9/20/ Lisä,etopake 2: ra,onaalifunk,on integroin, Ra,onaalifunk,o: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Esim. x 2 x + 2 tai x5 +6x x- Ra,onaalifunk,o voidaan aina integroida, ja tähän löytyy kajava kokoelma sääntöjä (kts esim kirjan luku 6). Käytännössä integroin, voi usein olla varsin työlästä, ja integraalitaulukkojen hyödyntäminen on suositeltavaa. Tässä lisäkalvopake,ssa käydään läpi ra,onaalifunk,oiden integroinnissa tarvijavat perustyökalut; polynomin jakolasku ja osamurtokehitelmien käyjö. Näillä saa integroitua useimmat kemiassa vastaan tulevat ra,onaalifunk,ot. Ra,onaalifunk,oiden integraalit ovat keskeisiä kemiallisessa kine,ikassa, joskin useimpien perustapausten kaavat löytyvät oppikirjoista yleensä valmiiksi integroidussa muodossa.
9/20/ Askel : astelukujen vertailu Jos ra,onaalifunk,ossa P(x)/Q(x) osoijajan P(x) asteluku on suurempi tai yhtäsuuri kuin nimijäjän Q(x), suoritetaan jakolasku. Jos osoijajan asteluku on pienempi kuin nimijäjän asteluku, murtolauseke jaetaan osamurtolukuihin. Polynomien algebra on syytä olla hyvin "selkäy,messä" kun ra,onaalifunk,oita aletaan käsitellä! Yksinkertaisia esimerkkejä Joskus jakolasku on hyvin helppo suorijaa. Esim. x + = (+ x x ) = x + ln x + C Esim. 2 x 2-4 = x + 2 = 2 x2 2x + C (x + 2)(x - 2) = (x - 2) x + 2 2
9/20/ x - x 2-2x -(x 2 +x) 0 - x -x - x -(x 2 +x) 0 - x -x -
9/20/ x -(x 2 +x) 0 - x -x - x -(x 2 +x) 0 - x -x - 4
9/20/ x 0 x -x - x 0 x -x - 5
9/20/ x 0 x -x - x 0 x x 6
9/20/ x 0 x x x 0 x x 7
9/20/ x 0 x ( x ) x 0 x ( x ) x2 2x = (x )+ x + 8
9/20/ x 0 x ( x ) x2 2x = (x )+ x + x 2-2x = ((x )+ x + ) x 0 x ( x ) = 2 x2 x + ln x + + C 9
9/20/ x 2-2x = ((x )+ x + ) = 2 x2 x + ln x + + C x 0 x ( x ) Esim. 4: x 2 x + 2 OsoiJajan asteluku on pienempi kuin nimijäjän asteluku: jaetaan murtolauseke osamurtolukuihin. Aloitetaan etsimällä nimijäjän nollakohdat, joiden avulla voidaan jakaa nimijäjä osiin. x 2 x + 2 = 0 x = ± 2 4 2 2 x = 2 tai x 2 x + 2 = (x )(x 2) Osamurtokehitelmä: Nyt pitää ratkaista A ja B. x 2 x + 2 = A (x 2) + B (x ) 0
9/20/ Aloitetaan sieventämällä. x 2 x + 2 = A (x 2) + B (x ) A (x 2) + B (x ) = A(x ) (x 2)(x ) + B(x 2) Ax A + Bx 2B = (x )(x 2) (x )(x 2) = (A+B)x+( A 2B) x 2 x + 2 x 2 x + 2 Iden,tee voi pitää paikkansa ainoastaan jos A + B = 0 ja A 2B = Ratkaisemalla yhtälöryhmä (esim. yhteenlaskulla ensin B = B =, sijen sijoitus) saadaan: B =, A =. = x 2 x + 2 = ln x 2 ln x + C (x 2) + (x ) Osamurtokehitelmä: yleinen tapaus Jokaista nimijäjän nollakohtaa x = x 0 vastaa osamurtokehitelmässä termi A x x 0 Jokaista nimijäjän n- kertaista nollakohtaa x = x 0 vastavat osamurtokehitelmässä termit A n (x x 0 ) n, A n- (x x 0 ) n,..., A x x 0
