Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d) 4x ( 6x) = 4x + 6x = 10x 4. a) 3a + 4a + 5a = 1a b) (6b + 1) + (6b + 1) + 8b = 6b + 1 + 6b + 1 + 8b = 0b + 5. a) 9k + 4p b) 3k + p c) (9k + 4p) + (3k + p) = 9k + 4p + 3k + p = 1k + 5p 6. a) x + 3x x = 4x b) 5x 7x + 4x = x c) 11x + x 6x = 7x d) 8x 9x + 1x = 5x 7. a) p = x + (3x + 1) + x + (3x + 1) = x + 3x + 1 + x + 3x + 1 = 10x + b) A = x(3x + 1) = 6x + x 8. a) x + (9x 4) = x + 9x 4 = 11x 4 b) x (9x 4) = x 9x + 4 = 7x + 4 c) (9x 4) = 18x + 8 d) x(9x 4) = 18x + 8x 9. a) ( 4x + y) + (6x 9y) = 4x + y + 6x 9y = x 7y b) ( 4x + y) (6x 9y) = 4x + y 6x + 9y = 10x + 11y 10. a) 7x + 5y + 8x 4y = 15x + y b) (7x + 5y) + (8x 4y) = 7x + 5y + 8x 4y = 15x + y c) (7x + 5y) (8x 4y) = 7x + 5y 8x + 4y = x + 9y 11. a) p = (5x + 1) + (6x + 4) + (5x + 1) + (6x + 4) b) A = 3x(6x + 4) = 18x + 1x 1. ( x + 1) (17x 3) + 14 = x + 1 17x + 3 + 14 = 18x + 9 Kun x =, lausekkeen arvo on 18 + 9 = 36 + 9 = 7.
13. a) (8x 13y) + ( 11x 6y) = 8x 13y 11x 6y = 3x 19y b) (8x 13y) ( 11x 6y) = 8x 13y + 11x + 6y = 19x 7y 14. (a b) + (4a + b) + (a b) + (5a + b) + (6a b) = a b + 4a + b + a b + 5a + b + 6a b = 19a 15. (7x 5y) (6x 3y) = 7x 5y 6x + 3y = x y 1 = 4 16. a) (4x 5x) + (6x 7x) = 4x 5x + 6x 7x = 10x 1x b) (4x 5x) (6x 7x) = 4x 5x 6x + 7x = x + x 17. a) 5x + 5 b) 17x 13y c) a + 5a 18. a) 8a 6a 48a A 4a b) (11a )4a 44a 8a A a 4a 19. a) 5x (8x 5) ( 4x 11) = 5x 16x + 10 + 4x + 11 = 7x + 1 b) 3y( y + 15y 7) ( 6y 1)5y = 6y 3 45y + 1y + 30y 3 + 5y = 4y 3 40y + 1y 0.* (1x + 8) + ( x + 4) = 11x + 1 (1x + 8) ( x + 4) = 13x + 4 Polynomit ovat 1x + 8 ja x + 4. 1. a) 6x + ( 3x) = 6x 3x = 3x b) 14x (+9x) = 14x 9x = 3x c) x ( 7x) = x + 7x = 5x d) x ( x) = x + x = 0. x x = 0 1 x = x x + x = x x x = x 3. a) p = 4x + (7x 4) + 4x + (7x 4) = 4x + 7x 4 + 4x + 7x 4 = x 8 b) A = 4x(7x 4) = 8x 16x 4. a) 5x + (3x + ) = 5x + 3x + = 8x + b) 13x (10x 6) = 13x 10x + 6 = 3x + 6 c) 3(4x + 8) = 1x 4 d) x(9x 11) = 9x + 11x
5. a) (16x 14) + (7x + 3) = 16x 14 + 7x + 3 = 3x 11 b) 6x ( 15x + 8) = 6x + 15x 8 = 1x 8 c) ( 3x + 1) (19x 17) = 3x + 1 19x + 17 = 4x + 9 d) x(4x 9) (3x + 5x) = 8x + 18x 3x 5x = 11x + 13x 6. a) ( x 8y) + (1x 15y) = x 8y + 1x 15y = 11x 3x b) ( x 8y) (1x 15y) = x 8y 1x + 15y = 13x + 7y 7. 5x + x 4x x = x + x + = 4 + = 6 8. Ison suorakulmion pinta-ala on A = 5x(4x + 1) = 0x + 5x. Pienen suorakulmion pinta-ala on A = 3x x = 3x. 8.8 Kahden muuttujan yhtälö ja yhtälöpari 9. Kahden muuttujan yhtälöt ovat y = x + 4, y = x, y x = 6 ja x + y + = 0 30. x + y = 6 x y = 4 x y 3 3 4 5 1 31. a) + 0 = b) 3 1 = 0 = 4 = c) + 0 = x y 6 5 1 4 0 3. a) x y 4 x y b) x y 10 x y 8 33. a) Sijoitetaan luvut x = 0 ja y = yhtälöparin yhtälöihin. 0 + =, ei toteuta 0 =, ei toteuta Eli ei toteuta
