Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka C 5
Sisältö Johdanto.................................................................... 5. Kerrattavaa.............................................................. 5. Kurssin sisällöstä......................................................... 5.3 Funktioiden esityksistä.................................................... 6 Lukujonot ja numeeriset sarjat................................................ 9. Sarjojen perusominaisuuksia............................................... 3. Geometrinen sarja........................................................ 4.3 Desimaaliesitys.......................................................... 5.4 Suppenemiskriteereitä..................................................... 6.5 Vuorottelevat sarjat........................................................6 Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo.................................... 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot.............................. 3 3. Summaus tai integrointi yli äärellisen välin................................... 4 3. Tasainen suppeneminen................................................... 5 3.3 Potenssisarjat............................................................ 8 4 Sarjaopin sovelluksia......................................................... 33 4. Eulerin kaava............................................................ 33 4. Generoivat funktiot ja rekursioyhtälöt........................................ 33 4.3 Sarjaratkaisut differentiaaliyhtälöille........................................ 35 5 Fourier n sarjat.............................................................. 37 5. Fourier-sarjojen kompleksinen muoto........................................ 38 5. Fourier-sarjojen reaalinen muoto............................................ 4 5.3 Fourier-sarjojen ominaisuuksia............................................. 43 6 Fourier-muunnokset.......................................................... 47 6. Fourier-integraali ja -muunnos.............................................. 47 6. Fourier-muunnoksen tulkintaa.............................................. 5 6.. Fourier n integraalin esitysmuotoja................................... 5 6.. Äänisignaalin esittäminen........................................... 5 6.3 Fourier-muunnosten ominaisuuksia.......................................... 53 6.3. Perusominaisuuksia................................................ 54 6.4 Delta-funktio............................................................ 56 6.4. Konvoluutio....................................................... 58 6.4. Heavisiden funktio................................................. 6 6.5 Keskusmomentit ja epätarkkuusrelaatio...................................... 6 6.6 Nyquistin näytteenottotaajuus.............................................. 66 6.7 Fourier-sarjojen ja integraalien yhteys....................................... 68 7 Diskreetti Fourier-muunnos................................................... 7 7. Diskreetin Fourier-muunnosten ominaisuuksia................................ 7 7. FFT (Fast Fourier Transform).............................................. 74 3
4 Sisältö 8 Laplace-muunnokset......................................................... 79 8. Määritelmä ja perusominaisuuksia.......................................... 8 8. Laplace-muunnosten olemassaolosta........................................ 8 8.3 Konvoluutio ja deltafunktio................................................ 83 8.4 Laplace-muunnoksen yhteys Fourier-muunnokseen, inversiokaava............... 83 8.5 Laplace-muunnoksen kääntäminen käytännössä............................... 86 8.5. Laplace-muunnospareja............................................. 86 8.5. Yleisimmät menetelmät............................................. 88
Luku Johdanto. Kerrattavaa Tätä opintojaksoa varten tulee hallita aiemmissa insinöörimatematiikan kursseissa esitetyt tiedot. Opiskelijan on varmistauduttava, että Insinöörimatematiikka A:sta on omaksuttu ainakin seuraavat asiat: kompleksilukujen käsittely, napakoordinaattiesitys, ykkösenjuuret, Eulerin kaavan mukainen yhteys eksponenttifunktion ja trigonometristen funktioden välillä ja osamurtohajotelmien etsiminen. Insinöörimatematiikka B:stä tulee olla hallussa erityisesti derivointisäännöt, antiderivaatan löytäminen (määräämätön integraali), kompleksiarvoisen funktion integrointi yli reaalisen välin, I lajin epäoleelliset integraalit ja niiden suppenemistarkastimet.. Kurssin sisällöstä Historiallisesti tarkastellen voidaan havaita matematiikkaa sovelletun erittäin monissa käyttökohteissa kautta aikojen. Varhaisimmat sovellukset liittynevät ajanlaskuun, astronomiaan, kaupankäyntiin ja maanmittaukseen. Uuden ajan alkaessa matematiikasta oli tullut korvaamaaton apuneuvo luonnontieteiden kehitykselle. Matematiikkaa on usein kutsuttu luonnontieteiden kieleksi, ja katsaus menneeseen osoittaa, että tämä luonnehdinta on erittäin kuvaava. Mekaniikan kehittäminen, kvanttimekaniikasta puhumattakaan, ei olisi ollut mahdollista ilman tarpeeseen sopivaa matematiikkaa. Aina 9-luvun puoliväliin asti fysiikka lieni tärkein motivaatio uuden matematiikan kehittämiselle. Sittemmin uuden matematiikan kehittäminen on liittynyt yhä enenevässä määrin informaatioteknologian ja biologian tarpeisiin. Erityisen mielenkiintoisia ovat havainnot, joissa huomataan jotakin tarkoitusta varten kehitetyn matematiikan soveltuvan hyvin myös muihin asiayhteyksiin. Joseph Fourier mallinsi lämmön johtumista, mutta hänen työnsä on sittemmin havaittu soveltuvan yleisesti aaltoliikkeiden kuvailemiseen. Fourier n töitä jatkamalla on päädytty matematiikan osa-alueeseen, jota nykyisin kutsutaan Fourieranalyysiksi tai harmoniseksi analyysiksi. Yleensä harmonisen analyysin ymmärretään terminä olevan laajempi käsite, joka sisältää Fourier-analyysin. Taustatietoa Joseph Fourier (768 83) oli ranskalainen matemaatikko ja fyysikko, joka tutki mm. lämmönjohtumista. Nykyinen Fourier-analyysi, joka on yksi tärkeimmistä menetelmistä informaation käsittelyssä ja analysoinnissa, pohjautuu hänen töihinsä. (kuva: Wikimedia Commons) 5
