MATEMAATTINEN SIGNAALINKÄSITTELY 031028S KEVÄT 2010. Seppo Seikkala. Lassi Korhonen

MATEMAATTINEN SIGNAALINKÄSITTELY 03028S KEVÄT 200 Seppo Seikkala Lassi Korhonen

TIIVISTELMÄ Monikanavaisia ja -ulotteisia järjestelmiä tarvitaan yleisesti signaalinkäsittelyn eri osa-alueilla. Tässä kurssissa perehdytään kaksiulotteiseen signaalinkäsittelyyn ja sen teoriaan, tutustutaan monikanavaisten järjestelmien perusteisiin ja analysointiin ja esitellään myös aallokkeiden käyttöä signaalinkäsittelyssä. Tarkoituksena on muodostaa peruskäsitys edellä mainitun kaltaisten järjestelmien teoriasta, toiminnasta ja niiden tutkimiseen käytettävistä menetelmistä. Tarkastellaan kaksiulotteisen Fourier-muunnoksen teoriaa ja ominaisuuksia analogisen ja diskreetin signaalin tapauksessa sekä yksinkertaisia esimerkkejä näistä ominaisuuksista käytännössä. Esimerkkeinä kaksiulotteisista signaaleista on käytetty kuvia. Kaksiulotteisen lineaarisen siirtoinvariantin eli LSI-järjestelmän toiminnasta ja teoriasta käsitellään perusteet sekä determinististen signaalien että satunnaissignaalien tapauksessa ja luodaan perusteet spektriestimointimenetelmille, joista esitellään periodogrammi ja autoregressiiviset menetelmät. Sovelluksena esitetään muutamia menetelmiä kuvan korostukseen ja entisöintiin LSI-järjestelmän avulla. Lisäksi perehdytään digitaalisen kuvan käsitteeseen, kuvamuunnoksiin kuten Walsh-Hadamard -muunnos, diskreetti kosinimuunnos ja Hotelling-muunnos sekä kuvan koodaustekniikoihin kuten Huffmankoodaus ja aritmeettinen koodaus. Monikanavaisista järjestelmistä tutustutaan lähinnä diskreetin lineaarisen aikainvariantin eli LTI-järjestelmän teoriaan ja analysointiin sekä determinististen signaalien että satunnaissignaalien tapauksessa. Analysointimenetelmistä esitellään periodogrammi, korrelogrammi ja autoregressiivisiä menetelmiä. Periodogrammin sovelluksena toteutetaan kaksikanavainen spektriestimointi auringonpilkkujen lukumäärän ja ilman lämpötilan mittaustuloksille. Lisäksi luodaan katsaus aallokkeiden ja aallokemuunnoksen perusteisiin, käsitteisiin, ominaisuuksiin ja käyttöön erityisesti reunan tunnistuksessa, epäjatkuvuuskohtien luokittelussa ja kuvankäsittelyssä. Avainsanat: kaksiulotteinen Fourier-muunnos, kaksiulotteinen LSI-järjestelmä, monikanavainen LTI-järjestelmä, kuvamuunnos, kuvan koodaus, aallokemuunnos, epäjatkuvuuskohtien luokittelu

SISÄLLYSLUETTELO TIIVISTELMÄ SISÄLLYSLUETTELO LYHENTEIDEN JA MERKKIEN SELITYKSET. JOHDANTO 8 2. KAKSIULOTTEISTA FOURIER-ANALYYSIÄ 9 2.. Yleistä................................. 9 2.2. Määritelmiä.............................. 9 2.3. Fourier-muunnoksen ominaisuuksia................. 4 2.3.. Separoituvuus......................... 5 2.3.2. Siirto............................. 6 2.3.3. Jaksollisuus ja konjugaattisymmetria............ 8 2.3.4. Distributiivisuus ja skaalautuvuus.............. 8 2.3.5. Keskiarvo........................... 9 2.3.6. Kierto............................. 9 2.3.7. Konvoluution Fourier-muunnos............... 2 2.4. Kaksiulotteinen nopea Fourier-muunnos (2-D FFT)......... 2 2.4.. FFT-algoritmi......................... 22 2.4.2. Käänteinen FFT....................... 23 3. KAKSIULOTTEISTEN JÄRJESTELMIEN ANALYSOINTI 24 3.. Yleistä................................. 24 3.2. Lineaariset kaksiulotteiset järjestelmät................ 24 3.2.. Analoginen LSI-järjestelmä................. 24 3.2.2. Diskreetti LSI-järjestelmä.................. 29 3.3. Kaksiulotteiset satunnaissignaalit LSI-järjestelmissä......... 36 3.3.. Määritelmiä.......................... 36 3.3.2. Klassinen kaksiulotteinen spektriestimointi......... 39 3.3.3. Autoregressiivinen spektriestimointi............. 40 4. MONIKANAVAISET SIGNAALIT JA JÄRJESTELMÄT 44 4.. Yleistä................................. 44 4.2. Monikanavainen LTI-järjestelmä................... 44 4.3. Satunnaissignaalit monikanavaisissa järjestelmissä......... 48 4.3.. Määritelmiä.......................... 48 4.3.2. Monikanavainen klassinen spektriestimointi......... 52 4.3.3. Monikanavaiset ARMA-, AR- ja MA-signaalit....... 53 4.4. Ilman lämpötilan ja auringonpilkkujen kaksikanavainen spektrianalyysi.................................. 57 5. AALLOKKEET SIGNAALINKÄSITTELYSSÄ 60 5.. Yleistä................................. 60

5.2. Määritelmiä.............................. 60 5.3. Moniskaalainen reunantunnistus................... 6 5.4. Signaalin rekonstruointi........................ 64 5.5. Epäjatkuvuuskohtien luokittelu.................... 65 5.6. Aallokemuunnos kuvankäsittelyssä.................. 67 6. KUVANKÄSITTELYN MATEMATIIKKAA 72 6.. Yleistä................................. 72 6.2. Kuvan muodostuminen........................ 72 6.3. Digitaalinen kuva........................... 73 6.4. Kuvamuunnoksia........................... 75 6.4.. Määritelmiä.......................... 75 6.4.2. Fourier-muunnoksesta.................... 76 6.4.3. Walsh-Hadamard -muunnos (WHT)............. 77 6.4.4. Diskreetti kosinimuunnos (DCT)............... 78 6.4.5. Hotelling-muunnos...................... 78 6.5. Kaksiulotteinen LSI-järjestelmä kuvan korostuksessa........ 80 6.5.. Alipäästösuodatus...................... 8 6.5.2. Ylipäästösuodatus...................... 82 6.6. Kaksiulotteinen LSI-järjestelmä kuvan entisöinnissä......... 83 6.6.. Käänteissuodatus....................... 84 6.6.2. Wiener-suodatus....................... 85 6.7. Muita menetelmiä kuvan korostukseen ja entisöintiin........ 85 6.7.. Mediaanisuodatus...................... 86 6.7.2. Gradienttisuodatus...................... 87 6.8. Kuvan koodaus............................ 88 6.8.. Määritelmiä.......................... 88 6.8.2. Huffman-koodaus....................... 89 6.8.3. Aritmeettinen koodaus.................... 90 6.8.4. Juoksunpituuskoodaus.................... 92 6.9. JPEG-kuvanpakkaus......................... 92 7. LÄHTEET 94

LYHENTEIDEN JA MERKKIEN SELITYKSET A 2 j[ ] gradienttivektorin suunta E{ } odotusarvo F{ } Fourier-muunnos F { } Fourier-käänteismuunnos F d { } diskreetti Fourier-muunnos F d { } diskreetti Fourier-käänteismuunnos M 2 j[ ] gradienttivektorin suhteellinen pituus p( ) pyöristys lähimpään kokonaislukuun S 2 j[ ] tasoitusoperaattori W 2 j[ ] aallokemuunnos skaalatekijällä 2 j Ŵ 2 j[ ] aallokemuunnoksen Fourier-muunnos W [ ] kaksiulotteinen aallokemuunnos Z{ } z-muunnos Z { } z-käänteismuunnos gradientti <, > sisätulo funktio/vektorinormi pyöristys seuraavaan kokonaislukuun a k,l muunnosydin c XX autokovarianssifunktio C kompleksilukujen joukko C koherenssimatriisi C x satunnaisvektorin x kovarianssimatriisi e ominaisvektori E energia g σ Gaussin funktio varianssilla σ 2 h impulssivastefunktio H siirtofunktio H Fourier-siirtofunktio H impulssivastematriisi H siirtofunktiomatriisi H Fourier-siirtofunktiomatriisi i valonlähteen intensiteettijakauma J kuvan intensiteetti L lineaarinen operaattori, harmaasävyjen lukumäärä m odotusarvovektori M, N havaintoarvojen lukumäärä N luonnollisten lukujen joukko p todennäköisyys P tehospektri P xx tehotiheysspektri P tehotiheysspektrimatriisi r heijastusfunktio kuvan harmaasävytaso r k

r xx r xy R xx R s 0 S S S i T i w x x 2 j x x x x ˆx X X C X D X X X Z Z autokorrelaatiofunktio ristikorrelaatiofunktio korrelaatiomatriisi reaalilukujen joukko skaalatekijä energiaspektri symbolijono symboli i näytteistysväli ulottuvuuden i suuntaan kohina funktio, signaali signaalin dilaatio skaalatekijällä 2 j satunnaissignaali monikanavainen signaali, vektori satunnaisvektori funktion keskiarvo funktion estimaattori signaalin diskreetti Fourier-muunnos analogisen signaalin Fourier-muunnos diskreetin signaalin Fourier-muunnos signaalin z-muunnos signaalivektorin z-muunnos signaalivektorin Fourier-muunnos normalisointimatriisi kokonaislukujen joukko α β δ δ γ Γ λ φ Φ Φ xy Lipschitz-säännollisyys ennustekerroin yksikköimpulssifunktio yksikköimpulssivektori rekonstruktioaalloke rekonstruktioaallokkeen Fourier-muunnos aallonpituus, ominaisarvo vaihespektri, tasoitusfunktio tasoitusfunktion Fourier-muunnos koherenssifunktio aalloke aallokkeen Fourier-muunnos varianssi koherenssivaihespektri, tasoitusfunktio hajonta ψ Ψ ρ θ σ µ odotusarvo ξ yksiulotteinen tasoitusfunktio AR ARMA BIBO Autoregressive, autoregressiivinen Autoregressive-Moving Average, autoregressiivinen, liukuva keskiarvo Bounded Input, Bounded Output, rajoitettu heräte, rajoitettu vaste

DCT DFT FFT FP JPEG KLT LSI LTI MA MSC NSHP QP RGB WHT Discrete Cosine Transform, diskreetti kosinimuunnos Discrete Fourier Transform, diskreetti Fourier-muunnos Fast Fourier Transform, nopea Fourier-muunnos Full Plane, kokotaso Joint Photographic Experts Group, kuvanpakkausmenetelmä Karhunen-Loéve Transform, Karhunen-Loéve -muunnos, Hotelling-muunnos Linear Shift Invariant, lineaarinen siirtoinvariantti Linear Time Invariant, lineaarinen aikainvariantti Moving Average, liukuva keskiarvo Magnitude Squared Coherence, koherenssispektri Non Symmetric Half Plane, epäsymmetrinen puolitaso Quarter Plane, neljännestaso Red, Green, Blue, värimalli Walsh-Hadamard Transform, Walsh-Hadamard -muunnos

8. JOHDANTO Monikanavaisten ja -ulotteisten järjestelmien käytännön sovellusten ja toteutusten kirjo on laaja, ja uusia mahdollisuuksia syntyy koko ajan. Hyviä esimerkkejä erittäin monimutkaisista järjestelmistä löytyy nykyaikaisen sodankäynnin laitteistoista, kuten tutkajärjestelmistä, niin maalla, merellä kuin ilmassakin. Siirtyminen yksiulotteisista ja -kanavaisista signaaleista ja järjestelmistä monimutkaisempiin tapauksiin onnistuu osin helposti, ainakin teorian mukaan, mutta laskennallisen raskauden kasvaminen voi aiheuttaa käytännön toteutukselle liian suuren esteen. Yleisimpiä moniulotteisia ja -kanavaisia järjestelmiä ovat kuvankäsittelyjärjestelmät, joissa herätteenä ja myös vasteena on helposti miellettävä ja silmin havaittava kuva. Kuvankäsittelyn alueelta löytyykin paljon helposti ymmärrettäviä esimerkkejä moniulotteisista järjestelmistä. Moniulotteinen signaali, kuten kuva, aiheuttaa kuitenkin tiettyjä käsitteellisiä ongelmia verrattuna yksiulotteisiin signaaleihin, sillä eri ulottuuvuudet voivat olla moniulotteisessa signaalissa kokonaan eri tyyppisten muuttujien funktioita. Jos moniulotteiseen järjestelmään lisätään vielä useampia kanavia, järjestelmän monimutkaisuus kasvaa kertaluokkaa suuremmaksi. Moniulotteisten ja -kanavaisten signaalien ja järjestelmien muodostama kokonaisuus on niin laaja, että ei ole mielekästä yrittää esittää yksityiskohtaisia kuvauksia kovin monimutkaisista järjestelmistä. Tässä kurssissa keskitytään esittämään perusteita kaksiulotteisen signaalinkäsittelyn sekä monikanavaisen, mutta yksiulotteisen signaalinkäsittelyn teoriaan. Käytännön sovelluksissa on rajoituttu hyvin yksinkertaisiin kuvankäsittelytapoihin. Luvussa 2 perehdytään kaksiulotteisen Fourier-muunnoksen teoriaan ja ominaisuuksiin sekä sovelluksiin esimerkkien kautta. Luku 3 käsittelee kaksiulotteisen LSI-järjestelmän perusteita ja analysointia spektriestimoinnin avulla. Luvussa 4 luodaan silmäys monikanavaisten signaalien ja järjestelmien teoriaan ja muutamiin matemaattisiin analysointimenetelmiin. Luvun 5 sisältö koostuu aallokkeiden ja aallokemuunnoksen perusteista sekä yksi- että kaksiulotteisissa tapauksissa. Luvussa esitellään myös eräitä käytännön sovelluksia aallokkeille kuten esimerkiksi reunantunnistus ja signaalin epäjatkuvuuskohtien luokittelu. Luvussa 6 esitellään kuvankäsittely eräänä moniulotteisen signaalinkäsittelyn osa-alueena. Tämä luku sisältää lisäksi tietoa erilaisista kuvamuunnoksista ja kuvankoodauksista. Mukana on myös liitteitä, jotka havainnollistavat muutamien kuvankäsittelytoimitusten ja kaksikanavaisen spektrianalyysin suorittamista tietokoneen avulla. Lukijaa suositellaan perehtymään ensiksi Luvun 6 kappaleisiin 6..-6.3 ja sitten siirtymään Lukuihin 2 ja 3.

