9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset by FoilTEX 1
9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä Siirrosvirtatermi ( D t ) sähkömagneettinen aaltoliike. Tarkastellaan tyhjiötä (ρ = 0, J = 0). (Ampèren ja Maxwellin laki) B = ɛ 0 µ 0 ( E) t = ɛ 0 µ 0 2 B t 2 (1) Koska B = 0 saadaan aaltoyhtälö: 2 B ɛ 0 µ 0 2 B t 2 = 0 (2) Typeset by FoilTEX 2
Samoin sähkökentälle: (Faradayn laki) ja tyhjiössä E = 0 (valon) nopeudella c = 1/ ɛ 0 µ 0 etenevä aalto 2 E ɛ 0 µ 0 2 E t 2 = 0 (3) Typeset by FoilTEX 3
9.5.2 Potentiaaliesitys Tutkitaan Maxwellin yhtälön ratkaisemista. Ol. (1) tunnetaan ρ ja J ja (2) väliaine ɛ 0, µ 0. Käytetään skalaari- ja vektoripotentiaaleja φ ja A. Sijoittamalla tämä Faradayn lakiin (M2 ) B = 0 B = A E + t A = 0 (4) joten ( E + A ) t = 0 (5) Typeset by FoilTEX 4
eli E = ϕ A t Huom. Faradayn laki tuonut vektoripotentiaalin aikamuutoksesta johtuvan osuuden sähkökenttään. Saavutuksia: (E, B) kenttien kuusi komponenttia ilmaistu neljän muuttujan (ϕ, A) avulla. Tarvittiin neljä Maxwellin yhtälöiden kahdeksasta skalaarikomponentista jäljellä neljä yhtälöä neljän tuntemattoman ratkaisemiseen. Coulombin ja Ampèren ja Maxwellin lait muuttujilla (ϕ, A): 2 ϕ + 2 A 1 c 2 2 A t 2 ( A) t (6) = ρ/ɛ 0 (7) ( A + 1 ) ϕ c 2 t = µ 0 J (8) Typeset by FoilTEX 5
Käteviä ratkaisumenetelmiä sopivalla mitan valinnalla: kentät B ja E ovat potentiaalien derivaattoja potentiaaleihin voidaan lisätä sellaisia tekijöitä, jotka katoavat derivoitaessa. Mittamuunnos A A = A + Ψ (9) ϕ ϕ = ϕ Ψ/ t (10) ei vaikuta kenttiin. Typeset by FoilTEX 6
Yksi kelvollinen mitta: Lorenzin mittaehto 1 A + 1 c 2 ϕ t = 0 (11) Tällöin yhtälöt yksinkertaistuvat epähomogeenisiksi aaltoyhtälöiksi ( 2 1c 2 ) 2 t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (12) ( 2 1c 2 ) 2 t 2 A = µ 0 J (13) 1 Kyseessä on todellakin Lorenzin mitta eikä Lorentzin mitta. Lorenz oli tanskalainen ja Lorentz hollantilainen fyysikko. Typeset by FoilTEX 7
9.5.3 Viivästyneet potentiaalit Saatiin neljä karteesisissa koordinaateissa toisistaan riippumatonta samanmuotoista skalaariyhtälöä, joten riittää tarkastella yhtälöä ϕ:lle: ( 2 1c 2 2 ) t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (14) Jos staattinen tilanne Poissonin yhtälö: ratkaisu LY yl. PY erikoisratkaisu. ratkaisut sekä jokin Ratkaistaan aaltoyhtälö yhdelle varaukselle, joka on sijoitettu origoon ( 2 1c 2 2 ) t 2 ϕ = 0; r 0 (15) Typeset by FoilTEX 8
Pallosymmetria: ϕ = ϕ(r) ja 2 (rϕ) r 2 1 c 2 2 (rϕ) t 2 = 0 (16) tutut ±r-suuntiin etenevät ratkaisut: rϕ = f(r ct) + g(r + ct) (17) f(r ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r + ct) kohti varausta. homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrinen ratkaisu Löydetty ϕ = f(r ct) r (18) Tutkitaan varauksen vaikutusta ympäristöönsä: mikä on f? Typeset by FoilTEX 9
