Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03

Sisältö Johdanto Kompleksiluvut ja niiden ominaisuudet 4. Kompleksilukujen määrittely................... 4. Kompleksilukujen laskutoimitukset............... 4.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys............ 5.4 Eulerin kaava........................... 6 Kompleksifunktio ja kompleksilukujono 7 3 Potenssisarja 3. Suppenemistestejä sarjoille.................... 3. Analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä.......... 4 3.3 Funktion Taylor-kehitelmä.................... 5 3.4 Funktion Laurent-kehitelmä................... 7 4 Residylause 8 5 Sarjojen summaaminen residyjen avulla 0 6 Mittag-Leerin laajennuslause 7 Lähdeluettelo 33

Johdanto Tässä tutkielmassa käsitellään kompleksilukuja ja niihin liittyvää residylaskentaa, jota pystytään soveltamaan kompleksianalyysissä. Kompleksilukujen teoria eroaa merkittävästi reaalilukujen teoriasta, mutta kompleksiluvuilla on erittäin hyödyllisiä käyttötapoja, kuten tässä tutkielmassa esiteltävä menetelmä reaaliarvoisten sarjojen summien laskemiseen. Ennen tämän tutkielman pääaiheisiin siirtymistä, täytyy kuitenkin esittää hieman esitietoa kompleksiluvuista, -funktioista, -jonoista ja -sarjoista. Tutkielman ensimmäisessä kappaleessa esitellään kompleksiluvut ja eräitä hyvin keskeisiä kompleksilukujen ominaisuuksia. Ensimmäisenä määritellään kompleksiluvut, kompleksilukujen laskutoimitukset ja kompleksiluvun itseisarvo. Tämän jälkeen esitellään kompleksilukujen napakoordinaattiesitys, De Moivren lause ja Eulerin kaava. Eulerin kaavalla määritellään kappaleen lopussa kompleksilukujen trigonometriset funktiot. Toinen kappale esittelee kompleksilukujonon ja kompleksifunktion sekä siihen liittyviä määritelmiä ja tuloksia. Alussa käsitellään kompleksilukujonoa ja funktiojonoa sekä niiden suppenemista. Tämän jälkeen tarkastellaan kompleksifunktion analyyttisyyttä määrittelemällä ensin derivoituvuus, integroituvuus, kiekon määritelmä ja lopuksi analyyttisyyden määritelmä, josta huomataan, että kompleksifunktion analyyttisyydessä ja reaalifunktion derivoituvuudessa on yhteys. Tämän jälkeen esitellään pari tärkeää tulosta, joita tarvitaan osoittamaan Cauchyn integraalikaava, joka on kappaleen viimeinen tulos ja keskeinen asia tässä tutkielmassa. Kolmas kappale käsittelee potenssisarjaa, funktion Taylor-kehitelmää ja funktion Laurent-kehitelmää. Tätä ennen kappaleessa esitellään sarja ja sen suppenemiseen liittyviä tuloksia. Tämän jälkeen käydään läpi muutamia suppenemistestejä sarjoille, joilla voidaan tutkia erilaisten sarjojen suppenemista. Tämän jälkeen esitellään analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä, jonka avulla todistetaan funktion Taylor-kehitelmä ja lasketaan tämän avulla funktiolle e z jo reaalianalyysistäkin tuttu sarjakehitelmä. Kappaleen lopussa esitellään funktion Laurent-kehitelmä, jonka avulla päästään siirtymään tutkielman pääaiheeseen residylaskentaan. Neljännessä kappaleessa käsitellään residylaskentaa. Ensin esitellään residylause ja näppärä kaava, jolla voidaan laskea funktion residyt ilman, että muodostettaisiin funktiosta ensin Laurent-sarja. Kappaleen lopussa lasketaan pari esimerkkiä liittyen residylauseeseen.

Viidennessä kappaleessa esitellään tuloksia, joilla voidaan laskea reaaliarvoisille sarjoille tarkkoja arvoja residylaskennan avulla. Kappaleen alussa esitellään tuloksia, joiden avulla päästään osoittamaan kaava, jolla voidaan laskea tietynlaisten sarjojen summia. Kappaleen lopussa lasketaan esimerkkejä sarjoista, joiden summa on π ja π 4. Tutkielman viimeinen kappale käsittelee Mittag-Leerin laajennuslausetta, joka on hyvä apuväline silloin, kun halutaan sarjakehitelmä sellaisille sarjoille, joilla on vain yksinkertaisia singulaaripisteitä. Kappaleen alussa todistetaan kyseinen tulos ja tämän jälkeen lasketaan funktioille csc z ja tan z sarjakehitelmät Mittag-Leerin laajennuslauseen avulla. Tutkielmassa on pääosin käytetty teosta []. Äärettömien sarjojen summaamiseen liittyvissä tuloksissa on käytetty apuna teosta []. Lisäksi on suositeltavaa tutustua lähteeseen [3] tutustuessa tutkielmaan. 3

Kompleksiluvut ja niiden ominaisuudet. Kompleksilukujen määrittely Tässä luvussa esitellään kompleksiluvut ja niiden ominaisuuksia, jotka ovat pohjana tutkielman myöhemmille aiheille. Luvussa on esitelty kompleksilukujen laskutoimitukset, kompleksilukujen napakoordinaattiesitys, kompleksiluvun itseisarvo, De Moivren lause, Eulerin kaava ja trigonometrisiä funktioita kompleksiluvuille. Kompleksiluvut ovat muotoa z = a + bi, missä a, b R ja i on imaginaariyksikkö, jolle pätee i =. Kompleksiluvussa a on kompleksiluvun reaaliosa ja b on kompleksiluvun imaginääriosa. Kompleksiluvun z = a + bi kompleksikonjugaatti on z = a bi.. Kompleksilukujen laskutoimitukset Kompleksiluvuille z = x + iy ja z = x + iy ovat voimassa seuraavat laskutoimitukset:. z + z = (x + x ) + i(y + y ).. z z = (x x y y ) + i(x y + x y ). Nämä laskutoimitukset määrittelevät kompleksilukujen kunnan ja niistä voidaan johtaa kompleksilukujen jako- ja vähennyslasku. Kompleksiluvun itseisarvo on z = x + iy = x + y. Tätä lukua sanotaan myös kompleksiluvun moduuliksi. Tarkastellaan seuraavaksi eräitä itseisarvon ominaisuuksia. Olkoot z, z,..., z n kompleksilukuja. Tällöin. z z = z z ja yleisesti z z z n = z z z n.. z z = z z, z 0. Lisäksi kolmioepäyhtälö pätee myös kompleksiluvuille eli z z z ± z z + z. () 4