9 2. KAKSIULOTTEISTA FOURIER-ANALYYSIÄ 2.. Yleistä Kaksiulotteiselle Fourier-muunnokselle löytyy monia sovelluskohteita etenkin digitaalisen kuvankäsittelyn alueella. Niinpä seuraavassa esitetyssä teoriassa keskitytään pääasiassa diskreettien kaksiulotteisten signaalien Fourier-analyysiin; lähes kaikki esitetyt ominaisuudet ja tulokset ovat voimassa kuitenkin myös analogisille ja useampiulotteisille signaaleille. Tässä luvussa esitetyt kaksiulotteiseen Fouriermuunnokseen liittyvät määritelmät ja ominaisuudet pohjautuvat lähteisiin [], [2] ja [3] ja esitetyt todistukset lähteeseen [4]. Luettavuuden edistämiseksi todistuksissa ei aina pyritä matemaattiseen täydellisyyteen, vaan esitetään usein vain pääperiaatteet. 2.2. Määritelmiä Kaksiulotteiset signaalit voivat olla analogisia, x(t, t 2 ), tai diskreettejä, x[m, n]. Jatkossa keskitytään lähinnä diskreetteihin signaaleihin, jotka on saatu näytteistämällä jatkuvasta signaalista yli suorakulmaisen alueen tasaisin näytevälein, jotta käsiteltävyys olisi matemaattisesti mielekästä ja esitystapa helposti ymmärrettävä. Analogisesta signaalista x(t, t 2 ) näytteistämällä saatua signaalia merkitään lyhyesti x[m, n] = x(mt, nt 2 ), m, n N () missä T ja T 2 ovat näytteistysvälit ulottuvuuksiensa suuntaan. T ja T 2 voivat kuvata aikaväliä tai paikkaväliä. Indeksien m ja n välien rajaama alue, jossa diskreetin kaksiulotteisen signaalin arvo on nollasta poikkeava, muodostaa kyseisen signaalin kantajan. Kantaja on näytteistetylle signaalille yleensä rajoitettu siten, että 0 m M, M N ja 0 n N, N N. Kaksiulotteisen analogisen signaalin x(t, t 2 ) Fourier-muunnos määritellään yhtälöllä X C (f, f 2 ) = F{x(t, t 2 )} = x(t, t 2 )e j2π(f t +f 2 t 2 ) dt dt 2, (2) jolloin vastaava Fourier-käänteismuunnos on x(t, t 2 ) = F {X C (f, f 2 )} = X C (f, f 2 )e j2π(f t +f 2 t 2 ) df df 2. (3) Ehtoja Fourier-muunnoksen ja -käänteismuunnoksen olemassaololle ei käsitellä tässä yhteydessä vaan viitataan lähteeseen []. Kaksiulotteisen signaalin x(t, t 2 ) Fourier-muunnos on kompleksiarvoinen funktio, joten se voidaan kirjoittaa muodossa X C (f, f 2 ) = R(f, f 2 ) + ji(f, f 2 ) = X C (f, f 2 ) e jφ(f,f 2 ), (4)

0 missä funktio R(f, f 2 ) on muunnoksen X C (f, f 2 ) reaaliosa ja I(f, f 2 ) imaginaariosa. Kaksiulotteisen signaalin x(t, t 2 ) amplitudi-, vaihe- ja tehospektri ovat vastaavasti X C (f, f 2 ) = [R(f, f 2 )] 2 + [I(f, f 2 )] 2, (5) [ ] I(f, f 2 ) φ(f, f 2 ) = arctan (6) R(f, f 2 ) ja Esimerkki Signaalin P(f, f 2 ) = X C 2 = [R(f, f 2 )] 2 + [I(f, f 2 )] 2. (7) x(t, t 2 ) = A sin(2πu 0 t + 2πv 0 t 2 ) = A 2j [ej2π(u 0t +v 0 t 2 ) e j2π(u 0t +v 0 t 2 ) ] Fourier-muunnos on X C (f, f 2 ) = x(t, t 2 )e j2π(f t +f 2 t 2 ) dt dt 2 = A 2j = A j 2 = A j 2 [ [e j2π(u 0t +v 0 t 2 ) e j2π(u 0t +v 0 t 2 ) ]e j2π(f t +f 2 t 2 ) dt dt 2 [e j2π(u 0 f )t e j2π(v 0 f 2 )t 2 e j2π(u 0+f )t e j2π(v 0+f 2 )t 2 ]dt dt 2 [e j2π(u 0 f )t dt e j2π(v 0 f 2 )t 2 dt 2 = A j 2 [δ(f u 0 )δ(f 2 v 0 ) δ(f + u 0 )δ(f 2 + v 0 )]. = A j 2 [δ(f u 0, f 2 v 0 ) δ(f + u 0, f 2 + v 0 )]. ja amplitudispektri e j2π(u 0+f )t dt X C (f, f 2 ) = A 2 δ(f u 0, f 2 v 0 ) δ(f + u 0, f 2 + v 0 )). e j2π(v 0+f 2 )t 2 dt 2 ] Esimerkki 2 Yksiulotteisen Fourier-analyysin nojalla x(t, t 2 ) + x(t, t 2 ) t t 2 j2π(f + f 2 )X C (f, f 2 ), 2 x(t, t 2 ) + 2 x(t, t 2 ) t 2 t 2 2 4π 2 (f 2 + f2)x 2 C (f, f 2 ). Esimerkki 3 Määrää signaalin { A, 0 t T, 0 t 2 U x(t, t 2 ) = 0, muulloin amplitudispektri.

Ratkaisu: X C (f, f 2 ) = x(t, t 2 )e j2π(f t +f 2 t 2 ) dt dt 2 = U 0 T 0 T Ae j2π(f t +f 2 t 2 ) dt dt 2 = A 0 e j2πf t dt U 0 e j2πf 2t 2 dt 2 = A j2πf [e j2πf T ] j2πf 2 [e j2πf2u ] = ATU sinπf T πf T e jπf T sin πf 2 U πf 2 U e jπf 2U, X C (f, f 2 ) = ATU sin πf T πf T sinπf 2U = ATU sinc(f πf 2 U T) sinc(f 2 U). Matlab:»x=zeros(30,30);x(:0,:0)=0.7;imshow(x, truesize );»X=fft2(x,256,256);imshow(abs(X), notruesize );»X=fftshift(X);imshow(abs(X), notruesize );colormap(jet);colorbar; Kuva. Laatikko(vasen yläkulma neliöstä) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. Kuva 2. Laatikon amplitudispektri intensiteettikuvana

2»» [x,y]=meshgrid(-pi:.0:pi,-pi:.0:pi);z=abs(sinc(2*x).*sinc(2*y));mesh(z) Kuva 3. Laatikon amplitudispektri pintana Näytteistetyn, diskreetin signaalin x[m, n] = x(mt, nt 2 ) Fourier-muunnos määritellään yhtälöllä X D (f, f 2 ) = F{x[m, n]} = T T 2 x[m, n]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ). (8) m= n= Jos analoginen signaali x(t, t 2 ){ on kaistarajoitettu niin, että X C (f, f 2 ) = 0 suorakaiteen muotoisen alueen A = (f, f 2 ) } f 2T, f 2 2T 2 ulkopuolella, niin X D (f, f 2 ) = X C (f, f 2 ), kun (f, f 2 ) A. Kaksiulotteisen diskreetin signaalin x[m, n] Fourier-käänteismuunnos on x[m, n] = F {X D (f, f 2 )} = sillä 2T 2 2T 2 2T 2T X D (f, f 2 )e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) df df 2, (9) 2T 2 2T 2 = 2T 2T X D (f, f 2 )e 2T 2 2T 2 2T 2T ( T T 2 j2π(f mt +f 2 nt 2 ) df df 2 k= l= x[k, l]e j2π(f kt +f 2 lt 2 ) e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) ) df df 2

3 = T T 2 = T T 2 = x[m, n], koska k= l= k= l= x[k, l] x[k, l] 2T 2 2T 2 2T 2 2T 2 2T e 2T 2T e 2T j2π[f T (k m)+f 2 T 2 (l n)] df df 2 j2πf T (k m) df e j2πf 2T 2 (l n) df 2 2T 2 2T 2 2T e 2T j2πf T (k m) df ej2πf 2T 2 (l n) df 2 = δ(k m)δ(l n), T T 2 Havaintoarvojen x[m, n], 0 m M ja 0 n N, diskreetti Fouriermuunnos määritellään yhtälöllä X[k, l] = F d {x[m, n]} = MN M N m=0 n=0 0 k M, 0 l N, jolloin diskreetti Fourier-käänteismuunnos on x[m, n] = F d x[m, n]e j2π(mk/m+nl/n), (0) M {X[k, l]} = N X[k, l]e j2π(km/m+ln/n), () k=0 l=0 0 k M, 0 l N. Diskreetin kaksiulotteisen signaalin amplitudi-, vaihe- ja tehospektri voidaan määrätä yhtälöiden (5), (6) ja (7) mukaan huomioiden, että muuttujat ovat nyt diskreettejä. Diskreetin kaksiulotteisen signaalin x[m, n] energia on E = m= n= x[m, n] 2, (2) ja tämän signaalin energiaspektri S(f, f 2 ) määritellään puolestaan yhtälöllä S(f, f 2 ) = X D (f, f 2 ) 2. (3)

4 Yhtälöiden ( 8), ( 9) ja (2) mukaan E = = = = = m= n= m= n= m= n= 2T 2 2T 2 T T 2 2T x[m, n] 2 x[m, n]x[m, n] x[m, n] 2T X D (f, f 2 ) 2T 2 2T 2 2T 2T 2 2T 2 2T 2T X D (f, f 2 )e m= n= 2T X D (f, f 2 ) eli voimassa on ns. Parsevalin yhtälö. 2 df df 2, j2π(f mt +f 2 nt 2 ) df df 2 x[m, n]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) df df 2 2.3. Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Fourier-muunnoksen avulla voidaan signaalin käsittely siirtää aika/paikka-tasosta taajuusalueeseen, mikä mahdollistaa monien uusien tapojen käytön signaalin analysoinnissa ja muokkaamisessa. Tässä kappaleessa esitellään pääasiassa diskreetin signaalin Fourier-muunnoksen X D (f, f 2 ) ominaisuuksia, mutta samat ominaisuudet ovat voimassa yleensä myös analogisen signaalin Fourier-muunnokselle X C (f, f 2 ). Kuvassa 4 on yksinkertainen mustavalkoinen kuva, jota käytetään jatkossa Fourier-muunnoksen ominaisuuksiin liittyvissä esimerkeissä. Kuvan mustat pisteet vastaavat arvoa 0 ja valkoiset pisteet arvoa. Kuvassa 5 on puolestaan tämän esimerkkikuvan kaksiulotteisen Fourier-muunnoksen intensiteettikuva. Intensiteettikuvassa kunkin kuvapisteen arvo on korvattu tämän pisteen itseisarvolla. Muunnetussa kuvassa nollataajuus on vasemmassa yläkulmassa ja oikeassa alakulmassa on taajuus ( T, T 2 ). Fourier-muunnoksella saadun amplitudispektrin dynaaminen alue on yleensä paljon suurempi kuin mitä visuaalisesti pystytään näyttämään. Tämän ongelman poistamiseksi voidaan käyttää muunnoksen X D (f, f 2 ) sijasta esimerkiksi muunnosta D(f, f 2 ) = c log[ + X D (f, f 2 ) ], (4) missä c on skaalausvakio. Skaalauksen vaikutuksen voi nähdä kuvasta 6, jossa kuvan 5 Fourier-muunnosta on korjattu yhtälön (4) mukaisesti vakion c arvolla. Kuvien 5 ja 6 oikealla puolella oleva palkki ilmoittaa intensiteetin arvon. Paremman käsityksen kuvan 4 esityksestä taajuusalueessa saa käyttämällä Fouriermuunnoksen taajuussiirto-ominaisuutta (ks. kuva 7).

5 Kuva 4. Esimerkkikuva 7 6 5 4 3 2 0 Kuva 5. Esimerkkikuvan kaksiulotteinen amplitudispektri 2.3.. Separoituvuus Yhtälöissä (8) ja (9) esitetty diskreetin signaalin Fourier-muunnospari voidaan esittää separoituvassa muodossa ja X D (f, f 2 ) = T T 2 x[m, n] = 2T e 2T m= j2πf mt e j2πf mt 2T 2 n= x[m, n]e j2πf 2nT 2 (5) j2πf X D (f, f 2 )e 2 nt 2 df 2 df. (6) 2T 2 Separoituvuusominaisuus on voimassa myös kaksiulotteiselle diskreetille Fouriermuunnosparille (yhtälöt (0) ja ()). Siten diskreetti Fourier-muunnos ja -käänteismuunnos

6 7 6 5 4 3 2 0 Kuva 6. Skaalattu amplitudispektri voidaan laskea kahdessa vaiheessa yksiulotteisen diskreetin Fourier-muunnoksen tai -käänteismuunnoksen avulla, esimerkiksi M X[k, l] = T T 2 voidaan kirjoittaa muotoon missä m=0 M X[k, l] = T N e j2π(km/m) m=0 N X 2 [m, l] = T 2 n=0 n=0 x[m, n]e j2π(ln/n) (7) X 2 [m, l]e j2π(km/m), (8) x[m, n]e j2π(ln/n). (9) Yhtälöistä (8) ja (9) nähdään, että kaksiulotteisen signaalin diskreetti Fouriermuunnos voidaan laskea suorittamalla muunnos ensin riveittäin ja sitten sarakkeittain käyttäen yksiulotteista Fourier-muunnosta. 2.3.2. Siirto Diskreetin kaksiulotteisen signaalin x[m, n] paikkasiirto-ominaisuus ja Fouriermuunnoksen X(f, f 2 ) taajuussiirto-ominaisuus voidaan esittää muunnospareilla x[m m 0, n n 0 ] X D (f, f 2 )e j2π(f m 0 T +f 2 n 0 T 2 ), (20) X D (f ω, f 2 ω 2 ) x[m, n]e j2π(ω mt +ω 2 nt 2 ), (2) missä m 0, n 0 Z ja ω, ω 2 R.

7 Muunnosparin (20) todistus: Käyttämällä sijoitusta m m 0 = u, n n 0 = v saadaan F{x[m m 0, n n 0 ]} = T T 2 x[m m 0, n n 0 ]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) = T T 2 = T T 2 m= n= u= v= u= v= = X D (f, f 2 )e j2π(f m 0 T +f 2 n 0 T 2 ) Muunnosparin (2) todistus: x[u, v]e j2π[f (u+m 0 )T +f 2 (v+n 0 )T 2 ] x[u, v]e j2π(f ut +f 2 vt 2 ) e j2π(f m 0 T +f 2 n 0 T 2 ) F{x[m, n]e j2π(ω mt +ω 2 nt 2 ) } = T T 2 x[m, n]e j2π(ω mt +ω 2 nt 2 ) e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) = T T 2 m= n= m= n= x[m, n]e j2π[(f ω )mt +(f 2 ω 2 )nt 2 ] = X D (f ω, f 2 ω 2 ), Erityistä huomiota kannattaa kiinnittää siirrokseen taajuusalueessa, kun ω = 2T ja ω 2 = 2T 2, mikä johtaa eksponenttilausekkeeseen joten e j2π(ω mt +ω 2 nt 2 ) = e jπ(m+n) = ( ) m+n, ( x[m, n]( ) m+n X D f, f 2 ). (22) 2T 2T 2 Tällä ominaisuudella on erityismerkityksensä kuvankäsittelyssä, sillä yhtälön (22) mukaisesti Fourier-muunnoksen origo saadaan siirrettyä kuvan keskelle kertomalla signaali x[m, n] termillä ( ) m+n. Tämän toimituksen hyödyllisyys voidaan nähdä kuvasta 7, missä logaritmisesti skaalatun Fourier-muunnoksen nollataajuus on nyt kuvan keskellä. Diskreetille Fourier-muunnokselle M X[k, l] = F d {x[m, n]} = T T 2 on vastaavasti voimassa N m=0 n=0 0 k M, 0 l N, x[m, n]( ) m+n X x[m, n]e j2π(mk/m+nl/n), ( k M 2, l N ), 2

8 7 6 5 4 3 2 0 Kuva 7. Keskitetty amplitudispektri sillä M F d {x[m, n]( ) m+n } = T T 2 M = T T 2 = X N m=0 n=0 ( k M 2, l N 2 N x[m, n]e jπ(m+n) e j2π(mk/m+nl/n) m=0 n=0 x[m, n]e j2π(m k M 2 M +n l N 2 N ) ). 2.3.3. Jaksollisuus ja konjugaattisymmetria Kaksiulotteisen diskreetin signaalin Fourier-muunnos on jaksollinen siten, että X D ( f + a T, f 2 + b T 2 ) = X D (f, f 2 ), (23) kaikilla a, b Z. Tämä todetaan sijoituksella yhtälöön (8). Jos signaali x[m, n] on reaalinen, niin sen Fourier-muunnokselle on voimassa konjugaattisymmetria joten X D (f, f 2 ) = X D ( f, f 2 ), (24) X D (f, f 2 ) = X D ( f, f 2 ), (25) eli reaalisen signaalin x[m, n] amplitudispektri on radiaalisesti symmetrinen (vrt. esimerkiksi Kuva 7). 2.3.4. Distributiivisuus ja skaalautuvuus Kaksiulotteiselle Fourier-muunnokselle on voimassa F{x[m, n] + y[m, n]} = F{x[m, n]} + F{y[m, n]}, (26)

9 mutta yleensä F{x[m, n] y[m, n]} F{x[m, n]} F{y[m, n]}, (27) eli Fourier-muunnos ja -käänteismuunnos ovat distributiivisia yhteenlaskun, mutta eivät kertolaskun suhteen. Fourier-muunnospari on edelleen voimassa ja missä a, b C ovat vakiokertoimia. ax[m, n] ax D (f, f 2 ) (28) x[am, bn] ( ab X f D a, f ) 2, (29) b 2.3.5. Keskiarvo Diskreetin kaksiulotteisen signaalin keskiarvo määritellään yleensä yhtälöllä x[m, n] = T T 2 x[m, n], (30) m n summauksen ulottuessa yli signaalin kantajan. Sijoittamalla yhtälöön (8) f = 0 ja f 2 = 0 saadaan X D (0, 0) = T T 2 x[m, n], (3) m n joten signaalin keskiarvon ja Fourier-muunnoksen välillä on yhteys x[m, n] = X D (0, 0). (32) 2.3.6. Kierto Tarkastellaan 2-ulotteisen Fourier-muunnoksen kierto-ominaisuutta analogisen signaalin x(t, t 2 ) tapauksessa. Tehdään napakoordinaattimuunnos t = r cos θ ja t 2 = r sin θ, missä r on etäisyys origosta ja θ on kiertokulma, ja vastaavasti taajuusalueessa f = ω cosϕ ja f 2 = ω sin ϕ. Käännettäessä kaksiulotteista signaalia x(t, t 2 ) kulman θ 0 verran, myös signaalin Fourier-muunnos kiertyy saman kulman θ 0 verran, eli x(r, θ + θ 0 ) X C (ω, ϕ + θ 0 ), (33)

20 missä x(r, θ) = x(r cosθ, r sin θ) ja X C (ω, ϕ) = X C (ω cosϕ, ω sin ϕ), sillä X C (f, f 2 ) = x(t, t 2 )e j2π(f t +f 2 t 2 ) dt dt 2 = = 2π 0 0 2π x(r, θ)e j2π[ω cos ϕ r cos θ+ω sinϕ r sinθ] rdθdr x(r, θ)e j2πωr cos(ϕ θ) rdθdr, 0 0 ja F{ x(r, θ + θ 0 )} = = = 2π 0 0 θ 0 +2π 0 θ 0 2π x(r, θ + θ 0 )e j2πωr cos(ϕ θ) rdθdr x(r, σ)e j2πωr cos(ϕ+θ0 σ) rdσdr x(r, σ)e j2πωr cos(ϕ+θ 0 σ) rdσdr 0 0 = X C (ω, ϕ + θ 0 ). Edellä on käytetty sijoitusta σ = θ + θ 0 ja funktion σ x(r, σ) 2π-jaksollisuutta. Kierto-ominaisuus on nähtävissä kuvaparista 8 ja 9. Kuvassa 8 on kuvan 4 palkki, jota on kierretty 45, ja kuvassa 9 on tämän kuvan skaalattu ja keskitetty amplitudispektri intensiteettikuvana. Kuva 8. Kierretty esimerkkikuva