6 Johdanto Aaltoliikettä koskevan teorian sovellusalue ei ole vähäinen, sillä kvanttimekaniikan mukaisesti fysikaaliset objektit voidaan kuvata aaltoliikkeinä. Niinpä Fourier-analyysiä voidaan pitää yhtenä kvanttimekaniikan kulmakivenä. On kuitenkin huomattava, että kvanttimekaniikan teoriassa tarvittavat harmonisen analyysin yleistykset saattavat poiketa perinteisestä Fourier-analyysistä hyvinkin paljon. Lisäksi harmoninen analyysi saa entistä enemmän ilmaisuvoimaa kun sen koneistoa tulkitaan lineaarialgebran kautta. Fysikaalisten sovellusten, kuten lämmonjohtumisen tai aaltoliikeopin ohella on Fourier-analyysillä erittäin tärkeitä sovelluksia informaatiotekniikassa. Aaltoliikeoppiin perustuvat perinteiset sovellukset ovat viime kädessä ymmärrettävissä sitä taustaa vasten, että suuri osa nykyisestä informaation siirrosta perustuu johonkin aaltoliikkeeksi kuvailtavaan fysikaaliseen ilmiöön, kuten sähkömagneettiseen säteilyyn. Ehkä kuitenkin kaikkein laajimmin nykyisin esiintyvä Fourier-analyysin sovelluskenttä perustuu minkä hyvänsä informaation tulkitsemiseen aaltoliikkeiden yhdistelmäksi. Tällä tavoin on mahdollista soveltaa harmonista analyysia esimerkiksi digitaalisen äänen tai kuvan pakkaamiseen ja käsittelemiseen. Fourier-analyysin merkitystä signaalinkäsittelylle on vaikea yliarvioida. Fourier-muunnoksia on perinteisesti käytetty ilmiöiden jaksollisuuden analysoinnissa, mutta digitaalisen signaalinkäsittelyn myötä Fourier-analyysin käytännön sovellusten merkitys on kasvanut ennennäkemättömän suureksi. Harmonisen analyysin sovelluksia löytyy käytännöllisesti katsoen jokaisesta digitaalista signaalia käsittelevästä laitteesta, kuten matkapuhelimesta, digikamerasta, blue-ray -soittimesta, jne. Fourier-analyysi on myös erittäin oleellinen osa nykyaikaista luonnontieteellistä tutkimusta. Periaatteellisella tasolla spektroskopia ja Fourier-analyysi ovat vahvasti toisiinsa kytköksissä. Spektroskopian laboratoriomenetelmät voidaan ymmärtää Fourier-analyysin kautta ja parhaimmat nykyaikaiset spektrometrit perustuvat Fourier-analyysin laskennallisiin sovelluksiin. Tyypillinen sovellus on jonkin molekyylin läsnäolon tai poissaolon tunnistaminen: Jos molekyylin tiedetään absorboivan tai emittoivan sähkömagneettista säteilystä tietyillä aallonpituuksilla, tulee näytteestä lähtevästä sähkömagneettisesta säteilystä (esim. valosta) selvittää, millä vahvuuksilla eri allonpituudet siinä esiintyvät. Esimerkiksi molekyylien rakenteen tunnistamisessa käytettävä, ydinmagneettiseen resonanssiin (NMR) perustuva menetelmä pohjautuu viime kädessä Fourier-analyysiin. Perinteinen, ns. jatkuva Fourier-analyysi keskittyy integraali- ja differentiaalilaskennan koneiston ympärille, mutta sovelluksissa erittäin tärkeäksi nousee diskreetti Fourier-analyysi. Jatkuva ja diskreetti Fourier-analyysi tukevat toisiaan sekä teorian ymmärtämisessä että käytännön sovelluksissa. Kurssilla Insinöörimatematiikka C on tarkoitus perehtyä Fourier-analyysin perusteisiin. Tätä varten tarvittavia matemaattisia työkaluja, differentiaali- ja integraalilaskentaa, erityisesti I lajin epäoleellisia integraaleja, on esitelty jo Insinöörimatematiikka B:ssä. Ennen Fourier-analyysiin siirtymistä tulee kuitenkin vielä esitellä yksi puuttuva matemaattinen työkalu, nimittäin sarjaoppi. Siksi tämä kurssi alkaa sarjaopin osiolla, jonka yhteydessä laajennetaan I lajin epäoleellisten integraalien yhteudessä esitettyjä käsitteitä. Varsinainen Fourier-analyysi aloitetaan Fourier n sarjojen käsittelyllä ja tästä lähtökohdasta jatketaan Fourier n integraaleihin. Kurssin lopuksi esitetään myös Fouriermuunnoksille sukua olevat Laplace-muunnokset, joilla on vakiintuneet käyttökohteensa elektroniikassa..3 Funktioiden esityksistä Erityisesti lineaarialgebran näkökulmaa korostava lähestymistapa harmoniseen analyysiin on seuraavanlainen: Ajatellaan funktion F(x) esittävän jotakin fysikaalista suuretta, jonka arvo riippuu x:stä (x voi esittää vaikkapa aikaa). Funktion F ominaisuuksien tarkastelua varten saattaa olla hyödyllistä esittää F joidenkin yksinkertaisten funktioiden avulla. Insinöörimatematiikka B:ssä esiintynyt Taylorin polynomi on esimerkki tällaisesta esityksestä, jossa tosin esitys ei ole eksakti vaan likimääräinen: F(x) a + a x + a x + a 3 x 3 +... + a n x n. (.) Tässä tapauksessa polynomit = x, x = x, x, x 3,..., muodostavat yksinkertaisen funktiosysteemin, jonka avulla monimutkaisempi F esitetään (likimääräisesti). Kertoimien a, a, a,... määrittäminen on esityksen (.) kannalta tietenkin erittäin tärkeä kysymys, ja Taylorin polynomeja koskevassa Insinöörimatematiikka B:n luvussa tämä ratkaistiin seuraavasti: a k = k! F(k) ().
.3 Funktioiden esityksistä 7 Esitys (.) voidaan yleistää seuraavasti: funktioiden f k (x) = x k sijasta valitaan mitkä hyvänsä jossain määrin yksinkertainen funktiojono f, f, f,..., ja pyritään esittämään monimutkaisempi F muodossa F(x) = a f (x) + a f (x) + a f (x) +... + a n f n (x), (.) joko eksaktisti tai likimääräisesti. Myös esityksessä (.) oleelliseksi kysymykseksi muodostuu se, miten kerroin a k saadaan, kun F tunnetaan. Tämä riippuu tietysti siitä minkälainen valittujen kantafunktioiden f, f, f, f 3,... jono on. Osoittautuu kuitenkin, että summaesitys (.) on riittämätön useimpia sovelluksia varten. Yksi mahdollisuus yleistää esitystä (.) on ottaa käyttöön suurempi kantafunktiosysteemi, jossa funktioita f t (x) olisi kokonaislukuarvojen t Z lisäksi olemassa jokaista t [a,b] kohti. Tällöin joudutaan tilannetta käsittelemään eri tavoin: Merkitään f t (x) = f (t,x) ja funktioiden yhteenlaskun sijaan integroidaan kaikki välin [a,b] arvot t yhteen: b F(x) = a(t) f (t,x)dt, (.3) a ja selvitettävänä on miten kerroinfunktio a(t) määritetään. Esitys (.3) yleistyy vielä siten, että integrointiväli [a,b] saattaa ylä- tai alarajaltaan ulottua äärettömyyksiin, esimerkiksi F(x) = a(t) f (t,x)dt, (.4) a ja tällöin tulee selvittää miten kerroinfunktio a(t) määritetään. Kurssilla Insinöörimatematiikka B esityksestä (.4) annettiin esimerkkinä ns. Γ -funktio Γ (x) = t x e t dt, jossa voidaan kerroinfunktioksi ajatella a(t) = e t ja kantafunktiosysteemiksi f (t,x) = t x. Funktioiden esittämiseksi kantafunktiosysteemin avulla on ainakin seuraavat vaihtoehdot: Äärellinen summa: Äärellisen välin integraali: I lajin epäoleellinen integraali F(x) = n k= a k f k (x) b F(x) = a(t) f (t,x)dt a F(x) = a(t) f (t,x)dt. a Ylläolevasta listasta puuttuu tietysti esimerkiksi yli koko reaaliakselin (, ) ulottuva I lajin epäoleellinen integraali, mutta selkeämpi laadullinen puute on se että ns. ääretöntä summaa ei esiinny. Mitä siis tarkoittaisi esitys F(x) = k= a k f k (x), (.5) kun f, f, f,... on valittu kantafunktiosysteemi? Myös aiemmin esiintynyt kysymys siitä, miten luvut a, a, a,... määrätään, toistuu tässä yhteydessä kuten aiemmissakin esityksissä, ja vastaus riippuu tietysti siitä miten kantafunktiosysteemi f, f, f,... on valittu. Esityksen (.5) päättymätöntä summaa sanotaan sarjaksi ja seuraavan luvun tarkoituksena onkin perehtyä sarjojen ominaisuuksiin, alkaen siitä mitä sarja päättymättömänä summana ylipäänsä tarkoittaa.