Lause. (De Moivren lause). Olkoon z, z,..., z n kompleksilukuja. Tällöin z z z n = r r r n {cos (θ + θ +... + θ n ) + i sin (θ + θ +... + θ n )}. Erityisesti z n = {r(cos θ + i sin θ)} n = r n (cos nθ + i sin nθ). Todistus. [, s.6]..4 Eulerin kaava Tarkastellaan seuraavaksi Eulerin kaavaa. Oletetaan, että reaalianalyysissä määritelty funktion e x laajennus äärettömäksi sarjaksi e x = + x + x! + x3 3! +... pätee, kun x = iθ. Tällöin saadaan Eulerin kaava e iθ = cos θ + i sin θ. Eulerin kaavasta voidaan johtaa seuraavat esitykset trigonometrisille funktiolle sin z = eiz e iz ja cos z = eiz + e iz i sec z = cos z = ja csc z = e iz + e iz sin z = tan z = sin z cos z = eiz e iz i(e iz + e iz ) i e iz e iz ja cot z = tan z = i(eiz + e iz ) e iz e iz, missä nimittäjässä oleva cos z 0 eli z π + kπ ja nimittäjässä oleva sin z 0 eli z kπ, k Z. Lisäksi trigonometristen funktioiden hyperboliset funktiot määritellään seuraavasti sinh z = ez e z ja cosh z = ez + e z sechz = cosh z = ja cschz = e z + e z sinh z =, (z 0) e z e z tanh z = sinh z cosh z = ez e z e z + e z cosh z ja coth z = sinh z = ez + e z, (z 0). e z e z 6

Kompleksifunktio ja kompleksilukujono Tässä kappaleessa tarkastellaan kompleksilukujonoa, funktiojonoa ja muutamia tärkeitä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin lauseiden todistuksissa. Aluksi esitellään kompleksilukuarvoinen jono, perehdytään sen suppenemiseen ja esitellään käsite osajono. Sitten siirrytään tarkastelemaan kompleksifunktiojonoa ja sen suppenemista. Tämän jälkeen määritellään funktion analyyttisyys ja siitä seuraavia lauseita. Lopuksi määritellään funktion erikoispisteistö ja Cauchyn integraalikaava. Määritelmä. Funktiota f : N C sanotaan kompleksilukujonoksi ja sitä merkitään f(n) = (a n ), n N. Arvoja a n, n =,,..., sanotaan kompleksilukujonon termeiksi. Määritelmä. Kompleksilukujono (a n ) suppenee kohti pistettä a, jos jokaista ɛ > 0 kohti on olemassa vakio N N, N = N ɛ, jolle aina, kun n N. a n a < ɛ Määritelmä 3. Kompleksilukujono (u n ) on kompleksilukujonon (z n ) osajono, jos on olemassa luonnolliset luvut n < n <..., joille u k = z nk, k N. Esimerkki.. Olkoon kompleksilukujono a n kompleksilukujonon kolme ensimmäistä termiä ovat i, i, i3 3,.... = in n, n =,,.... Nyt Osoitetaan, että kompleksilukujono a n suppenee kohti pistettä 0. Nyt a n 0 = a n = i n n = i n n = n < ɛ aina, kun n >. Valitaan N >, jolloin saadaan ɛ ɛ i n n 0 < ɛ, kun n N. Kompleksifunktiot voivat supeta kompleksilukujonojen kaltaisesti kohti rajafunktiota. Määritellään seuraavaksi kompleksifunktiojono ja tarkastellaan sen suppenemista. 7

Määritelmä 4. Olkoon (f n ) funktiojono joukossa E C määriteltyjä kompleksifunktioita. Kaikilla z E määritellään kuvaus f : E C asettamalla f n(z) = f(z). n Tällöin sanotaan, että funktiojono (f n (z)) suppenee pisteittäin kohti funktiota f. Määritelmä 5. Olkoon funktiojono (f n ) joukossa E määriteltyjä kompleksifunktioita, jotka suppenevat pisteittäin kohti funktiota f eli Jos f n (z) f(z) pisteittäin kaikilla z E. sup f n (z) f(z) = 0, n z E niin sanotaan että funktiojono f n suppenee tasaisesti kohti funktiota f joukossa E. Tarkastellaan seuraavaksi kompleksifunktion analyyttisyyttä ja siitä seuraavia tuloksia. Ensin määritellään kuitenkin jo reaalianalyysistä tuttu derivaatta ja sen avulla integraali. Määritelmä 6. Olkoon alue E C, E. Funktiolla f : E C on derivaatta pisteessä x 0, jos raja-arvo on olemassa. f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Määritelmä 7. Olkoon funktio z : [a, b] C kuvaus, jolle z(t) = x(t)+iy(t), missä x ja y ovat jatkuvia reaalifunktioita. Tällöin kuvauksen z arvojoukkoa = {z(t) = x(t) + iy(t) t [a, b]} kutsutaan käyräksi. Käyrä on säännöllinen, jos derivaattafunktiot x ja y (ja siten myös z ) ovat olemassa ja jatkuvia. Määritelmä 8. Funktion f integraalilla pitkin käyrää : [a, b] C tarkoitetaan b f(z)dz = f(z(t))z (t)dt. a 8

