Johdatus fraktionaaliseen analyysiin. Jukka Kemppainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics

Johdatus fraktionaaliseen analyysiin Jukka Kemppainen University of Oulu, Faculty of Technology Division of Mathematics 16. lokakuuta 214

2

Sisältö Esipuhe 5 1 Motivaatio ja määrittely 7 1.1 Motivaatio............................. 7 1.1.1 Viskoelastisuus...................... 7 1.1.2 Fraktionaalinen kondensaattori............. 8 1.1.3 PID-säätö......................... 9 1.1.4 Jatkuva-aikainen satunnaiskävely............ 1 1.1.5 Fraktionaalinen diffuusio................. 1 1.1.6 Matematiikka....................... 11 1.2 Riemann-Liouvillen integraali.................. 12 1.3 Riemann-Liouvillen derivaatta.................. 17 1.3.1 Fraktionaalisen ja tavallisen derivoinnin yhtäläisyyksiä ja eroja.......................... 2 1.4 Fraktionaalinen erotusosamäärä................. 22 2 Fraktionaalinen differentiaaliyhtälö 25 2.1 Caputo-derivaatta......................... 26 2.2 Derivoinnin ominaisfunktio.................... 3 2.3 Vakiokertoimisen yhtälön ratkaiseminen............. 32 2.3.1 Reduktio Volterran integraaliyhtälöksi......... 32 2.3.2 Ratkaisu Laplace-muunnoksella............. 34 2.3.3 Usean termin vakiokertoiminen yhtälö......... 35 2.3.4 Kahden derivaatan vakiokertoiminen yhtälö...... 36 2.3.5 Ei-vakiokertoiminen yhtälö................ 37 3 Epälineaariset yhtälöt 39 3.1 Numeerinen ratkaiseminen.................... 41 3.1.1 Kvadratuurimenetelmä.................. 42 3.1.2 Differenssimenetelmä................... 44 3

4 SISÄLTÖ Loppusanat 47 A Gamma-funktio 49 B Mittag-Lefflerin funktio 51 C Fraktionaalisen kalkyylin historia 55 Hakemisto 6

Esipuhe Tämä moniste on syntynyt allekirjoittaneen mielestä tarpeellisesta, mutta tällä hetkellä puuttuvasta fraktionaalisen analyysin suomenkielisestä materiaalista. Vaikka fraktionaalisen laskennan juuret ulottuvat analyysin synnyn alkuaikoihin, on se jäänyt pitkälti unholaan vuosisatojen saatossa. Kuinka yllättävää onkin, fraktionaalinen laskenta löydettiin uudelleen reilut 2 vuotta sen keksimisen jälkeen, kun eri tieteenaloilla löydettiin ilmiöitä, joita pystyttiin mallintamaan fraktionaalisen analyysin avulla. Tarinan mukaan fraktionaalisen analyysin katsotaan syntyneen Leibnizin 1 kirjeestä L Hospilalille, kun he keskustelivat, voisiko kokonaista kertalukua olevan derivaatan käsite olla yleistettävissä periaatteessa mihin tahansa reaaliseen kertalukuun. L Hospital kysyi: Mitä jos kertaluku olisi 1/2?. Leibniz vastasi: Se johtaisi paradoksiin, josta jonain päivänä tehdään hyödyllisiä johtopäätöksiä. Tämä kirjeenvaihto on kirjattu 3.9.1695. Kuinka ollakaan, Leibnizin ennustus on toteutunut sivulauseen osalta. Tämän monisteen tarkoituksena on esittää millä tavalla ei-kokonaislukua olevat integraalit ja derivaatat voidaan määritellä, mitkä ovat niiden perusominaisuudet ja mihin niitä voidaan soveltaa. Ei-kokonaista kertalukua olevat mallit tarjoavat vaihtoehtoisen lähestymistavan moniin reaalimaailman ongelmiin, joihin tavallinen analyysi istuu huonosti. Tavallisesta poikkeavaa käyttäytymistä on havaittu useilla tieteenaloilla kuten esimerkiksi tekniikassa, fysiikassa, kemiassa ja taloustieteissä, joiden kuvaamiseen on esitetty fraktionaalisia malleja. Yleisesti ottaen fraktionaalisia malleja on käytetty sellaisten ilmiöiden kuvaamiseen, joiden mekanismi on muistillinen. Toisin sanoen, ilmiöissä esiintyy pitkän kantaman vaikutuksia, joihin tavallinen lokaali analyysi ei ole hedelmällisin lähestymistapa. Muisti on fraktionaaliseen derivaattaan sisäänrakennettuna, joten tuntuu varsin luontevalta yrittää ilmiön mallintamista fraktionaalisilla differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöillä. Koska monissa materiaaleissa ja prosesseissa esiintyy periytyviä ominaisuuksia, ei liene 1 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), modernin analyysin isä yhdessä Isaac Newtonin kanssa 5

