoehtoisista tapahtumajonoista. (iii) Tapahtumajonoissa edetään vaiheittain tapahtumasta toiseen lähtien ilmiön alkutilasta ja päätyen johonkin ilmiön lopputiloista. (iv) Jokaisessa ilmiön vaiheessa kohdataan yksi tai useampia tapahtumavaihtoehtoja, joista yksi realisoituu ja johtaa uusin tapahtumavaihtoehtoihin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
Puutodennäköisyydet Puudiagrammin konstruointi 2/2 Satunnaisilmiötä vastaavan puudiagrammin konstruointi: (i) Asetetaan puun juuri vastaamaan ilmiön alkutilaa. (ii) Asetetaan puun loppupisteet ( oksien kärjet ) vastaamaan ilmiön lopputiloja. (iii) Asetetaan puun pisteet ( oksien haarautumiskohdat ) vastaamaan ilmiön tapahtumia. (iv) Viedään puun jokaisesta pisteestä särmä ( oksa ) kaikkiin sellaisiin pisteisiin, joita vastaavat tapahtumavaihtoehdot ovat ilmiön siinä vaiheessa mahdollisia. (v) Liitetään jokaiseen pisteestä lähtevään särmään ilmiön siinä vaiheessa mahdollisten tapahtumavaihtoehtojen todennäköisyydet. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
Puutodennäköisyydet Puudiagrammin konstruointi: Esimerkki 1/3 Puudiagrammin konstruointia voidaan havainnollistaa viereisellä kaaviolla. Tarkastellaan satunnaisilmiötä vaiheessa, jossa tapahtuma A on sattunut. A Olkoot A:n sattumisen jälkeen mahdolliset tapahtumavaihtoehdot 1 k m i, i = 1, 2,, m TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
Puutodennäköisyydet Puudiagrammin konstruointi: Esimerkki 2/3 Viedään pisteestä Asärmä jokaiseen pisteistä i, i = 1, 2,, m Liitetään jokaiseen särmään A (A, i ), i = 1, 2,, m ehdollinen todennäköisyys pi = Pr( i A) jossa A p 1 p k on tapahtumajono, 1 k joka on tuonut pisteeseen A. p m m TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
Puutodennäköisyydet Puudiagrammin konstruointi: Esimerkki 3/3 Koska A:n sattumisen jälkeen ei ole muita mahdollisia tapahtumavaihtoehtoja kuin i, i = 1, 2,, m, on todennäköisyyksien p i, i = 1, 2,, m toteutettava ehto m m p = Pr( A) = 1 i i= 1 i= 1 i 1 p 1 A k p k p m m TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
Puutodennäköisyydet Puudiagrammin konstruointi: Kommentteja Puudiagrammi piirretään tavallisesti joko niin, että sen alkupiste on ylhäällä ja loppupisteet ovat alhaalla tai niin, että sen alkupiste on vasemmalla ja loppupisteet ovat oikealla. Useat puun pisteet voivat vastata samaa tapahtumaa. Mistä tahansa puun pisteestä lähtevien särmien todennäköisyyksien summa on 1. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydellä tarkoitetaan todennäköisyyttä päästä puun alkupisteestä yhden tai useamman muun puun pisteen määräämään yhdistettyyn tapahtumaan. Pisteen todennäköisyys saadaan määräämällä alkupisteestä ko. pisteeseen vievän reitin todennäköisyys. Reitin todennäköisyys saadaan soveltamalla reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksiin tulosääntöä. Usean pisteen määräämän yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan soveltamalla ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksiin yhteenlaskusääntöä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Tulosääntö 1/4 Reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. Sääntöä kutsutaan puutodennäköisyyksien tulosäännöksi. Tulosäännön perustelu: (1) Reitti on tapahtumajono, jonka muodostavat reitin pisteet. (2) Reitin muodostava tapahtumajono sattuu, jos jokainen jonon tapahtumista sattuu. (3) Todennäköisyyslaskennan yleisen tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys saadaan määräämällä reittiin kuuluvien särmien todennäköisyyksien tulo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Tulosääntö 2/4 Olkoon L, A 1, A 2, A 3,, A k yksi niistä vaihtoehtoisista tapahtumajonoista, joista satunnaisilmiö koostuu. Tällöin parit (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) muodostavat satunnaisilmiön alkutilasta L satunnaisilmiön (loppu-) tilaan A k vievän reitin särmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Tulosääntö 3/4 Liitetään reitin (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) särmiin