Määritelmä 9. Merkinnällä D r (a) tarkoitetaan a-keskistä ja r-säteistä avointa kiekkoa ja merkinnällä D r (a) suljettua a-keskistä r-säteistä kiekkoa. Siis D r (a) = {z C : z a < r} ja D r (a) = {z C : z a r}. Määritelmä 0. Joukkoa R = {z C r < z a < r }, missä r > 0, r > 0 ja piste a on kiekkojen D r (a) ja D r (a) keskipiste, sanotaan rengasalueeksi. Määritelmä. Funktio f(z) on analyyttinen alueessa C C, jos funktion derivaatta f (z) on olemassa kaikkialla alueessa C. Lisäksi funktio f(z) on analyyttinen pisteessä z 0, jos funktion derivaatta f (z) on olemassa kaikkialla kiekossa D r (z 0 ),jollakin r > 0. Huomataan siis, että kompleksifunktion analyyttisyys on sama asia kuin reaalifunktion derivoituvuus. Funktion analyyttisyydellä on kuitenkin kompleksianalyysissä niin suuri merkitys, että se on hyvä erottaa eri nimellä reaalifunktion derivoituvuudesta. Lause.. Olkoon funktio f analyyttinen alueessa C, jonka rajaavat kaksi suljettua sisäkkäistä käyrää ja. Tällöin f(z) dz = f(z) dz, Todistus. [, h.0, s.07]. Lause.3. Olkoon funktio f integroituva positiivisesti suunnistettua käyrää pitkin, jonka pituus on L. Jos on olemassa sellainen M > 0, että f(z) M käyrällä, niin f(z) dz ML. Todistus. Nyt f(z) dz f(z) dz. Oletuksen nojalla on olemassa vakio M > 0, jolle f(z) M, joten saadaan f(z) dz f(z) dz M dz. Nyt käyrän pituus on L, joten saadaan f(z) dz ML. 9

Määritelmä. Piste z 0 C on funktion f(z) singulaaripiste (erikoispiste), mikäli funktio f on analyyttinen pisteen z 0 avoimessa ympäristössä olevassa pisteessä z, mutta funktio f ei ole analyyttinen pisteessä z 0. Seuraavassa on määritelty erilaisia erikoispisteitä. Oletetaan, että z 0 on kaikissa tapauksissa funktion f(z) singulaaripiste.. Piste z 0 on eristetty erikoispiste, jos on olemassa avoin kiekko D r (z 0 ), joka ei sisällä muita erikoispisteitä kuin pisteen z 0.. Piste z 0 on funktion f n-kertainen napa (n N), jos on olemassa vakio M 0, jolle z z 0 (z z 0 ) n f(z) = M. Piste z 0 on funktion f poistuva erikoispiste, jos raja-arvo on olemassa. z z 0 f(z) 3. Piste z 0 on oleellinen erikoispiste, jos se ei ole funktion f napa tai poistuva erikoispiste. Lause.4 (Cauchyn integraalikaava). Jos funktio f on analyyttinen suljetussa alueessa C ja piste a on alueessa C, niin f(a) = f(z) πi z a dz, missä on alueen C reuna. Todistus. Nyt funktio f(z) on analyyttinen alueessa C lukuunottamatta singulaaripistettä z = a. Tällöin Lauseen. nojalla saadaan z a f(z) z a dz = f(z) z a dz, missä on r-säteinen ympyrä, jonka keskipiste on a. Nyt z a = re iθ, missä 0 θ < π. Sijoittamalla z = a + re iθ saadaan f(z) π z a dz = f(a + re iθ )ire iθ π dθ = i f(a + re iθ ) dθ. re iθ 0 0 Nyt f(z) π z a dz = i f(a + re iθ ) dθ. 0 0

Tälloin saadaan f(z) z a π dz = i r 0 = i 0 π 0 π f(a + re iθ ) dθ = i f(a + 0 r 0 reiθ ) dθ f(a) dθ = πif(a). Nyt funktio f on analyyttisenä funktiona jatkuva, joten raja-arvo on olemassa. Tästä seuraa lause eli f(a) = f(z) πi z a dz. Seuraus.4.. Olkoon funktio f analyyttinen suljetussa alueessa C, alueen C reuna ja piste a on alueessa C. Tällöin f (n) (a) = n! f(w) dw. πi (w a) n+ 3 Potenssisarja Potenssisarja on hyvin tärkeä kompleksilukuihin liittyvä sarja, koska sen käyttömahdollisuudet ja sovellukset ovat niin laajoja. Luvun alussa esitellään yleinen potenssisarja, jonka jälkeen esitellään erilaisia suppenemistestejä sarjoille. Tämän jälkeen esitellään analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä, Taylorin sarjakehitelmä ja Laurentin sarjakehitelmä. Määritelmä 3. Olkoon (f n ) funktiojono joukossa E määriteltyjä kompleksiarvoisia funktioita. Muodostetaan funktioista summat S (z) = f (z) S (z) = f (z) + f (z). S n (z) = f (z) + f (z) +... + f n (z). Tällöin (S n ) on funktiojono joukossa E. Jos S n(z) = S(z) n on olemassa, kun z E, niin sanotaan, että sarja S(z) = f k (z) k=

suppenee. Lisäksi funktiota S n (z) sanotaan sarjan S(z) n:nneksi osasummaksi. Määritelmä 4. Sarja S(z) = n= f n(z) suppenee itseisesti pisteessä z, jos sarja T (z) = n= f n(z) suppenee. Määritelmä 5. Summafunktiota S(z) = a 0 + a (z a) + a (z a) +... = sanotaan potenssisarjaksi pisteessä z = a. a n (z a) n n=0 Määritelmä 6. Sarjan n=0 a nz n suppenemissäde on { } R = sup z : a n z n suppenee. n=0 Tällöin sarja n=0 a nz n suppenee itseisesti kaikilla arvoilla z säteen z = R määrittelemän avoimen kiekon sisällä. Tätä kiekkoa kutsutaan suppenemiskiekoksi. 3. Suppenemistestejä sarjoille Tässä luvussa esitellään kolme suppenemiseen liittyvää testiä, jotka ovat hyödyllisiä sarjan suppenemisen tutkimiseen ja suppenemissäteen määrittämiseen. Lause 3.. Olkoot (a n ) ja (b n ) kompleksilukujonoja. Jos sarja n= b n suppenee itseisesti ja a n b n, niin sarja n= a n suppenee itseisesti. Todistus. Olkoon S n = n k= a k ja T n = n k= b k. Koska n= b n suppenee itseisesti on raja-arvo n T n olemassa. Merkitään n T n = T. Koska b n 0 kaikilla n =,,..., niin T n T. Tällöin S n = a + a +... + a n b + b +... b n T. eli 0 S n T. Nyt S n on rajoitettu ja monotonisesti kasvava jono, joten sillä täytyy olla raja-arvo. Täten n= a n suppenee itseisesti. Huomautus. Jos sarja n= a n hajaantuu ja b n a n, niin sarja n= b n hajaantuu, mutta sarja n= b n voi supeta tai hajaantua.