6 SISÄLTÖ yllättävää, että fraktionaalinen laskenta on herännyt henkiin. Pääasiallisina lähteinä olen käyttänyt teoksia [8] ja [3], jotka ovat lukijaystävällisiä lähteitä laajalle lukijakunnalle. Mainitsematta ei myöskään voi jättää kattavaa perusteosta [9], josta jotkut käyttävät kuvaavaa nimitystä The bible of fractional calculus. Taustatietoina tämä moniste edellyttää analyysin ja differentiaaliyhtälöden perusteiden hallintaa. Esimerkiksi kurssit Matematiikan peruskurssit I ja II (kurssikoodit 311P ja 3111P) sekä Differentiaaliyhtälöt (3117P) antavat hyvän pohjan. Kompleksianalyysin tuntemisestakaan ei ole haittaa. Oulussa, 16. lokakuuta 214

Luku 1 Fraktionaalisen integraalin ja derivaatan määrittely 1.1 Motivaatio Ennen kuin mennään varsinaiseen määrittelyyn, otetaan katsaus johdannossa vihjattuihin sovelluksiin eri aloilla. Tässä yhteydessä oleellista ei ole se, miten fraktionaalinen derivaatta tai integraali varsinaisesti määritellään, vaan lähinnä suorittaa ajatuskokeita, miten fraktionaalista kalkyyliä 1 voitaisiin hyödyntää. Tarkempia tietoja näistä esimerkeistä ja lisää esimerkkejä löytyy lähteestä [8]. Otetaan käyttöön joitakin merkintöjä, jotta fraktionaalisia malleja voidaan havainnoida selkeästi. Tavalliselle derivaatalle on eri yhteyksissä useita eri merkintöjä. Oletetaan, että x on reaalimuuttujan t funktio. Ehkäpä tavanomaisin merkintä funktion x derivaatalle pisteessä t on Leibnizin käyttöön ottama dx(t) dt. Muita merkintöjä ovat dx(t) dt = x (t) = Dx(t) = ẋ(t). (1.1) 1.1.1 Viskoelastisuus Otetaan ensimmäinen esimerkki mekaniikasta. Kuten tunnettua, elastisen materiaalin venymän riippuvuus jännityksestä voidaan 1-ulotteisessa tapauksessa ilmaista Hooken lain avulla 1 fractional calculus σ(t) = Eǫ(t), (1.2) 7

8 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY missä σ(t) on jännitys ja ǫ(t) venymä tai muodonmuutos ajanhetkellä t sekä E kimmokerroin. Kokoonpuristumattomassa, isotrooppisessa Newtonin nesteessä laki saa muodon σ(t) = η dǫ(t) dt, (1.3) missä η on viskositeetti. Entäpä, jos meillä on viskoelastinen materiaali, jolla on sekä elastista että viskoosia luonnetta? Voisiko silloin jännitys-venymä-riippuvuus olla yhtälöiden (1.2) ja (1.3) kompromissi σ(t) = κd α ǫ(t), (1.4) missä κ on jokin vakio ja D α sopivasti määritelty kertalukua < α < 1 oleva derivaatta? 1.1.2 Fraktionaalinen kondensaattori Otetaan toinen esimerkki sähkötekniikasta. Kondensaattori lienee elektronisten piirien yksi keskeisimmistä komponenteista. Kuten tunnettua, kondensaattorin kompleksinen impedanssi on Z(s) = 1 sc, (1.5) missä s = σ + iω on kompleksiluku ja C on kondensaattorin kapasitanssi. Erityisesti, jos σ =, niin Z(s) = Z(ω) = 1 iωc, (1.6) mikä voidaan nähdä LTI 2 -systeemin taajuusvastefunktiona. Vastaavasti kaavalla (1.5) määritelty impedanssi voidaan tulkita saman systeemin siirtofunktioksi. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että kapasitanssi C = 1. Tällöin kaavan (1.5) mukaan LTI-systeemi on integraattori, eli systeemin vaste y(t) saadaan herätteestä x(t) kaavalla 2 Linear Time Invariant y(t) = t x(τ)dτ =: (Ix)(t).