2 7 6 5 4 3 2 0 Kuva 9. Kierretyn esimerkkikuvan amplitudispektri 2.3.7. Konvoluution Fourier-muunnos Samalla tavalla kuin -dimensionaalisessa Fourier-analysissä voidaan osoittaa, että signaalien x(m, n) ja y(m, n) konvoluution z[m, n] = i= j= Fourier-muunnos on x[i, j]y[m i, n j] = x[m, n] y[m, n] = y[m, n] x[m, n] (34) Z D (f, f 2 ) = X D (f, f 2 )Y D (f, f 2 ) (35) ja analogisessa tapauksessa signaalien x(t, t 2 ) ja y(t, t 2 ) konvoluution z(t, t 2 ) = x(s, t)y(t s, t 2 t)dsdt = x(t, t 2 ) y(t, t 2 ) = y(t, t 2 ) x(t, t 2 ) Fourier-muunnos on (36) Z C (f, f 2 ) = X C (f, f 2 )Y C (f, f 2 ) (37) 2.4. Kaksiulotteinen nopea Fourier-muunnos (2-D FFT) Suoran diskreetin Fourier-muunnoksen laskeminen kaksiulotteiselle signaalille on laskutoimitusten lukumäärää tarkastellen hyvin raskas toimitus. Yksiulotteiselle signaalille laskutoimitusten määrä on verrannollinen lukuun N 2, missä N on näytteiden lukumäärä, ja kaksiulotteisessa tapauksessa laskutoimitusten määrä on noin kaksinkertainen. Hajottamalla Fourier-muunnoksen kaava sopivalla tavalla voidaan laskutoimitusten lukumäärää pienentää siten, että kokonaismäärä on verrannollinen lukuun N log 2 N. Tätä algoritmia sanotaan nopeaksi Fourier-muunnokseksi (FFT, fast Fourier transform). Kaksiulotteisen signaalin Fourier-muunnos voidaan laskea

22 yksiulotteisen Fourier-muunnoksen avulla, kuten on esitetty yhtälöissä (8) ja (9), joten kaksiulotteinen FFT:kin voidaan laskea yhden muuttujan FFT-algoritmilla. Näin ollen seuraavassa voidaan rajoittua yksiulotteisen nopean Fourier-muunnoksen käsittelyyn. 2.4.. FFT-algoritmi Oletetaan, että näytteistys on suoritettu siten, että n [0, N ] näytevälin ollessa T =. Kirjoitetaan diskreetti Fourier-muunnos muotoon N missä ja luvun N oletetaan olevan muotoa N X[k] = T N n=0 x[n]w kn N, (38) W N = e j2πt N = e j2π N, (39) N = 2 n. (40) Silloin N = 2M ja T N = 2 T M, (4) missä M on positiivinen kokonaisluku. Sijoittamalla N = 2M yhtälöön (38) saadaan X[k] = 2 T M = 2 [ 2M n=0 T M M n=0 x[n]w kn 2M x[2n]w k(2n) 2M + T M M n=0 x[2n + ]W k(2n+) 2M ]. (42) Yhtälön (39) mukaan W2M 2kn = W M kn, joten edellä saatu kaava (42) voidaan kirjoittaa muotoon [ ] X[k] = M M T M x[2n]wm kn + T M x[2n + ]WM kn W2M k. (43) 2 Määrittelemällä n=0 M X 2n [k] = T M n=0 n=0 x[2n]w kn M, k = 0,, 2,..., M (44) ja M X 2n+ [k] = T M n=0 x[2n + ]WM kn, k = 0,, 2,..., M (45)

23 voidaan yhtälö (43) yksinkertaistaa muotoon = W 2M k, niin yhtälöiden (44) (46) mu- Lisäksi, koska W k+m M kaan X[k] = 2 = W k M ( ) X2n [k] + X 2n+ [k]w2m k. (46) ja W k+m 2M X[k + M] = ( ) X2n [k] X 2n+ [k]w2m k. (47) 2 Johdettujen tulosten mukaan voidaan N-pisteinen Fourier-muunnos laskea hajottamalla alkuperäinen yhtälö kahteen osaan, kuten kaavat (46) ja (47) osoittavat. Fourier-muunnoksen ensimmäisen puoliskon laskeminen edellyttää yhtälöiden (44) ja (45) perusteella kahden (N/2)-pisteisen muunnoksen laskemista. Ensimmäisen puoliskon k = 0,, 2,..., (N/2 ) arvot saadaan sijoittamalla X 2n [k] ja X 2n+ [k] yhtälöön (46) ja loput yhtälöstä (47). 2.4.2. Käänteinen FFT Fourier-käänteismuunnoksen laskeminen FFT-algoritmia hyödyntäen vaatii vain muutamia pieniä muutoksia algoritmiin. Yksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnospari on ja X[k] = T x[n] = N n=0 N k=0 x[n]e j2πkn/n (48) X[k]e j2πkn/n. (49) Ottamalla yhtälöstä (49) kompleksikonjugaatti ja kertomalla se näytevälillä T saadaan Tx[n] = T N k=0 X[k]e j2πkn/n. (50) Vertaamalla saatua tulosta yhtälöön (48) huomataan, että syöttämällä FFT-algoritmiin X[k] saadaan tuloksena alkuperäisen signaalin kompleksikonjugaatti kerrottuna näytevälillä T. Jakamalla saatu sekvenssi tällä luvulla ja ottamalla siitä kompleksikonjugaatti saadaan alkuperäinen signaali. On huomattava kuitenkin, että kompleksikonjugaatti otetaan vasta lopullisesta tuloksesta; sitä ei lasketa jokaisen muunnetun rivin ja sarakkeen jälkeen.

24 3. KAKSIULOTTEISTEN JÄRJESTELMIEN ANALYSOINTI 3.. Yleistä Seuraavassa järjestelmää, jonka sekä heräte että vaste ovat kaksiulotteisia, sanotaan kaksiulotteiseksi järjestelmäksi. Kaksiulotteisten järjestelmien analysoinnissa voidaan käyttää samankaltaisia menetelmiä kuin yksiulotteisissakin järjestelmissä. Valtaosa menetelmistä pohjautuu signaalin spektrin analysointiin ja käyttökohteita löytyy monenlaisista järjestelmistä. Kaksiulotteisen järjestelmän ulottuvuudet voivat muodostaa esimerkiksi paikka-paikka-, paikka-aika- tai aika-aika- pareja. Sovellutuksia näille löytyy muun muassa kuvankäsittelyssä, kaikuluotaimissa ja tutkajärjestelmissä. Yksiulotteisten spektriestimaattoreiden siirtäminen kaksiulotteisiin järjestelmiin ei kuitenkaan onnistu suoraviivaisesti. Vaikeuksia aiheuttavat eroavaisuudet lineaaristen yksi- ja kaksiulotteisten järjestelmien teorioissa; kaksiulotteisten polynomien purkaminen matalampiasteisiksi on vaikeaa, nollat ja navat muodostavat kaksiulotteisissa järjestelmissä yleensä alueita eivätkä yksittäisiä pisteitä kuten yksiulotteisissa järjestelmissä. Näin ollen laskennallinen monimutkaisuus varsinkin suurille tietojoukoille muodostaa usein ylitsepääsemättömän esteen kaksiulotteisten spektriestimaattoreiden hyödyntämiselle. Muutamia käyttökelpoisia menetelmiä on toki olemassa, mainittakoon niistä myöhemmin käsiteltävät kaksiulotteinen periodogrammi ja kaksiulotteinen autoregressiivinen malli. Tämän luvun teoria pohjautuu lähteisiin [], [5] ja todistukset lähteeseen [4]. Todistuksissa ei pyritä matemaattiseen täydellisyyteen, vaan esitetään useimmiten vain pääperiaatteet. 3.2. Lineaariset kaksiulotteiset järjestelmät 3.2.. Analoginen LSI-järjestelmä Analogisessa järjestelmässä kaikki ulottuvuudet ovat jatkuvia suureensa suhteen. Käytetään nyt (ilman mitään erityistä syytä) (paikka)muuttujien t ja t 2 sijasta muuttujia x ja y sekä taajuusmuuttujien f ja f 2 sijasta taajuusmuuttujia u ja v vastaavasti. Jos järjestelmä on lineaarinen ja siirtoinvariantti, niin sitä kutsutaan kaksiulotteiseksi analogiseksi LSI-järjestelmäksi.. Lineaarisuus: Jos { f (x, y) g (x, y) f 2 (x, y) g 2 (x, y), niin f(x, y) = af (x, y) + bf 2 (x, y) g(x, y) = ag (x, y) + bg 2 (x, y), (5) missä g i (x, y) on herätettä f i (x, y) seuraava vaste ja a, b R ovat vakiokertoimia.

25 2. Siirtoinvarianttisuus: Jos niin missä s, t R ovat vakiosiirroksia. f(x, y) g(x, y), f(x s, y t) g(x s, y t), (52) δ(x, y) h(x, y) = Lδ(x, y) L f(x, y) g(x, y) h(x, y) Yllä h(x, y) on järjestelmän impulssivaste (pistehajontafunktio). Vasteelle g(x, y) on voimassa g(x, y) = h(x, y) f(x, y) = f(s, t)h(x s, y t)dsdt, koska heräte voidaan esittää muodossa f(x, y) = f(s, t)δ(x s, y t)dsdt mistä käyttämällä ensin järjestelmän (operaattorin L) lineaarisuutta ja sitten siirtoinvarianttisuutta saadaan g(x, y) = Lf(x, y) = L f(s, t)δ(x s, y t)dsdt = f(s, t)lδ(x s, y t)dsdt = f(s, t)h(x s, y t)dsdt. Esimerkki 4 Lineaarisen siirtoinvariantin (LSI) kuvankäsittelysysteemin impulssivaste on h(x, y) = e (x2 +y 2 )/σ 2, Määrää vastekuva g(x, y), kun heräte f(x, y) on äärettömän kirkas piste kohdassa (x, y) = (, 2). Kuinka parametri σ vaikuttaa vastekuvaan? Ratkaisu: g(x, y) = h(x, y) f(x, y) = = f(s, t)h(x s, y t)dsdt δ(s, t 2)e [(x s)2 +(y t) 2 ]/σ 2 dsdt = e [(x )2 +(y 2) 2 ]/σ 2 Kun σ kasvaa, niin valkoinen piste kohdassa (x, y) = (, 2) leviää.( g(x, y) ).

26»x=zeros(500,500);x(248:252,248:252)=;imshow(x, notruesize );»[x,y]=meshgrid(-50:.:50,-50:.:50);g=exp(-0.05.*(x.*x+y.*y));imshow(g);»g=exp(-0.0.*(x.*x+y.*y));imshow(g);g=exp(-0.005.*(x.*x+y.*y));imshow(g); Kuva 0. Vasemmalla alkuperäinen piste, oikealla vaste kun σ = 20 Kuva. Vaste, kun σ = 0 ja σ = 200 Konvoluution Fourier-muunnoksen laskukaavan (37) nojalla saadaan vasteelle g(x, y) = h(x, y) f(x, y) ns. suodatusyhtälö G(u, v) = H(u, v)f(u, v). (53) Tässä ja jatkossa analogisen signaalin Fourier-muunnoksen alaindeksi C jätetään merkitsemättä. H(u, v) on järjestelmän (Fourier-)siirtofunktio ja H(u, v amplitudivaste. Esimerkki 5 Tarkastellaan ideaalista LSI-kuvankäsittelysysteemiä, jonka siirtofunktion itseisarvo H(u, v). Millainen on vastekuva taajuustasossa (intensiteettikuvana), kun heräte f(x, y) on äärettömän kapea kirkas pystysuora viiva kohdassa y =? Matemaattinen perustelu!

27 Ratkaisu: G(u, v) = H(u, v) F(u, v), f(x, y) = δ(y ) F(u, v) = f(x, y)e j2π(ux+vy) dxdy = δ(y )e j2π(ux+vy) dxdy = e j2πux [ δ(y )e j2πvy dy]dx = e j2πv e j2πux dx = e j2πv δ(u) F(u, v) = δ(u) Kuva 2. Viiva y= ja sen Fourier-muunnos Kuvan muuntuminen suoraviivaisen liikkeen vaikutuksesta: Kuva f(x, y) on hämärtynyt aikavälillä [0,T] tapahtuneesta liikkeestä (x, y) = (x 0 (t), y 0 (t)) johtuen ja tuloksena saatu kuva g(x, y) = T 0 f(x x 0 (t), y y 0 (t))dt, Esimerkki 6 Osoita, että kyseessä on lineaarinen siirtoinvariantti systeemi (f(x, y) on heräte ja g(x, y) on vaste) ja määrää siirtofunktio H(u, v). Ratkaisu: g(x, y) = T 0 f(x x 0 (t), y y 0 (t))dt = L[f(x, y)] Lineaarisuus: L[k f (x, y) + k 2 f 2 (x, y)] = y 0 (t))]dt T [k f (x x 0 (t), y y 0 (t)) + k 2 f 2 (x x 0 (t), y 0 = k T 0 T f (x x 0 (t), y y 0 (t))dt + k 2 f 2 (x x 0 (t), y y 0 (t))dt 0

28 = = = k L[f (x, y)] + k 2 L[f 2 (x, y)] Siirtoinvarianttisuus: L[f(x α, y β)] = Siirtofunktio: G(u, v) = T 0 T f(x α x 0 (t), y β y 0 (t))dt = g(x α, y β) 0 0 f(x x 0 (t), y y 0 (t))e j2π(ux+vy) dxdydt T f(x x 0 (t), y y 0 (t))dte j2π(ux+vy) dxdy T T F(u, v)e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt = F(u, v) e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt, 0 joten siirtofunktio on T H(u, v) = e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt 0 Esimerkki 7 Määrää vastekuva, kun f(x, y) = 2ye 0,05(x2 +y 2) u(y) ja kun liike tapahtuu suoraviivaisesti siten, että (x, y) = (0, t), 0 t. 0 Ratkaisu: f=2*y.*exp(-.05*x.*x-.05*y.*y);imshow(f);figure;g=20*(-exp(-.05))*exp(-.05*x.*x);imshow(g); Kuva 3. Suoraviivainen liike pystysuoraan Esimerkki 8 Laske siirtofunktio, kun liike tapahtuu suoraviivaisesti siten, että (x, y) = (t, 2t), 0 t. Ratkaisu: H(u, v) = 0 e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt = 0 e j2π(ut+2vt) dt = j2π(u+2v) [e j2π(u+2v) ] = e jπ(u+2v) j2π(u+v) [e jπ(u+2v) e jπ(u+2v) ] = e jπ(u+2v) sin(π(u+2v)) π(u+2v).

29 Huom.: Tässä siirtofunktiolla on nollia ja se aiheuttaa ongelmia kuvan palauttamisessa (käänteissuodatuksessa). Jos esimerkiksi vasteeseen summautuu kohinaa, n(x, y), eli g(x, y) = Lf(x, y)+n(x, y), niin G(u, v) = H(u, v)f(u, v)+n(u, v) ja tästä ratkaistuna G(u, v) N(u, v) F(u, v) = H(u, v) H(u, v). Katso [8]. 3.2.2. Diskreetti LSI-järjestelmä Oletetaan nyt, että järjestelmä on kaksiulotteinen, diskreetti, lineaarinen ja siirtoinvariantti, LSI-järjestelmä:. Lineaarisuus: Jos { x [m, n] y [m, n] x 2 [m, n] y 2 [m, n], niin x[m, n] = ax [m, n] + bx 2 [m, n] y[m, n] = ay [m, n] + by 2 [m, n], (54) missä y i [m, n] on herätettä x i [m, n] seuraava vaste ja a, b R ovat vakiokertoimia. 2. Siirtoinvarianttisuus: Jos niin missä k, l Z ovat vakiosiirroksia. x[m, n] y[m, n], x[m k, n l] y[m k, n l], (55) δ [m,n] Järjestelmä h[m,n] h[m,n]= Lδ [m,n] x[m,n] Järjestelmä h[m,n] y[m,n]=lx[m,n] Kuva 4. Diskreetti LSI-järjestelmä Kuvassa 4 h[m, n] on impulssivaste eli vaste kaksiulotteiseen yksikköimpulssiin δ[m, n]: {, kun m = n = 0 δ[m, n] = δ[m]δ[n] = (56) 0 muulloin.