Lause 3.. Olkoon n= a n kompleksilukusarja. Jos raja-arvo a n+ n a n = L ja L <, niin sarja n= a n suppenee. Todistus. Valitaan vakio N > 0 niin suureksi, että kaikilla n N a n+ a n r, missä r on vakio ja L < r <. Tällöin a N+ r a N Summaamalla termit yhteen saadaan a N+ r a N+ r a N a N+3 r a N+ r 3 a N. a N+ + a N+ +... a N (r + r + r 3 +...). Nyt N= a N suppenee, sillä 0 < r < ja a N a n, joten n= a n suppenee Lauseen 3. nojalla. Huomautus. Sarja n= a n hajaantuu, kun L >. Jos L =, ei voida sanoa suppeneeko sarja vai hajaantuuko se. Lause 3.3. Olkoon n= a n kompleksilukusarja. Jos raja-arvo n an = L, n niin n= a n suppenee jos L <. Todistus. Valitaan vakio N > 0 niin suureksi, että kaikilla n N pätee a n r n, missä 0 < r < L. Tällöin n= rn suppenee geometrisenä sarjana, sillä r < L < ja Lauseen 3. nojalla n= a n suppenee. Huomautus 3. Sarja n= a n hajaantuu, kun L >. Jos L =, ei voida sanoa suppeneeko sarja vai hajaantuuko se. Esimerkki 3.4. Olkoon a n = n. Tällöin n a n+ n a n = (n + ) n n n n+ = n + n n = n( + ) n n n =. Siis kompleksilukusarja n= a n suppenee suhdetestin nojalla. 3

3. Analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä Seuraavaksi esitellään analyyttisen funktion potenssisarjakehitelmä, jonka avulla mille tahansa analyyttiselle funktiolle saadaan kiekossa D r (z 0 ) sarjakehitelmä. Seuraava lause on myös pohjana määriteltäessä Taylorin ja Laurentin sarjakehitelmiä. Lause 3.5. Olkoon funktio f analyyttinen alueessa C ja piste z 0 C, joka on kiekon D r (z 0 ) C keskipiste. Tällöin funktiolla f on kiekossa D r (z 0 ) kehitelmä f(z) = a k (z z 0 ), missä a k = πi k=0 f(w) dw, (w z 0 ) k+ jossa on positiiviseen suuntaan suunnistettu suljettu käyrä pitkin kiekon D r (z 0 ) reunaa. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki 3.6. Tarkastellaan sarjaa S(z) = k=0 a kz k. Derivoimalla sarjaa S(z) saadaan S (z) = ka k z k. Nyt sarjan S(z) suppenemissäde on k= R = ak k k ja sarjan S (z) suppenemissäde on R = k k kak = k k k ak = k k ak = R. k Siis sarjalla S(z) on sama suppenemissäde kuin sen derivaatalla S (z). Esimerkki 3.7. Olkoon S(z) = n n 4 n + = n n= z n 4 n +. Tällöin a n = 4 n + ja 4 = n + 4 n joten sarja S(z) suppenee, kun z < 4. Kun z = 4, niin n joten sarja S(z) hajaantuu, kun z 4. 4 n 4 n + = + 4 n =, 4 4 <,

3.3 Funktion Taylor-kehitelmä Tässä luvussa esitellään ja todistetaan Taylorin sarja, jonka jälkeen esitetään sarjakehitelmä jo aikaisemmin esille tulleelle eksponenttifunktiolle Taylorin sarjakehitelmän avulla. Lause 3.8. Olkoon funktio f analyyttinen alueessa C ja sen reunakäyrällä. Olkoot lisäksi pisteet a ja z alueessa C. Tällöin f(z) = f(a) + f (a)(z a) + f (a)! (z a) +... + f (n) (a) (z a) n +.... n! Tätä sanotaan funktion f Taylor-kehitelmäksi pisteessä a. Todistus. Olkoon z mikä tahansa piste alueessa C. Olkoon positiiviseen suuntaan suunnistettu käyrä, joka on kiekon D r (a) reuna alueessa C ja sisältää pisteen z. Tällöin käyttämällä Cauchyn integraalikaavaa saadaan f(z) = πi f(w) w z dw. () Tarkastelemalla geometrisen sarjan osasummaa saadaan w z = w a + a z = (w a) (z a) = ( ) w a z a w a = ( + z a ( ) ( ) n z a z a w a w a + +... + w a w a ( ) n ) z a + w a z a. w a Siten w z = w a + z a (z a) (z a)n + +... + (w a) (w a) 3 (w a) ( ) n n z a + w a w z. (3) Kertomalla yhtälö (3) puolittain luvulla f(w) ja käyttämällä yhtälöä () saadaan f(z) = f(w) πi w a dw + z a f(w) πi (w a) dw +... (4) (z a)n f(w) + πi (w a) dw + R n, n 5

missä funktio R n = ( ) n z a f(w) πi w a w z Käyttämällä yhtälöön (4) Seurausta.4. saadaan dw. (5) f(z) = f(a) + f (a)(z a) + f (a) (z a) +... + f (n ) (a)! (n )! (z a)n + R n. Osoitetaan, että R n = 0. n Koska piste w on käyrällä saadaan z a w a < ɛ <, missä ɛ > 0 on vakio. Lisäksi on olemassa vakio M > 0, jolle Nyt f(w) M. w z = (w a) (z a) r z a, missä r on kiekon D r (a) säde. Lauseen.3 nojalla saadaan ( ) n R n = z a f(w) πi w a w z dw ɛ n M π r z a πr = ɛn Mr r z a. Kun tarkastellaan raja-arvoa saadaan R ɛ n Mr n = n n r z a = 0. Lause on todistettu ja saadaan siis f (n) (a) f(z) = (z a) n. n! n=0 Esimerkki 3.9. Olkoon f(z) = e z. Määritetään funktion f Taylorin sarja origossa. Nyt f (n) (z) = e z, jokaiselle luvulle n 0. Lauseen 3.8 nojalla saadaan e z = + z + z! + z3 3! +... = Huomataan siis, että kompleksianalyysissä sarjakehitelmä on eksponenttifunktiolle sama kuin reaalianalyysissä. Taylorin sarjakehitelmän avulla voidaan kehittää myös sarjat trigonometrisille funktioille samankaltaisesti tarkastelemalla tilannetta origokeskeisessä kiekossa. 6 n=0 z n n!.