Luku Lukujonot ja numeeriset sarjat Tässä luvussa tarkoituksena on perehtyä sarjojen yksinkertaisimpiin muotoihin, ns. numeerisiin sarjoihin. Myöhemmin osoittautuu, että ns. funktiosarjat eivät peruskäsitteiltään poikkea numeerisista sarjoista oleellisesti, vaan tarkastelukohteina olevat ominaisuudet ovat erilaisia ja siksi tarkastelunäkökulma muovautuu väistämättä toisenlaiseksi. Sarjojen tarkastelu liittyy läheisesti Insinöörimatematiikka B:n viimeisessä luvussa käsiteltyihin I lajin epäoleellisiin integraaleihin, jotka määriteltiin raja-arvoina. Palautetaan käsite mieleen kertauksen vuoksi. I lajin epäoleellista integraalia varten määritellään ensin ja sen jälkeen a M I(M) = f (x)dx a M f (x)dx = lim f (x)dx = lim I(M). M a M Epäoleellisen integraalin määrittely edellyttää tietenkin, että ylläoleva raja-arvo on olemassa. Ensimmäisen lajin epäoleellinen integraali merkitsee siis integraalia, jossa integrointi ei pääty mihinkään ylärajaan, vaan jatkuu yli koko reaaliakselin. Analogisesti sarjan tahdotaan merkitsevän summaa a n, joka ei pääty lainkaan. I lajin epäoleellisiin integraaleihin päästiin funktioiden I(M) raja-arvoista ja aivan samoin sarjojen määritelmään tullaan pääsemään lukujonojen raja-arvosta. Sarjan määritelmäksi asetetaan a n = lim M mikä on täysin analoginen I lajin integraalin määritelmän kanssa: Ensin summataan johonkin ylärajaan M asti, ja sitten annetaan ylärajan M käydä kohti ääretöntä. Määritelmässä esiintyvä summa S M = M M a n muodostaa lukujonon S, S, S 3,..., jonka raja-arvosta on kysymys ja tämän vuoksi perehdytään ensin lukujonojen raja-arvoihin. Muodollisesti reaalilukujono (tai kompleksilukujono) a, a, a 3,... määritellään funktiona a : N R (tai f : N C), missä siis a(n) = a n. Lukujonon raja-arvo äärettömyydessä määritellään aivan kuten reaaliakselilla määriteltyjen funktioidenkin raja-arvo. Sanotaan, että lukujonon a, a, a 3,... raja-arvo on A, jos jonon jäsen a n saadaan miten lähelle lukua A tahansa, kunhan n valitaan kyllin suureksi. Tämä täsmennetään seuraavassa määritelmässä. a n, 9
Lukujonot ja numeeriset sarjat Määritelmä. Lukujonon a, a, a 3,... raja-arvo on A, mikäli jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa luku M ε >, jolle pätee d(a n,a) = a n A < ε, kunhan n > M ε. Tällöin merkitään lima n = lim n a n = A Määritelmä. Lukujono a, a, a 3,..., suppenee, jos lima n on äärellisenä olemassa. Muutoin lukujono hajaantuu. Esimerkki. Lukujono a n = n suppenee ja lim n =, sillä n = n < ε, kun n > ε. Esimerkki. Lukujono a n = n hajaantuu, samoin a n = ( ) n. Määritelmä 3. Lukujono a n on ylhäältä rajoitettu jos on olemassa sellainen luku M, että a n M jokaiselle n N. Lukujono on kasvava, jos a n+ a n aina, kun n N. Ylhäältä rajoitettuja, kasvavia reaalilukujonoja koskee seuraava teoreettisesti tärkeä tulos. Lause. Ylhäältä rajoitettu, kasvava reaalilukujono a n suppenee. Huomautus. Intuitiivisesti edellinen lause on melko ilmeinen: jos jono on kasvava, mutta sillä on kuitenkin yläraja, on jonon jäsenten pakko kasautua johonkin pisteeseen, mikä varsin ilmeisesti onkin se raja-arvo, jota jono lähenee. Lauseen syvällisyys ilmeneekin siinä, että se puhuu reaalilukujen ominaisuudesta: lause nimittäin väittää, että kasautumispiste kaikille ylhäältä rajoitetuille, kasvaville jonoille on olemassa. Todistus. Koska a n on ylhäältä rajoitettu, on joukolla S = {a,a,a 3...} jokin yläraja. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman perusteella (kts. Insinöörimatematiikka A) joukolla S on tällöin myös pienin yläraja A = sups. Osoitetaan, että lima n = A. Olkoon ε > mikä hyvänsä, jolloin A ε ei siis enää ole joukon S yläraja, sillä A on ylärajoista pienin. Koska A ε ei ole joukon S yläraja, on olemassa sellainen joukon S alkio a Mε, että a Mε > A ε. Koska jono a n on kasvava, on a n a Mε aina, kun n M ε. Tällöin arvoilla n M ε on voimassa (muista että A on joukon S yläraja, siis a n A aina) d(a n,a) = A a n A a Mε < A (A ε) = ε, mikä määritelmän mukaan merkitsee sitä, että lima n = A. Huomautus. Tarkastelemalla jonoa a n jonon a n sijaan voidaan edellisen lauseen tuloksesta nähdä helposti, että alhaalta rajoitetut, vähenevät lukujonot suppenevat.
Lukujonot ja numeeriset sarjat Huomautus 3. Reaalilukujen täydellisyysaksiooma (kutsutaan sitä nimellä TA) sanoo, että ylhäältä rajoitetuilla, epätyhjillä joukoilla S on pienin yläraja (merkitään sups). Kutsutaan edellisen lauseen tulosta, siis sitä, että kasvavat, ylhäältä rajoitetut jonot suppenevat nimellä JS. Tällöin ylläolevassa lauseessa on siis johdettu oletuksesta TA tulos JS. Myös käänteinen tulos voidaan johtaa: ominaisuudesta JS seuraa TA, mikä merkitsee sitä, että reaalilukuja määriteltäessä ominaisuudet JS ja TA ovat tasavertaiset: TA voidaan korvata JS:llä tai päinvastoin. Esimerkki 3. Olkoon ( a n = + ) n n ja osoitetaan, että jono a n on kasvava. Tätä varten lasketaan = ( + n+ )n+ ( a n ( + = + ) ( + n+ )n+ n )n n ( + = n + ( n + n )n+ n n + : n + ) n+ n = n + ( n(n + ) ) n+ n + ( ) n+ = n (n + ) n (n + ) n + ( ) = n + n n n + n n + =. a n+ Toisen ja kolmannen rivin välistä suuruusarviota varten on käytetty Bernoullin epäyhtälöä (Insinöörimatematiikka A) ( + x) n + nx, joka pätee kun x ja n N. Yllä olevasta epäyhtälöstä seuraa, että a n+ a n, siis lukujono a n on kasvava. Osoitetaan vielä että jono a n on ylhäältä rajoitettu. Tätä varten arvioidaan aluksi lauseketta ( n i) n i. Kun i, saadaan ( ) n i n i = Binomikaavalla saadaan n! n(n )... (n i + ) = i!(n i)! ni i! n i = i! = i (i )... = }... {{ } i. i kpl ( + ) n n = n i= = + ( ) n n i n i = + + i= ( ) n i n i= i = + ( )n n i + n i= i kpl { }} { n... n i! i n i = + < 3, n ( + n) n on ylhäältä rajoitettu. Koska se on myös kasvava, on sillä lauseen mukaan siis jono raja-arvo. Tätä raja-arvoa merkitään ( e = lim + ) n n ja kutsutaan Neperin vakioksi. Luku e =, 7888845945354... on luonnollisen logaritmin kantaluku ja e-kantaisella eksponenttifunktiolla f (x) = e x on se ainutlaatuinen ominaisuus, että f (x) = f (x) (ja f () = ). On mahdollista perustella tämä ominaisuus käyttämällä yllä olevaa määritelmää Neperin vakiolle. Määritelmä 4. Olkoon a, a, a 3,... lukujono. Määritellään osasummien jono S, S, S 3,... ehdolla S n = a +... + a n ja sanotaan, että sarja a n
