MAA Loppukoe 70 Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan! Vastauksiin välivaiheet, jotka perustelevat vastauksesi! Lue ohjeet huolellisesti! Tee kokeen yläreunaan pisteytysruudukko Valitse kuusi tehtävää seuraavista kahdeksasta Perustele vastauksesi! a Esitä paperille polynomin jakaminen polynomilla jakokulmassa: b Esitä a-kohdan tuloksen perusteella polynomi + + tulomuodossa, jossa tulon tekijät ovat ensimmäisen asteen polynomeja c Selitä miten b-kohdan tulomuodosta voi nähdä polynomin + + nollakohdat Ei tarvitse perustella, riittää kun viittaat johonkin sopivaan matemaattiseen kaavaan a Olkoon 4 f ( ) Todista Bolzanon lausetta käyttäen, että funktiolla f() on yksi nollakohtaa välillä [-,]? b Määritä haarukointia käyttäen a-kohdan funktion f() välillä [-,] oleva nollakohta neljän desimaalin tarkkuudella a) Muodosta funktion ( ) ln f erotusosamäärän lauseke kohdassa h:n avulla lausuttuna b) Arvioi derivaattaa f () käyttämällä erotusosamäärää ja h:n arvoja 0,00 ja 0,00 c) Arvioi derivaattaa f () käyttämällä keskeisdifferenssiä ja h:n arvoja 0,00 ja 0,00 4 a Yhtälöllä 4 on juuri välillä Määritä se seitsemän desimaalin tarkkuudella kiintopistemenetelmällä käyttämällä alkuarvoa =, b Kalastaja tutki rapusumppunsa rapuja ja taulukoi havainnot: Käännä ->
Koko, cm Paino keskimäärin, g 6 7 8 9 0 0 68 8 Muodosta laskimen avulla toisen asteen funktio, joka mallintaa, joka kuvaa ravun painon ja koon välistä riippuvuutta Arvioi minkä kokoinen rapu painaa 60 g Pyörätie päätettiin päällystää Päällysteen määrän arvioimiseksi mitattiin pyörätien leveys ja pituus Tulokseksi saatiin,7 ± 0,m ja, ± 0,0km a Missä rajoissa pyörätien todellinen pinta-ala vaihtelee? b Paljonko päällystettä tarvitaan, jos sen pitäisi olla ± 0,cm? 6 Funktion f ( ) kuvaaja rajoittaa välillä 0 akselin kanssa alueen A Laske alueen A pinta-alan viisidesimaalinen likiarvo käyttäen Simpsonin sääntöä ja neljää osaväliä 7 Muodosta funktion f ( ) toisen asteen Taylorin polynomi kohdassa 0 Laske, saamallasi polynomilla Laske arvion suhteellinen virhe 8 Funktion f( ) nollakohtaa etsittäessä käytettiin Newtonin menetelmää ja sen mukaan ratkaisukaavaksi muodostui:, n,,ja 0 n n n n 0 n a) Mikä oli tutkittava funktio? b) Ilmoita välitulokset,,, c) Osoita perustellen, että funktion nollakohdan viisidesimaalinen likiarvo on 0,9844?