Verrataan saatua ratkaisua staattisen tilanteen potentiaaliin: ϕ = f(r ct) r ϕ = q 4πɛ 0 r (19) Eli nyt q = q(t). Kirjoitetaan f(r) f(t r/c). Hetkellä t r/c pätee f(t r/c) = q(t r/c) 4πɛ 0 (20) joten ϕ(r, t) = q(t r/c) 4πɛ 0 r (21) Typeset by FoilTEX 10
Integroidaan kaikkien varausten yli viivästynyt skalaaripotentiaali ϕ: ϕ(r, t) = 1 4πɛ 0 V ρ(r, t ) r r dv = 1 4πɛ 0 V ρ(r, t r r /c) r r dv (22) missä viivästynyt aika t = t r r /c (23) Huom. viivästynyt skalaaripotentiaali huomioi ajan, joka kuluu kustakin pisteestä tarkastelupisteeseen nopeudella c etenevältä signaalilta. Samoin (ϕ A i ) viivästynyt vektoripotentiaali A(r, t) = µ 0 4π V J(r, t ) r r dv = µ 0 4π V J(r, t r r /c) r r dv (24) Lopuksi sähkö- ja magneettikentät saadaan derivoimalla. Typeset by FoilTEX 11
= ongelma on ratkaistu (!): Tunnetut ρ, J integrointi ϕ, A derivointi E = ϕ A t ja B = A Käytännössä derivaattojen laskeminen on kuitenkin työlästä. Typeset by FoilTEX 12
[Valmistelua kurssin loppuosuuteen] Suppeammassa suhteellisuusteoriassa nelivektoreita esim. ja niiden avulla aaltoyhtälö: nelipotentiaali: A α = (ϕ/c, A) nelivirta j α : j α = (c ρ, J). ( 2 1c 2 2 ) t 2 A α = j α (25) Huom. Maxwellin yhtälöt ovat Lorentz-kovariantteja 2 eli valmiiksi kelvollisia suhteellisuusteorian pätevyysalueelle. 2 Mitta on Lorenzin, mutta kovarianssi Lorentzin. Typeset by FoilTEX 13
9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio Ratkaistaan aaltoyhtälö Greenin funktiolla. A:n ja ϕ:n aaltoyhtälöt: 2 ψ 1 2 ψ c 2 = 4πf(r, t) (26) t2 missä f(r, t) = tunnettu lähdetermi. ψ:lle ja f :lle Fourier-muunnos: ψ(r, t) = 1 2π ψ(r, ω)e iωt dω ; f(r, t) = 1 2π f(r, ω)e iωt dω (27) Sijoitetaan aaltoyhtälöön ja merkitään k = ω/c epähomogeeninen Helmholtzin aaltoyhtälö ( 2 + k 2 ) ψ(r, ω) = 4πf(r, ω) (28) Typeset by FoilTEX 14
Tarkastellaan rajatilannetta k = 0 Poissonin yhtälö Greenin funktion toteutettava ( 2 + k 2 )G k (r; r ) = 4π δ(r r ) (29) Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on silloin ψ(r, ω) = G k (r, r, ω)f(r, ω) dv (30) ψ(r, t) = 1 2π ψ(r, ω)e iωt dω (31) + homog. yht. ratkaisuja. Huom. Greenin funktion muoto riippuu ongelman reunaehdoista (vrt. pallo). Tarkastellaan reunatonta avaruutta G k on pallosymmetrinen ja riippuu ainoas- Typeset by FoilTEX 15
taan etäisyydestä R = r r pallokoordinaateissa 2 G k = 1 R 2 R Koska R on ainoa muuttuja ( R 2 G ) k R = 1 R 2 R 2(R G k) (32) 1 d 2 RdR 2(R G k) + k 2 G k = 4πδ(r r ) (33) Alueessa R > 0: ratkaisut ovat d 2 dr 2(R G k) + k 2 (R G k ) = 0 (34) R G k = A e ikr + B e ikr (35) Rajalla R 0 on kr 1 ja yhtälö (33) Poissonin yhtälö, jonka ratkaisu Typeset by FoilTEX 16