1.1. MOTIVAATIO 9 Jos kondensaattorin levyjen väli täytetään dielektrisellä aineella, on havaittu, että impedanssi poikkeaa kaavasta (1.5) ja että se on muotoa Z(s) = 1 sα, α >, (1.7) missä on oletettu, että C = 1. Voisiko tämä tarkoittaa, että LTI-systeeminä tulkittuna vaste y(t) määräytyy herätteestä x(t) kaavalla y(t) = I α x(t), missä I α on sopivasti määritelty kertalukua α > oleva fraktionaalinen integraali? Ideaaliselle kondensaattorille α = 1, mutta ilmeisesti ideaalista kondensaattoria ei esiinny luonnossa [4]. Dielektrisellä materiaalilla on sekä johteen että eristeen kaltaisia ominaisuuksia. Esimerkiksi biologiset materiaalit ovat tällaisia [12]. Sähkömagneettisten aaltojen käyttäytymisen kuvaamiseen dielektrisessä materiaalissa on kehitetty fraktionaalisia malleja [11]. 1.1.3 PID-säätö Otetaan nyt esimerkki säätötekniikasta. Eräs yleisimmistä teollisuudessa käytetyistä säätimistä on PID 3 -säädin. PID-säätimen toimintaa voidaan kuvata LTI-systeeminä, jonka heräte on asetusarvon ja mittausarvon erosuure e(t) ja vaste on kontrollisignaali u(t) = K P e(t)+k I t de(t) e(τ)dτ +K D, dt missä K P,K I ja K D ovat vakioita. Edellisestä nähdään, että taajuuspuolella (s-puolella) systeemin toiminnan määrää siirtofunktio G(s) = K P +K I s 1 +K D s. Entäpä jos systeemiä voidaan säätää paremmin fraktionaalista kertalukua olevalla PI λ D µ -säätimellä, jonka siirtofunktio on G(s) = K P +K I s λ +K D s µ, λ,µ >? Aikapuolella systeemin toiminnan määrää yhtälö u(t) = K P e(t)+k I I λ e(t)+k D D µ e(t), missä I λ on sopivasti määritelty kertalukua λ oleva fraktionaalinen integraali ja D µ on sopivasti määritelty kertalukua µ oleva fraktionaalinen derivaatta. 3 Proportional-Integral-Derivative controller

1 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY 1.1.4 Jatkuva-aikainen satunnaiskävely Jatkuva-aikaista satunnaiskävelymallia (CTRW 4 -malli), jota rahvaanomaisesti voisi nimittää myös juopon kävelyksi, on käytetty menestyksekkäästi erilaisten fysikaalisten prosessien mallintamiseen. Ideana tässä on se, että prosessia mallinnetaan satunnaiskävelijällä, joka suorittaa tietyin väliajoin tietynpituisia askelia satunnaiseen suuntaan. Askelpituus on satunnainen suure, jonka määrää jokin todennäköisyysjakauma. Vastaavasti myös odotusajat ovat satunnaisia ja myös ne määräytyvät jostakin todennäköisyysjakaumasta. Suuri määrä satunnaiskävelijöitä määrää prosessin makroskooppisen käyttäytymisen keskeisen raja-arvolauseen mukaisesti. Eri jakaumat johtavat luonnollisesti erilaisiin makroskooppisiin malleihin. Ei syvennytä tähän kuitenkaan tarkemmin. Kattava lähde on [7] 1.1.5 Fraktionaalinen diffuusio Otetaan esimerkki fysiikasta. Diffuusiolla tapahtuva aineen liike on eräs merkittävimmistä kulkeutumisilmiöistä luonnossa. Ilmiö voidaan selittää satunnaisen lämpöliikkeen avulla. Siten ei liene yllättävää, että diffuusion matemaattinen malli on lämpöyhtälö, joka paikkamuuttujan suhteen yksiulotteisessa tapauksessa on osittaisdifferentiaaliyhtälö u(x, t) t 2 u(x,t) x 2 =, (1.8) missä 2 on osittaisderivaatta muuttujantsuhteen ja on toisen kertaluvun t x 2 osittaisderivaatta paikkamuuttujan x suhteen. Viime vuosina on kuitenkin havaittu sovelluksia, joissa diffuusio on tavallisesta poikkeavaa, jolloin puhutaan fraktionaalisesta tai anomaalisesta diffuusiosta. Yksiulotteisen lämpöyhtälön perusratkaisu on φ(x,t) = 1 4πt e x 2 4t, (1.9) joka on lämpötilajakauma ajanhetkellä t >, kun alkulämpötilana on ollut yksikköimpulssi origossa, φ(x, ) = δ(x). Tässä δ on Diracin delta-funktio. Selvästikin φ(,t) on positiivinen kaikilla ajanhetkillä t > ja lisäksi 4 Continuous Time Random Walk φ(x,t)dx = 1, t >.

