Matemaattinen Analyysi, k22, L
Vektorit Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria v = 2 i + 3 j sarake matriisilla ( ) 2 v = v = = ( 2 3 ) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä useamman kuin kahden koordinaatin vektoreihin. Yhteenlasku ja reaaliluvulla kertominen on nyt helposti määriteltävissä. ( ) ( 2 5 + 3 ( 2 2 3 ) ( 2 + 5 = 3 + ) ( 2 2 = 2 3 ) ( 7 = 4 ) ( 4 = 6 ) )
2 R n :n vektorit Yleistämme R 2 :ssa niin luonnolliset yhteenlasku- ja reaaliluvulla kertomissäännöt R n :ään seuraavasti. Olkoot a = (a a 2... a n ) T R n, b = (b b 2... b n ) T R n, c = (c c 2... c n ) T R n, ja µ R. a + b = c c j = a j + b j, j =,...,n µa = c c j = µa j, j =,...,n
merkintöjä 3 Sovitaan vielä merkinnöistä = (... ) T = (... ) T e k = ( δ k δ 2k... δ nk ) T missä δ kk =, ja δ jk =, kun j k Esimerkiksi R 3 :ssa =, =, e =, e 2 =, e 3 =,
4 Matriisit Kertaa matriisikertolasku niin, että pystyt näkemään seuraavien ehtojen yhdenpitävyys: x 2y + 3z = 4 2x + y 2z = y + z = 2 3 2 2 x 2 + y 2 x y y = + z 4 3 2 = 4
5 Kahden vektorin a R 3 ja b R 3 sisätulo a b ja vektorin a R 3 normi a määritellään seuraavasti a b = a T b = ( a a 2 ) a 3 a = a a = a 2 + a2 2 + a2 3 b b 2 b 3 = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 Sisätulo on siis lukiosta tuttu pistetulo ja normi on vektorin pituus.
6 Yleistys R n :ään Nyt yleistämme seuraavasti. Määritelmä Kahden vektorin a R n ja b R n sisätulo a b ja vektorin a R n normi a ovat a b = a T b = a b + a 2 b 2 + + a n b n a = a a = a 2 + a2 2 + + a2 n Sisätulon arvo on reaaliluku, joten sisätulo ei ole vektoreiden välinen laskutoimitus. (Siksi vältämme nyt pistetulomerkintää.)
ja läheisyys 7 Kahden vektorin sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan eli ortogonaaliset (merkitään a b) jos niiden sisätulo on nolla, a b a b =. Normi on mitta vektorin suuruudelle. Kaksi vektoria ovat lähellä toisiaan, jos niiden erotuksen normi on pieni
8 Esimerkki Olkoon a R N N:stä havaintoarvosta muodostuva havaintovektori (aikasarja). Havaintosarjan keskiarvo on µ a = (a + a 2 + + a N )/N = N a () Havaintojen poikkeama keskiarvosta (vaihtelu) saadaan vähentämällä keskiarvo jokaisesta havainnosta ã = (a µ a,a 2 µ a,...,a N µ a ) T = a µ a (2) Vaihtelun suuruutta on tapana mitata varianssilla s 2 a, joka on s 2 a = ã 2 N = (N ) a µ a a µ a = (N ) ( a a µ a a µ a a + µ 2 a ) = at a Nµ 2 a N ( R) (3)
9 Kovarianssi Olkoon b R N toinen aikasarja ja µ b sen keskiarvo ja b R N sen poikkeama keskiarvosta. Jos kummankin aikasarjan poikkeamat keskiarvosta noudattavat yhteistä rytmiä, niin tulo ã j b j on useimmiten positiivinen. Silloin ã b = ã j b j on positiivinen. Tätä yhteisvaihtelua on tapana mitata kovarianssilla cov(a,b) = ã b N = (N ) a µ a b µ b = (N ) ( a b µ b a µ a b + µ a µ b ) = at b Nµ a µ b N (4)
Korrelaatio Kahden aikasarjan välinen korrelaatio r ab määritellään lausekkeella r ab = cov(a,b) s a s b = ã b N ã b N N = ã b ã b
Esimerkki Seuraavassa taulukossa on kolme aikasarjaa ja vastaavat varianssit, kovarianssit ja korrelaatiokertoimet. j a j b j c j. 3. 5. 2.65 2.986 5.648 3.224 2.388 5.79 4.7 2.698 4.988 5.894 3.275 4.243 6.767 3.99 4.77 7.893 3.88 4.753 8.285 3.556 5.665 9.389 2.628 6.2. 2.25 5.289 j a j b j c j.733 3.349 4.497 2.67 2.54 4.3 3.823 2.857 4.497 4.76 3.286 5.366 5.327 3.575 5.939 6.247 2.74 5.5 7.976 3.449 4.863 8.849 2.996 4.272 9.74 2.6 4.343 2.63 3.57 5.65
2 Esimerkki µ a =.3 µ b = 2.959 µ c = 4.997 s a =.29 s b =.429 s c =.643 cov(a,b) =.2, r a,b =.26 cov(a,c) =.32, r a,c =.94 cov(b,c) =.4, r b,c =.53
3 Esimerkki 2 r ab = cov(a,b) s a s b = ã b ã b Yhteisvaihtelua käsitellään paljon riippuvuusanalyysin kurssilla. Tälä kurssilla emme jatka aiheen käsittelyä enempää kuin yhdellä huomiolla. Koska usein taloudelliset aikasarjat esitetään muodossa, jossa havaintojen keskiarvo on likimain nolla, ymmärretään helposti aikasarjojen ortogonaalisuus ja korreloimattomuus samaksi asiaksi. Tämä ei kuitenkaan ole totta. Seuraava vastaesimerkki osoittaa eron.
4 Esimerkki 2 j a j b j -, 3, 2, 5, 3-2, 2, 4 -, 3, 5, 4, 6, 5, µ -.333 3.667 s.2.2 cov(a,b) =.222 r a,b =., a b = korreloivat täydellisesti, vaikka ovatkin keskenään ortogonaaliset.