b) Sijoitetaan luvut x = 0 ja y = yhtälöparin yhtälöihin. 0 + = 4, toteuttaa 0 + =, toteuttaa Toteuttaa yhtälöparin 34. a) Esim. 3 + 4 = 7 eli 5 + = 7 eli 9 + ( ) = 7 eli b) Esim. 8 1 = 7 eli 9 = 7 eli 10 = 7 eli c) x = 9 ja y = 35. a) ab4 a b 16 b) ab3 ab 36. a) 3x + y = 7 ǁ 3x y = 3x + 7 b) 4x + y = 6 ǁ 4x y = 4x + 6 ǁ : y = x + 3 c) 5x y = 8 ǁ 5x y = 5x + 8 ǁ : ( 1) y = 5x 8 37. a) x + 4y = 10 ǁ 4y x = 4y + 10 ǁ : x = y + 5 b) 3x + 6y = 0 ǁ 6y 3x = 6y ǁ :( 3) y = y c) x + 5y = 9 ǁ 5y x = 5y + 9 ǁ : ( 1) x = 5y 9 38. a) Sijoitetaan x = 0 ja y = 0 suoran yhtälöön y = x + 1. Suora y = x + 1 0 = 0 + 1 0 = 1, epätosi eli piste (0, 0) ei ole suoralla
b) Sijoitetaan x = ja y = 1 suoran yhtälöön. Suora y = x + 1 1 = + 1 1 = 3, epätosi eli piste (, 1) ei ole suoralla c) Sijoitetaan x = ja y = 3 suoran yhtälöön. Suora y = x + 1 3 = + 1 3 = 3, tosi eli piste (, 3) on suoralla 39. Sijoitetaan x = 3 ja y = 4 suorien yhtälöihin. x + y = ( 3) + 4 = 6 + 4 = =, epätosi x y = 10 ( 3) 4 = 10 10 = 10, epätosi x y = 7 3 4 = 7 7 = 7, tosi x + y = 1 3 + 4 = 1 1 = 1, tosi x y1 x y 7 40. a) Sijoitetaan luvut x = 10 ja y = 8 yhtälöpariin x + y = 18 10 + 8 = 18 18 = 18, tosi x y = 10 8 = =, epätosi eli ei toteuta b) x + y = 18 10 + 8 = 18 18 = 18, tosi x y = 10 8 =
=, tosi eli toteuttaa 41. a) Sijoitetaan x = 1 ja y = suoran yhtälöön. Suora y = 3x 4 = 3 1 4 = 0, epätosi eli piste (1, ) ei ole suoralla b) Sijoitetaan x = ja y = suoran yhtälöön. Suora y = 3x 4 = 3 4 =, epätosi eli piste (, ) ei ole suoralla c) Sijoitetaan x = 1 ja y = 1 suoran yhtälöön. Suora y = 3x 4 1 = 3 1 4 1 = 1, tosi eli piste (1, 1) on suoralla a b 6 4. a) a b 8 ab1 b) a 3 b 43. Sijoitetaan x = 1 ja y = 0 suorien yhtälöihin. x + y = 1 1 + 0 = 1 1 = 1, tosi x y = 1 1 0 = 1 1 = 1, tosi x y = 1 0 = 1 =, epätosi x + y = 0 1 + 0 = 0 1 = 0, epätosi x y 1 x y 1 44. a) Sijoitetaan luvut x = 1 ja y = yhtälöpariin. x + y = 3 1 + ( ) = 3 1 = 3 3 = 3, tosi
x y = 1 1 ( ) = 1 1 + = 1 1 = 1, tosi eli x = 1 ja y = toteuttavat yhtälöparin b) x + y = 0 ( 1) + ( ) = 0 = 0 0 = 0, tosi x y = 3 ( 1) ( ) = 3 1 + = 3 3 = 3, tosi eli x = 1 ja y = toteuttavat yhtälöparin 45. a) x 7y = 4 ǁ + 7y x = 4 + 7y ǁ : x = + 3,5y x = 3,5y + b) x 7y = 4 ǁ x 7y = 4 x ǁ : ( 7) 4 y x 7 7 4 y x 7 7 46. y = x 3 47. Kolmion korkeus on 5. Lasketaan kolmion kanta. Sitä varten tarvitaan nollakohta. x + 5 = 0 x = 5 55 Pinta-ala on A 1,5 48. x = 3 ja y = 4, koska 3 + 4 = 5 x = 3 ja y = 4, koska ( 3) + ( 4) = 5 x = 3 ja y = 4, koska 3 + ( 4) = 5 x = 3 ja y = 4, koska ( 3) + 4 = 5 x = 4 ja y = 3, koska 4 + 3 = 5 x = 4 ja y = 3, koska ( 4) + ( 3) = 5 x = 4 ja y = 3, koska 4 + ( 3) = 5 x = 4 ja y = 3, koska ( 4) + 3 = 5 Kuvaaja on ympyrä.