1.1. MOTIVAATIO 11 Näin ollen φ(, t) on todennäköisyystiheys kaikilla t >. Diffuusio on siten läheisesti kytköksissä edellä mainittuun satunnaiskävelymalliin. Tavalliselle diffuusiolle luonteenomaista on, että keskimääräinen neliösiirtymä MSD 5 := x 2 φ(x,t)dx (1.1) on suoraan verrannollinen aikaan, eli MSD = Ct jollekin vakiolle C >. Huomattavaa on, että MSD voidaan mitata. Viime vuosina on löytynyt sovelluksia, joissa MSD t α jollekin α 1. Diffuusioyhtälö ei näin ollen selitä tätä tavanomaisesta poikkeavaa käyttäytymistä. Tämä on osaltaan johtanut fraktionaalisten mallien käyttöön diffuusiota mallinnettaessa. Esimerkiksi huokoisessa aineessa tapahtuvalle diffuusiolle on esitetty mallia D α t u(x,t) 2 u(x,t) x 2 =, missä D α t on sopivasti määritelty kertalukua < α < 1 oleva fraktionaalinen osittaisderivaatta t:n suhteen. 1.1.6 Matematiikka Viimeisimpänä, muttei vähäisinpänä motivaationa tarkastellaan itse matematiikkaa. Vaikkei fraktionaalisella analyysillä olisi mitään sovelluksia, on jo yhdenmukaisen teorian tutkiminen tärkeää sinänsä. Jos yhdenmukainen teoria antaa tavalliset derivaatat fraktionaalisten derivaattojen rajatapauksina, nähdään, että tavallinen kalkyyli on osa laajempaa kokonaisuutta, fraktionaalista kalkyyliä. Edellä esitetyn valossa on mielestäni paikallaan, että fraktionaalinen analyysi ansaitsevan paikkansa tämän päivän matemaattisessa peruskirjallisuudessa sovelluksia unohtamatta. Galileo Galilein kerrotaan sanoneen: Luonnonlait on kirjoitettu matematiikan kielellä. Koska luonnossa esiintyy muistillisia mekanismeja, niin S. Westerlund, eräs fraktionaalisen analyysin tutkijoista, on vienyt edellisen lausahduksen vielä pidemmälle:... The conclusion is obvious and unavoidable. Dead matter has memory. Expressed differently, we may say that Nature works with fractional time derivatives. 5 Mean Squared Displacement

12 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY 1.2 Riemann-Liouvillen fraktionaalinen integraali Lähdetään nyt tarkastelemaan yksityiskohtaisemmin, miten fraktionaalinen derivaatta ja integraali voidaan määritellä. Aloitetaan integraalista. Tässä monisteessa ei ole tarkoitus puuttua kaikkiin mahdollisiin yksityiskohtiin, jotka liittyvät käsitteiden täsmälliseen matemaattiseen määrittelyyn. Oletetaan, että kaikki tarkasteltavat funktiot ovat hyvin määriteltyjä ja käyttäytyviä. Ei ole suuri rajoitus olettaa kaikki funktiot koko R:ssä määritellyiksi sileiksi funktioiksi. Lähteissä [3] ja [9] on kuvattu tarkemmin niitä funktioluokkia, joissa tämän monisteen tulokset ovat voimassa. Lähdetään liikkeelle Cauchyn 6 kaavasta perättäisille integroinneille. Tarkastellaan määrättyä integraalia If(t) = t Soveltamalla kaavaa (1.11) funktioon If saadaan I 2 f(t) := I(If)(t) = t τ f(τ)dτ. (1.11) f(η)dηdτ = t (t η)f(η)dη, missä on suoritettu integrointijärjestyksen vaihto. Edellisistä saadaan induktiolla Cauchyn kaava perättäisille integroinneille I n f(t) = 1 (n 1)! t (t τ) n 1 f(τ)dτ, 1 n N, (1.12) missä n! tarkoittaa luonnollisen luvun n kertomaa n! = n(n 1) 2 1. Tässä on koko homman ydin. Ensinnäkin voidaan todeta, että kaavassa (1.12) esiintyvä integraali on hyvin määritelty, vaikka vaatimuksesta n N luovutaan. Lisäksi kertomafunktio voidaan yleistää Eulerin Gamma-funktion avulla. Määr. 1. Funktiota Γ : (, ) R, joka määritellään kaavalla Γ(x) = sanotaan Eulerin 7 Gamma-funktioksi. t x 1 e t dt, 6 Augustin Louis Cauchy (1789-1857), ranskalainen matemaatikko 7 Leonhard Euler (177-1783), sveitsiläinen matemaatikko