30 Diskreetin kaksiulotteisen LSI-järjestelmän vaste y[m, n] herätteellä x[m, n] on konvoluutio y[m, n] = i= j= Tämä nähdään kirjoittamalla mistä seuraa, että x[i, j]h[m i, n j] = h[m, n] x[m, n] = x[m, n] h[m, n]. x[m, n] = i= j= y[m, n] = Lx[m, n] = L L lin. = L siirtoinv. = i= j= i= j= x[i, j]δ[m i, n j], i= j= x[i, j]lδ[m i, n j] x[i, j]h[m i, n j] x[i, j]δ[m i, n j] = h[m, n] x[m, n] = x[m, n] h[m, n]. Diskreetin kaksiulotteisen järjestelmän sanotaan olevan, aivan kuten yksiulotteisessakin tapauksessa, (BIBO-) stabiili, jos rajoitettua herätettä seuraa aina rajoitettu vaste. Järjestelmä on BIBO-stabiili, jos ja vain jos sen impulssivaste h[m, n] toteuttaa ehdon h[m, n] <. (58) m= n= Ehdon (58) riittävyys BIBO-stabiilisuudelle nähdään suoralla laskulla vasteen laskukaavasta (57) ja välttämättömyys valitsemalla BIBO-stabiilin järjestelmän rajoitetuksi herätteeksi {, kun h[ m, n] 0 x[m, n] =, kun h[ m, n] < 0. Kaksiulotteinen rekursiivinen differenssiyhtälö, joka sitoo vasteen herätteeseen, on a[k, l]y[m k, n l] = b[k, l]x[m k, n l], (59) k l k l missä a[k, l] ja b[k, l] ovat vasteen ja herätteen kerroinsekvenssit. Esimerkki 9 Kaksiulotteinen diskreetti järjestelmä, jonka heräte on x[m, n] ja vaste y[m, n], määritellään differenssiyhtälöllä Tutki onko järjestelmä LSI-järjestelmä. y[m, n] + y[m, n ] = nx[m, n]. (57)

3 Ratkaisu: Tutkitaan ensiksi järjestelmän lineaarisuus. Olkoon x i heräte, jota seuraa vaste y i, x [m, n] y [m, n], x 2 [m, n] y 2 [m, n]. Tällöin a(y [m, n] + y [m, n ]) = a(nx [m, n]) b(y 2 [m, n] + y 2 [m, n ]) = b(nx 2 [m, n]) (ay [m, n] + by 2 [m, n]) + (ay [m, n ] + by 2 [m, n ]) mistä huomataan, että = n(ax [m, n] + bx 2 [m, n]), x[m, n] = ax [m, n] + bx 2 [m, n] y[m, n] = ay [m, n] + by 2 [m, n], eli järjestelmä on lineaarinen. Tutkitaan seuraavaksi järjestelmän siirtoinvarianttisuus. Olkoon x heräte, jota seuraa vaste y, Silloin x[m, n] y[m, n]. y[m k, n l] + y[m k, n l ] = (n l)x[m k, n l] ja muokkaamalla yhtälöä hieman todetaan, että ( n l)y[m n k, n l] + ( n l)y[m n k, n l ] = nx[m k, n l]. Tästä huomataan, että järjestelmä ei ole siirtoinvariantti eli se ei ole LSI-järjestelmä. Yksiulotteisen järjestelmän sanotaan olevan kausaalinen, kun vaste riippuu ainoastaan herätteen senhetkisestä ja menneistä tiloista. Tämä määritelmä on luonteva, mutta kaksiulotteiselle järjestelmälle kausaalisuuden määritteleminen ei ole yhtä selväpiirteistä. Syynä on se, että usein toinen tai molemmat ulottuvuudet ovat paikan funktioita eivätkä ajan. Eräs kausaaliseksi määritelty kantaja kaksiulotteiselle impulssivasteelle on kuvan 5(a) kaltainen epäsymmetrinen puolitaso (NSHP, nonsymmetric half plane). Tämän määritelmän mukaan vaste saadaan pyyhkäisemällä alueen yli viiva kerrallaan, vasemmalta oikealle, lähtien ylimmästä viivasta. Jos vaste y[m, n] on sijainniltaan paikassa n viivalla m, niin koko vastesekvenssi saadaan siten rekursiivisesti laskemalla ensin väli y[m, ] y[m, ] ja siirtymällä sen jälkeen seuraavalle viivalle. Vaikka impulssivasteella olisi kantajana vain epäsymmetrinen puolitaso, on huomattava, että herätteellä ja vasteella voi silti olla kantajana rajoittamaton kokotaso (FP, full plane). Vasteen laskentaa NSHP-kantajan tapauksessa selventää kuva 5(c), missä ympyröidyt pisteet kuvaavat niitä herätteen näytteitä, jotka ovat käytettävissä vasteen laskemisessa pisteessä [i, j].

32 m m n n a) Kausaalinen NSHP b) Kausaalinen QP m m [i,j] [i,j] n n c) Kausaalinen NSHP d) Kausaalinen QP Kuva 5. Kaksiulotteisen järjestelmän kantajia. Toinen kantaja kausaalille kaksiulotteiselle järjestelmälle on kuvan 5(b) mukainen neljännestaso (QP, quarter plane), joka on myös kaikkein mielenkiintoisin tapaus kaksiulotteista spektrianalyysiä ajatellen. Vaste pisteessä [i, j] määrätään QPkantajan tapauksessa käyttämällä kuvan 5(d) ympyröityjen pisteiden osoittamia näytteitä. Valitsemalla a[0, 0] = yhtälö (59) saadaan muotoon y[m, n] = a[k, l]y[m k, n l] + b[k, l]x[m k, n l]. (60) k l k l } {{ } (k,l) (0,0) Voidaan osoittaa [6], että valitsemalla kausaalinen NSHP-kantaja sekvensseille a[m, n] ja b[m, n] sekä järkevä alkutila herätteelle x[m, n], järjestelmän vaste on myös kausaalinen kaksiulotteinen sekvenssi. Toisin sanoen, järjestelmän impulssivasteella on myös NSHP-kantaja ja impulssivaste voidaan siten laskea rekursiivisesti samalla tavalla pyyhkäisten kuin edellä on kuvattu. Asettamalla kaksiulotteisen LSI-järjestelmän herätteeksi x[m, n] = z mzn 2 saadaan konvoluutiokaavan (57) mukaan vasteeksi y[m, n] = k= l= h[k, l]z k z l 2 zm zn 2 (6) = H(z, z 2 )z m zn 2, (62)

33 missä H(z, z 2 ) = k= l= h[k, l]z k z l 2 = Z{h[k, l]} (63) on impulssivasteen kaksiulotteinen z-muunnos, jota sanotaan järjestelmän siirtofunktioksi. Sijoittamalla yhtälöön (63) z = e j2πf T ja z 2 = e j2πf 2T 2 nähdään, että kaksiulotteinen Fourier-muunnos on erikoistapaus kaksiulotteisesta z-muunnoksesta. Niinpä z-muunnoksen ominaisuudet ovat yhteneväiset Fourier-muunnoksen ominaisuuksien kanssa. Näitä ominaisuuksia käsiteltiin kappaleessa 2.3. Kaksiulotteisen rekursiivisen differenssiyhtälön (59) siirtofunktion voidaan osoittaa olevan kaksiulotteinen rationaalifunktio siten, että H(z, z 2 ) = B(z, z 2 ) A(z, z 2 ), (64) missä A(z, z 2 ) ja B(z, z 2 ) ovat sekvenssien a[i, j] ja b[i, j] z-muunnokset, A(z, z 2 ) = B(z, z 2 ) = k= l= k= l= a[k, l]z k z l 2, (65) b[k, l]z k z l 2. (66) Sellaista aluetta, jossa A(z, z 2 ) = 0 ja B(z, z 2 ) 0 sanotaan järjestelmän navaksi ja aluetta, jossa B(z, z 2 ) = 0 ja A(z, z 2 ) 0 järjestelmän nollaksi. Konvoluution (57) z-muunnos voidaan kirjoittaa muodossa Y (z, z 2 ) = H(z, z 2 )X(z, z 2 ), (67) josta sijoituksilla z = e j2πf T ja z 2 = e j2πf 2T 2 sama Fourier-muunnoksen avulla muodossa Y (f, f 2 ) = H(f, f 2 )X D (f, f 2 ). (68) Esimerkki 0 Määrää järjestelmän y[m, n] y[m, n] y[m, n ] = x[m, n], m 0, n 0 (69) siirtofunktio ja impulssivaste sekä nollat ja navat. Onko järjestelmä BIBO-stabiili? Ratkaisu: Siirtofunktio saadaan z-muuntamalla yhtälö (69) puolittain; Y (z, z 2 ) Y (z, z 2 )z Y (z, z 2 )z 2 = X(z, z 2 ), ratkaisemalla tästä joten Y (z, z 2 ) = z z2 X(z, z 2 ), H(z, z 2 ) = z z2.

34 Impulssivasteen määräämiseksi kirjoitetaan H(z, z 2 ) = = m= n= [ k k=0 n=0 ( k n = ) h[m, n]z m z n 2 = (z + z2 ) ] (z )k n (z2 )n = = z z2 (z + z2 )k k=0 m=0 n=0 ( ) m + n z m z2 n, n mistä seuraa, että ( ) m + n h[m, n] =, m 0, n 0. n Huomataan, että siirtofunktiolla ei ole nollia, ja navat ovat kompleksilukupareja (z, z 2 ), jotka toteuttavat yhtälön eli Järjestelmä ei ole BIBO-stabiili, sillä m= n= h[m, n] = z z 2 = 0, z + z 2 =. m=0 n=0 ( ) m + n n =. Esimerkki 2-dimensionaalinen diskreetti LSI-järjestelmä, jonka heräte on x(m, n) ja vaste y(m, n), määritellään differenssiyhtälöllä y(m, n) = y(m, n)+ 3 y(m, n ) y(m, n )+x(m, n) x(m, n), 3 Määrää järjestelmän siirtofunktio ja impulssivaste. Onko systeemi BIBO-stabiili? m=0 Ratkaisu: Y (z, z 2 ) = Y (z, z 2 )z + 3 Y (z, z 2 )z 2 3 Y (z, z 2 )z z 2 + X(z, z 2 ) X(z, z 2 )z Y (z, z 2 ) = z z 3 z 2 3 z z 2 X(z, z 2 ) H(z, z 2 ) = = ( z 3 2 ) n = n=0 z z 3 z 2 3 z z 2 = m=0 n=0 Systeemi on stabiili, sillä h(m, n) = ( 3 )n = 3 < 2 m= n= z ( z )( 3 z 2 ) = 3 z 2 δ(m)( 3 )n z m z n 2, h(m, n) = δ(m)( 3 )n u(n), n=0

35 Esimerkki 2 2-dimensionaalisen digitaalisen LSI-systeemin siirtofunktio on H(z, z 2 ) = ( z ) 2 ( z2 ) 2 2 z z2 Kirjoita systeemin vastetta y(m, n) ja herätettä x(m, n) sitova differenssiyhtälö. Määrää systeemin nollat ja navat. Ratkaisu: Nollat: (z, z 2 ) = (, z 2 ) ja (z, z 2 ) = (z, ), Navat: z + z 2 = 2 H(z, z 2 ) = ( z )2 ( z 2 )2 2 z z 2 = 2z +z 2 2z 2 z 2 +4z z 2 2z z 2 2 +z 2 z 2 2 +z 2 2 2 z z 2 2y(m, n) y(m, n) y(m, n ) = x(m, n) 2x(m, n)+x(m 2, n) 2x(m 2, n )+4x(m, n ) 2x(m, n 2)+x(m 2, n 2)+x(m, n 2) Esimerkki 3 NSHP-rekursiivisen suodattimen siirtofunktio on H(z, z 2 ) = + k= 00k 3(zk 2 + z k 2 )z, Määrää impulssivaste h(m, n) ja alue, missä impulssivasteen arvot h(m, n) 0. Onko systeemi stabiili? Ratkaisu: H(z, z 2 ) = + = +z = n= m= n= m= n= z n 00n 3 2 +z n= n= h(m, n)z m z 2 n = + (z n 00n 3 2 + z n 2 )z z n 00n 3 2 = +z n= n=, m = n = 0 0, m =, n = 0 h(m, n) =, n, m = 00n 3, n, m = 00n 3 0, muulloin h(m, n) = + n= z n 00n 3 2 +z h(, n)z z 2 n 2 < Systeemi on stabiili. 00n 3 n= z n 00n 3 2 Lause 2-ulotteinen. neljänneksen QP-rekursiivinen LSI-järjestelmä on BIBOstabiili, jos sen yhtälöllä (63) määritellyn siirtofunktion kaikki navat ovat alueen {(z, z 2 ) z, z 2 } komplementissa.

36 3.3. Kaksiulotteiset satunnaissignaalit LSI-järjestelmissä 3.3.. Määritelmiä Diskreetin kaksiulotteisen satunnaissignaalin x[m, n] odotusarvofunktio on autokorrelaatiofunktio autokovarianssifunktio c xx [m, n, k, l] = E ja ristikorrelaatiofunktio r xx [m, n, k, l] = E E {x[m, n]} = µ[m, n], (70) { } x[m + k, n + l]x[m, n], (7) { (x[m + k, n + l] µ[m + k, n + l]) r yx [m, n, k, l] = E Satunnaissignaali x[m, n] on (heikosti) stationaarinen, jos ( )} x[m, n] µ[m, n] (72) { } y[m + k, n + l]x[m, n]. (73). odotusarvo on riippumaton sijainnista kaksiulotteisella tasolla, ja E{x[m, n]} = µ[m, n] = µ = vakio, (74) 2. autokorrelaatiofunktio on ainoastaan siirron funktio, { } E x[m + k, n + l]x[m, n] = r xx [k, l]. (75) Jatkossa käsiteltävien signaalien x[m, n] ja y[m, n] oletetaan olevan yhteisstationaarisia eli ne ovat stationaarisia ja ristikorrelaatiofunktion arvo riippuu vain siirrosta, toisin sanoen r yx [m, n, k, l] = r yx [k, l]. Lisäksi oletetaan, että kyseessä olevat signaalit ovat nollaodotusarvoisia, jolloin autokorrelaatio- ja autokovarianssifunktio ovat samat. Autokorrelaation r xx [0, 0] voidaan osoittaa olevan positiivinen ja r xx [0, 0] r xx [m, n] kaikilla [m, n]. Kaksiulotteisen autokorrelaatiofunktion voidaan myös osoittaa olevan positiivisesti semi-definiitti, a[m, n]a[k, l]r xx [m k, n l] 0, (76) m n k l kaikille kertoimille a[m, n]. Kaksiulotteinen tehotiheysspektri P xx (f, f 2 ) määritellään autokorrelaatiofunktion Fourier-muunnoksena, P xx (f, f 2 ) = T T 2 m= n= r xx [m, n]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ), (77)

37 missä f 2T ja f 2 2T 2. Autokorrelaatiofunktion positiivisesta semidefiniittisyydestä seuraaa, että tehotiheysspektri on reaalinen ja ei-negatiivinen. Kaksiulotteisten järjestelmien analysoinnissa tärkeä satunnaissignaali on (stationaarinen) valkoinen kohina w[m, n], jonka autokorrelaatiofunktio on r ww [k, l] = ρ w δ[k, l], (78) Tässä ρ w on kohinan varianssi (oletettiin että E[w[m, n]] = 0). Valkoinen kohina korreloi itsensä kanssa ainoastaan siirrolla [0, 0], ja sen tehotiheysspektri on siten P ww (f, f 2 ) = T T 2 ρ w. Jos P xx (f, f 2 ) on stationaarisen satunnaissignaalin x[m, n] tehotiheysspektri niin LSI-järjestelmän vasteen y[m, n] tehotiheysspektri P yy (f, f 2 ) on P yy (f, f 2 ) = H(f, f 2 ) 2 P xx (f, f 2 ), (79) missä H(f, f 2 ) on järjestelmän Fourier-siirtofunktio. Yhtälön (79) todistus: Koska ja niin y[i, j] = k r yy [m, n] = E h[k, l]x[i k, j l] l { } y[i + m, j + n]y[i, j], r yy [m, n] { = E h[k, l]x[i + m k, j + n l] } h[r, s]x[i r, j s] k l r s = { } h[k, l]h[r, s]e x[i + m k, j + n l]x[i r, j s] k l r s = h[k, l]h[r, s]r xx [m k + r, n l + s], k l r s joten P yy (f, f 2 ) = r yy [m, n]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) m n = h[k, l]h[r, s]r xx [m k + r, n l + s]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) m,n k,l r,s = h[k, l]h[r, s] r xx [m k + r, n l + s] k,l r,s m,n e j2π[f (m k+r)t +f 2 (n l+s)t 2 ] e j2π(f kt +f 2 lt 2 ) e j2π(f rt +f 2 st 2 ) = h[k, l]e j2π(f kt +f 2 lt 2 ) h[r, s]e j2π(f rt +f 2 st 2 ) k,l r,s r xx [p, q]e j2π(f pt +f 2 qt 2 ) p,q = H(f, f 2 )H(f, f 2 )P xx (f, f 2 ) = H(f, f 2 ) 2 P xx (f, f 2 )

38 Esimerkki 4 Kaksiulotteisen diskreetin järjestelmän siirtofunktio on H(z, z 2 ) = 3 z 2 Määrää vasteen y[m, n] tehotiheysspektri, kun heräte x[m, n] on kaksiulotteista valkoista kohinaa, jonka varianssi on. Oletetaan,että T = T 2 =. Ratkaisu: P yy (f, f 2 ) = H(f, f 2 ) 2 P xx (f, f 2 ) = H ( z = e j2πf T, z 2 = e j2πf 2T 2 ) 2 = 3 e j2πf 2 2 = [ cos(2πf 3 2) ] 2 [ + sin(2πf 3 2) ] 2 = 0 2 cos(2πf 9 3 2), f 2, f 2 2. Esimerkki 5 2-dimensionaalinen diskreetti LSI-järjestelmä, jonka heräte on x(m, n) ja vaste y(m, n), määritellään differenssiyhtälöllä y[m, n] y[m, n] y[m, n ] = x[m, n], m 0, n 0 Määrää vasteen y[m, n] tehotiheysspektri, kun heräte x[m, n] on kaksiulotteista valkoista kohinaa, jonka varianssi on. Oletetaan,että T = T 2 =. Ratkaisu: Esimerkin 0 nojalla H(z, z 2 ) = z. z 2, joten 0.02 0.05 0.0 0.005 0 20 00 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 00 20 Kuva 6. Vasteen tehotiheysspektri P yy (f, f 2 ) = H(f, f 2 ) 2 P xx (f, f 2 ) = ( H z = e j2πf, z 2 = e ) j2πf 2 2 = e j2πf e j2πf 2 2 = [ cos(2πf ) cos(2πf 2 )] 2 + [sin(2πf ) + sin(2πf 2 )] 2.