todennäköisyydet seuraavalla tavalla: (L, A 1 ) Pr(A 1 ) = p 1 (A 1, A 2 ) Pr(A 2 A 1 ) = p 2 (A 2, A 3 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) = p 3 (A k 1, A k ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) = p k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Tulosääntö 4/4 Reitin (L, A 1 ), (A 1, A 2 ), (A 2, A 3 ),, (A k 1, A k ) todennäköisyys on yleisen tulosäännön nojalla: Pr(A 1 A 2 A 3 A k ) = Pr(A 1 ) Pr(A 2 A 1 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) Pr(A k A 1 A 2 A 3 A k 1 ) = p 1 p 2 p 3 p k TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Tulosäännön havainnollistus Puutodennäköisyyksien tulosääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä puudiagrammilla. Reitin k todennäköisyys on puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan L p 2 p 1 A 1 A 2 p 3 A 3 Pr(Reitti k) = p 1 p 2 p 3 p k A k p k Reitti k A k 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Yhteenlaskusääntö 1/2 Jos useita (loppu-) tiloja yhdistetään yhdeksi tapahtumaksi, näin saadun yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. tiloihin vievien reittien todennäköisyyksien summa. Sääntöä kutsutaan puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännöksi. Yhteenlaskusäännön perustelu: (1) Puun eri pisteisiin vievät reitit ovat toisensa poissulkevia. (2) Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan useista (loppu-) pisteistä yhdistämällä saatavan tapahtuman todennäköisyys saadaan määräämällä ko. pisteisiin vievien reittien todennäköisyyksien summa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Yhteenlaskusääntö 2/2 Yhdistetään satunnaisilmiön (loppu-) tilat 1, 2,, k yhdeksi tapahtumaksi C = 1 2 k Olkoot tiloja 1, 2,, k vastaavat reitit Reitti 1, Reitti 2,, Reitti k Koska puun eri pisteisiin vievät reitit ovat toisensa poissulkevia, tapahtuman C todennäköisyys on toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr(C) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai tai Reitti k) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + + Pr(Reitti k) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
Puutodennäköisyydet Puutodennäköisyydet: Yhteenlaskusäännön havainnollistus Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä puudiagrammilla: Pr(C) = Pr(Reitti 1) + Pr(Reitti 2) + Pr(Reitti k) Reitti:...... 1 2 k 1 2 k C TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet >> Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistaminen puudiagrammilla Tarkastellaan seuraavien todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen havainnollistamista puudiagrammilla: (i) Komplementtitapahtuman todennäköisyys. (ii) Yleinen tulosääntö ja tulosääntö riippumattomille tapahtumille. (iii) Yleinen yhteenlaskusääntö ja yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille. (iv) Erotustapahtuman todennäköisyys. (v) Kokonaistodennäköisyyden kaava. Puun juurta eli alkupistettä on merkitty diagrammeissa kirjaimella L (L satunnaisilmiön lähtötila). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
Komplementtitapahtuman todennäköisyys 1/2 Olkoon A S jokin otosavaruuden S tapahtuma. Olkoon tapahtuman A komplementtitapahtuma A c = Aeisatu Tällöin A A c = S, A A c = Pr(A) + Pr(A c ) = Pr(S) = 1 Sääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä Venndiagrammilla. A c A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
Komplementtitapahtuman todennäköisyys 2/2 Sääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistetyn tapahtuman A A c = S todennäköisyys on puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön nojalla Pr(S) = Pr(A) + Pr(A c ) = 1 L Pr(A) Pr(A c ) A A c TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
Yleinen tulosääntö 1/2 Olkoot A S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Yleisen tulosäännön mukaan Pr(A ) = Pr(A)Pr( A) Sääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä Venndiagrammilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