49. Kahden muuttujan yhtälöt ovat y = 3x 1, y + x = 7, y x = 6, y = 1x ja x + y 8 = 0 50. a) x = ja y = 1, koska + 1 = 3. x = 1 ja y =, koska 1 + = 3. b) x = 3 ja y = 4, koska 3 4 = 1. x = 1 ja y = 0, koska 1 0 = 1. x = 1 ja y =, koska 1 = 1. c) x = 1 ja y =, koska 1 + = 3 ja 1 = 1. 51. a) x y 50 x y 30 b) x y 15 y 4x 5. a) 5x + 10y = 0 ǁ 10y 5x = 0 10y ǁ : ( 5) x = 4 + y x = y 4 b) 5x + 10y = 0 ǁ + 5x 10y = 0 + 5x ǁ : 10 y = + 0,5x y = 0,5x + 53. a) Sijoitetaan x = ja y = 5 suoran yhtälöön. Suora y = 7x + 9 5 = 7 + 9 5 = 3, epätosi eli piste (, 5) ei ole suoralla b) Sijoitetaan x = ja y = 5 suoran yhtälöön. Suora y = 9x + 7 5 = 9 + 7 5 = 5, tosi eli piste (, 5) on suoralla 54. Sijoitetaan luvut x = 3 ja y = yhtälöpariin a) x + y = 6 3 + ( ) = 6 6 = 6 4 = 6, epätosi x y = 3 3 ( ) = 3 3 + = 3 5 = 3, epätosi eli x = 3 ja y = eivät toteuta yhtälöparia b) x + y = 1 3 + ( ) = 1 3 = 1 1 = 1, tosi
x y = 8 3 ( ) = 8 6 + = 8 8 = 8, tosi eli x = 3 ja y = toteuttavat yhtälöparin 55. y = x 56. Sijoitus: 1 a 4 b 1 3 6 a 4 b 6 6 + a = 4 + a = 4 ǁ a = ǁ : a = 1 b 6 = 6 ǁ + 6 b = 1 8.9 Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä 57. 8.10 Yhtälöparin ratkaiseminen sijoittamalla 85. x = 3 ja y = 3 86. x = ja y = 6 87. On 88. x = 1 ja y = 8 89. a) x = ja y = 1 b) x = 6 ja y = 90. a) a = 8 ja b = 4 b) a = 1 ja b = 1 91. a) x = ja y = 6 b) x = 3 ja y = 9. a) x = ja y = 1 b) x = 7 ja y = 5 93. (5, 10) 94. a) x = 3 ja y = 11 b) x = ja y = 3 95. ( 1, 5) 96. a) s = 1,5 ja t =,5 b) s = 13 ja t = 4 97. a) x = 6 ja y = 3 b) x = 1 ja y = 1 98. x = 7 ja y = 1 99. a) a = ja b = 1 b) s = 1 ja t = 1 100. (3, 8)
101. a) x = 0,5 ja y = 0,5 b) x = 5 ja y = 6 1 5 10. a) s ja t 7 7 b) s = 1 ja t = 4 103. a) x = 11 ja y = 6 b) x = 7 ja y = 1 104. x + y = 8 8 7 6 5 4 3 1-4 -3 - -1-1 1 3 4 - y y = -0,5x+6 x Yhtälöitä vastaavat suorat ovat yhdensuuntaiset, joten niillä ei ole leikkauspistettä. Yhtälöä ratkaistaessa x:t katoavat ja päädytään yhtälöön 1 = 8, joka on epätosi. 105. a) x = 7 ja y = 7 b) x = 6 ja y = 1 106. a) x = 1 ja y = 3 b) x = 4 ja y = 107. a) x = 1 ja y = 3 b) x = ja y = 3 108. (4, 1) 109. s = ja t = 1 110. a) x = 8 ja y = 6 b) x = 9 ja y = 7 111. a = 4 ja b = 16 11. a) y = -x 8 7 6 5 4 3 1-4 -3 - -1-1 1 3 4 - y y = x + 4 x Likimain ( 1,3;,7) b) 1 1 ; 3 3