39 Sellaisen kaksiulotteisen järjestelmän, jonka siirtofunktio on yhtälön (64) mukainen, vaste herätteenä syötettyyn valkoiseen kohinaan on kaksiulotteinen autoregressiivinen liukuvan keskiarvon signaali (ARMA, autoregressive moving average). Tämän satunnaissignaalin tehotiheysspektri on B(f, f 2 ) P ARMA (f, f 2 ) = T T 2 ρ w A(f, f 2 ) 2. (80) Jos B(f, f 2 ) =, signaalin sanotaan olevan kaksiulotteinen autoregressiivinen signaali (AR, autoregressive), ja jos A(f, f 2 ) =, kyseessä on kaksiulotteinen liukuvan keskiarvon signaali (MA, moving average). Kaksiulotteinen signaali voi olla myös sellainen, jossa signaali voi olla esimerkiksi AR-signaali toisen ulottuvuuden suhteen ja ARMA-signaali toisen ulottuvuuden suhteen. 3.3.2. Klassinen kaksiulotteinen spektriestimointi Klassiset kaksiulotteiset spektriestimaattorit periodogrammi ja korrelogrammi polveutuvat suoraan vastaavista yksiulotteisista spektriestimaattoreista. Näiden menetelmien käsittelyn yksinkertaistamiseksi valitaan signaalin kantajaksi neljännestaso, jolloin näytteiden x[m, n] indeksit muodostavat suorakaiteen muotoisen alueen 0 m M ja 0 n N. Muunkinlaiset alueet ovat toki mahdollisia. Harhaton kaksiulotteisen autokorrelaation estimaattori on ˆr xx [k, l] = (M k)(n l) M k m=0 M k (M k)(n + l) m=0 N l n=0 N n= l x[m + k, n + l]x[m, n], k 0, l 0 x[m + k, n + l]x[m, n], k 0, l < 0 ˆr xx [ k, l], k < 0, l < 0 (8) alueessa, joka on rajoitettu siten, että k p, l p 2 ja p M ja p 2 N. Kaksiulotteisen tehotiheysspektrin korrelogrammiestimaatti lasketaan yhtälöstä p ˆP CORR (f, f 2 ) = T T 2 k= p p 2 l= p 2 v[k, l]ˆr xx [k, l]e j2π(fkt+f2lt2), (82) missä v[m, n] on kaksiulotteinen ikkunointifunktio. Useimmiten kaksiulotteiset ikkunointifunktiot muodostetaan yksiulotteisten ikkunointifunktioiden tulona []. Kaksiulotteisella periodogrammilla tarkoitetaan funktiota ˆP PER (f, f 2 ) = T T 2 MN M N m=0 n=0 2 v[m, n]x[m, n]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ), (83)

40 missä v[m, n] on sovelias ikkunointifunktio. Kaksiulotteisen periodogrammiestimaattorin varianssia voidaan pienentää lohkomalla näytteet suppeampiin, mahdollisesti limittäisiin, joukkoihin ottamalla jokaisesta joukosta periodogrammiestimaatti ja keskiarvoistamalla saadut estimaatit. Jos näytesignaali on siten rajoittunut, että keskiarvoistaminen voidaan tehdä ainoastaan toisen ulottuvuuden suhteen, estimaatin tarkkuus kärsii useimmiten liikaa kohtuullisen tuloksen saamiseksi. Jos näytteistä lohkotut joukot ovat tilastollisesti riippumattomia toisistaan, varianssi pienenee samassa suhteessa kuin joukkojen lukumäärä kasvaa. Tilastollisesti riippuville joukoille varianssin pieneneminen on vähäisempää. Klassisten kaksiulotteisten spektriestimaattoreiden tilastollinen suorituskyky on samaa luokkaa vastaavien yksiulotteisten menetelmien kanssa. Resoluutio eri ulottuvuuksien suhteen on erilainen riippuen näytteistyksestä, sillä yleensä MT NT 2. 3.3.3. Autoregressiivinen spektriestimointi Klassisia spektriestimaattoreita parempaan suorituskykyyn päästään käyttämällä niin sanottuja parametrisia satunnaissignaalien malleja. Eniten tutkittu ja kirjallisuudessa käsitelty versio on kaksiulotteinen autoregressiivinen malli, joka on myös ainoa tässä käsiteltävä malli. Kaksiulotteinen autoregressiivinen signaali y[m, n] voidaan luoda syöttämällä valkoista kohinaa x[m, n] = w[m, n] kaksiulotteiseen LSI-suodattimeen, joka on määritelty differenssiyhtälöllä y[i, j] = a[m, n]y[i m, j n] + w[i, j], (84) m n missä summaus ulottuu yli oletetun autoregressiivisen signaalin parametrijoukon. Tämän signaalin tehotiheysspektri on yhtälön (80) mukaisesti P yy (f) = P AR (f, f 2 ) = + m T T 2 ρ w 2, (85) a[m, n]e j2π(f mt +f 2 nt 2 ) missä ρ w on kaksiulotteisen valkoisen kohinan varianssi. Tärkein vaihe kaksiulotteisessa autoregressiivisessa mallinnuksessa on kantajan valinta. Tässä keskitytään vain kausaaliseen kaksiulotteiseen autoregressiiviseen malliin, vaikka semikausaalisen tai ei-kausaalisen järjestelmän suorituskyky voi olla aivan yhtä hyvä. Kausaalinen kaksiulotteinen autoregressiivinen järjestelmä ei ole yksikäsitteinen, vaan sillä voi olla kantajana esimerkiksi neljännestaso (QP) tai epäsymmetrinen puolitaso (NSHP). Oikean puolitason autoregressiivisen NSHP-mallin parametrijoukko a R [m, n] ja vasemman puolitason autoregressiivisen NSHP-mallin parametrijoukko a L [m, n] määritellään a[m, n] = n a R [m, n], p n p, jos m p 2 n p, jos m = 0 a L [m, n], p n p, jos p 2 m p n, jos m = 0, (86)

4 m m n n a) Oikea puolitaso b) Vasen puolitaso Kuva 7. NSHP-mallin parametrijoukot, kun p = 2 ja p 2 = 3 missä [p, p 2 ] N 2 ja p, p 2 > 0. NSHP-mallin parametrien kokonaismäärä on siten 2p p 2 + p + p 2. Esimerkkitapaukset näistä alueista on esitetty kuvassa 7. Ensimmäisen, toisen, kolmannen ja neljännen neljännestason autoregressiivisen QP-mallin parametrijoukot a [m, n], a 2 [m, n], a 3 [m, n] ja a 4 [m, n] ovat a[m, n] = a [m, n], 0 n p, jos m p 2 n p, jos m = 0 a 2 [m, n], 0 n p, jos p 2 m n p, jos m = 0 a 3 [m, n], p n 0, jos p 2 m p n, jos m = 0 a 4 [m, n], p n 0, jos m p 2 p n, jos m = 0. QP-mallin parametrien lukumäärä on p p 2 + p + p 2. Esimerkkitapaukset näistä alueista on esitetty kuvassa 8. Kaksiulotteinen lineaarinen ennuste näytesignaalille x[m, n] esitetään muodossa ˆx[m, n] = β[i, j]x[m i, n j], (88) i j missä β[i, j] on kaksiulotteinen lineaarinen ennustekerroin. Jos kausaaliselle signaalille valitaan sellainen ennustekerroinjoukko, joka minimoi virheen x[m, n] ˆx[m, n] varianssin ρ LP = E{ x[m, n] ˆx[m, n] 2 }, niin ennusteen virhesignaali on silloin valkoista kohinaa. Vaadittavat ennustekertoimet voidaan laskea kaksiulotteisista Yule-Walker -yhtälöistä. Autoregressiiviset menetelmät perustuvat siis muodostetun mallin parametrien estimointiin. Näitä estimointimenetelmiä ei käsitellä tässä yhteydessä enempää vaan viitataan lähteeseen []. (87)

42 m m n n a) Ensimmäinen neljännes b) Toinen neljännes m m n n c) Kolmas neljännes d) Neljäs neljännes Kuva 8. QP-mallin parametrijoukot, kun p = p 2 = 3 Esimerkki 6 Kaksiulotteisen signaalin x[i, j] havaintoarvot ovat (0 i 5, 0 j 4) j = 0 i = 0 4 3 2 0 3 2 0 2 0 2 3 2 4 0 3 2 4 4 2 4 5 6 7 Laske autoregressiivistä mallia ˆx[i, j] = m a[m, n]x[i m, j n] n käyttäen arvolle x[3, 3] ennustearvo valitsemalla p = p 2 = ja a[m, n] = ( ) m+n tai a[m, n] = ( ) m+n+. a) Käytä oikean puolitason NSHP-mallia. b) Käytä ensimmäisen neljänneksen QP-mallia. Ratkaisu: a) ˆx(i, j) = p p 2 n= p m= a(m, n)x(i m, j n) p n= a(0, m)x(i, j n)

43 = n= ˆx(3, 3) = a(, n)x(i, j n) a(0, )x(i, j ) n= a(, n)x(2, 3 n) a(0, )x(3, 2) = a(, )x(2, 4) a(0, )x(2, 3) a(, )x(2, 2) a(0, )x(3, 2) = 2 + 0 2 + 3 =, kun a(m, n) = ( ) m+n ja = 2 0 + 2 3 =, kun a(m, n) = ( ) m+n+ b) ˆx(i, j) = p p 2 n=0 m= a(m, n)x(i m, j n) p n= = a(, n)x(i, j n) a(0, )x(i, j ) n=0 ˆx(3, 3) = a(, 0)x(2, 3) a(, )x(2, 2) a(0, )x(3, 2) = 0 2 + 3 =, kun a(m, n) = ( ) m+n ja a(0, n)x(i, j n) = 0 + 2 3 =, kun a(m, n) = ( ) m+n+

44 4. MONIKANAVAISET SIGNAALIT JA JÄRJESTELMÄT 4.. Yleistä Tähän mennessä käsitellyt järjestelmät ovat rajoittuneet tapauksiin, joissa heräte ja vaste ovat yksittäisiä signaaleja muuttujan ollessa vektoriarvoinen tai skalaari. Monikanavaisessa järjestelmässä sekä heräte, vaste että järjestelmän impulssivaste ovat skalaarimuuttujan (yleensä ajan) vektorifunktioita. Monikanavaiset järjestelmät pystyvät siten käsittelemään useita signaaleja samanaikaisesti, mille on sovelluksia esimerkiksi tutka- ja kaikuluotausjärjestelmissä. Tämänkaltaisten järjestelmien analysointia varten on olemassa useita eri menetelmiä, jotka usein pohjautuvat signaalin tehotiheysspektrimatriisin estimointiin. Tämän luvun teoria pohjautuu pääosin lähteeseen [3] ja todistukset lähteeseen [5]. Todistuksissa esitetään useimmiten vain pääperiaatteet luettavuuden parantamiseksi. Tämän luvun puitteissa käsitellään ainoastaan diskreettejä monikanavaisia järjestelmiä, jotka käytännön kannalta ovat olennaisempia, mutta on huomattava, että jatkossa esitettävä teoria on suurelta osin laajennettavissa käsittämään myös analogiset järjestelmät. 4.2. Monikanavainen LTI-järjestelmä Kuvan 9 mukaisessa monikanavaisessa lineaarisessa aikainvariantissa (LTI) järjestelmässä x[n] on herätevektori, y[n] tätä herätettä vastaava vastevektori ja L systeemiä kuvaava operaattori. x [n] y [n]=l(x[n]) x [n]... x m[n]... Järjestelmä L... y [n]... y m [n] Kuva 9. Monikanavainen LTI-järjestelmä Monikanavaisen LTI-järjestelmän on siis toteutettava seuraavat ehdot:. Lineaarisuus: Jos { x[n] y[n] z[n] w[n], niin missä a, b R ovat vakiokertoimia. ax[n] + bz[n] ay[n] + bw[n], (89) 2. Aikainvarianttisuus: Jos x[n] y[n]

45 niin missä k Z on vakioviive. x[n k] y[n k], (90) Monikanavaisen järjestelmän analysointia varten määritellään kanavan i impulssivaste h i [n] siten, että 0. i. alkio δ i [n] = δ[n] L(δ i [n]) merk. = h i [n], (9). 0 jolloin impulssivastematriisiksi H[n] saadaan h [n] h 2 [n]... h m [n] H[n] = ( h [n] h 2 [n]... h m [n] ) h 2 [n] h 22 [n]... h 2m [n] =....... (92) h m [n] h m2 [n]... h mm [n] Lause 2 Monikanavaisen järjestelmän herätteen x[n] ja vasteen y[n] sitoo toisiinsa konvoluutiokaava y[n] = k= Todistus: Kirjoittamalla heräte x[n] muotoon H[n k]x[k] = H[n] x[n]. (93) x [k]δ[n k] x [n] k x 2 [n] x[n] =. = x 2 [k]δ[n k] k x m [n]. x m [k]δ[n k] k = x [k]δ [n k] + x 2 [k]δ 2 [n k] +... + k k k x m [k]δ m [n k], ja käyttämällä operaattorin L lineaarisuutta ja aikainvarianttisuutta saadaan

46 y[n] = L(x[n]) L lin. = k x [k]l(δ [n k]) + k x 2 [k]l(δ 2 [n k]) +... + k x m [k]l(δ m [n k]) L aikainv. = x [k]h [n k] + x 2 [k]h 2 [n k] +... + x m [k]h m [n k] k k k x [k] = ( h [n k] h 2 [n k]... h m [n k] ) x 2 [k]. k x m [k] = H[n k]x[k] = H[n] x[n] k= Yksittäisen kanavan i vaste y i [n] voidaan siten laskea yhtälöstä m y i [n] = h ij [n k]x j [k] (94) = k= j= k= h ii [n k]x i [k] + k= m h ij [n k]x j [k], (95) missä yhtälön (95) jälkimmäinen termi kuvaa muiden kanavien vaikutusta kanavaan i. Monikanavainen LTI-järjestelmä on BIBO-stabiili, jos rajoitettua herätettä x[n] seuraa aina rajoitettu vaste y[n]. Toisin sanoen on oltava olemassa sellaiset luvut M, K R, että x[n] M y[n] K kaikilla n Z. Tässä on jokin vektorinormi avaruudessa R m. Lause 3 m-kanavainen LTI-järjestelmä on BIBO-stabiili, jos H[k] <, (96) missä on jokin matriisinormi. k= j= j i Todistus: Jos x[n] M, n Z, ja ehto (96) toteutuu, niin y[n] = H[k]x[n k] k= H[k] x[n k] k= M k= k= H[k] = K <, n Z H[k]x[n k]

47 Voitaneen(!) osoittaa (jätetään lukijan mietittäväksi), että ehto (96) on myös välttämätön ehto BIBO-stabiilisuudelle. Matriisin H[k] z-muunnosmatriisi on H(z) = Z{H[k]} = k= H[k]z k. (97) Matriisia H(z) sanotaan myös monikanavaisen järjestelmän siirtofunktiomatriisiksi. Vastaavasti määritellään signaalivektorin x[k] z-muunnos yhtälöllä X(z) = Z{x[k]} = k= Soveltamalla z-muunnosta kaavaan (93) saadaan x[k]z k. (98) Y(z) = H(z)X(z), (99) missä Y(z) ja X(z) ovat vaste- ja herätevektorien z-muunnokset. Monikanavainen Fourier-muunnosmatriisi H(f) on H(f) = TH(z) z=e j2πft = T k= H[k]e j2πfkt, (00) missä T on näytteenottoväli. Vektorin x[k] Fourier-muunnos määritellään yhtälöllä ja käänteismuunnos yhtälöllä X(f) = T k= x[k]e j2πfkt (0) x[k] = 2T X(f)e j2πfkt df, (02) 2T sillä 2T 2T X(f)e j2πfkt df = T = T 2T 2T n= n= x[n] x[n]e j2πfnt e j2πfkt df 2T 2T = Tx[k] T = x[k]. e j2πf(k n)t df