3.4 Funktion Laurent-kehitelmä Tässä luvussa esitellään funktion Laurent-kehitelmä, joka on hyödyllinen työkalu silloin, jos halutaan sarjakehitelmä sellaiselle funktiolle, jolla on napoja. Määritelmä 7. Funktio f on meromornen alueessa D C, mikäli se on analyyttinen alueessa D lukuunottamatta joukkoa S, jonka pisteet ovat funktion f napoja. Esimerkki 3.0. Olkoon f(z) = z+. Määritetään funktion f(z) navat. z z Tutkimalla funktion f nimittäjän nollakohdat saadaan funktio muotoon: f(z) = z + z z = z + (z + )(z ) Nyt f on analyyttinen alueessa C \ {, }. Lisäksi ja (z + )( z + z (z + )(z ) ) = ( ) + (z )( z + z (z + )(z ) ) = + + = 3 = 5 3. Siis z = ja z = ovat funktion f ensimmäisen kertaluvun napoja. Lause 3. (Funktion Laurent-kehitelmä). Olkoon funktio f analyyttinen rengasalueessa R ja olkoot ja kiekkojen D r (a) ja D r (a) positiivisesti suunnistetut (paloittain)säännölliset reunakäyrät, missä 0 < r < r. Tällöin kaikille pisteille z rengasalueessa R saadaan missä ja Todistus. [, s.55]. f(z) = a n = πi a n (z a) n + n=0 a n = πi n= a n (z a) n, f(w) dw, n = 0,,,... (w a) n+ f(w) dw, n =,, 3... (w a) n+ Huomautus 4. Voidaan osoittaa, että funktion Laurent-kehitelmä on yksikäsitteinen. 7

Lasketaan seuraavaksi esimerkki Laurent-sarjan muodostamisesta. Esimerkki 3.. Määritetään funktion f(z) = ez z 3 Laurent-kehitelmä pisteessä z = 0. Nyt funktion e z z = 0 on muotoa e z = + z + z4! + z6 3! +..., joten Taylor-sarja pisteessä e z z 3 = z 3 ) ( + z + z4! + z6 3! +... = = z 3 + z + n=0 z n+ (n + )!. z 3 + z + z! + z3 3! + z5 4! +... Huomataan, että funktiolla f on kolmannen kertaluvun napa pisteessä z = 0. 4 Residylause Residylaskentaa voidaan käyttää esimerkiksi eräiden reaaliarvoisten integraalien laskemiseen, joiden laskeminen muuten saattaa olla hankalaa. Lisäksi residylaskennalla pystytään laskemaan eräiden reaaliarvoisten sarjojen summia. Tässä kappaleessa esitellään ensimmäiseksi residylause ja sen jälkeen laskukaava, jonka ansioista residyjen laskemiseen ei tarvitse aina ensin määrittää funktion Laurent-kehitelmää. Määritelmä 8. Olkoon f funktio, joka on analyyttinen joukossa D r (z 0 ) \ {z 0 }. Olkoon funktion f Laurent-sarja f(z) = a k (z z 0 ) k. k= Tällöin kerrointa a sanotaan funktion f residyksi pisteessä z = z 0 ja sitä merkitään (z 0 ). Lause 4. (Residylause). Olkoon f suljetun (paloittain)säännöllisen käyrän rajaamassa alueessa määritelty funktio, joka on analyyttinen edellä mainitussa alueessa lukuunottamatta singulaaripisteitä z, z,..., z n. Tällöin f(z)dz = πi ( ) (z ) +... + (z n ), missä (z k ) on funktion f residy navassa z k, k =,,..., n. 8

Todistus. Olkoon polku i z i -keskinen ympyrä ja olkoon i j =, i j. Tällöin [, Lemma 3.0] f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz +... + f(z)dz, (6) n missä n Z +. Toisaalta Laurentin kehitelmän mukaan f(z)dz = πi(z ), f(z)dz = πi(z ),..., f(z)dz = πi(z n ). n Yhdistämällä yhtälöt (6) ja (7) saadaan f(z)dz = πi((z ) + (z ) +... + (z n ) ). (7) Seuraavaksi esitellään laskukaava, jonka avulla funktion residyt voidaan laskea sen navoissa helposti. Lause 4. (Residyjen laskeminen). Jos z = z 0 on n-kertainen napa, niin ( ) d n (z 0 ) = (z z z z0 (n )! dz n 0 ) n f(z). Todistus. Residyn määritelmästä saadaan f(z) = a n (z z 0 ) n + a n+ (z z 0 ) n +... + a (z z 0 ) + a 0 + a (z z 0 ) +... Kertomalla puolittain termillä (z z 0 ) n saadaan (z z 0 ) n f(z) = a n +a n+ (z z 0 )+...+a (z z 0 ) n +a 0 (z z 0 ) n +a (z z 0 ) n+ +... Oikealla on siis Taylor-sarja pisteessä z = z 0. Derivoimalla molemmat puolet n kertaa saadaan d n dz n ( (z z0 ) n f(z) ) = a (n )! + C [(z z 0 )]. Tässä C(z z 0 ) on jäännöstermi, joka 0 kun z z 0 ja z z 0 (n )! d n dz n ( (z z0 ) n f(z) ) = a = (z 0 ). 9

Huomautus 5. Erityisesti, jos z = z 0 on yksinkertainen napa, niin (z 0 ) = z z0 (z z 0 )f(z). Esimerkki 4.3. Tarkastellaan funktiota f(z) = z + z z. Nyt esimerkin 3.0 nojalla funktiolla f on ensimmäisen kertaluvun navat pisteissä z = ja z =. Funktion f residyt näissä pisteissä ovat ja ( ) = z (z + ) z + (z + )(z ) = 3 z + () = (z ) z (z + )(z ) = 5 3. Esimerkki 4.4. Tarkastellaan funktiota f(z) = cos z z 3. Nyt funktiolle f(z) saadaan origossa sarjakehitelmä f(z) = cos z z 3 = z! + z4 4! z6 6! +... z 3 = z 3 z + z 4! z3 6! +... Funktiolla f on kolmannen kertaluvun napa pisteessä z = 0, sillä cos z (z 0)3 = cos 0 = 0. z 0 z 3 Funktion f residy pisteessä z = 0 on siis (0) = z 0! d dz ( (z 0) 3 cos z ) z 3 = z 0 ( cos z) =. = (cos z) dz z 0 5 Sarjojen summaaminen residyjen avulla Eräs hyödyllinen residylauseen sovellus on reaaliarvoisten äärettömien sarjojen summaaminen residyjen avulla, joka on samalla ensimmäinen tämän tutkielman pääaiheista. Tässä kappaleessa johdatellaan aluksi erilaisten apulauseiden avulla sarjan tarkan arvon laskemiseen ja sitten esitellään kaksi laskukaavaa, joilla pystytään määrittämään tarkkoja arvoja äärettömille sarjoille residyjen avulla. 0 d