Lukujonot ja numeeriset sarjat suppenee (merkitään a n ), mikäli lukujono S n suppenee. Muutoin sarja hajaantuu (merkitään a n ). Suppenevassa tapauksessa sarjan summaksi määritellään a n = lims n. Huomautus 4. Edellisen määritelmän tavoin määritellään sarja missä k Z on mikä hyvänsä kokonaisluku. n=k Esimerkki 4. Sarja +++... hajaantuu, koska osasummien jono S n = n hajaantuu. Samoin sarja + +... hajaantuu, koska osasummien jono S n = + ( ) n hajaantuu. Esimerkki 5 (Harmoninen sarja). Osoitetaan, että sarja + + 3 + 4 +... hajaantuu. Tätä varten tarkastellaan osasummaa S k ja ryhmitellään summattavat seuraavasti: S k = + + ( 3 + 4 + + ( 4 + 4 = + + +... + = + k } {{ }. k kpl a n, ) ( + 5 + 6 + 7 + ( +... + 8) k + +... + ) k ) ( + 8 + 8 + 8 + ( +... + 8) k +... + } {{ k } k kpl Täten siis osasummalle S k pätee S k + k, mistä nähdään, että S k, kun k. Tästä seuraa, että osasummien jono ja siis myös sarja + + 3 +... hajaantuu. Sarjaa kutsutaan harmoniseksi sarjaksi. Esimerkki 6. Osoitetaan, että sarja n n(n + ) ja kir- suppenee ja lasketaan sen summa. Tätä varten etsitään osamurtohajotelma n(n+) = n joitetaan osasumma S n muotoon S n = + 3 + 3 4 +... + n(n + ) = ( ) + ( 3 ) + ( 3 4 ) +... + ( n n + ) = n +, ) n+ (.) sillä kussakin summattavassa jälkimmäinen yhteenlaskettava kumoaa seuraavan ensimmäisen. Tästä nähdään, että lims n =, siis sarja (.) suppenee kohti lukua. Esimerkki 7. Osoitetaan, että sarja
. Sarjojen perusominaisuuksia 3 suppenee. Tätä varten arvioidaan osasummaa S n+ seuraavasti: + + 3 + +... (.) 4 S n+ = + + 3 +... + (n + ) + + 3 +... + n(n + ). Viimeisin epäyhtälö seuraa aiemman esimerkin ylärajasta. Tämä merkitsee sitä, että osasummien jono S n on ylhäältä rajoitettu, ja koska S n+ = S n +, on se myös kasvava. Lauseen perusteella (n+) jonolla S n on raja-arvo S, mikä merkitsee siis sitä, että sarja (.) suppenee. Huomautus 5. Sarjan (.) summa on myös mahdollista laskea. Esimerkiksi myöhemmin käsiteltävien Fourier-sarjojen avulla voidaan osoittaa, että + + 3 + π +... = 4 6.. Sarjojen perusominaisuuksia Seuraavassa lauseessa luetellaan tärkeimpiä suppenevien sarjojen ominaisuuksia. Lause.. Jos sarjat suppenee ja. Sarja 3. Jos sarja että a n ja b n suppenevat, niin myös sarja (αa n + βb n ) = α a n suppenee tarkalleen silloin kun a n suppenee, niin myös (αa n + βb n ) n=k k a n = a n suppenee itseisesti. Tällöin pätee a n + β b n. a n (k > ) suppenee, ja tällöin on a n + n=k a n. a n suppenee. Mikäli a n a n. a n suppenee, sanotaan, Todistus. Suoraviivainen, sivuutetaan. Huomautus 6. Lauseen. kohdan mukaan tavanomaiset summan käsittelysäännöt pätevät, mikäli molemmat sarjat a n ja b n suppenevat. Kohdan mukaan sarjan suppeneminen ei riipu mistään
4 Lukujonot ja numeeriset sarjat sen alkuosasta. Kohta 3 on äärellisille summille pätevän kolmioepäyhtälön yleistys suppeneville sarjoille. Lauseessa mainittuja ominaisuuksia on syytä verrata Insinöörimatematiikka B:ssä esitettyihin analogisiin I lajin epäoleellisten integraalien ominaisuuksiin.. Geometrinen sarja Määritelmä 5. Lukujono a, a, a 3,... on geometrinen, jos kahden peräkkäisen jäsenen a n+ ja a n suhde on vakio: a n+ a n = q (tällöin siis a n+ = qa n ). Sarja a n on geometrinen, jos jono a, a, a 3,... on geometrinen. Geometrisen sarjan jäsenet määräytyvät yksikäsitteisesti suhdeluvusta q ja ensimmäisestä jäsenestä a = a. Tällöin a = aq, a 3 = a q = aq, a 4 = a 3 q = aq 3, jne. Geometrisen sarjan osasummien S n = a + aq + aq +... + aq n (.3) avulla voidaan myös suppenemiskysymys ja summa määrittää seuraavasti: Kertomalla (.3) suhdeluvulla q saadaan qs n = aq + aq +... + aq n + aq n, (.4) ja vähentämällä (.4) yhtälöstä (.3) saadaan ( q)s n = a aq n = a( q n ), joten osasummalle S n saadaan lauseke (tapaus q = on helppo mutta käsiteltävä erikseen) ja tästä saadaan seuraava tulos: S n = a qn q, (.5) Lause 3. Geometrinen sarja aq n n= suppenee tarkalleen silloin, kun q <. Suppenevassa tapauksessa aq n = a n= q. Esimerkki 8. Akilles kulkee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna. Akilleen ja kilpikonnan kilpajuoksussa kilpikonna saa kymmenen metrin etumatkan. Kun Akilles on saavuttanut kilpikonnan lähtöpisteen, on kilpikonna edennyt tästä metrin eteenpäin. Kun Akilles saavuttaa tämän pisteen, on kilpikonna edennyt tästä cm eteenpäin. Kun Akilles saavuttaa tämän pisteen, on kilpikonna edennyt tästä cm eteenpäin, jne. Akilleen saavuttaessa kilpikonnan aiempi olinpaikka on kilpikonna ehtinyt jälleen edetä eteenpäin / matkasta, joka oli Akilleen tavoitettavana aiemmin. Seuraako tästä, että Akilles ei koskaan saavuta kilpikonnaa?
.3 Desimaaliesitys 5 Valitaan ajan yksiköksi se aika, jossa Akilles saavuttaa lähtökohdastaan kilpikonnan lähtökohdan. Kilpikonnan lähtöpaikkaa tavoittaessaan Akilles on siis kilpikonnan takana ajan. Tavoittaessaan sitä paikkaa, mihin kilpikonna siirtyi ajan kuluessa on Akilles kilpikonnan takana ajan. Tänä aikana on kilpikonna jälleen ehtinyt siirtyä seuraavaan paikkaan, jota tavoittaessa Akilles käyttää ajan, jne. Tällöin kokonaisaika, jonka Akilles on kilpikonnan takana, on + + + +... = ( n= )n = = 9. Kokonaisaika, jonka Akilles on on kilpikonnan takana, on siis äärellinen 9, ja Akilles ohittaa kilpikonnan tämän ajan kuluttua. Mahdollinen paradoksaalinen johtopäätös, jonka mukaan Akilles ei voi koskaan saavuttaa kilpikonnaa, selittyy siten, että vaikka ajanhetkiä jolloin Akilles on kilpikonnan takana onkin ääretön määrä, on silti kokonaisaika, jonka Akilles on kilpikonnan takana äärellinen..3 Desimaaliesitys Reaalilukujen desimaaliesitys lienee käytetyin esimerkki suppenevasta sarjasta, jonka taustalla voidaan nähdä geometrinen sarja. Esimerkiksi esityksessä π = 3,459653589793... (.6) 3 viittaa luvun π kokonaisosaan,, kymmenesosiin, 4 sadasosiin, tuhannesosiin, jne. Desimaaliesitys (.6) tarkoittaa siis lukua Yleisemmin desimaaliesitys tarkoittaa lukua 3 + + 4 + 3 + 5 4 +... k + a + a + a 3 +..., (.7) 3 missä k Z ja a i {,,...,9}. Voidaan luonnollisestikin kysyä, määrääkö esitys (.7) aina jonkin reaaliluvun, toisin sanoen, suppeneeko sarja (.7) kaikilla jonon a, a, a 3,... valinnoilla (a i {,,...,9}). Vastaus tähän kysymykseen on varsin helppo, sillä sarjassa (.7) osoittajat a i ovat rajoitettuja: a i 9, ja siis k + a + a + a 3 3 +... + a n n k + 9 + 9 + 9 3 +... + 9 n = k + 9 n 9 k + 9 9 = k +, joten siis osasummien S n = k + a + a +... + a n n jono on ylhäältä rajoitettu. Koska S n on selvästikin kasvava jono, se suppenee lauseen () perusteella. Edellä nähtiin siis että kukin jono k, a, a, a 3..., (k Z, a i {,,...,9}) määrittelee reaaliluvun esityksen (.7) kautta. Edelleen voidaan kysyä, onko sitten jokaisella reaaliluvulla olemassa desimaaliesitys. On melko helppoa nähdä (harjoitustehtävä), että näin todellakin on asianlaita: jokaisella reaaliluvulla on desimaaliesitys. Sen sijaan, ehkä hieman yllättäen, voidaan nähdä, että desimaaliesitys ei välttämättä ole yksikäsitteinen, vaan että joillakin reaaliluvuilla voi olla kaksi eri desimaaliesitystä. Esimerkki 9. Olkoon α =,999..., mikä siis tarkoittaa sitä, että α = 9 + 9 + 9 3 +... = 9( ) =. Toisaalta luvulla on myös desimaaliesitys =,..., mitä vastaa sarja