48 Monikanavaisen signaalin x[k] energia ja energiaspektri määritellään yhtälöillä ja Olkoon Silloin x[k] = E = = = = E = k= x[k] 2 (03) S(f) = X(f) 2. (04) x 2 [k] + x 2 2[k]...x 2 m[k] = x[k] x[k]. k= k= 2T 2T 2T 2T = T x[k] 2 = x[k] k= X(f) 2T 2T 2T k= x[k] x[k] X(f)e j2πfkt df x[k] X(f)e j2πfkt df k= x[k]e j2πfkt } {{ } T X(f) X(f) X(f)df = T 2T df X(f) 2 df, 2T eli on voimassa Parsevalin yhtälö 2T E = k= x[k] 2 = T 2T 2T X(f) 2 df. 4.3. Satunnaissignaalit monikanavaisissa järjestelmissä 4.3.. Määritelmiä Jatkossa käsiteltävien satunnaissignaalien oletetaan olevan (heikosti) stationaarisia prosesseja, kuten tehtiin myös kappaleessa 3.3. Näin voidaan monikanavaisten satunnaissignaalien käsittelyä varten määritellä ensin kanavan x[n] autokorrelaatiofunktio { } r xx [k] = E x[n + k]x[n], (05)

49 tehotiheysspektri P xx (f) = F{r xx [k]} = T k= kahden yksittäisen kanavan x[n] ja y[n] välinen ristikorrelaatio { } r xy [k] = E x[n + k]y[n] ja ristitehotiheysspektri P xy (f) = F{r xy [k]} = T k= r xx [k]e j2πfkt, (06) (07) r xy [k]e j2πfkt. (08) Kahdella viimeisellä funktiolla on kompleksikonjugaattisymmetriaominaisuus eli r xy [k] = r yx [ k] ja P xy (f) = P yx (f). Lisäksi ristitehotiheydelle on voimassa Hermiittistä 2 2 -matriisia P xy (f) 2 P xx (f)p yy (f). (09) C = ( ) Pxx (f) P xy (f) P yx (f) P yy (f) (0) sanotaan koherenssimatriisiksi tai tehotiheysmatriisiksi. Koherenssimatriisilla on epäyhtälön (09) mukaan ei-negatiivinen determinantti kaikilla taajuksilla f. Kahden kanavan välistä riippuvuutta voidaan tarkastella myös koherenssifunktiolla Φ xy (f) = P xy (f) Pxx (f)p yy (f), () koherenssispektrillä (MSC, magnitude squared coherence) ja koherenssivaihespektrillä Φ xy (f) 2 = P xy(f) 2 P xx (f)p yy (f) θ(f) = arctan (2) ( ) Im{Φxy (f)}. (3) Re{Φ xy (f)} Taajuuksilla, joilla signaalit ovat täysin koherentteja koherenssispektrin arvo on yksi ja niillä taajuksilla, joilla signaalit ovat täysin epäkoherentteja, arvo on nolla. Riippumattomille signaaleille Φ xy (f) 2 0. Koherenssivaihespektrin avulla voidaan puolestaan tutkia signaalien välistä vaihe-eroa taajuudella f. Auto- ja ristikorrelaation sekä teho- ja ristitehotiheysspektrin laajentaminen monikanavaisiin järjestelmiin vaatii muutamia uusia määritelmiä. Autokorrelaatiota vastaava m-kanavaisen signaalin x[k] korrelaatiomatriisi r [k] r 2 [k]... r m [k] R xx [k] = E { x[n + k]x H [n] } r 2 [k] r 22 [k]... r 2m [k] =..... (4). r m [k] r m2 [k]... r mm [k]

50 muodostuu siten, että lävistäjälle tulevat kunkin kanavan autokorrelaatiot ja muihin alkioihin kanavien väliset ristikorrelaatiot. Matriisilla R xx [k] on siten ominaisuus R xx [k] = R H xx [ k]. Monikanavaisen korrelaatiomatriisin diskreettiaikaisen Fouriermuunnosmatriisin P (f) P 2 (f)... P m (f) P xx (f) = T R xx [k]e j2πfkt P 2 (f) P 22 (f)... P 2m (f) =..... k=. (5) P m (f) P m2 (f)... P mm (f) sanotaan olevan monikanavaisen satunnaissignaalin tehotiheysspektrimatriisi. Matriisin lävistäjällä on kunkin kanavan tehotiheysspektrit ja muissa alkioissa vastaavasti kanavien väliset ristitehotiheysspektrit. Huomion arvoista on myös se, että P xx (f) on hermiittinen, eli P xx (f) = P H xx (f), ja positiivisesti semidefiniitti. Tämän seurauksena kaikkien kanavaparien koherenssispektrien arvot ovat välillä nollasta yhteen, jolloin kaksikanavaisen järjestelmän tapauksessa 0 P 2(f) 2. (6) P (f)p 22 (f) Olennainen osa monikanavaisten järjestelmien analysointia on nollakeskiarvoinen vektorimuotoinen valkoinen kohina w[k], jonka korrelaatiomatriisi on R ww [k] = { Pw, kun k = 0 0, muulloin, (7) missä P w on hermiittinen m m -matriisi. Valkoinen kohina kussakin kanavassa korreloi siis itsensä ja muiden kanavien valkoisen kohinan kanssa ainoastaan, kun k = 0. Niinpä monikanavaisen valkoisen kohinan tehotiheysspektrimatriisiksi saadaan P ww (f) = TP w. (8) Lause 4 Monikanavaisessa LTI-järjestelmässä vasteen korrelaatiomatriisi saadaan yhtälöstä R yy [m] = H[m] R xx [m] H H [ m], (9) missä H[m] on järjestelmän impulssivastematriisi ja R xx [m] on herätteen korrelaatiomatriisi. Todistus: Vaste on y[n] = H[k]x[n k], k=

5 joten Koska niin R yy [m] = E { y[n + m]y H [n] } ( ) H = E H[k]x[n + m k] H[i]x[n i] k= i= { } = E H[k]x[n + m k] x H [n i]h H [i] = = i= k= k= k= H[k] H[k] i= i= i= E { x[n + m k]x H [n i] } H H [i] R xx [m k + i]h H [i]. R xx [m k + i]h H [i] = R xx [m k] H H [ m + k], R yy [m] = H[m] R xx [m] H H [ m] Lause 5 Monikanavaisissa LTI-järjestelmissä vasteen tehotiheysspektrimatriisi toteuttaa yhtälön P yy (f) = H(f)P xx (f)h H (f), (20) missä H(f) on järjestelmän Fourier-siirtofunktiomatriisi ja P xx (f) herätteen tehotiheysspektrimatriisi. Todistus: Määritelmän mukaan P yy (f) = T = T = m= m= k= k= H[k] H[k]e j2πfkt { i= = H(f)P xx (f) T R yy [m]e j2πfmt i= m= R xx [m k + i]h H [i]e j2πf(m k+i)t e j2πfkt e j2πfit } R xx [m k + i]e j2πf(m k+i)t H H [i]e j2πfit } {{ } =P xx(f) H H [i]e j2πfit i= = H(f)P xx (f)h H (f)

52 4.3.2. Monikanavainen klassinen spektriestimointi Kappaleessa 3.3.2 esitettiin klassisia spektriestimointikeinoja kaksiulotteiselle signaalille ja varsin suoraviivaisesti samat menetelmät saadaan käyttöön myös monikanavaisille signaaleille. Yksinkertaisimmin monikanavaisen järjestelmän tehotiheysspektrimatriisia voidaan estimoida laskemalla kaikkien kanavien tehotiheysspektrien estimaatit ja kanavien välisten ristitehotiheysspektrien estimaatit. Näillä tuloksilla saadaan koko järjestelmän tehotiheysspektrimatriisin estimaatti täyttämällä matriisin alkiot yhtälön (5) mukaisesti. Monikanavaisen järjestelmän klassisista spektriestimaattoreista ensimmäisenä esitettävä K:n lohkon keskiarvoistamiseen perustuva periodogrammi voidaan kirjoittaa matriisien avulla muotoon missä ˆP PER (f) = K [ X k (f) = T NT N n=0 ] K X k (f)x H k (f), (2) k= x k [n]e j2πfnt (22) on m-kanavaisen järjestelmän lohkosta k saatujen näytevektorienx k [n] N-pisteinen diskreetti Fourier-muunnos. Lohkominen on välttämätöntä periodogrammin varianssin pienentämiseksi ja koherenssifunktion harhaisuuden poistamiseksi. Äärimmäisenä tapauksena tästä on esimerkin 7 kaltainen tilanne, jossa lohkomista ei käytetä lainkaan. Esimerkki 7 Määrää satunnaissignaalin x[n] = (x [n], x 2 [n]) T koherenssispektrin (MSC) estimaatti käyttäen periodogrammia ilman lohkomista. Ratkaisu: Kanavien tehotiheyksien ja ristitehotiheyksien periodogrammiestimaatit ovat: ˆP (f) = NT X (f)x (f), ˆP 22 (f) = NT X 2(f)X 2 (f), ˆP 2 (f) = NT X (f)x 2 (f), missä X (f) = T N n=0 x [n]e j2πfnt, N X 2 (f) = T x 2 [n]e j2πfnt. Koherenssispektrin estimaatiksi saadaan siten [ ] [ ] Φ 2 (f) 2 = ˆP 2 (f) 2 X (f)x 2 (f) X (f)x 2 (f) ˆP (f) ˆP 22 (f) = [ ] [ ] = X (f)x (f) X 2 (f)x 2 (f) n=0

53 kaikilla taajuksilla f riippumatta signaalista. Harhaisuus on siten erittäin voimakasta. Toinen monikanavainen klassinen spektriestimointimenetelmä perustuu korrelogrammin käyttöön. Määritellään ensin harhainen korrelaatiomatriisin estimaattori Ř xx [k] = N N k n=0 x[n + k]x H [n], (23) missä x[n] on m-kanavainen satunnaissignaali. Olettaen, että korrelaatiomatriisin estimaatit on määrätty viiveillä k, p k p, voidaan tehotiheysspektrimatriisia estimoida korrelogrammilla p ˆP CORR (f) = T Ř xx [k]e j2πfkt. (24) k= p 4.3.3. Monikanavaiset ARMA-, AR- ja MA-signaalit Monikanavainen autoregressiivinen liukuvan keskiarvon (ARMA-) signaali määritellään rekursiivisella matriisiyhtälöllä p q y[n] = A[k]y[n k] + C[k]u[n k], (25) k= missä A[k] on m m autoregressiivinen parametrimatriisi, C[k] on m m liukuvan keskiarvon parametrimatriisi ja u[k] kuvaa m-kanavaista stationaarista herätteeksi syötettävää häiriösignaalia. ARMA-signaalin z-muunnokseksi saadaan missä k=0 Y(z) = A (z)c(z)u(z), (26) A(z) = I + C(z) = p A[k]z k, k= (27) q C[k]z k k=0 ja I on yksikkömatriisi. Tämän perusteella siirtofunktiomatriisi voidaan kirjoittaa muotoon H(z) = A (z)c(z). (28) Sijoittamalla yhtälöihin (26) (28) z = e j2πft saadaan vastaavat Fourier-muunnokset Y(f) = A (f)c(f)u(f), (29) p A(f) = I + A[k]e j2πfkt, C(f) = k= (30) q C[k]e j2πfkt k=0

54 ja H(f) = A (f)c(f), (3) kun f. Sijoittamalla edelleen yhtälö (3) kaavaan (20), ja olettamalla 2T herätteen olevan yhtälön (7) mukaista valkoista kohinaa, saadaan vasteen tehotiheysmatriisiksi P ARMA (f) = TA (f)c(f)p w C H (f)a H (f), f 2T, (32) joka on siis monikanavaisen ARMA-signaalin tehotiheysspektrimatriisi. Monikanavainen autoregressiivinen (AR) signaali voidaan määritellä rekursiivisella matriisiyhtälöllä y[n] = p A[k]y[n k] + u[n], (33) k= jonka tehotiheysspektrimatriisi johdettuna vastaavasti kuin ARMA-signaalillekin on P AR (f) = TA (f)p w A H (f), f 2T. (34) Vastaavat yhtälöt liukuvan keskiarvon signaalille ovat y[n] = p C[k]u[n k] + u[n] (35) k=0 ja P MA (f) = TC(f)P w C H (f), f 2T. (36) Huomioitavaa monikanavaisissa autoregressiivisissä signaaleissa on se, että vaikka vektorisignaali olisi autoregressiivinen, se ei tarkoita sitä, että yksittäisen kanavan signaali olisi autoregressiivinen. Samalla tavalla yksittäisten kanavien kertaluku (asteluku) voi olla huomattavastikin vektorisignaalin kertalukuvusta poikkeava. Esimerkki 8 Kaksikanavainen signaali x[n] on ensimmäisen kertaluvun autoregressiivinen signaali, jolle missä kerroinmatriisi x[n] = A[]x[n ] + w[n], (37) A[] = ( ) 0 ja w[n] on kaksikanavaista nollakeskiarvoista valkoista kohinaa, jonka kanavat ovat toisistaan riippumattomia ja kummankin kanavan tehotiheys on. Laske signaalin z-muunnos ja tehotiheysspektrimatriisi olettaen, että T =.

55 Ratkaisu: Z-muunnetaan yhtälö (37) puolittain, ja ratkaisemalla tästä X(z) = A[]X(z)z + W(z) X(z) = ( I + A[]z ) W(z), joten siirtofunktioksi saadaan H(z) = ( I + A[]z ) ( z z = 0 z ( ) z = z z. 0 Tehotiheysspektrimatriisi voidaan määrätä yhtälön (20) mukaisesti. Fourier-siirtofunktiomatriisi on ( ) H(f) = H(z = e j2πf e j2πf ) = e j2πf e j2πf, 0 ja ( ) H H 0 (f) =. e j2πf ej2πf e j2πf Tehotiheysspektrimatriisiksi saadaan siten P xx (f) = H(f)P yy (f)h H (f) ( ) e j2πf = e j2πf e j2πf 0 ( + = 2 2 cos(2πf) ( ) P (f) P = 2 (f). P 2 (f) P 22 (f) e j2πf ( e j2πf e j2πf 2 2 cos(2πf) e j2πf e j2πf ) ) 0 ej2πf e j2πf Esimerkki 9 Laske Esimerkin 8 signaalin koherenssifunktio ja koherenssivaihespektri. Tutki ovatko kanavat erikseen. kertaluvun autoregressiivisiä prosesseja. Ratkaisu: Φ 2 (f) = P 2 (f) P (f)p 22 (f) ) = e j2πf q e j2πf = + 2 2 cos(2πf) e j2πf e jπf (e jπf e jπf ) q + 2 2 cos(2πf) e = q jπf 2jsin(πf) + 2 2 cos(2πf) e = j(πf π 2 q ) 2sin(πf) + 2 2 cos(2πf), 2 f 2. Koherenssivaihespektri Θ(f) = arctan Im{Φ 2(f)} Re{Φ 2 (f)} = arg e j(πf π 2 ) arg 2sin(πf)

56 = { πf + π 2, 0 f 2 πf π 2, 2 f 0. P (f) = e j2πf e j2πf [ + ( e j2πf )( e j2πf ) ] P (z) = [ + ] = +( z )( z) z z ( z )( z) ( z ) 2 ( z) 2 z= on 4-kertainen napa. kanavalla kyseessä 4. kertaluvun AR-prosessi vaikka x(n) on. kertaluvun (vektori)prosessi. Esimerkki 20 Kaksikanavainen diskreettiaikainen (T = ) signaali x(n) on. kertaluvun autoregressiivinen prosessi, jolle missä kerroinmatriisi on x(n) = A()x(n ) + w(n), A() = ( ) 0 ja w(n) on nollakeskiarvoista valkoista kaksikanavaista kohinaa, jonka kanavat ovat toisistaan riippumattomia ja kummankin kanavan teho on. Laske prosessin x(n) tehotiheysspektri, koherenssispektri (magnitude squared coherence, MSC) ja koherenssivaihespektrin arvo taajuudella f = 4. Ratkaisu: X(z) = A()X(z)z +W(z) X(z) = [I+A()z ] W(z) H(z) = [I + A()z ], H(f) = H(z = e j2πf ) = [I + A()e j2πf ] ( ) + z H(z) = [I + A()z ] 0 = inv( z + z ) ( ) 0 +z z = +z ( ) 0 H(f) = +e j2πf e j2πf +e j2πf ( H H (f) = ej2πf +e j2πf 0 +e j2πf ) (T=) P xx (f) = H(f)P ww (f)h H (f) = H(f)IH H (f) ( ) ( 0 H(f) = ej2πf +e j2πf e j2πf +e j2πf 0 = 2+2 cos(2πf) +e j2πf ( e j2πf e j2πf +e j2πf 2+2 cos(2πf) + +e j2πf ( ) j H( ) = +j = 4 2 j j 3 2 ) ( P ( 4 ) P 2( 4 ) P 2 ( 4 ) P 22( 4 ) ) +e j2πf )