Lemma 5.. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteinä ovat (N + )(± ± i). Tällöin on olemassa vakio A, jolle cot πz < A, z C N. Todistus. Tutkitaan kolme tapausta: y >, y < ja y.. Jos y > ja z = x + iy, niin cot πz = cos πz sin πz = e πiz + e πiz e πiz e πiz. Koska z = x + iy, voidaan edellä oleva yhtälö kirjoittaa edelleen e πiz + e πiz e πiz e πiz = e πix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy eπix πy + e πix+πy e πix+πy e πix πy. Itseisarvot laskemalla saadaan e πix πy + e πix+πy e πix+πy e πix πy = e πy + e πy e πy e πy. Kun otetaan e πy yhteiseksi tekijäksi saadaan e πy + e πy + e πy + e π = e πy e πy e πy e, π koska y >. Merkitään tätä arvoa vakiolla A.. Jos y <, niin vastaavasti kuten tapauksessa saadaan cot πz = cos πz sin πz = e πiz + e πiz e πiz e πiz = e πix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy. Koska y <, niin arvioitaessa kolmioepäyhtälöllä nimittäjän eksponentit vaihtavat merkkiä e πix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy eπix πy + e πix+πy e πix πy e πix+πy = e πy + e πy e πy e. πy Ottamalla e πy yhteiseksi tekijäksi saadaan e πy + e πy + eπy + e π = e πy eπy eπy e = A. π

3. Olkoon y. Olkoon z = N + + iy. Tällöin cot πz = cot π(n + + iy) = cot (π + πiy) = tanh πy. Koska y, niin tanh πy tanh π. Merkitään tätä arvoa vakiolla A. Jos z = N + iy, niin saadaan vastaavasti cot πz = cot π( N + iy) = cot ( π + πiy) = tanh πy. Koska y, niin tanh πy tanh π = A. Valitsemalla A = max {A, A } saadaan cot πz A, kun z C N. Lause 5.. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteet ovat (N + )(± ± i), missä N N. Olkoon funktio f meromornen neliön sisällä ja jatkuva reunalla C N, kun N on riittävän suuri sekä zf(z) = 0. Tällöin z N C N f(z) cot πzdz = 0. Todistus. Olkoon ε > 0. Jokaiselle neliölle C N pätee z N + > N. Siten on olemassa sellainen δ > 0, että zf(z) < ε kun < δ. Valitaan N >. z δ Tällöin on olemassa sellainen N, että f(z) < ε, kun z C N. Nyt neliön N+ C N piirin pituus C N = 8(N + ), joten Lemman 5. nojalla N < δ f(z) cot πzdz 8(N + )Aε N + = 8Aε. C N Raja-arvon määritelmän nojalla N C N f(z) cot πzdz = 0. Nyt voidaan muodostaa lause, jonka avulla äärettömien sarjojen summia voidaan laskea. Lause 5.3. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteet ovat (N + )(±±i), missä N N. Olkoon funktio f sellainen, että epäyhtälö funktiolle

f pätee, kun piste z kuuluu reunalle eli: f(z) k >, M > eivät riipu luvusta N. Tällöin M z k C N, missä vakiot n= f(n) = (funktion π cot πzf(z) residyjen summa kaikissa f(z) : n navoissa). Todistus. Oletetaan, että funktiolla f on äärellinen määrä napoja. Nyt voidaan valita vakio N niin suureksi, että polku C N sulkee sisäänsä kaikki funktion f(z) navat. Funktion f(z) navat ovat ensimmäistä kertalukua ja pisteessä z = n, n Z. Residy näissä pisteissä on Res(π cot πzf(z)) = (z n)π cot πzf(z) ( ) z n z n = π cos πzf(z). z n sin πz Nyt voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan ( ) z n π cos πzf(z) = π cos πzf(z) = f(n). z n sin πz z n π cos πz Tässä oletetaan, että funktiolla f ei ole napoja kun z = n, koska muuten sarja divergoi (ei suppene kohti äärellistä raja-arvoa). Residylauseen nojalla ( N π cot πzf(z)dz = πi C N n= N ) f(n) + S, (8) missä S on π cot πzf(z):n residyjen summa f(z):n navoissa. Lemman 5. sekä oletuksiemme nojalla saadaan π cot πzf(z)dz πam (8N + 4). C N N k Tässä neliön C N piirin pituus on 8N +4. Antamalla N saadaan lauseen 5. nojalla yhtälön (8) integraali lähestymään nollaa, jolloin n= f(n) + S = 0 n= f(n) = S = Res zn (π cot πzf(z)). Tapauksen, jossa on ääretön määrä napoja todistus sivuutetaan. Lasketaan seuraavaksi kaksi esimerkkiä, joissa lasketaan tarkat arvot sarjoille. 3

Esimerkki 5.4. Osoitetaan, että n= Olkoon f(z) = (z +). Nyt (n + ) = π π coth π + 4 4 csch π. (z + ) = ((z i)(z + i)) = (z i) (z + i). Eli funktiolla f(z) on kertaluvun navat pisteissä z = i ja z = i. Nyt π cot πz funktion residy pisteessä z = i on (z +) ( ) ( ) d π cot πz d (i) = (z i) = (z i) π cot πz z i dz (z + ) z i dz (z + i) (z i) ( ) ( ) d π cot πz π csc πz(z + i) (z + i)π cot πz = = z i dz (z + i) z i (z + i) 4 = π csc πi(i) 4iπ cot πi 6 = π csc πi iπ cot πi. 4 Koska csc iπ = csch π ja i cot πi = coth π, saadaan edelleen π csc πi iπ cot πi 4 = π csch π π coth π. 4 π cot πz Vastaavasti funktion residy pisteessä z = i on (z +) ( ) ( ) d ( i) = (z + i) π cot πz d π cot πz = z i dz (z + i) (z i) z i dz (z i) ( ) π csc πz(z i) (z i)π cot πz = z i (z i) 4 Lauseen 5.3 nojalla n= = π csc π( i)( i) ( i)π cot π( i) 6 = π csch π π coth π. 4 (n + ) = n= (n + ) + + (n + ) n= = ( π csch π π coth π 4 4 + π csch π π coth π ). 4