6 Lukujonot ja numeeriset sarjat = + + + 3 +... Voidaan näyttää toteen, että reaaliluvulla α on kaksi eri desimaaliesitystä vain silloin, kun sillä on päättyvä esitys (desimaaliesitystä kutsutaan päättyväksi, jos se sisältää jostain rajasta alkaen pelkkiä nollia). Esimerkki. Samoin kuin edellä, nähdään, että,... =,999... Reaalilukujen kaksi eri desimaaliesitystä liittyvät toisiinsa aina tämän esimerkin mukaisella tavalla: esitys, joka koostuu kokonaan nollista jostain rajasta alkaen voidaan korvata esityksellä, joka koostuu kokonaan yhdeksiköistä samasta rajasta alkaen, kun edellistä desimaalia vähennetään yhdellä. On myös helppo havaita, että reaaliluvun desimaaliesitys on jaksollinen (jostakin rajasta alkaen) tarkalleen silloin kun luku on rationaalinen. Jaksollisen (jostakin rajasta alkaen) reaaliluvun esitys kahden kokonaisluvun osamääränä saadaan aina seuraavan esimerkin tavalla: Esimerkki. Olkoon α = 4,354545454... Tällöin α = 43,545454... ja vähennyslaskulla saadaan α = 43,54545454... α = 4,3545454... 99α = 48,..., mistä saadaan α = 48, 99 = 48 99 = 379 55.4 Suppenemiskriteereitä Aiempien esimerkkien perusteella sarjojen suppenemiskysymyksen ratkaiseminen vaikuttaa työläältä, mutta kuitenkin on mahdollista johtaa yleisiä periaatteita, joiden avulla suppenemiskysymys voidaan ainakin joidenkin sarjojen osalta ratkaista. Esitetään aluksi kriteeri, jonka perusteella voidaan joissakin tapauksissa päätellä, että sarja ei suppene. Lause 4. Jos sarja a n (.8) suppenee, niin lima n =. Tällöin siis sarja hajaantuu, mikäli lima n. Todistus. Merkitään S n = a + a +... + a n. Oletetaan, että sarja (.8) suppenee, mikä merkitsee että raja-arvo lims n lims n = S S =. a n = lims n = S on olemassa. Tällöin S n S n = a n ja lima n = lim(s n S n ) = Huomautus 7. Ehto lima n = on edellisen lauseen mukaan välttämätön sarjan (.8) suppenemiselle, mutta ei kuitenkaan riittävä. Esimerkin 5 harmoniselle sarjalle n nimittäin pätee lim n =, mutta siitä huolimatta sarja hajaantuu. Niin kutsuttu Cauchyn suppenemisehto sivuaa edellistä kriteeriä. Cauchyn ehto on lähinnä teoreettinen eikä yleensä sovellu suppenemiskysymyksen ratkaisemiseen käytännössä. Lause 5 (Cauchyn suppenemisehto). Sarja M+k a n n=m a n suppenee tarkalleen silloin, kun
.4 Suppenemiskriteereitä 7 saadaan miten lähelle nollaa hyvänsä valitsemalla M riittävän suureksi (riippumatta siitä miten k on valittu). Tarkemmin ilmaistuna, sarja jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa rajaluku M ε siten, että M+k a n ε kaikille k, kunhan M M ε. n=m a n suppenee tarkalleen silloin, kun Todistus. Sivuutetaan, mutta huomautetaan, että vastaava kriteeri pätee myös I lajin epäoleellisille integraaleille: integraali f (t)dt suppenee tarkalleen silloin, kun M+k M f (t)dt saadaan mielivaltaisen lähelle nollaa valitsemalla M riittävän suureksi ja k miten hyvänsä. Yleisesti voidaan todeta, että monet summiin liittyvät käsitteet ovat vaikeammin tavoitettavissa kuin vastaavat integraaleihin liittyvät käsitteet, esimerkiksi summan S l (n) = n k= k l = l + l +... + n l lauseketta suljetussa muodossa on vaikea saada esille (suljetulla muodolla tarkoitetaan lausekketta S (n) = n, S (n) = n(n + ), S (n) = 3 n(n + )(n + ) jne.), kun taas integraali n I l (n) = t l dt = l + nl on varsin helppo määrittää. Suppenemiskysymyksen osalta yhteys integraalien ja sarjojen välillä on kuitenkin suoraviivaisempi: Lause 6. Olkoon f välillä [, ) määritelty vähenevä funktio, joka saa vain ei-negatiivisia arvoja. Tällöin sarja f (n) suppenee tarkalleen silloin kun integraali suppenee. f (t)dt Todistus. Oletusten perusteella sarjan sekä integraalin ainoa mahdollinen hajaantumisen muoto on se, että arvo lähestyy ääretöntä. Insinöörimatematiikka B:ssä esitetyn Eulerin-Maclaurinin summakaavan mukaan M M f () + f (M) M f (n) = f (t)dt + + f (t)(t t )dt. Virhetermiä arvioitaessa otetaan huomioon, että f on vähenevä, joten f (t) <. Tällöin
8 Lukujonot ja numeeriset sarjat M f (t)(t t M )dt f (t)(t t M ) dt f (t) dt = M f (t)dt = ( f () f (M)). Näin ollen M M f (n) f () + f (M) f (t)dt = f () + f (M) M + f (t)(t t )dt + f () f (M) f () + f (M) f () + f () = f (). Väite seuraa tästä suoraan. Esimerkki. Sarja n s suppenee tarkalleen silloin kun integraali dt suppenee, mikä ta- ts pahtuu tarkalleen silloin kun s >. Erityisesti voidaan havaita uudelleen, että sarja mutta että sarja n suppenee. n hajaantuu, Määritelmien perusteella voidaan saada integraalien ominaisuuksia vastaava tulos sarjoille: Lause 7 (Minorantti-majoranttiperiaate). Oletetaan, että jostakin rajasta lähtien a n b n. Tällöin. Jos. Jos Esimerkki 3. Sarja b n suppenee, niin myös a n hajaantuu, niin myös Esimerkki 4. Sarjalle sinn n a n suppenee (vieläpä itseisesti) b n hajaantuu. suppenee itseisesti, sillä sinn n, ja n n n voidaan löytää minorantti: n + n n n + n n n + n n = n. Koska sarja n hajaantuu (vrt. vastaava integraali n n n + samoin. n suppenee. dt), tekee myös majoranttisarja t Samoin kuin integraaleille, voidaan myös sarjoille esittää vertailutarkastimet raja-arvomuodossa. Lause 8. Oletetaan, että lim a n b n = L. Tällöin. Jos L =, niin sarjan. Jos < L <, niin sarjoilla 3. Jos L =, niin sarjan b n suppenemisesta seuraa sarjan a n ja a n suppeneminen. b n on samanlainen suppenemiskäyttäytyminen. b n hajaantumisesta seuraa sarjan a n hajaantuminen.