1.2. RIEMANN-LIOUVILLEN INTEGRAALI 13 Voidaan todeta, että Lemma 1. Gamma-funktiolle pätee Γ(n) = (n 1)! kaikilla n N. Todistus. Käytä induktiota liitteen A lauseeseen 21. Edellisen perusteella on luontevaa määritellä Määr. 2. Olkoon α R +. Integraalia I α f(t) = 1 Γ(α) t (t τ) α 1 f(τ)dτ sanotaan Riemann 8 -Liouvillen 9 kertalukua α olevaksi (fraktionaaliseksi) integraaliksi. Jos α =, asetetaan I f(t) = f(t). Huomautus 1. Määritelmässä ei ole oleellista, että integrointi suoritetaan nollasta. Yhtä lailla voidaan tarkastella mitä tahansa muuta pistettä a R nollan sijaan. Huomautus 2. Nimitys fraktionaalinen on tässä hieman harhaanjohtava, sillä kertaluvun ei välttämättä tarvitse olla murtoluku. Nimitys on kuitenkin jäänyt elämään, joten tässä yhteydessä fraktionaalinen pitää sisällään myös ei-murtolukua koskevat kertaluvut. Sana fraktionaalinen on laitettu määritelmässä sulkeisiin, sillä yleensä se jätetään pois ja puhutaan lyhyesti kertalukua α olevasta inetgraalista. Tarkastellaan seuraavaksi joitakin integroinnin perusominaisuuksia. Kun n,m N := N {}, niin tuntuu selvältä, että I n (I m f)(t) = I m (I n f)(t) = I m+n f(t). Näin itse asiassa on asian laita eikä lukujen m ja n tarvitse välttämättä olla edes kokonaislukuja. Lause 1. Riemann-Liouvillen fraktionaaliselle integraalille pätee kaikilla α,β. I α (I β f)(t) = I β (I α f)(t) = I α+β f(t). (1.13) Huomautus 3. Ominaisuutta 1.13 nimitetään puoliryhmäominaisuudeksi. 8 Bernhard Riemann (1826-1866), saksalainen matemaatikko 9 Joseph Liouville (189-1882), ranskalainen matemaatikko

14 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY Lauseen 1 todistus. Määritelmän 2 mukaan I α (I β f)(t) = 1 Γ(α)Γ(β) t τ (t τ) α 1 (τ η) β 1 f(η)dηdτ. Väite seuraa tästä ja Lauseesta 22 sopivalla muuttujanvaihdolla. Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Sovellusten kannalta on tärkeää, että fraktionaalinen integraali on jatkuva kertaluvun suhteen, sillä usein kertalukua ei etukäteen tiedetä, vaan se pitää määrätä likimääräisesti mittausten avulla. Tällöin on tärkeää, että pieni poikkeama kertaluvussa ei vesitä koko analyysiä. Jatkuvuus kertaluvun suhteen tarkoittaa seuraavaa Lause 2. Olkoon α >. Tällöin lim α α I α f(t) = I α f(t) kaikilla t >. Todistus. Sivuutetaan. Todistus on esitetty lähteessä [3, ss. 22-26]. Esim 1. Kun α =, niin tilanne on hieman mutkikkaampi. Tarkastellaan esimerkkinä vakiofunktiota f(t) 1. Tällöin I f() = f() = 1, mutta I α f(t) = 1 Γ(α+1) tα, kunt, kaikilla α >. Näin ollen I f() lim α f() yleisesti. Lauseen 2 tulos pätee myös tapauksessa α =, kun funktiolta f oletetaan, että se menee nollaan origossa riittävän nopeasti. Tarkemmat yksityiskohdat löytyvät lähteestä [3, Lause 2.1]. Tässä vaiheessa on käsitelty fraktionaalisen integraalin yleisiä ominaisuuksia, mutta Esimerkkiä 1 lukuun ottamatta emme ole laskeneet integraalia yhdellekään alkeisfunktiolle. Aloitetaan polynomeista. Kuten tiedetään, tavallinen integrointi säilyttää polynomit ja kasvattaa niiden potenssia yhdellä. Miten on vastaavan ominaisuuden laita fraktionaalisessa integroinnissa? Esim 2. Lasketaan polynomin p(t) = t n, n N, kertalukua α oleva integraali. Esimerkin 1 mukaan p(t) = n!i n 1(t). Näin ollen puoliryhmäominaisuuden 1.13 ja Esimerkin 1 mukaan I α p(t) = n!i n+α 1(t) = n! Γ(n+α+1) tn+α = Γ(n+1) Γ(n+α+1) tn+α. Erityisesti, jos α = 1, niin Lauseen 21 mukaan I 1 p(t) = tn+1 n+1