Siis Eli (n + ) + = csch π π coth π ( π ). n= n= Esimerkki 5.5. Osoitetaan, että (n + ) = π csch π + π coth π 4. n= n 4 = π4 90. π cot πz Olkoon funktio f(z) =. Nyt funktiolla f on pisteessä z = 0 neljännen z 4 kertaluvun napa. Tätä voitaisiin alkaa derivoida kolmesti ja laskemaan residy pisteessä z = 0, mutta se on laskennallisesti työlästä. Tarkastellaan funktiota f(z) sarjamaisesti f(z) = = π cot πz z 4 = π cos πz z 4 sin πz = πz + π4 z 4...! 4! z 5( π z + π4 z 4 3! π ( π z + π4 z 4... )! 4! z 4( πz π3 z 3 + π5 z 5... ) 3! 5!... ) = πz z 5 π z 5! + π4 z 4...! 4! + π4 z 4.... 3! 5! Jakamalla jakokulmassa kosinin sarjakehitelmä sinin sarjakehitelmällä saadaan laskettua muutama ensimmäinen termi πz z 5 π z! + π4 z 4 3! + π4 z 4 4!... 5!... = z 5 ( + π z 3 π4 z 4 45 +... ). Joten residy pisteessä z = 0 on π4. Lauseiden 5.3 ja 4. nojalla 45 πi C N π cot πz z 4 dz = n= N n 4 π4 45 + N n= n = N 4 n= n 4 π4 45. Antamalla N saadaan Lauseen 5. nojalla integraalin arvo lähestymään nollaa ja n = π4 4 90. Myös alternoiville sarjoille saadaan sarjakehitelmä seuraavan lauseen avulla. n= 5

Lause 5.6. Olkoon C N sellaisen neliön reuna, jonka kärkipisteet ovat (N + )(±±i), missä N N. Olkoon funktio f sellainen, että epäyhtälö funktiolle f pätee, kun piste z kuuluu reunalle eli: f(z) M C z k N, missä vakiot k >, M > eivät riipu luvusta N. Tällöin n= ( ) n f(n) = (funktion π csc πzf(z) residyjen summa kaikissa f(z) : n navoissa). Todistus. Oletetaan, että funktiolla f on äärellinen määrä napoja. Nyt voidaan valita vakio N niin suureksi, että neliö C N sulkee sisäänsä kaikki funktion f(z) navat. Funktion f(z) navat ovat ensimmäistä kertalukua ja pisteessä z = n, n Z, funktion πcscπzf(z) residy on Res(πcscπzf(z)) = (z n)πcscπzf(z) ( ) z n z n = f(z). z n sin πz Käyttämällä L'Hospitalin sääntöä saadaan edelleen ( ) z n f(z) = ( ) n f(n). z n sin πz Residylauseen nojalla ( N πcscπzf(z)dz = πi C N n= N ) ( ) n f(n) + S, (9) missä S on πcscπzf(z):n residyjen summa f(z):n navoissa. Kuten Lauseen 5.3 todistuksessa, saadaan [,Thm.5.3] πcscπzf(z)dz πam (8N + 4). C N N k Tässä neliön C N piirin pituus on 8N +4. Antamalla N saadaan yhtälön (9) integraali lähestymään nollaa, jolloin n= ( ) n f(n) + S = 0 n= ( ) n f(n) = S = Res zn (π csc πzf(z)). Esimerkiksi seuraavalle sarjalle saadaan laskettua tarkka arvo käyttämällä edellistä lausetta. 6

Esimerkki 5.7. Osoitetaan, että Olkoon + 3 4 +... = ( ) n+ n = π. f(z) = πcscπz z = π z sin πz = = z 3 π z 3! + π4 z 4 5! +.... n= π z πz ( π z + π4 z 4 +... ) 3! 5! Jakamalla sarjakehitelmä jakokulmassa saadaan pari ensimmäistä termiä z 3 π z + π4 z 4 +... = ( πz +... ) = z 3 3! z π 3 6z +... 3! 5! Joten funktion πcscπz z πi C N residy pisteessä z = 0 on π. Lauseen 5.6 nojalla 6 πcscπz z dz = = n= N N n= ( ) n+ N n π 6 + ( ) n+ n ( ) n+ n π 6. Kun annetaan N, niin lauseen 5. nojalla integraali lähestyy nollaa ja n= n= n= ( ) n+ n = π 6 ( ) n+ n = π. 6 Mittag-Leerin laajennuslause Tässä kappaleessa esitellään Mittag-Leerin laajennuslause, joka on toinen tämän tutkielman pääaiheista. Mittag-Leerin laajennuslauseen avulla voidaan määrittää sarjakehitelmä sellaisille sarjoille, jolla on vain yksinkertaisia singulaaripisteitä. Lasketaan lopuksi sarjakehitelmä funktiolle csc z. Lause 6. (Mittag-Leerin laajennuslause).. Oletetaan, että äärellisessä tasossa olevan funktion f navat a, a, a 3,... ovat yksinkertaisia.. Olkoon funktion f navoissa a, a, a 3,... olevat residyt b, b, b 3,... 7

3. Olkoon n, n =,,..., kiekon D rn (0) reuna, joka ei kulje minkään navan kautta ja oletetaan, että f(z) < M, missä vakio M ei riipu n:stä ja säde r n kun n. Tällöin f(z) = f(0) + n= ( b n + ). z a n a n Todistus. Olkoon funktiolla f(z) navat pisteissä z = a n, n =,,..., ja oletetaan, että piste z = w C ei ole funktion f(z) napa. Tällöin funktiolla f(z) on navat pisteissä z = a z w n, n =,,..., ja pisteessä w. Funktion f(z) z w residyt pisteissä z = a n, n =,,..., ovat (z a n ) f(z) z a n z w = b n a n w, sillä funktion f(z) residyt pisteissä a n ovat b n, n =,,.... Funktion f(z) z w residy pisteessä z = w on f(z) (z w) z w z w = f(w). Tälloin residyteorian nojalla f(z) πi n z w dz = f(w) + n b n a n w, (0) missä summa b n n on otettu kaikkien ympyrän D a n w r n (0) sisältämien napojen yli. Oletetaan, että funktio f(z) on analyyttinen pisteessä z = 0. Tällöin asettamalla kaavaan (0) w = 0 saadaan πi f(z) n z dz = f(0) + n b n a n. () Nyt yhtälöiden (0) ja () erotukseksi saadaan f(w) f(0) + ( b n a n n w ) = ( f(z) a n πi n z w ) dz z = w f(z) πi z(z w) dz. n () 8