9/20/ Kemiallinen esimerkki Kemiallisen reak,on 2A + B C nopeuslaki on d[ C] dt Tehtävä: C:n alkukonsentraa,o on 0, ja A:n ja B:n alkukonsentraa,ot ovat a ja b. Esitä [C] ajan funk,ona. Ratkaisu: Merkitään: [C(t)] = x [A(t)] = a 2x [B(t)] = b x Saadaan: = k[ A] 2 [ B] d[ C] = dt dt =k(a 2x)2 (b x) Ryhmitellään muujujan x sisältävät termit samalle puolelle kuin, ja integroidaan: dt =k(a 2x)2 (b x) = kdt = k dt = kt + C Vasemman puolen integraalin laskeminen edellyjää osamurtoluku- kehitelmää. NimiJäjä on valmiiksi jaejuna juuriinsa, eli saadaan: = A 2 (a 2x) 2 + A (a 2x) + B (b x) 2
9/20/ Sievennetään, ryhmitellään ja muodostetaan yhtälöryhmä: A 2 (a 2x) + A 2 (a 2x) + B (b x) A = 2 (b x) + A (a 2x)(b x) + B(a 2x)(a 2x) = ba 2 xa 2 +2x2 A axa 2bxA +aba + 4x 2 B 4axB+ a 2 B = x 2 (2A + 4B) x(a 2 + aa + 2bA + 4aB)+(bA 2 +aba +a 2 B) Koska alkuperäisen lausekkeen osoijajassa oli vain "", täytyy sekä x 2 - ejä x- termin kadota. Saadaan kolme yhtälöä: = x 2 (2A + 4B) x(a 2 + aa + 2bA + 4aB)+(bA 2 +aba +a 2 B) 2A + 4B=0 () A 2 + aa + 2bA + 4aB=0 (2) ba 2 +aba +a 2 B= () Ratkaistaan esim. sijoijamalla. Yhtälöstä () saadaan A = 2B Sijoitetaan tämä yhtälöön 2, saadaan A 2 + ( 2a 4b+4a)B=0 A 2 = (4b 2a)B
9/20/ Sijoitetaan molemmat nämä tulokset yhtälöön, saadaan: b(4b 2a)B+ab( 2B)+a 2 B= (4b 2 2ab 2ab+a 2 )B = (a 2 4ab+4b 2 )B = B = (a 2 4ab+4b 2 ) = (a 2b) 2 Huom! Tässä oletetaan ejä a 2b 0. KäyJäen aiempaa tulosta A = 2B saadaan edelleen 2 A = (a 2b) 2 Ja käyjäen tulosta A 2 = (4b 2a)B saadaan (4b 2a) 2(a 2b) 2 A 2 = = = 2 (a 2b) (a 2b) 2 (a 2b) Nyt voidaan ratkaista alkuperäinen integraali: = = A 2 (a 2x) + A 2 (a 2x) + B (b x) A 2 2(a 2x) A ln(a 2x) Bln(b x) 2 = (a 2x)(a 2b) ln(a 2x) ln(b x) + 2 (a 2b) (a 2b) = kt + C 2 Integroimisvakion arvo saadaan esimerkiksi asejamalla x=0 kun t=0 (oltaisiin myös voitu integroida x arvosta 0 arvoon x, ja t arvosta 0 arvoon t), jolloin saadaan: C= (a 2 2ab) + ln(a) (a 2b) ln(b) 2 (a 2b) 2 Itseisarvomerkkejä ei tarvita koska stoikiometriasta johtuen pätee aina x < 0.5a ja x < b 4
9/20/ MuuJujan x = [C(t)] ratkaiseminen t:n funk,ona edellä annetusta yhtälöstä olisi hyvin hankalaa, muja jos,edetään a, b ja k niin voidaan helpos, laskea x(t), t pareja ja piirtää kuvaaja,etokoneella. Tässä esimerkiksi [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=, b= [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=, b= [C] vs kt kuvaaja arvoilla a=0, b= Huomaa, ejä lausekkeen arvoa ei voida laskea, jos a on tarkalleen yhtä suuri 2b. Käytännössä voidaan kyllä valita arvoja, jotka ovat mielivaltaisen lähellä tätä suhdeja, ja saadaan sil, järkeviä tuloksia, esim a=2,00000 ja b=0,99999 tuojaa tämän kuvaajan: 5