1.2. RIEMANN-LIOUVILLEN INTEGRAALI 15 kuten pitääkin. Lisäksi kaikilla α N tuloksena on polynomi kuten pitääkin. Jos taas α / N, niin tuloksena ei ole polynomi, vaan potenssifunktio. Toisaalta potenssifunktion eksponentti kasvaa integroinnin kertaluvun verran, joten tässä mielessä tulos on sopusoinnussa kokonaista kertalukua olevan integroinnin kanssa. Esim 3. Laajennetaan Esimerkki 2 potenssifunktioille. Tässä esimerkissä nähdään myös, ettei funktion välttämättä tarvitse olla jatkuva, vaan me voidaan sallia integroituva singulariteetti origossa. Olkoon f(t) = t β jollekin β > 1. Laske kertalukua α > oleva integraali I α f(t). Jätetään tämän ratkaisu harjoitustehtäväksi. Esim 4. Toinen tavallisen integroinnin kannalta mukava funktio on eksponenttifunktio f(t) = e λt jollekin λ >, sillä se säilyy tavallisessa integroinnissa. Fraktionaalisen integroinnin tapauksessa tilanne on hieman mutkikkaampi. Mutta käyttämällä eksponenttifunktion sarjakehitelmää e λt = (λt) k k= k! ja Esimerkkiä 2, saadaan I α f(t) = k= = λ α λ k k! Iα ( ) k (t) = k= k= (λt) k+α Γ(k +α+1). λ k Γ(k +1) Γ(k +1)Γ(k +α+1) tk+α Tuloksena on siis jotakin muuta kuin eksponenttifunktio. Esimerkki 4 antanee osviittaa siitä kuinka hankalaa on yleisesti laskea joidenkin alkeisfunktioiden fraktionaalinen integraali. Toisaalta Esimerkin 4 vihjaamana sileille funktioille voidaan käyttää potenssisarjaesitystä ja laskea termeittäin monomien t t k integraalit. Tuloksena on potenssisarjaesityksen muodossa annettu funktio. Vaikkei se välttämättä ole mikään alkeisfunktio, on se ihan yhtä hyvin määritelty funktio siinä missä alkeisfunktiokin. Itse asiassa integraali on yleisesti tiettyä tyyppiä oleva erikoisfunktio, joita käsitellään tarkemmin jatkossa. Tässä yhteydessä todetaan seuraava tulos Lause 3. Oletetaan, että funktiolla f on potenssisarjaesitys (Taylorin sarja) f(t) = k= D k f() t k k!

16 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY origon ympäristössä ] h,h[ jollakin h >. Tällöin kertalukua α > olevalla integraalilla I α f(t) on potenssisarjaesitys I α f(t) = k= D k f() Γ(α+k +1) tk+α välillä [,h[. Erityisesti, funktiolla I α f on kaikkien kertalukujen derivaatat välillä ],h[. Tarkastellaan esimerkkinä Esim 5. Laske funktioiden f(t) = cos(λt) ja g(t) = sin(λt), λ >, kertalukua α > oleva integraali. Jätetään ratkaisu harjoitustehtäväksi. Huomautus 4. Huomautettakoon lopuksi, ettei siinä sinällään ole mitään erikoista, että laskelmat usein johtavat erikoisfunktioihin. Nimittäin jo tavallisen derivaatan tapauksessa ja niinkin yksinkertaisen kuin heilurin differentiaaliyhtälön d 2 θ dt + g sinθ =, 2 L missä g on gravitaatiovakio, L on heilurin pituus ja θ on heilurin ja gravitaation suunnan välinen kulma, ei heilurin jaksonaikaa voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Voidaan osoittaa, että jaksonaika T on esitettävissä Gaussin 1 hypergeometrisen funktion 2F 1 (a,b;c;z) = avulla muodossa k= a(a+1) (a+k 1) b(b+1) (b+k 1) z k k!c(c+1) (c+k 1) T = 2π L (1 g 2 F 1 2, 1 2 ;1;sin2( θ )), 2 missä θ kulma ajanhetkellä t = (katso [1, Kappale 2.5]). Huomaa, että jos θ on pieni, käytetään approksimaatiota sinθ θ, jolloin differentiaaliyhtälö palautuu tavalliseen vakiokertoimiseen toisen kertaluvun yhtälöön d 2 θ dt 2 + g L θ =, jonka ratkaisu on θ(t) = θ cos ( g L t) ja siten jaksonaika T = 2π g L. 1 Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemaatikkojen kuningas