.4 Suppenemiskriteereitä 9 Todistus. Seuraa suoraan vastaavasta lauseesta I lajin epäoleellisille integraaleille. Sarjoille on olemassa myös oma suppenemiskriteerinsä, jota ei esiinny I lajin epäoleellisilla integraaleilla. Tässä kriteerissä käytetään sarjan peräkkäisten jäsenten osamäärän raja-arvoa. Lause 9 (Osamäärätarkastin). Jos sarjassa.. a n+ a n a n+ a n q <, (q vakio) niin sarja suppenee itseisesti., niin sarja hajaantuu. a n on jostain rajasta M alkaen Todistus. Lauseen kohdan perustella riittää tarkastella tapausta M =. Lauseen todistus perustuu siihen, että -kohdassa saadaan sarjalle suppeneva geometrinen majorantti, ja -kohdassa hajaantuva geometrinen minorantti. Jos nimittäin kaikilla n:n arvoilla pätee q, on an q a n q a n... q n a. Täten siis sarjalla n= a q n. Hajaantumista koskeva väite todistetaan analogisesti. a n+ a n a n on suppeneva majorantti q n a = Myös osamäärätarkastimesta saadaan helposti raja-arvomuoto, joka saattaa toisinaan olla helpommin käytettävissä kuin varsinainen osamäärätarkastin. Lause. Olkoon lim a n+ a n = L.. Jos L <, niin sarja. Jos L >, niin sarja a n suppenee itseisesti. a n hajaantuu. Todistus. Lauseen 9 tulokseen perustuva helppo harjoitustehtävä. Huomautus 8. Lauseessa 9 tarvitaan todella ehto a n+ a a n q <, ehto n+ a n < ei riitä. Voidaan nimittäin helposti huomata, että sekä hajaantuva sarja n että suppeneva sarja n molemmat toteuttavat ehdon a n+ a n <. Sarjan itseiselle suppenemiselle saadaan myös seuraava juuritarkastin. Lause (Juuritarkastin). Jos sarjassa. n a n q <, niin sarja suppenee itseisesti. n a n, niin sarja hajaantuu. a n on jostain rajasta alkaen Todistus. Kohdassa saadaan suppeneva majorantti vielä helpommin kuin edellisessä lauseessa: ehdosta n a n q seuraa, että a n q n. Hajaantumista koskeva väite näytetään toteen analogisesti. Myös juuritarkastimesta voidaan esittää raja-arvomuoto (harjoitustehtävä).
Lukujonot ja numeeriset sarjat.5 Vuorottelevat sarjat Jos suppenevassa sarjassa on vain äärellinen määrä negatiivisia (tai positiivisia) termejä, on suppeneminen aina itseistä, sillä sarjan alkuosa ei vaikuta suppenemiseen. Ehdollinen suppeneminen voi siis tapahtua ainoastaan silloin, kun sarjassa on ääretön määrä sekä positiivisia että negatiivisia termejä. Tämänkaltaisista sarjoista tärkeimpiä ovat vuorottelevat sarjat. Määritelmä 6. Jos a n, sanotaan, että sarja on vuorotteleva. ( ) n a n Vuorotteleville sarjoille suppeneminen voidaan taata melko helposti: Lause (Leibniz). Olkoon positiivilukujen jono a n vähenevä ja lima n =. Tällöin vuorotteleva sarja ( ) n a n (.9) suppenee. Lisäksi kirjoitelmassa jäännöstermi ( ) n a n = M ( ) n a n + R M R M = ( ) M a M+ + ( ) M+ a M+ + ( ) M+ a M+3 +... on samanmerkkinen kuin ensimmäinen poisjätetty termi ( ) M a M+ ja R M a M+. Todistus. Valitaan parillinen k (parittomalla arvolla vain merkinnät muuttuvat hieman) ja arvioidaan osasummien sekä S M+k = ( ) a + ( ) a +... + ( ) M a M +... + ( ) M+k a M+k erotusta. Ensin todetaan, että ja toisin ryhmittelemällä S M = ( ) a + ( ) a +... + ( ) M a M ( ) M (S M+k S M ) = a M+ a } {{ M+ +a } M+3 a M+4 +... + a } {{ } M+k a } {{ M+k } + +... + = ( ) M (S M+k S M ) = a M+ (a M+ a M+3 ) (a M+4 a M+5 )... a } {{ } } {{ } } M+k {{ } a M+ Kahdesta edellä saaduista arvoista seuraa, että
.6 Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo S M+k S M a M+. Koska oletuksen mukaan lima n =, saadaan a M+ miten pieneksi hyvänsä valitsemalla M riittävän suureksi. Tällöin sarjan (.9) suppeneminen seuraa Cauchyn suppenemisehdosta (lause 5). Kun merkitään sarjan summaa S:llä, voidaan jäännöstermi kirjoittaa muotoon ( ) M R M = ( ) M (S S M ) = lim k ( ) M (S M+k S M ), mistä aikaisempien arvioiden mukaan saadaan ( ) M R M a M+. Esimerkki 5. Koska lim n =, voidaan edellisen lauseen perusteella todeta, että sarja + 3 +... (.) 4 suppenee. Myöhemmin nähdään, että tämän sarjan summa on ln, mutta tässä voidaan todeta, että sarja (.) suppenee vain ehdollisesti: itseisarvot ottamalla saadaan harmoninen sarja + + 3 + 4 +..., jonka on jo aiemmin todettu hajaantuvan. Jos sarjan (.) summa haluttaan määrittää siten että virhe on korkeintaan 3, tulee edellisten arvioiden mukaan laskea yhteen tuhat ensimmäistä termiä..6 Termien järjestyksenvaihto, Cauchyn tulo Verrattaessa sarjoja äärellisiin summiin voidaan aluksi todeta, että suppenevassa tapauksessa voidaan sulkeita asetella aivan kuten äärellisissäkin summissa. Tällöin nimittäin sulkeistamalla saadun sarjan osasummien jono on alkuperäisen sarjan osasummien jonon osajono, joka siten suppenee kohti alkuperäisen sarjan summaa. Sen sijaan sulkeiden poistaminen sarjasta voi olla ongelmallista. Esimerkki 6. Vuorottelevien sarjojen yhteydessä havaittiin, että sarja S = + 3 4 +... = ( ) n n (.) suppenee. Sulkeita asettamalla saadaan positiiviterminen sarja S = ( ) + ( 3 4 ) + ( 5 6 )... = + 3 4 + 5 6 +... = n(n ), joka suppenee myös ja sen summa on sama kuin alkuperäisenkin sarjan summa. Esimerkki 7. ( ) + ( ) + ( )... esittää triviaalisti suppenevaa sarjaa + + +... =, mutta sulkeet poistamalla saadaan sarja joka hajaantuu. + + +... Myös muita eroja sarjojen ja äärellisten summien välillä voidaan huomata. On nimittäin mahdollista todistaa, että ehdollisesti suppenevasta sarjasta saadaan termien järjestystä vaihtamalla sekä hajaantuva sarja että sarja, joka suppenee kohti mitä tahansa annettua reaalilukua. Missä hyvänsä sarjassa voidaan aina vaihtaa äärellisen monen termin järjestystä sarjan suppenemisen tai summan siitä kärsimättä. Jos nimittäin vaihdetaan vain termien a,..., a M järjestystä, voidaan kirjoittaa S = M b n + n=m+ a n,
Lukujonot ja numeeriset sarjat missä jono b,..., b M on saatu jonosta a,..., a M järjestystä vaihtamalla. Tällöin M b n = M eikä sarjan suppeneminen riipu sen alkupäästä, kuten jo aiemmin todettiin. Jos suppeneminen on itseistä, voidaan termien järjestystä vaihtaa mielivaltaisesti. a n, Lause 3. Jos sarja suppenee itseisesti, niin jokainen siitä termien järjestystä vaihtamalla saatu sarja suppenee (vieläpä itseisesti) kohti alkuperäisen sarjan summaa. Todistus. Sivuutetaan. On mahdollista todistaa myös käänteinen tulos edelliselle lauseelle: Jos termien järjestyksenvaihto ei muuta suppenemista eikä summaa, niin silloin sarja suppenee itseisesti. Edellä mainittujen tuloksien perusteella itseisesti suppenevat sarjat toteuttavat oleellisesti samankaltaiset laskulait kuin tavalliset äärelliset summat. Tarkastellaan lopuksi miten sarjojen tulo muodostetaan. Määritelmä 7. Merkintä jossakin järjestyksessä. Lause 4. Jos sarjat S = m, m= a m b n tarkoittaa sarjaa, jonka termeinä ovat kaikki tulot a m b n m,n a m ja T = suppenee itseisesti kohti tuloa T S. Todistus. Sivuutetaan. b n suppenevat itseisesti, niin jokainen tulosarja m, a m b n Käyttökelpoinen järjestys Cauchyn tulo sarjojen tulon laskemiseksi saadaan muuttamalla indeksointi nollasta alkavaksi. Tällöin itseisesti suppenevien sarjojen m= a m ja n= b n Cauchyn tulo on sarja m=a m n= b n = k= m+n=k a m b n = k k= n= a k n b n = a b + a b + a b + a b + a b + a b +... + a n b + a n b +... + a b n + a b n +... Esimerkki 8. Kun x <, saadaan geometrisen sarjan avulla ( x) = n= = x n m= k= x m = (k + )x k. k k= n= x k n x n