57 Koherenssispektri MSC(f) = Φ 2 (f) 2 = P 2(f) 2 P (f)p 22 (f) = 8 /3 8 = 3 Koherenssivaihespektri Θ( ) = arg Φ 4 2( ) = arg = 0 + π π = π 4 2 +j 2 4 4 Esimerkki 2 Kaksikanavaiselle diskreetille autoregressiiviselle satunnaissignaalille x[n] = (x [n], x 2 [n]) T on voimassa { x [n] = x 2 [n ] + w [n] x 2 [n] = x [n ] + w 2 [n] ja w[n] = (w [n], w 2 [n]) T on nollaodotusarvoista valkoista kaksikanavaista kohinaa, jonka kanavat ovat toisistaan riippumattomia, ja kummankin kanavan teho on. Näyteaikaväli on. Laske signaalin x[n] tehotiheysspektri, koherenssispektri (MSC) ja koherenssivaihespektri. Laske ylläolevan differenssiyhtälöparin määräämän LTI-systeemin impulssivastematriisi. j 4.4. Ilman lämpötilan ja auringonpilkkujen kaksikanavainen spektrianalyysi Eräs mielenkiintoinen monikanavaisen spektrianalyysin kohde on auringonpilkkujen ja ilman lämpötilan välinen riippuvuus. Seuraavassa tutkitaan yhdessä paikassa (St. Louis, USA) mitattujen kuukauden keskilämpötilojen ja auringonpilkkujen välistä suhdetta vuosien 845 978 välisenä aikana. Lämpötilat ja auringonpilkkujen lukumäärät löytyvät lähteestä []. Kuvasta 20(a) voidaan havaita lämpötilojen spektrin sisältävän voimakkaat piikit nollataajuudella ja taajuudella (/vuosi). Nämä komponentit aiheutuvat muista tekijöistä kuin auringonpilkuista, joten ne voidaan suodattaa pois. Auringonpilkkujen tehotiheysspektri on nähtävissä kuvassa 20(b). Tehotiheysspektrejä on estimoitu Welchin periodogrammeilla [], jotka on laskettu 608 näytteestä käyttämällä kymmentä 52 näytteen Hammingin ikkunointifunktiolla painotettua lohkoa. Suhteellinen voimakkuus (db) 0 0 20 30 40 50 0 2 4 6 Taajuus (/vuosi) (a) Suhteellinen voimakkuus (db) 0 5 0 5 20 25 30 35 40 45 0 2 4 6 Taajuus (/vuosi) (b) Kuva 20. Lämpötilojen ja auringonpilkkujen periodogrammit Ennen kaksikanavaista spektrianalyysiä mittaustuloksia kannattaa siis käsitellä haluttujen ilmiöiden paljastamiseksi. Nollataajuuden komponentti poistettiin molemmista mittaustuloksista vähentämällä kustakin mitatusta arvosta koko joukon

58 keskiarvo. Lämpötiloissa esiintyvä vuodenaikavaihtelu poistettiin alipäästösuodattamalla mittaustulokset lineaarivaiheisella FIR-suodattimella, jonka taajuusvaste on nähtävissä kuvassa 2. Samalla suodattimella käsiteltiin myös auringonpilkkujen mittaustulokset, jotta vaihetieto ei vääristyisi. Voimakkuus (db) 20 0 20 40 60 80 00 0 2 3 4 5 6 Taajuus (/vuosi) Vaihe (asteita) 0 00 200 300 400 500 600 700 0 2 3 4 5 6 Taajuus (/vuosi) Kuva 2. FIR-alipäästösuodattimen taajuusvaste Kiinnostava taajuusalue rajoittuu välille 0 (/vuosi) auringonpilkkujen spektrin mukaan. Kuvassa 22(a) on lämpötilojen ja kuvassa (b) auringonpilkkujen suodatettujen näytteiden spektrit edellä mainitulta väliltä. Kanavien välisen riippuvuuden tutkimiseksi suodatetuille mittaustuloksille laskettiin koherenssispektri, kuva 22(c) ja koherenssivaihespektri, kuva 22(d). Koherenssispektri laskettiin yhtälön (2) ja koherenssivaihespektri yhtälön (3) mukaisesti käyttämällä tehotiheysspektrien estimoinnissa Welchin periodogrammia. Periodogrammit laskettiin 608 näytteestä käyttämällä kymmentä 52 näytteen lohkoa. Merkittävimmät piikit koherenssispektrissä ovat kohdissa f = 0,024, 0,078, 0,247 ja 0,58 (/vuosi), jolloin jaksonpituudet ( ) ovat vastaavasti 4,5, 2,8, 4,05 ja f,93 vuotta. Auringonpilkkujen tehotiheysspektrissä kiinnostavin huippu on kohdassa 0,096 (/vuosi), joka on lähellä koherenssispektrin taajuudella 0,078 (/vuosi) sijaitsevaa piikkiä. Koherenssivaihespektrin mukaan vaihe-ero on tuolloin 3,529 rad/s, mikä tarkoittaa sitä, että lämpötila seuraa auringonpilkkujen lukumäärän vaihtelua 7,9 vuoden viiveellä. Kovin vahvaa kytkentää auringonpilkkujen ja lämpötilan välille ei tällä perusteella kuitenkaan voi tehdä, sillä koherenssin arvo kyseisessä pisteessä on vain 0,4554.

59 0 0 Suhteellinen tehotiheys (db) 0 20 30 40 Suhteellinen tehotiheys (db) 0 20 30 40 50 60 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 (a) Taajuus (/vuosi) 70 0 0.2 0.4 0.6 0.8 (b) Taajuus (/vuosi) 0.7 0 0.6 MSC 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 (c) Taajuus (/vuosi) Vaihe (rad) 2 3 4 5 6 7 0 0.2 0.4 0.6 0.8 (d) Taajuus (/vuosi) Kuva 22. Auringonpilkkujen ja lämpötilan välisen spektrianalyysin kuvaajat

60 5. AALLOKKEET SIGNAALINKÄSITTELYSSÄ 5.. Yleistä Aallokkeet ja aallokemuunnos ovat verrattain uusia käsitteitä signaalinkäsittelyssä. Aallokemuunnoksen perusperiaatteena on esittää käsiteltävä signaali siinä tapahtuvien muutosten ominaisuuksien kuvaamisella. Muista edellä käsitellyistä muunnoksista poiketen aallokemuunnoksen vaihtelevataajuisten kantafunktioiden, aallokkeiden, kesto on rajoitettu, minkä ansiosta aallokemuunnos säilyttää informaation myös sijainnista paikka- ja/tai aika-alueessa. Aallokemuunnosta voidaan hyödyntää varsinkin kuvankäsittelyssä, sillä muunnoksen luonne antaa valmiit työkalut esimerkiksi reunojen paljastamiseen, hahmontunnistukseen ja kuvan informaation pakkaamiseen. Seuraavassa käydään läpi aallokemuunnokseen liittyviä määritelmiä ja periaatteita ja tutustutaan aallokemuunnoksen hyödyntämiseen kuvankäsittelyssä, erityisesti reunantunnistuksessa. Tässä luvussa esitetyt asiat pohjautuvat lähteisiin [], [2] ja [3]. 5.2. Määritelmiä Kahden analogisen energiasignaalin x(t) ja y(t) välinen sisätulo määritellään yhtälöllä < x(t), y(t) >= x(t)y(t)dt, (38) signaalin x(t) energia on x 2 = x(t) 2 dt, (39) ja signaalien x(t) ja y(t) välinen konvoluutio määritellään yhtälöllä x(t) y(t) = x(u)y(t u)du. (40) Analogisen signaalin x(t) Fourier-muunnos X C (f) on X C (f) = x(t)e j2πft dt. (4) Merkintä x 2 j(t) tarkoittaa signaalin x(t) dilaatiota skaalatekijällä 2 j, x 2 j(t) = 2 j x ( t 2 j ). (42)

6 Tässä dilaation määritelmässä normeerataan signaalin L -normi; jos niin x 2 j(t) dt = x(t) dt =, 2 j x( t 2 j ) dt = 2 j x(s) 2j ds =. Jos haluttaisiin normeerata energia, niin määriteltäisiin (näin aallokkeita käsittelevässä kirjallisuudessa joskus tehdään) x 2 j(t) = ( ) t 2 j/2x, 2 j sillä silloin kun x =. x 2 j(t) 2 dt = 2 x( t j 2 j ) 2 dt = 2 j x(s) 2 2 j ds =, Kaksiulotteisen, analogisen energiasignaalin x(t, t 2 ) Fourier-muunnos on määritelty yhtälöllä (2) ja energia on x 2 = x(t, t 2 ) 2 dt dt 2. (43) Merkintä x 2 j(t, t 2 ) tarkoittaa signaalin x(t, t 2 ) dilaatiota skaalatekijällä 2 j, x 2 j(t, t 2 ) = ( 2 x t 2j 2, t ) 2. (44) j 2 j (Äiti)aalloke on mikä tahansa funktio ψ(t), jonka kesto on rajoitettu, ja joka toteuttaa ehdon ψ(t)dt = 0. (45) 5.3. Moniskaalainen reunantunnistus Terävät muutokset kuvan intensiteetissä ovat tärkeitä monien käytännön sovellusten kannalta, sillä nämä muutokset sijoittuvat yleensä kuvassa esiintyvien hahmojen reunoille. Näiden reunojen löytämiseksi tietokoneella on kehitetty monia menetelmiä, joista eräs on moniskaalainen reunantunnistus. Periaatteena moniskaalaisessa

62 x(t) θ (t) * x(t) d dx θ (t) * x(t) 2 d dx 2 θ (t) * x(t) Kuva 23. Moniskaalaisen reunantunnistuksen periaate reunantunnistuksessa on tasoittaa käsiteltävä signaali skaalatekijällä 2 j dilatoidulla tasoitusfunktiolla ja hakea sen jälkeen terävät muutoskohdat ensimmäisen tai toisen asteen derivaattojen avulla. Kuvassa 23 on esitetty erään signaalin x(t) tasoittaminen ja reunojen tunnistaminen sekä ensimmäisen että toisen derivaatan avulla. Olkoon θ(t) signaalin tasoitukseen käytettävä funktio, joka käytännön sovelluksissa on usein Gaussin funktio. Tasoitusfunktio θ(t) on kompaktikantajainen ja toteuttaa ehdon θ(t)dt =. (46) Sen voidaan myös ajatella olevan jonkin alipäästösuodattimen impulssivaste. Moniskaalaisen reunantunnistuksen ensimmäinen vaihe, signaalin x(t) tasoitus, suoritetaan konvoluutiolla s(t) = θ(t) x(t), (47) mikä vastaa signaalin x(t) alipäästösuodattamista. Olkoon tasoitusfunktion θ(t) ensimmäinen derivaatta funktio ψ(t), Funktio ψ(t) on aalloke, sillä W 2 jx(t) skaalatekijällä 2 j määritellään yhtälöllä ψ(t) = dθ(t). (48) dt ψ(t)dt = 0. Signaalin x(t) aallokemuunnos W 2 jx(t) = x(t) ψ 2 j(t). (49)

63 Huomataan, että signaalin x(t) tasoitusfunktiolla θ 2 j(t) tasoitetun signaalin (x θ 2 j)(t) derivaatta on verrannollinen signaalin x(t) aallokemuunnokseen, aallokemuunnos voidaan kirjoittaa muodossa W 2 jx(t) = x(t) [ 2 j dθ 2 j(t) ] dt = 2 j d dt (x θ 2j)(t). (50) Yhtälöstä (50) nähdään, että aallokemuunnoksen itseisarvon W 2 jx(t) paikallinen maksimi ilmaisee signaalin x(t) terävät muutoskohdat skaalalla 2 j. Kun skaalatekijä on pieni, signaalin x(t) tasoittaminen funktiolla θ 2 j(t) on huomaamatonta, ja näin toteutettu reunantunnistus löytää kaikkien terävämpien muutoskohtien sijainnit. Skaalatekijän ollessa suuri signaalin x(t) ja tasoitusfunktion θ 2 j(t) konvoluutio tasoittaa pienet muutokset kokonaan ja ainoastaan suuremmat muutokset pystytään tunnistamaan. Haar-aalloke määritellään yhtälöllä {, 2 Ψ(x) = x < 0, 0 x 2 Esimerkki 22 Määrää Haar-aallokkeeseen liittyvät tasoitusfunktio θ(x), dilaatiot θ 2 j(x) ja aallokkeet Ψ 2 j(x) = Ψ( x ), j Z,. 2 j 2 j { {, 2 Ratkaisu: Ψ(x) = x < 0 x + Θ(x) =, 2 x < 0 2, 0 x x +, 0 x 2 2 2 Θ 2 j(x) = 2 j Θ( x 2 j ) = { x +, x < 0 2 2j 2 j+ 2 2 j x +, 0 x 2 2j 2 j+ 2 j 2 = { x +, 2 j x < 0 2 2j 2 j+ x +, 0 x 2 j 2 2j 2 j+ Ψ 2 j(x) = 2 j Ψ( 2 j ) = { 2 j, 2 x 2 j < 0 2 j, 0 x 2 j 2 = { 2 j, 2 j x < 0 2 j, 0 x 2 j Yksiulotteinen moniskaalainen reunantunnistus voidaan helposti laajentaa myös kaksiulotteiseksi, jolloin käsiteltävä signaali (kuva) tasoitetaan eri skaalatekijöillä 2 j laskemalla signaalin x(t, t 2 ) ja kaksiulotteisen tasoitusfunktion θ(t, t 2 ) välinen konvoluutio. Sen jälkeen lasketaan gradienttivektorin [x(t, t 2 ) θ 2 j(t, t 2 )] arvo tasoitetun kuvan jokaisessa pisteessä. Kuvassa esiintyvät reunapisteet ovat niitä pisteitä, joissa gradienttivektorin itseisarvo saa paikallisesti maksimiarvonsa gradienttivektorin määräämässä suunnassa. Kaksiulotteisen aallokemuunnoksen ja moniskaalaisen reunantunnistuksen yhteys on helppo huomata. Määritellään ψ (t, t 2 ) = θ(t, t 2 ) t (5) ja ψ 2 (t, t 2 ) = θ(t, t 2 ) t 2. (52)

64 Funktiot ψ (t, t 2 ) ja ψ 2 (t, t 2 ) ovat kaksiulotteisia aallokkeita. Määritellään kaksiulotteiset dilaatiot yhtälöillä ψ 2 (t j, t 2 ) = ψ ( t 2 2j 2 j, t 2 j ) ja ψ 2 2 (t j, t 2 ) = ψ 2 ( t 2 2j 2 j, t 2 2 j ). Signaalin x(t, t 2 ) aallokemuunnos [ W 2 x(t j, t 2 ), W 2 2 x(t j, t 2 ) ] määritellään yhtälöillä W 2 jx(t, t 2 ) = x(t, t 2 ) ψ 2 j(t, t 2 ) (53) ja Voidaan osoittaa, että ( ) ( W 2 x(t j, t 2 ) W 2 = 2 j 2 x(t j, t 2 ) W 2 2 jx(t, t 2 ) = x(t, t 2 ) ψ 2 2 j(t, t 2 ). (54) t [x(t, t 2 ) θ 2 j(t, t 2 )] t 2 [x(t, t 2 ) θ 2 j(t, t 2 )] ) = 2 j [x(t, t 2 ) θ 2 j(t, t 2 )]. (55) Gradienttivektorin paikallinen maksimi gradienttivektorin määräämässä suunnassa voidaan siis määrätä vektorista, jonka koordinaatit ovat aallokemuunnoksen komponentit W 2 j x(t, t 2 ) ja W 2 2 j x(t, t 2 ). Moniskaalaisen reunantunnistuksen hyödyntämisessä käytännön sovelluksissa joudutaan selvittämään useita ongelmakohtia. Ehkä tärkeintä on selvittää, onko kaikki signaalin sisältämästä informaatiosta mukana myös löydetyissä moniskaalaisissa reunoissa ja kuinka yhdistää eri skaalatekijöillä löydettyjen reunojen sisältämä informaatio eli voidaanko (ja kuinka) signaali rekonstruoida aallokemuunnoksista skaaloilla 2 j. 5.4. Signaalin rekonstruointi Signaalin x(t) aallokemuunnos W 2 jx(t) skaalatekijällä 2 j määriteltiin yhtälöllä (49). Dyadiseksi aallokemuunnokseksi sanotaan puolestaan signaalijonoa [W 2 jx(t)] j Z. (56) Aallokemuunnoksen määrittely-yhtälöstä (49), W 2 jx(t) = x(t) ψ 2 j(t), seuraa Fourier-muunnoksen skaalausominaisuuden nojalla, että F{W 2 jx(t)} = X C (f)ψ(2 j f). (57) Jos on olemassa sellaiset positiiviset luvut, A, B R, että A Ψ(2 j f) 2 B, f R, (58) j= niin koko taajuusalue pystytään peittämään funktion Ψ(f) dilaatioilla eri skaalatekijöillä (2 j ) j Z, ja muunnoksen X C (f) informaatiosta ei kadoteta mitään. Aalloketta, joka toteuttaa yhtälön (58), sanotaan dyadiseksi aallokkeeksi. Rekonstruktioaallokkeeksi sanotaan aalloketta γ(t), jonka Fourier-muunnos määritellään yhtälöllä Ψ(f) F{γ(t)} = Γ(f) =. (59) Ψ(2 j f) 2 j=