RATKAISUT: a Esitä paperille polynomin jakaminen polynomilla jakokulmassa: + + + + Täten + + = + 0 b + + = ( )( + ) = ( )( + ) ( )( ) c = ( )( + )( ) Käytetään kaavaa a n + b n + + c = a( )( ) ( n ) missä,,, n ovat polynomin nollakohtia Tällöin tämän polynomin nollakohdat ovat,- ja 0, a Funktio on polynomifunktio ja sen määrittelyjoukko on R Tällöin se on kaikkialla jatkuva Lisäksi f( ) = 6 0 4 + = ja f() = + + = Funktio siis on jatkuva välillä [-,] ja vaihtaa merkkiään Silloin sen on kuljettava - akselin läpi ja näin sillä on oltava Bolzanon lauseen nojalla nollakohta välillä [-,]
b Taulukoidaan: 4 f ( ) 0 - --+=- -0,,8-0,7,004-0,8 0,09-0,9-0,99-0,87 0,00807-0,88-0,0768-0,88-0, -0,877-0,008086-0,876-0,0000 NEG -0,87 0,004-0,877 0,00-0,879 0,0008-0,879 0,0004 POS Nyt ollaan haarukoitu, että nollakohta on välillä [-0,8760 ; -0,879], joten nollakohta pyöristyy = -0,8760 a) Muodosta funktion ( ) ln f erotusosamäärän lauseke kohdassa h:n avulla lausuttuna: Erotusosamäärä Sievennettynä! h ln( ) ln( ) f ( h) f () E( h) ln( h) h h h b) Arvioi derivaattaa f () käyttämällä erotusosamäärää ja h:n arvoja 0,00 ja 0,00 : E(0,00) = ln( + 0, 0,00) = 0,49986 0,00 E( 0,00) = ln( + 0, ( 0,00)) = 0,00 0,00
c) Arvioi derivaattaa f () käyttämällä keskeisdifferenssiä ja h:n arvoja 0,00 ja 0,00 E (0, 00) E ( 0, 00) 0, 49988 0,00 0,000 4 a Yhtälöllä 4 on juuri välillä Määritä se seitsemän desimaalin tarkkuudella kiintopistemenetelmällä käyttämällä alkuarvoa =, Kiintopistemenetelmän mukainen funktio g( ) 4 g( 0) 4, g( ) 4 g(ans),097 4 g(ans),647,980887,976609 6,9766 7,976609 8 7, joten seuraavat arvot ovat samoja =,976609 b Laskin: Laskimen mukaan malli on noin y, 7,6 7, missä on koko (cm) ja y paino (g) Saadaan yhtälö, 7,6 7, 60 Ravun koko pitää olla siis n cm, jotta se painaa 60g
Pyörätie päätettiin päällystää Päällysteen määrän arvioimiseksi mitattiin pyörätien leveys ja pituus Tulokseksi saatiin,7 ± 0,m ja, ± 0,0km a Missä rajoissa pyörätien todellinen pinta-ala vaihtelee? Pinta-ala A =,7m 00 m = 8640 m A min =,6m 90 m = 894 m A ma =,8m 0 m = 8988 m A A min = 8640 m 894 m = 46m A A ma = 8988 m 8640 m = 48m => A 0m A = 8640m ± 0m b Paljonko päällystettä tarvitaan, jos sen pitäisi olla ± 0,cm? V = Ah = 8640m 0,0m = 4m V min = 894m 0,049m = 406,4m V ma = 8988m 0,0m = 48,4m V V min = 4m 406,4m =,6m V V ma = 48,4m 4m = 6,4m => V = 7m V = 4m ± 7m 6 f() = + ja Simpsonin sääntö: A = h [f( 0) + 4f( ) + f( ) + + f( n )] Jaetaan väli [0,] neljään osaväliin, jolloin h =/4=0, => 0 = 0, = 0,, =, =,, 4 = Nyt A = 0, [f(0) + 4f(0,) + f() + 4f(,) + f()] =,494 7 f() = + => f () = => f () = (+) Nyt Taylorin polynomi kohdassa = 0 on: T() = f(0) + f (0)( 0) + f (0)! 8 9 (+) ( 0) = + 8 9 = 4 9 + + Jos halutaan laskea,, niin tällöin funktiossa f() = + muuttujan täytyy olla 0,0 Lasketaan T(0,0) = 4 9 0, + 0, + = 9,,,08 =,08, joten suhteellinen virhe on = 0,84 => 8,4%,08
8 Ratkaisu: a) Funktio oli f ( ) b) Funktio on polynomina derivoituva ja derivaatta f ( ) Käytetään Newtonin algoritmia Alkuarvo 0 0 ja f ( n) n n eli f ( ) n 0 f( 0 ) 0 0 f ( 0 ) 0 0 0, f( ) ( 0,) ( 0,) f ( ) ( ) n n n n 0, 0,9847 0,98474 0,98474 4 n Täten juuren likiarvo on viiden desimaalin tarkkuudella 0,9844 Tarkkuuden osoitus: f( 0,98440), 464 0 0 ja f( 0,984),4 0 0 Koska funktio vaihtaa merkkiään välillä 0,98440 0,984, niin tällä välillä on nollakohta Bolzanon lauseen nojalla Välin kaikki arvot pyöristyvät -desimaaliseen arvoon 0,9844