8.11 Yhtälöparin ratkaiseminen allekkain laskemalla 113. x = 7 ja y = 3 114. x = 5 ja y = 1 115. Ei ole. 116. x = 6 ja y = 117. a) x = 3 ja y = 1 b) x = 8 ja y = 118. a) a = 5 ja b = 1 b) a = 3 ja b = 1 119. (4, 1) 10. a) x = ja y = 5 b) x = 1 ja y = 11. a) x = ja y = 5 b) x = 1 ja y = 6 1. x = 18 ja y = 1 13. a) x = 10 ja y = 1 b) x = ja y = 14. a) x = 1 ja y = b) x = 4 ja y = 1 15. a) x = 10 ja y = 1 b) x = ja y = 7 16. a = 8,5 ja b = 4,5 17. a) x = 8 ja y = b) x = 3 ja y = 18. a) x = 1 ja y = b) 19. ( 7, 3) 130. a) x = 3 ja y = b) 131. a = ja b = 6 13. 1 a 3 1 x ja 3 1 y 1 3 5 c ja d 3 6 133. a) x = 8 ja y = 1 b) x = 9 ja y = 1 134. a) x = 5 ja y = 1 b) x = 4 ja y = 0 135. x = 15 ja y = 11 136. a) a = ja b = 4 b) a = 1 ja b = 137. x = 10 ja y = 6 138. (6, 1) 139. x = 5 ja y = 3 140. a = 5 ja b = 8.1 Sanallisia tehtäviä 141. b) x + y = 60 c) y = 4x x y 60 d), ratkaisu x = 1 ja y = 48 y 4x e) Eetu on 1 vuotta ja isä 48 vuotta. 14. a) x + y = 36 b) y = x +
xy36 c), ratkaisu x = 8 ja y = 10 y x d) x:llä merkitty sivu 8 m ja y:llä merkitty sivu 10 m 143. Joona 15 cm ja Isla 95 cm 144. pulla,80 ja kaakao 1,40 145. x = 31 ja y = 19 146. 7 cm ja 14 cm 147. 13 jäätelöä ja 7 limsaa 148. Väinö 16 vuotta ja Emmi 5 vuotta 149. 13 tavallista pyörää ja 3 kolmipyöräistä pyörää 150. Piirtokolmio 0,5 ja harppi 1 151. banaaneja 3,5 kg ja omenoita 1,5 kg 15. 8 kolmijalkaista ja 11 nelijalkaista pöytää 153. 6 tilasi kahvin ja 9 limsan 154. 10 sikaa ja 14 kanaa 155. 600 g 4-prosenttista ja 00 g 30-prosenttista 156. 150 g ja 100 g 157. kuparia 88 % ja tinaa 1 % 158. (, 4) 159. a =, b = 6 160. x = 6 ja y = 4 161. Joel 160 cm ja Janna 144 cm 16. kanta 15 cm, kyljet 30 cm 163. 0 viisikulmiota ja 16 kolmiota 164. 31 aikuisten ja 55 lasten lippua 165. pizza 7 ja limsapullo 3 166. 400 grammaa 5-prosenttista ja 00 grammaa 0-prosenttista suolaliuosta 167. (4, 15) 8.13 Kertaus 168. a) 3x + 7 b) 8x c) 6x 169. a) a 9 b) 7x + 7 c) 15x 5x 170. a) x = y + 4 c) y = 1 x + 171. c) x = 1 ja y = 4 1 17. a) ei b) on c) ei 173. a) x = 3 ja y = 6 b) x = 1 ja y = 1 174. a) x = 7 ja y = 3 b) x = 1 ja y = 4 175. a) x = 4 ja y = 1 b) x = ja y = 1 176. a) x = ja y = 6 b) x = 3 1 ja y = 5 177. a) 7 ja 3 b) 3 ja 1 176. a) 17 ja 1 b) 39 ja 8 177. a) ei ratkaisua (yhdensuuntaiset suorat) b) ääretön määrä ratkaisuja
178. a) a + 9b b) 15x +13 c) 3a 18b 179. a) 1x 4x b) 99a 11ab c) x 18x + 8 180. y = 1 3 x 181. c) x = 3 ja y = 5 18. a) ei b) ei c) on 183. a) x = ja y = 3 1 3 b) x = 3 ja y = 0 184. a) x = 1 ja y = 3 1 3 b) x = ja y = 1 185. a) x = 9 ja y = 3 b) x = 5 ja y = 3 186. a) x = 4 ja y = b) x = 8 ja y = 4 187. a) ei yhtään ratkaisua b) äärettömän monta ratkaisua 188. a) 10 ja 34 b) 171 cm ja 163 cm 189. a) 14 cm ja 18 cm b) 156