65 Lause 6 Signaali x(t) voidaan palauttaa dyadisesta aallokemuunnoksestaan yhtälöllä x(t) = [W 2 jx γ 2 j] (t). (60) j= Todistus: Koska { } F [W 2 jx γ 2 j] (t) = X C (f)ψ(2 j f)γ 2 j(f) j= = j= j= = X C (f) X C (f)ψ(2 j Ψ(2 f) j f) Ψ(2 k+j f) 2 j= m= k= Ψ(2 j f) 2 Ψ(2 m f) 2 = X C (f) = F{x(t)}, niin x(t) = [W 2 jx γ 2 j] (t) j= Merkitsemällä F {W 2 jx(t)} = Ŵ2jx(f) voidaan yhtälöiden (57) ja (58) mukaan muodostaa epäyhtälöt eli A X C (f) 2 X C (f) 2 A X C (f) 2 j= j= Ψ(2 j f) 2 B X C (f) 2, Ŵ2 jx(f) 2 B XC (f) 2, mistä integroimalla ja Parsevalin yhtälön nojalla seuraa, että A x 2 j= W 2 jx 2 B x 2. (6) Tästä seuraa, että dyadinen aallokemuunnos on stabiili. Mitä lähempänä suhde A B on arvoa yksi, sitä stabiilimpi on muunnos. 5.5. Epäjatkuvuuskohtien luokittelu Tärkeä aallokemuunnoksen sovellus on signaalin muutospisteiden paikallisen säännöllisyyden selvittäminen tutkimalla niiden käyttäytymistä eri skaalatekijöillä. Sig-

66 naalin säännöllisyyttä pisteessä t 0 voidaan mitata Lipschitz-eksponentilla α. Signaalin x(t) sanotaan olevan α-lipschitz-jatkuva pisteessä t 0, jos on olemassa sellainen vakio K, että x(t) x(t 0 ) K t t 0 α, (62) eräässä pisteen t 0 ympäristössä. Mitä suurempi parametrin α arvo on, sitä säännöllisempi on funktio. Signaalin Lipschitz-säännöllisyydeksi sanotaan pienintä ylärajaa luvun α arvolle, joka toteuttaa yhtälön (62), ja niinpä esimerkiksi hyppäysepäjatkuvuuskohdassa Lipschitz-säännöllisyys α = 0. Signaali x(t) on tasaisesti α- Lipschitz-jatkuva välillä ]a, b[, jos se toteuttaa yhtälön (62) kaikilla (t, t 0 ) ]a, b[. Voidaan osoittaa, että signaali on tasaisesti α-lipschitz-jatkuva, jos ja vain jos sen integraali on tasaisesti (α+ )-Lipschitz-jatkuva samalla välillä. Näin voidaan todeta pisteessä t 0 sijaitsevan yksikköimpulssin olevan Lipschitz-säännöllinen parametrilla α = pisteen t 0 ympäristössä, sillä sen integraalilla on hyppäysepäjatkuvuus kohdassa t 0 ja siten Lipschitz-säännöllisyys parametrilla α = 0. Lipschitz-eksponentti α voidaan määrätä aallokemuunnoksesta tutkimalla muunnoksen paikallisten maksimien itseisarvojen muuttumista skaalatekijän muuttuessa. Voidaan osoittaa, että signaalin x(t), joka on tasaisesti α-lipschitz-jatkuva välillä ]a, b[, aallokemuunnos toteuttaa tuolla välillä epäyhtälön ja siis W 2 jx(t) K(2 j ) α, (63) log 2 W 2 jx(t) log 2 (K) + αj. (64) Epäyhtälöstä (63) nähdään, että Lipschitz-säännöllisyyttä α voidaan tutkia aallokemuunnoksen paikallisten maksimien käyttäytymisen (tason 2 j funktiona) avulla. Esimerkiksi, jos α =, jolloin tuossa kohdassa on impulssi, niin paikallisten maksimien suuruus pienenee, kun j kasvaa eli siirrytään karkeammalle tasolle (ks. kuva 24). Käytännössä hienoin taso on normalisoitu arvoon ja silläkin on käytettävissä todellisen signaalin x(t) sijasta mitattu signaali S x(t). Esimerkki 23 Määrää signaalin x(t) Lipschitz-säännöllisyys α pisteessä t 0 R ja Lipschitz-vakio K, kun a) x(t) = arc tan(t), b) x(t) = u(t ) + δ(t + 2), missä u(t) on yksikköaskelfunktio, 2 c) x(t) = 3 t. Tutkittava signaali on usein tasoittunut jonkin häiriötekijän vaikutuksesta, jolloin on tärkeää selvittää tämä tasoitustekijä, jotta epäjatkuvuuskohdat pystytään luokittelemaan tarkasti. Usein signaalin tasoittumista mallinnetaan konvoluutiolla Gaussin funktion kanssa. Olkoon signaali x(t) signaalin h(t), joka on Lipschitz-säännöllinen parametrilla α pisteen t 0 ympäristössä, konvoluutio Gaussin funktion g σ (t) kanssa, x(t) = h(t) g σ (t), (65) missä g σ (t) = 2πσ e t2 2σ 2. (66)

67 Yhtälön (50) mukaan voidaan edelleen kirjoittaa [ W 2 jx(t) = x(t) 2 j dθ 2 j(t) ] = 2 j d dt dt [h(t) g σ(t) θ 2 j(t)]. (67) Jos oletetaan, että θ(t) on lähellä Gaussin funktiota, niin tällöin θ 2 j(t) g σ (t) θ s0 (t), (68) missä s 0 = 2 2j + σ 2, ja yhtälö (67) voidaan kirjoittaa muodossa W 2 jx(t) = 2 j d dt [h(t) θ s 0 (t)] = 2j s 0 W s0 h(t), (69) missä W s0 h(t) on signaalin h(t) aallokemuunnos skaalatekijällä s 0, W s0 h(t) = h(t) ψ s0 (t). (70) Huomataan, että Gaussin funktiolla, jonka hajonta on σ, tasoitetun epäjatkuvuuskohdan aallokemuunnos skaalatekijällä 2 j vastaa suoraan tasoittamattoman epäjatkuvuuskohdan aallokemuunnosta skaalatekijällä s 0 = 2 2j + σ 2. Koska h(t) on paikallisesti Lipschitz-säännöllinen parametrilla α, ja epäyhtälön (63) mukaisesti W s0 h(t) Ks α 0 kaikilla s 0 > 0, niin tällöin yhtälön (69) mukaan W 2 jx(t) K2 j s α 0. (7) Näin ollen aallokemuunnoksen maksimien käyttäytymistä eri skaalatekijöillä voidaan arvioida Lipschitz-säännöllisyyden α ja tasoitushajonnan σ avulla. Kuvassa 24(b) on esimerkkinä kuvan 24(a) neljän erityyppisen epäjatkuvuuskohdan käyttäytyminen aallokemuunnoksen eri skaalatekijöillä. Epäjatkuvuuskohtien parametrit ovat vasemmalta oikealle: (α = 0, σ = 3), (α = 0, σ = 0), (α =, σ = 0) ja (α =, σ = 3), ja merkintä S f(x) tarkoittaa signaalista f(x) äärellisellä tarkuudella mitattua signaalia. Kuva on lähteestä []. Kuvasta 24 huomataan, että terävän porrasfunktion aiheuttaman aallokemuunnoksen maksimin arvo säilyy ennallaan eri skaalatekijöillä, koska α = 0, mutta terävän impulssifunktion aallokemuunnoksen amplitudi pienenee skaalatekijän kasvaessa, koska α =. 5.6. Aallokemuunnos kuvankäsittelyssä Kappaleessa 5.3 todettiin, että kaksiulotteinen moniskaalainen reunantunnistus voidaan toteuttaa kahdella eri aallokkeella, ψ (t, t 2 ) ja ψ 2 (t, t 2 ), tehtyjen aallokemuunnosten avulla yhtälöiden (53) ja (54) mukaisesti. Signaalin x(t, t 2 ) kaksiulotteinen aallokemuunnos voidaan näin määritellä funktiojoukkona W x = [ W 2 jx(t, t 2 ), W 2 2 jx(t, t 2 ) ] j Z. (72) Olkoot Ψ (f, f 2 ) ja Ψ 2 (f, f 2 ) aallokkeiden ψ (t, t 2 ) ja ψ 2 (t, t 2 ) Fourier-muunnokset. Aallokemuunnosten W 2 x(t j, t 2 ) ja W 2 2 x(t j, t 2 ) Fourier-muunnokset ovat vastaavasti F { W 2 jx(t, t 2 ) } = X(f, f 2 )Ψ ( ) 2 j f, 2 j f 2 (73)

68 ja Kuva 24. Aallokemuunnoksen paikalliset maksimit eri skaalatekijöillä F { W 2 2 jx(t, t 2 ) } = X(f, f 2 )Ψ 2 ( 2 j f, 2 j f 2 ). (74) Jotta dyadinen aallokemuunnos olisi täydellinen, eli käänteismuunnos olemassa, ja stabiili esitys signaalille x(t, t 2 ), niin funktioilta Ψ (f, f 2 ) ja Ψ 2 (f, f 2 ) vaaditaan, että niiden dyadiset dilaatiot kattavat koko taajustason. Toisin sanoen, on oltava olemassa sellaiset positiiviset luvut, A, B R, että kaikilla (f, f 2 ) R 2 A j= ( Ψ ( 2 j f, 2 j f 2 ) 2 + Ψ 2 ( 2 j f, 2 j f 2 ) 2 ) B. (75) Kaksiulotteinen signaali x(t, t 2 ) pystytään muodostamaan uudelleen sen aallokemuunnoksestä käyttämällä apuna rekonstruktioaallokkeita γ (t, t 2 ) ja γ 2 (t, t 2 ), joiden Fourier-muunnokset Γ (f, f 2 ) ja Γ 2 (f, f 2 ) toteuttavat yhtälöt Γ (f, f 2 ) = Ψ (f, f 2 ) ( Ψ ( ) 2 j f, 2 j f 2 2 ( ) ) (76) + Ψ 2 2 j f, 2 j f 2 2 j= ja Γ 2 (f, f 2 ) = Ψ 2 (f, f 2 ) ( Ψ ( ) 2 j f, 2 j f 2 2 ( ) ). (77) + Ψ 2 2 j f, 2 j f 2 2 j= Yhtälöiden (73) (77) avulla voidaan osoittaa samalla tavalla kuin yksiulotteisessakin tapauksessa, että signaali x(t, t 2 ) saadaan muodostettua uudelleen sen aallokemuunnoksesta laskemalla konvoluutio x(t, t 2 ) = j= [ W 2 jx(t, t 2 ) γ (t, t 2 ) + W 2 2 jx(t, t 2 ) γ 2 (t, t 2 ) ]. (78)

69 Tämä yhtälö määrittelee kaksiulotteisen käänteisaallokemuunnoksen. Käytännön kuvankäsittelyssä kuvilla on äärellinen tarkkuus, joten aallokemuunnostakaan ei pystytä laskemaan pienemmillä skaalatekijöillä kuin minkä kuvan tarkkuus sallii. Tämän rajatarkkuuden vaikutusta mallinnetaan käyttämällä apuna tasoitusfunktiota φ(t, t 2 ), jonka Fourier-muunnos Φ(f, f 2 ) toteuttaa ehdon ( Ψ Φ(f, f 2 ) 2 = ( ) 2 j f, 2 j f 2 2 ( ) ) + Ψ 2 2 j f, 2 j f 2 2. (79) j= Lisäksi määritellään tasoitusoperaattori S 2 j siten, että S 2 jx(t, t 2 ) = x(t, t 2 ) φ 2 j(t, t 2 ). (80) Voidaan osoittaa, että skaalatekijän ollessa 2 l signaalin x(t, t 2 ) aallokemuunnos arvoa 2 l suuremmille skaalatekijöille pystytään määräämään signaalista S 2 lx(t, t 2 ), ja toisaalta S 2 lx(t, t 2 ) pystytään muodostamaan uudelleen tehdystä aallokemuunnoksesta. Oletetaan, että käsiteltävä kuva on mitattu skaalatekijällä ja esitetään muodossa S x(t, t 2 ). Signaalin S x(t, t 2 ) äärellinen dyadinen aallokemuunnos skaalatekijään 2 J asti kirjoitetaan muodossa { [W 2 jx(t, t 2 ), W 2 2 jx(t, t 2 ) ] }, S j J 2 jx(t, t 2 ). (8) Luvussa 5.3 todettiin, että kaksiulotteisen signaalin nopean muutoksen kohdat pystytään ilmaisemaan signaalin dyadisesta aallokemuunnoksesta, jos aallokkeet ψ (t, t 2 ) ja ψ 2 (t, t 2 ) vastaavat tasoitusfunktion θ(t, t 2 ) osittaisderivaattoja muuttujien t ja t 2 suhteen. Tämänkaltaisen aallokemuunnoksen käytännön toteuttamista varten edellämainitusta periaatteesta joudutaan hieman joustamaan. Valitaan aallokkeet ψ (t, t 2 ) ja ψ 2 (t, t 2 ) siten, että ne voidaan esittää separoituvissa muodoissa ja ψ (t, t 2 ) = ψ(t )ξ(t 2 ) (82) ψ 2 (t, t 2 ) = ψ(t 2 )ξ(t ), (83) missä ξ(t) on yksiulotteinen tasoitusfunktio. Koska ψ(t) = dθ(t), niin nämä aallokkeet voidaan kirjoittaa myös dx muodoissa ψ (t, t 2 ) = θ (t, t 2 ) t, (84) ψ 2 (t, t 2 ) = θ2 (t, t 2 ) t 2, (85) missä θ (t, t 2 ) = θ(t )ξ(t 2 ) ja θ 2 (t, t 2 ) = θ(t 2 )ξ(t ). Funktio ξ(t) ei voi olla sama kuin funktio θ(t), mutta se voi olla hyvin lähellä tätä. Sen vuoksi tasoitusfunktiot θ (t, t 2 ) ja θ 2 (t, t 2 ) eivät ole samat, mutta kuitenkin hyvin lähellä toisiaan. Samalla tavalla kuin yhtälöiden (53) ja (53) tapauksissa voidaan aallokemuunnos yhtälöiden (82) ja (83) perusteella kirjoittaa muotoon W 2 jx(t, t 2 ) = 2 j [ x(t, t 2 ) θ 2 t j(t, t 2 ) ], (86) W 2 2 jx(t, t 2 ) = 2 j [ x(t, t 2 ) θ 2 2 t j(t, t 2 ) ]. 2 (87)

70 Dyadisen aallokemuunnoksen komponentit W 2 j x(t, t 2 ) ja W 2 2 j x(t, t 2 ) ovat siten vastaavasti signaalin x(t, t 2 ) osittaisderivaatat pysty- ja vaakasuunnassa tasoitettuna skaalatekijällä 2 j. Käytännössä funktioiden θ (t, t 2 ) ja θ 2 (t, t 2 ) voidaan ajatella muodostavan yksittäisen tasoitusfunktion θ(t, t 2 ), jolloin aallokemuunnoksen komponentit ovat verrannollisia gradienttivektorin [x(t, t 2 ) θ 2 j(t, t 2 )] kahteen komponenttiin. Jokaisella skaalatekijällä 2 j gradienttivektorin pituus on siis verrannollinen muunnoksen M 2 jx(t, t 2 ) kanssa, kun M 2 jx(t, t 2 ) = W 2 j x(t, t 2 ) 2 + W 2 2 j x(t, t 2 ) 2. (88) Gradienttivektorin kulma vaakatason kanssa saadaan vastaavasti yhtälöstä ( ) W 2 2 x(t A 2 jx(t, t 2 ) = arctan j, t 2 ). (89) W x(t 2 j, t 2 ) Käsiteltävän kuvan nopean muutoksen kohdat eli reunat voidaan näin paljastaa muunnoksen M 2 jx(t, t 2 ) paikallisista maksimipisteistä gradienttivektorin määräämässä suunnassa A 2 jx(t, t 2 ). Näiden maksimipisteiden sijainti, kuten myös gradienttivektorin pituus ja suunta kussakin löydetyssä maksimipisteessä, tallennetaan kuvan analysointia ja jatkokäsittelyä varten. Esimerkki 24 Määrää tasoitusfunktiotθ (x, y) = θ(x)ξ(y) ja θ 2 (x, y) = ξ(x)θ(y) ja niihin liittyvä kaksiulotteinen äitiaalloke (Ψ (x, y), Ψ 2 (x, y)) sekä vastaavat lapset, kun ξ(x) = 2πe 4 x2, 3 x 3 ja θ(x) = 2π e 2 x2, 3 x 3. Ratkaisu: Tasoitusfunktiot: θ (x, y) = θ(x)ξ(y) = 2π e 2 x2 2πe 4 y2 = e 2 x2 4 y2 θ 2 (x, y) = ξ(x)θ(y) = 2πe 4 x2 2π e 2 y2 = e 4 x2 2 y2 Kuva 25. Tasoitusfunktiot θ (x, y) ja θ 2 (x, y)

7 2-dimensionaalinen äitiaalloke: (ψ (x, y), ψ 2 (x, y)) = ( θ (x, y)/ x, θ 2 (x, y)/ y) = ( xe 2 x2 4 y2, ye 4 x2 2 y2 ) Kuva 26. Aallokkeet ψ (x, y) ja ψ 2 (x, y) lapset: ψ 2 j (x, y) = 2 2j ψ ( x 2 j, y 2 j ) = x ψ 2 2 j (x, y) = 2 2j ψ 2 ( x 2 j, y 2 j ) = y e x 2 y2 2 3j 22j+ 2 2j+2 e x 2 y2 2 3j 22j+2 2 2j+ Kuva 27. ψ (x, y):n lapset ψ 2 j (x, y), j=- ja j=-2