käyttäytyy kuten G k 1/R ehto A + B = 1 ja G k (R) = A G + k (R) + B G k (R) (36) missä G ± k = e±ikr /R s.e. G + k = eikr /R : poispäin etenevä palloaalto, G k = e ikr /R : origoon tuleva palloaalto. A ja B määräytyvät reunaehdoista ajassa. Esim. A G + k lähde on hiljaa t < 0 asti ja käynnistyy ulospäin etenevä ratkaisu on fysikaalisesti mielekäs. Typeset by FoilTEX 17
Ajasta riippuva Greenin funktio toteuttaa yhtälön ( 2 1c 2 ) 2 t 2 G ± (r, t; r, t ) = 4πδ(r r )δ(t t ) (37) Koska δ(t t ) = 1 2π dω e iwt e iwt (38) on lähdetermi yhtälössä (29) f(r, ω) = 4πδ(r r )e iωt ja G ± (R, τ) = 1 2π e ±ikr R e iωτ dω (39) Typeset by FoilTEX 18
missä τ = t t. Koska k = ω/c saadaan G ± (r, t; r, t ) = 1 r r δ(t [t r r /c]) (40) missä G + on (tuttu) viivästynyt ja G edistynyt Greenin funktio. Lopulta: epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on ψ ± (r, t) = G ± (r, t; r, t )f(r, t ) dv dt (41) + homog. yhtälön ratkaisuja. Typeset by FoilTEX 19
9.6 Mittainvarianssi Kenttien potentiaaleja voidaan muuttaa s.e. että kentät itse eivät muuttu: A A = A + Ψ (42) ϕ ϕ = ϕ Ψ/ t (43) Mittafunktio Ψ voidaan valita usealla eri tavalla ja se vaikuttaa ratkaistavan yhtälöryhmän muotoon. 2 A 1 c 2 2 A t 2 2 ( A) ϕ + ( t = ρ/ɛ 0 (44) ) = µ 0 J (45) A + 1 c 2 ϕ t Typeset by FoilTEX 20
(1) Lorenzin mitta A + 1 ϕ c 2 t = 0 (46) johtaa epähomogeenisiin aaltoyhtälöihin: ( 2 1c 2 ) 2 t 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (47) ( 2 1c 2 ) 2 t 2 A = µ 0 J (48) Tällöin mittafunktion Ψ on toteutettava aaltoyhtälö 2 Ψ 1 c 2 2 Ψ t 2 = A 1 c 2 ϕ t (49) yhtälöiden Lorentz-kovarianssi näkyy eksplisiittisesti Typeset by FoilTEX 21
(2) Coulombin mitta: A = 0 (50) Koska saadaan mittafunktiolle ehto A = A + Ψ (51) 2 Ψ = A (52) Coulombin mitassa 2 ϕ = ρ/ɛ 0 (53) joten ϕ(r, t) = 1 4πɛ 0 V ρ(r, t) r r dv (54) Typeset by FoilTEX 22
aika ei ole viivästetty Coulombin mitta ei ole Lorentz-kovariantti Mitta on silti kelvollinen Maxwellin yhtälöille, joten E ja B kentät tulee oikein Coulombin mitassa vektoripotentiaalille pätee 2 A 1 c 2 2 A t 2 = 1 c 2 ϕ t µ 0J (55) Sievennetään. Oikean puolen ensimmäinen termi on pyörteetön. Helmholtzin teoreema: F = F l + F t ; F l = 0 ; F t = 0 Typeset by FoilTEX 23
Käytetään virran jatkuvuusyhtälöä niin saadaan (kts. s. 25) Coulombin mitta = poikittaismitta = säteilymitta ja 2 A 1 c 2 2 A t 2 = µ 0J t (56) A(r, t) = µ 0 4π Jt (r, t r r /c) r r dv (57) Yksi ominaisuus lisää: Coulombin mitta erottelee annetussa koordinaatistossa sähkökentän staattiseen (s) ja induktiiviseen (i) osaan: E s = ϕ ; E i = A/ t (58) Typeset by FoilTEX 24
Katsotaan lopuksi miten pitkittäinen virta J l hävisi yhtälöstä (56). Käyttäen yhtälöitä ( J) = ( J) 2 J ja 2 (1/ r r ) = 4 π δ( r r ) voimme kirjoittaa (kts. esim. Arfken): J l = 1 J 4 π r r dv Tämä tulee jatkuvuusyhtälön ja Coulombin mitan avulla muotoon J l = 1 ρ 4 π / t r r dv = { 1 4 π ρ r r dv }/ t = ɛ 0 ϕ t = ɛ 0 µ 0 ϕ t µ 0J = µ 0 J t Typeset by FoilTEX 25