Koska piste z on käyrän n reunalla pätee z w z w = r n w. Oletuksen mukaan f(z) M, joten f(z) z(z w) dz M πr n r n (r n w ). Kun n, niin tällöin r n, jolloin f(z) n z(z w) n n dz = 0. Tällöin yhtälöstä () saadaan f(w) = f(0) + n ( b n + ) w a n a n ja lause on todistettu. Esimerkki 6.. Osoitetaan, että csc z = ( ) z z z π z 4π + z 9π.... Olkoon f(z) = csc z z = sin z z = z sin z z sin z. Nyt funktiolla f on ensimmäisen kertaluvun navat pisteissä z = nπ, missä n = ±, ±... Residyiksi saadaan siis ( ) ( )( ) z sin z z nπ z sin z (z nπ) = z nπ z sin z z nπ sin z z ( ) ( ) z nπ z sin z =. z nπ sin z z nπ z Nyt ensimmäiseen raja-arvoon voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan ( ) ( ) ( ) ( ) z nπ z sin z z sin z =. z nπ sin z z nπ z z nπ cos z z nπ z Jos. n = k, k = ±, ±,..., niin ( ) f(z) = z nπ z nπ cos z z nπ 9 ( ) z sin z z = nπ 0 nπ =

. n = k +, k = 0, ±, ±..., niin ( ) ( ) z sin z f(z) = z nπ z nπ cos z z nπ z = nπ 0 nπ =. Pisteessä z = 0 saadaan funktion f raja-arvoksi (csc z ( z 0 z ) = z 0 sin z ) z sin z = z z 0 z sin z. Nyt voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan k= z sin z z 0 z sin z = 0. Siis f(0) = 0. Mittag-Leerin laajennuslauseesta saadaan csc z z = 0+ ( z kπ + ) ( + ( ) kπ k=0 z (k + )π + (k + )π Nyt summat voidaan yhdistää sillä ensimmäisessä sarjassa k =,,...ja toisessa sarjassa k = 0,,,... Saadaan trigonometriselle funktiolle csc z sarjakehitelmä csc z = z + ( ( ) n z nπ + ). nπ csc z = z + N n= Koska n = ±, ±,... sarja voidaan aukaista seuraavasti { ) N = z N n= N ( ) n { ( z + π + ( z + 3π + z 3π = z z z π + ) ( z nπ + nπ ) z π + n= ( z + π + z π ( ) n +... ( ) N ( z + Nπ + z Nπ z z 4π z z 9π +... = z z ( z π z 4π + z 9π... Esimerkki 6.3. Osoitetaan, että ( tan z = z z ( π + ) z ( 3π + ) z ( 5π +... ) 30 ) ) ). ( z nπ + ) } nπ ) } ).

Olkoon f(z) = tan z = sin z cos z. Nyt funktiolla f on ensimmäisen kertaluvun navat pisteissä z = (n+)π, missä n = 0, ±, ±,.... Tällöin z (n+)π ( z (n + )π ) (tan z) = ( z z (n+)π = z (n+)π (n + )π ) ( z (n+)π cos z )( ) sin z cos z (sin z). z (n+)π Nyt ensimmäiseen raja-arvoon voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan ( z (n+)π ) ( ) (sin z) = (sin z). z (n+)π cos z z (n+)π z (n+)π sin z z (n+)π Funktion f residyksi saadaan siis ( ) (sin z) = z (n+)π sin z z (n+)π =. Siis ( (n+)π ) =. Pisteessä z = 0 saadaan funktion f raja-arvoksi sin z tan z = z 0 z 0 cos z = 0 = 0. Siis f(0) = 0. Mittag-Leerin laajennuslauseesta saadaan sarjakehitelmä funktiolle tan z ( tan z = 0+ ( ) + ) ( + ). n=0 z (n+)π (n+)π n=0 z (n+)π (n+)π 3

Koska n = 0, ±, ±,... sarja voidaan aukaista seuraavasti { ( tan z = + ) N ( N n= N z (n+)π (n+)π n=0 z (n+)π { ( = N z π + ) ( z + π + z 3π + ) z + 3π +... ( ) } + + z (N+)π z + (N+)π { } z = z ( π + z ) z ( 3π + z ) z ( 5π +... { ) } = z z ( π + ) z ( 3π + ) z ( 5π +... ) + ) } (n+)π Osoitetaan tämän avulla, että π = 8 puolittain luvulla z, jolloin saadaan tan z = z z ( π + ) k= z ( 3π ) +. Jaetaan edellä saatu tulos (k+) z ( 5π ) +... Ottamalla puolittain raja-arvo z 0 saadaan vasemmalle puolelle tan z sin z = z 0 z z 0 z cos z Nyt voidaan käyttää L'Hospitalin sääntöä, jolloin saadaan z 0 Oikealle puolelle saadaan ( z 0 z ( π + ) sin z z cos z = z 0 z ( 3π ) + cos z cos z z sin z = =. Saadaan siis = 8 π + 8 9π + 8 5π +... Kertomalla yhtälö puolittain luvulla π saadaan 8 ) z ( 5π +... = 8 ) π + 8 9π + 8 5π +... π 8 = + 3 + 5 +... = (k + ). Nähdään siis, että Mittag-Leerin laajennuslauseella voidaan helposti saada sarjakehitelmät vaikeammile trigonometrisille funktioille, jos niillä on vain ensimmäisen kertaluvun napoja. k=0 3

Lähdeluettelo [] Murray R. Spiegel: Schaum's Outline of theory and problems of complex variables, McGraw-Hill, 98. [] Anthony D. Osborne: Complex Variables and their Applications.Addison, Wesley, Longman Limited, England, 999. [3] Tero Knuutinen: Kompleksianalyysi I ja II, luentomonisteet, 007 33