Luku 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Insinöörimatematiikka B:ssä ja tämän kurssin alkuosassa on käsitelty kahta toisilleen hyvin läheistä matemaattista objektia: I lajin epäoleellisia integraaleja ja sarjoja. Kummatkin ovat raja-arvoja äärellisellä välillä määritellyistä käsitteistä: I lajin epäoleellinen integraali saadaan raja-arvona integroinnin ylärajan kasvaessa: ja sarja puolestaan saadaan raja-arvona summan ylärajan kasvaessa: M f (t)dt = lim M f (t) dt (3.) f n = lim M M f n. (3.) Sarjoja, kuin myös I lajin epäoleellisia integraaleja voidaan yhtä hyvin tarkastella myös muuttuvina objekteina. Jonon f, f, f 3,..., sijaan voidaan tarkastella jonoa f (x), f (x), f 3 (x),... jolloin sarjan (3.) summa F(x) oletettavasti riippuu x:n arvosta. Näin päädytään funktiosarjoihin F(x) = f n (x). (3.3) Samoin myös integrandina toimivan funktion f (t) sijaan voitaisiin tarkastella funktioita f (t,x), jolloin ilmeisestikin I lajin integraalin (3.) F(x) = f (t,x)dt, (3.4) arvo riippuu x:n arvosta. Sanotaan, että (3.4) on integraalin määrittelemä funktio. Huomautus 9. Johdannossa sekä esityksessä (3.3) esiintyi lisäksi kerroinjono a, a, a,... ja esityksessä (3.4) kerroinfunktio a(t). Tässä kappaleessa voidaan kerroinjonon ajatella sisältyvän merkintään f n (x) ja kerroinfunktion merkintään f (t,x). Huomautus. Funktiosarjojen summan, samoin kuin integraalin määrittelemän funktion integroinnin alaraja voidaan ilman muuta valita toisinkin, ja epäoleellisuus voi esiintyä myös alarajalla. Funktiosarjojen ja integraalin määrittelemien funktioiden teoriat ovat varsin samankaltaiset. Itse asiassa näiden käsitteiden samankaltaisuutta voitaisiin korostaa kirjoittamalla f n (x) = f (n,x), jolloin (3.3) voidaan kirjoittaa muotoon F(x) = f (n,x), mutta tämänkaltaista merkintää käytetään harvemmin. Yhtä lailla analogiaa korostaisi myös merkintä f (t,x) = f t (x), jolloin (3.4) voitaisiin kirjoittaa muotoon F(x) = f t (x)dt, mutta tätäkin merkintää käytetään äärimmäisen harvoin. 3
4 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Kiinteällä x:n arvolla funktiosarja palautuu tavalliseksi vakiosarjaksi samoin kuin integraalin määrittelemä funktio palautuu I lajin epäoleelliseksi integraaliksi. Näiden suppenemisen tarkastelemiseksi voidaan siis käyttää aiemmin opittuja suppenemiskriteerejä, mutta kiinnittämällä x vakioksi seuraavat kysymykset jäävät avoimiksi: millaisen funktion sarja (3.3) tai integraali (3.4) määrittelee? Mitkä funktioiden f n (x) ominaisuuksista esimerkiksi periytyvät sarjalle (3.3) ja mitkä funktioiden f (t,x) ominaisuuksista funktiolle (3.4)? Kutsutaan funktiota f n (x) sarjan (3.3) ja funktioita f (t,x) integraalin (3.4) osafunktioiksi. Määritelmä 8. Sarja (3.3) suppenee välillä I, mikäli se suppenee jokaisella arvolla x I. Samoin määritellään integraalin (3.4) suppeneminen välillä I. Esimerkki 9. Tunnetusti + x +... + x n = xn+ x, joten F(x) = + x + x +... = x suppenee, kun x (,). Näin ollen jäännöstermille R n (x) pätee R n (x) = F(x) F n (x) = x n+ x, mistä nähdään, että jäännöstermin R n (x) saamiseksi ε:in päähän nollasta tulee n valita aina suuremmaksi mitä lähempänä x on lukua. Tällöin sanotaan, että vaikka sarja F(x) = + x + x + x 3 +... suppenee välillä (,), ei se suppene tasaisesti tällä välillä. 3. Summaus tai integrointi yli äärellisen välin Tarkasteltaessa aluksi funktiosarjan sijaan äärellistä summaa F N (x) = N voidaan todeta, että osafunktioiden jatkuvuus, integroituvuus ja derivoituvuus periytyy suoraan summafunktiolle S N (x) ja integraalit ja derivaatat voidaan laskea termeittäin. Tämä seuraa mainittuja analyyttisiä ominaisuuksia koskevista perustuloksista. Vastaava tulos pätee myös integraaleille. f n (x) Lause 5. Jos funktio f : [,N] [a,b] R on jatkuva, niin N F N (x) = f (t,x)dt on jatkuva välillä [a,b]. Jos kutakin t [,M] kohti f (t,x) on integroituva yli välin x [a,b], niin myös F N (x) on, ja b a F N (x)dx = N b a f (t,x)dxdt. Jos lisäksi x f (t,x) : [,N] [a,b] R on jatkuva, niin F N on derivoituva ja Todistus. Sivuutetaan. N F N(x) = x f (t,x)dt
3. Tasainen suppeneminen 5 3 sinxt Esimerkki. Olkoon F(x) = t x R, on myös F(x) jatkuva. Lisäksi dt. Koska osafunktiot sinxt t ovat jatkuvia, kun t [,3] ja 3 F t cosxt (x) = dt = t 3/ x sinxt = (sin3x sinx). x Lisäksi 5 F(x)dx = 3 5 sinxt t dxdt = 3 ( 5 / cosxt ) 3 cost cos5t t dt = t dt. 3. Tasainen suppeneminen Edellisessä pykälässä esitetyt tulokset osafunktioiden ominaisuuksien periytymisestä eivät välttämättä päde, mikäli summan sijaan tarkastellaan sarjaa tai äärellisen välin integraalin sijaan I lajin epäoleellista integraalia. Tästä nähdään esimerkkejä myöhemmin Fourier n integraalien ja Fourier n sarjojen yhteydessä. Esimerkki. Tarkastellaan miksi jatkuvuutta ei voida näyttää funktiosarjoille toteen ilman lisäoletuksia, vaikka kaikki osafunktiot olisivat jatkuvia. Olkoon F(x) = f n (x), suppeneva sarja, kukin f n jatkuva, ja yritetään näyttää toteen, että F(x) olisi jatkuva. Tätä varten arvioidaan etäisyytä ( N N d(f(x),f(x )) = F(x) F(x ) = f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x )) n=n+ n=n+ N = ( f n (x) f n (x )) + f n (x) f n (x ) n=n+ n=n+ N ( f n (x) f n (x )) + f n (x) + f n (x ). n=n+ n=n+ Itseisarvomerkkien sisällä esiintyvistä lausekkeista ensimmäinen on äärellinen summa, joten se saadaan jatkuvuuden perusteella mielivaltaisen pieneksi, kunhan x valitaan riittävän läheltä x :aa. Seuraavat kaksi lauseketta puolestaan ovat suppenevan sarjan loppuosia, joten myös ne saadaan mielivaltaisen pieneksi, kunhan N valitaan riittävän suureksi. Ongelmaksi muodostuu kuitenkin se, että jos toinen lauseke halutaan saada pienemmäksi kuin jokin ennalta annettu raja, tulee N valita tietyn rajan yläpuolelta. Tällöin taas ensimmäisen lausekkeen yhteenlaskettavien määrä voi tulla suureksi, ja sen saamiseksi ennalta annetun rajan alapuolelle saattaa vaatia x:n valitsemista aina vain lähempää x :aa, jolloin taas toisen lausekkeen pieneksi saamiseen tulee ehkä N:ää kasvattaa, ja näin päädytään loputtomaan kierteeseen. Edellisen tarkastelun perusteella jatkuvuus voitaisiin näyttää toteen, mikäli sarjan loppuosa f n (x) n=n+ saadaan pieneksi x:stä riippumatta. Tällöin sanotaan, että sarjan tai integraalin suppeneminen on tasaista, ja edellisen pykälän tulokset voidaan yleistää.