1.3. RIEMANN-LIOUVILLEN DERIVAATTA 17 1.3 Riemann-Liouvillen fraktionaalinen derivaatta Derivoinnin määrittely perustuu seuraavan analyysin perustuloksen yleistämiseen Lause 4 (Analyysin peruslause). Olkoon f : [,h] R jatkuva funktio ja F : [,h] R kaavalla F(x) = x f(t)dt määritelty funktio. Tällöin F on derivoituva ja F = f. Analyysin peruslauseen perusteella ei liene yllättävää, että integraalille käytetään usein myös nimitystä antiderivaatta. Aiempia merkintöjä käyttäen F voidaan kirjoittaa muodossa F = If. Niinpä derivaatan ja integraalin välillä on yhteys D(If)(x) = f(x), (1.14) joten derivointi on integroinnin vasemmanpuoleinen käänteiskuvaus. Toisaalta I(DF)(x) = x DF(t)dt = F(x) F(), (1.15) joten derivointi on vakiota vaille integroinnin oikeanpuoleinen käänteiskuvaus. Yleisesti jokaisella n N saadaan Analyysin peruslauseesta Toisaalta sileille f saadaan I n D n f(x) = f(x) n 1 k= D n I n f = f. (1.16) f (k) () x k =: f(x) T n 1 f(x), (1.17) k! missä funktiota T n 1 f sanotaan funktion f astetta n 1 olevaksi Taylorin polynomiksi origossa. Näin ollen n-kertainen integrointi ja derivointi ovat (n 1)-asteista polynomia vaille toistensa käänteiskuvauksia. Edellisen perusteella tuntuu luontevalta yrittää määritellä positiivista kertalukua oleva fraktionaalinen derivaatta vastaavaa kertalukua olevan integraalin vasemmanpuoleisena käänteiskuvauksena. Jälleen avainasemassa on integroinnin puoliryhmäominaisuus (1.13). Olkoon n = α = min{n N : n α. Tällöin D n (I n f)(x) = D n (I n α (I α f))(x). Edellisen perusteella saadaan luonnollinen määritelmä

18 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY Määr. 3. Olkoot α R + ja n = α. Derivaattaa D α f(t) := D n I n α f(t) = 1 d n Γ(n α) dt n t (t τ) n α 1 f(τ)dτ sanotaan funktion f kertalukua α olevaksi Riemann-Liouvillen (fraktionaaliseksi) derivaataksi. Jos α =, asetetaan D f(t) = f(t). Määriteltää edeltävän johdattelun perusteella on selvää, että Lause 5. Olkoon α. Tällöin D α I α f = f. Tarkastellaan jälleen joidenkin alkeisfunktioiden derivaatan laskemista. Esim 6. Aloitetaan suoraan potenssifunktiosta f(t) = t β jollekin β > 1. Olkoot α > ja n = α. Tällöin Esimerkin 3 mukaan D α f(t) = D n I n α f(t) = Erityisesti, jos β =, saadaan D α 1 = Γ(β +1) Γ(n α+β +1) Dn (t n α+β ). 1 Γ(1 α) t α. Jos α N, niin 1 Γ(1 α) =, sillä Gamma-funktiolla Γ( m) on napa pisteissä m N. Toisaalta, jos α / N, niin vakion kertaluvun α derivaatta ei ole nolla! Yleisesti, jos α β N, niin D α f(t) =, sillä astetta n α+β olevan polynomin kertaluvun n derivaatta on nolla. Jos taas α β / N, niin D α (t β ) = Γ(β +1) Γ(β +1 α) tβ α. Niinpä esimerkiksi polynomin kertaluvun α derivaatta ei välttämättä ole nolla, vaikka derivoinnin kertaluku α on suurempi kuin polynomin aste. Esim 7. Lasketaan eksponenttifunktion f(t) = e λt kertalukua α > oleva derivaatta. Esimerkistä 4 saadaan D α (e λt ) = t α (λt) k Γ(k α+1) = (λt) k α λα Γ(k α+1). k= Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Huomaa, että erityisesti, kun 1 α N, niin =, kun k < α, sillä Gamma-funktiolla on napa eipositiivisissa kokonaislukupisteissä. Tällöin yllä oleva tulos voidaan kirjoittaa Γ(k α+1) muodossa D α (e λt ) = λ α (λt) k α Γ(k α+1) = λα e λt kuten pitääkin. k=α k=