Yleinen tulosääntö 2/2 Sääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistetyn tapahtuman A = Ajasattuu todennäköisyys on puutodennäköisyyksien tulosäännön nojalla Pr(A ) = Pr(A)Pr( A) Pr(A) Pr( A) L A TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
Tulosääntö riippumattomille tapahtumille Olkoot A S ja S otosavaruuden S riippumattomia tapahtumia. Koska tällöin Pr( A)= Pr() yhdistetyn tapahtuman A = Ajasattuu todennäköisyys on puutodennäköisyyksien tulosäännön nojalla Pr(A ) = Pr(A)Pr() Pr(A) Pr() L A TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
Yleinen yhteenlaskusääntö 1/8 Olkoot A S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Yleisen yhteenlaskusäännön mukaan Pr(A ) = Pr(A) + Pr() Pr(A ) Sääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä Venndiagrammilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
Yleinen yhteenlaskusääntö 2/8 Yleisen yhteenlaskusäännön todistus voidaan perustaa siihen, että joukot A A\ = A c \A = A c muodostavat joukon A osituksen, sekä yhtälöihin (A\) (A ) = A (A\) (A ) = (\A) (A ) = (\A) (A ) = TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
Yleinen yhteenlaskusääntö 3/8 Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla Pr(A) = Pr(A\) + Pr(A ) Pr() = Pr(\A) + Pr(A ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
Yleinen yhteenlaskusääntö 4/8 Edellisen kalvon yhtälöiden ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla Pr(A ) = Pr(A\) + Pr(\A) + Pr(A ) = Pr(A\) + Pr(A ) + Pr(\A) + Pr(A ) Pr(A ) = Pr(A) + Pr() Pr(A ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
Yleinen yhteenlaskusääntö 5/8 Yleistä yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistettyä tapahtumaa A = Atai sattuu vastaa reitit 1, 2 ja 3 yhdistämällä saatava tapahtuma, koska niissä A sattuu tai sattuu tai molemmat sattuvat. A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
Yleinen yhteenlaskusääntö 6/8 Reittien 1, 2 ja 3 todennäköisyyksiksi saadaan puutodennäköisyyksien tulosääntöä soveltamalla: Pr(Reitti 1) = Pr(A)Pr( A) Pr(Reitti 2) = Pr(A)Pr( c A) Pr(Reitti 3) = Pr(A c )Pr( A c ) A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
Yleinen yhteenlaskusääntö 7/8 Soveltamalla puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä saadaan: Pr(A ) = Pr(Reitti 1 tai Reitti 2 tai Reitti 3) = Pr(A)Pr( A) + Pr(A)Pr( c A) + Pr(A c )Pr( A c ) A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
Yleinen yhteenlaskusääntö 8/8 Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä ja kalvon 3/8 kaavoista seuraa: Pr(A ) = Pr(A)Pr( A) + Pr(A)Pr( c A) + Pr(A c )Pr( A c ) = Pr(A ) + Pr(A c ) + Pr(A c ) = Pr(A) + Pr() Pr(A ) A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 1/6 Olkoot A S ja S otosavaruuden S toisensa poissulkevia tapahtumia. Tällöin A = ja Pr(A ) = 0 Siten Pr(A ) = Pr(A) + Pr() Sääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä Venndiagrammilla. A S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34
Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 2/6 Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Yhdistettyä tapahtumaa A = Atai sattuu vastaa reitit 2 ja 3 yhdistämällä saatava tapahtuma, koska niissä A sattuu tai sattuu, mutta eivät molemmat. A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35
Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 3/6 Reittien 2 ja 3 todennäköisyyksiksi saadaan puutodennäköisyyksien tulosääntöä soveltamalla: Pr(Reitti 2) = Pr(A)Pr( c A) Pr(Reitti 3) = Pr(A c )Pr( A c ) Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) A Pr( c A) A c Pr( A c ) Pr( c A c ) c c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36
Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 4/6 Soveltamalla puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä saadaan: Pr(A ) = Pr(Reitti 2 tai Reitti 3) = Pr(A)Pr( c A) + Pr(A c )Pr( A c ) Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) A Pr( c A) A c Pr( A c ) Pr( c A c ) c c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37
Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 5/6 Koska A ja ovat toisensa poissulkevia tapahtumia, ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä ja aikaisemmin esitetyistä kaavoista seuraa: Pr(A ) = Pr(A)Pr( c A) + Pr(A c )Pr( A c ) = Pr(A c ) + Pr(A c ) = Pr(A) + Pr() A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38
Yhteenlaskusääntö toisensa poissulkeville tapahtumille 6/6 Koska A ja ovat toisensa poissulkevia, Pr(A ) = 0 Siten Pr( A) = Pr(A )/Pr(A) = 0 Reitin 1 todennäköisyydeksi saadaan siis Pr(Reitti 1) = Pr(A)Pr( A) = 0 kuten pitääkin. A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39
Erotustapahtuman todennäköisyys 1/4 Olkoot A S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Erotustapahtuman A\ = A c todennäköisyys on Pr(A\) = Pr(A c ) = Pr(A) Pr(A ) Sääntöä voidaan havainnollistaa viereisellä Venndiagrammilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40
Erotustapahtuman todennäköisyys 2/4 Sääntöä voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Erotustapahtumaa A\ = A sattuu, mutta ei vastaa reitti 2. Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) A Pr( c A) A c Pr( A c ) Pr( c A c ) c c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41
Erotustapahtuman todennäköisyys 3/4 Reitin 2 todennäköisyys on puutodennäköisyyksien L tulosäännön ja ehdollisen todennäköisyyden määritelmän perusteella Pr(A)Pr( c A) = Pr(A c ) Pr(A) A Pr(A c ) A c Pr( A) Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42
Erotustapahtuman todennäköisyys 4/4 Koska (A c ) (A ) = A (A c ) (A ) = saadaan Pr(A) = Pr(A c ) + Pr(A ) Siten Pr(A\) = Pr(A c ) = Pr(A)Pr( c A) = Pr(A) Pr(A ) A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43
Kokonaistodennäköisyyden kaava 1/7 Olkoot A S ja S otosavaruuden S tapahtumia. Olkoot lisäksi joukko A ja sen komplementti A c epätyhjiä. Kokonaistodennäköisyyden kaavan mukaan: Pr() = Pr(A)Pr( A) + Pr(A c )Pr( A c ) Kaava on hyödyllinen tilanteessa, jossa todennäköisyys Pr(A) ja ehdolliset todennäköisyydet Pr( A) ja Pr( A c ) tunnetaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44
Kokonaistodennäköisyyden kaava 2/7 Kokonaistodennäköisyyden kaavan todistus perustuu siihen, että tapahtuma A ja sen komplementtitapahtuma A c muodostavat otosavaruuden S osituksen: (i) A ja A c (ii) A A c = (iii) S = A A c Otosavaruuden S ositus {A, A c } indusoi osituksen { A, A c } tapahtumaan : (i) A tai A c (ii) ( A) ( A c ) = (iii) = ( A) ( A c ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45
Kokonaistodennäköisyyden kaava 3/7 Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan: Pr() = Pr( A) + Pr( A c ) (1) Yleisen tulosäännön mukaan: Pr( A) = Pr(A)Pr( A) (2) Pr( A c )= Pr(A c )Pr( A c ) (3) Sijoittamalla lausekkeet (2) ja (3) kaavaan (1) saadaan kokonaistodennäköisyyden kaava Pr() = Pr(A)Pr( A) + Pr(A c )Pr( A c ) Kaavaa voidaan havainnollistaa seuraavan kalvon Venndiagrammilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46
Kokonaistodennäköisyyden kaava 4/7 A A c A A c S TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47
Kokonaistodennäköisyyden kaava 5/7 Kokonaistodennäköisyyden kaavaa voidaan havainnollistaa myös viereisellä puudiagrammilla. Tapahtumaa = sattuu vastaa reitit 1 ja 3 yhdistämällä saatava tapahtuma. A Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) c A c Pr( c A) Pr( A c ) Pr( c A c ) c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48
Kokonaistodennäköisyyden kaava 6/7 Reittien 1 ja 3 todennäköisyyksiksi saadaan puutodennäköisyyksien tulosääntöä soveltamalla: Pr(Reitti 1) = Pr(A)Pr( A) Pr(Reitti 3) = Pr(A c )Pr( A c ) Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) A Pr( c A) A c Pr( A c ) Pr( c A c ) c c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49
Kokonaistodennäköisyyden kaava 7/7 Soveltamalla puutodennäköisyyksien yhteenlaskusääntöä saadaan: Pr() = Pr(Reitti 1 tai Reitti 3) = Pr(A)Pr( A) + Pr(A c )Pr( A c ) Pr( A) L Pr(A) Pr(A c ) A Pr( c A) A c Pr( A c ) Pr( c A c ) c c 1 2 3 4 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50