6 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Määritelmä 9. Sarja F(x) = f n (x) suppenee tasaisesti välillä I, mikäli jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa sellainen rajaluku M ε, että f n (x) < ε, n=m jos M M ε, olipa x I valittu miten tahansa. Samoin integraalin F(x) = f (t,x)dt sanotaan suppenevan tasaisesti välillä I, jos jokaista positiivilukua ε kohti on sellainen rajaluku M ε, että f (t,x)dt < ε, M jos M M ε, olipa x I valittu miten tahansa. Huomautus. Tasaisen suppenemisen kannalta oleellista on lisämääre olipa x I valittu miten tahansa. Tämä nimittäin ilmaisee sen, että sarjan ja integraalin loppuosat F(x) = f n (x) F(x) = f (t,x)dt f n (x) n=m ja M f (t,x)dt saadaan miten lähelle nollaa hyvänsä, kunhan summaus/integrointi aloitetaan riittävän suuresta luvusta M, riippumatta siitä miten x on valittu. Tasainen suppenemisen määritelmää saattaa olla hankala käyttää sellaisenaan, mutta funktiosarjan, samoin kuin integraalin määrittelemän funktion tasaiselle suppenemiselle olemassa käyttökelpoinen kriteeri. Lause 6 (Weierstrassin M-testi). ) Jos on olemassa sellainen jono M, M, M 3,..., että. f n (x) M n, kun x I ja. sarja niin sarja M n suppenee, suppenee tasaisesti välillä I. f n (x) ) Jos on olemassa sellainen funktio M(t), että. f (t,x) M(t), kun x I ja
3. Tasainen suppeneminen 7. integraali M(t) dt suppenee, niin integraali suppenee tasaisesti välillä I. f (t,x)dt Todistus. Sivuutetaan. Weierstrassin kriteerissä mainittu yläraja M n tai M(t) osafunktioille voidaan usein löytää valitsemalla suurin mahdollinen arvo x:lle tarkasteluvälillä. Esimerkki. Jos < a <, saadaan esimerkin 9 sarjalle f n (x) = x n a n. Koska sarja a n n= suppenee (geometrinen sarja, summa a ), voidaan edellisen lauseen perusteella todeta, että esimerkin 9 sarja suppenee tasaisesti välillä [ a,a]. Seuraavassa lauseessa esitetään tärkeimpiä ominaisuuksia, jotka periytyvät osafunktioilta f n (x) ja f (t,x) sarjalle ja integraalille siinä tapauksessa, että suppeneminen tapahtuu tasaisesti. Lause 7. Oletetaan, että funktiot f n (x) ovat jatkuvia välillä I, f (t,x) : I R R jatkuva ja että sarja ja integraali F (x) = suppenevat tasaisesti välillä I. Tällöin. F (x) ja F (x) ovat jatkuvia välillä I.. F (x) ja F (x) ovat integroituva välillä I ja b a b a f n (x) ja F (x) = f (t,x)dt F (x)dx = F (x)dx = b a b a f n (x)dx f (t,x)dxdt 3. Jos f n(x) on jatkuva välillä I ja x f (t,x) : I R R on jatkuva ja f n(x) sekä x f (t,x)dt suppenevat tasaisesti välillä I, niin F(x) on derivoituva välillä I ja F (x) = f n(x) sekä F (x) = x f (t,x)dt. Todistus. Sivuutetaan, mutta huomautetaan, että jatkuvuus funktiosarjalle voidaan tasaisen suppenemisen tapauksessa todistaa esimerkissä mainitulla tavalla. Esimerkki 3. Sarja S(x) = suppenee tasaisesti koko reaaliakselilla, sillä sinnx n ja sarja n (3.5) on jatkuva koko reaaliakselilla, sillä kukin osafunktio sinnx n sinnx n (3.5) on. suppenee. Näin ollen funktio n
8 3 Funktiosarjat ja integraalin määrittelemät funktiot Esimerkki 4. Esimerkistä seuraa, että sarja +t = ( ) n t n n= suppenee tasaisesti välillä [ a, a], missä < a <. Jos siis x a, saadaan puolittain integroimalla x x ln( + x) = +t = ( ) n t n ( ) dt = n x n+. n= n= n + Summausindeksiä vaihtamalla saadaan siis ln( + x) = n xn ( ) n = x x + x3 3 x4 +..., (3.6) 4 ja sarja (3.6) suppenee, kun x <. Toisaalta taas Leibnizin lauseen (lause ) mukaan sarja (3.6) suppenee tasaisesti välillä [, ], joten sen summafunktio on jatkuva tällä välillä. Koska myös ln( + x) on välillä [,] jatkuva, ja sen arvo yhtyy sarjan (3.6) arvoon välillä [,), on arvojen oltava samat myös pisteessä x =. Näin ollen Esimerkki 5. Sarja ln = + 3 4 +... x = n= suppenee tasaisesti välillä [ a,a] ( < a < ). Derivoimalla puolittain saadaan ( x) = nx n = x n n= (n + )x n. Termeittäin derivointi onnistuu, koska myös derivaattasarja suppenee tasaisesti välillä [ a, a] (miksi? Katso myös esimerkki 8). Esimerkki 6. Aiemmin todettiin, että sarja suppenee tarkalleen silloin kun s >. On kuiten- ns kin mahdollista laajentaa sarjan ζ (s) = n s (3.7) määrittelemä funktio koko kompleksitasoon lukuunottamatta pistettä s =. Reaalialueella sarjaa (3.7) kutsutaan toisinaan yliharmoniseksi sarjaksi, mutta sen määrittelemän funktion laajennusta taas Riemannin ζ -funktioksi. Riemannin ζ -funktion nollakohtien sijainti kompleksitason alueessa < Re(s) < on yksi tärkeimmistä matematiikan toistaiseksi avoimista ongelmista. Riemannin ζ - funktion nollakohtien sijainnilla mainitussa alueessa on nimittäin suora yhteys alkulukujen jakauman määrittämiseen. Ns. Riemannin hypoteesin mukaan alueessa < Re(s) < sijaitsevien ζ -funktion nollakohtien reaaliosa on. Tämän hypoteesin oikeaksi todistamisesta on Clay Mathematics Institute luvannut miljoonan dollarin palkkion. 3.3 Potenssisarjat Kurssilla Insinöörimatematiikka B tutustuttiin Taylorin polynomeihin sekä näiden erikoistapauksiin Maclaurinin polynomeihin. Lause 8 (Taylorin polynomi). Oletetaan, että funktio f on n + kertaa derivoituva jossakin pisteen x ympäristössä. Tällöin