1.3. RIEMANN-LIOUVILLEN DERIVAATTA 19 Kuten jo esimerkeistä nähtiin ja fraktionaalisen integroinnin yhteydessä todettiin, on myös derivaatta usein muuta kuin alkeisfunktio. Käyttämällä sarjaesitystä voidaan yleisempien funktioiden dervointi palauttaa polynomin derivoimiseen. Lausetta 3 vastaava tulos on Lause 6. Oletetaan, että funktiolla f on potenssisarjaesitys f(t) = k= D k f() t k k! origon ympäristössä ] h,h[ jollakin h >. Tällöin kertalukua α > olevalla derivaatalla D α f(t) on potenssisarjaesitys D α f(t) = k= D k f() Γ(k +1 α) tk α välillä ],h[. Erityisesti, funktiolla D α f on kaikkien kertalukujen derivaatat välillä ],h[. Tarkastellaan seuraavaksi derivaatan yleisiä ominaisuuksia. Aloitetaan puoliryhmäominaisuudesta. Tilanne ei ole aivan yhtä yksinkertainen kuin fraktionaalisen integraalin tapauksessa. Tarkastellaan tätä esimerkin kautta. Esim 8. Olkoot f(t) = t 1/2 ja α 1 = α 2 = 1/2. Tällöin Esimerkin 6 mukaan D α 1 f(t) = D α 2 f(t), joten myös D α 1 (D α 2 f)(t) = D α 2 (D α 1 f)(t), mutta D α 1+α 2 f(t) = t 3/2 /2. Esim 9. Olkoot f(t) = t 1/2, α 1 = 1/2 ja α 2 = 3/2. Tällöin Esimerkin 6 mukaan D α 1 f(t) = Γ(3/2) ja D α 2 f(t), jolloin D α 1 (D α 2 f)(t) ja D α 1+α 2 f(t) = D 2 f(t) = t 3/2 /4 = D α 2 (D α 1 f)(t). Esimerkin 8 mukaan voi olla D α 1 D α 2 f(t) = D α 2 D α 1 f(t) D α 1+α 2 f(t). Esimerkin 9 mukaan taasen voi olla D α 1 D α 2 f(t) D α 2 D α 1 f(t) = D α 1+α 2 f(t). Edellisen perusteella herää luonnollisesti kysymys, voiko puoliryhmäominaisuus ylipäänsä olla voimassa myös fraktionaaliselle derivaatalle. Näin on asian laita, jos derivoitava funktio on ilmaistavissa integraalina. Tulos on seuraava

2 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY Lause 7. Olkoot α 1,α 2. Jos f = I α 1+α 2 φ jollekin φ, niin D α 1 D α 2 f = D α 1+α 2 f. Todistus. Suoraan derivaatan määritelmästä ja integraalin puoliryhmäominaisuudesta saadaan D α 1 D α 2 f = D α 1 D α 2 I α 1+α 2 φ = D α 1 I α 1 α 1 D α 2 I α 2 α 2 I α 1+α 2 φ = D α 1 I α 1 α 1 D α 2 I α 2 +α 1 φ = D α 1 I α 1 α 1 D α 2 I α 2 I α 1 φ = D α 1 I α 1 α 1 I α 1 φ = D α 1 I α 1 φ = φ Toisaalta D α 1+α 2 f = φ seuraa suoraan Lauseesta 5. Tarkastellaan seuraavaksi rajankäyntiä kertaluvun suhteen. Erityisesti olemme kiinnostuneita, saadaanko tavalliset kokonaista kertalukua olevat derivaatat fraktionaalista kertalukua olevan derivaatan raja-arvona. Näin itse asiassa on asian laita. Integroinnille todettua Lausetta 2 vastaava tulos derivoinnille on Lause 8. Olkoon n N. Tällöin kaikilla t >. lim α n Dα f(t) = D n f(t) Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy lähteestä [3, ss. 36-37] 1.3.1 Fraktionaalisen ja tavallisen derivoinnin yhtäläisyyksiä ja eroja Edellä tuli jo ilmi joitakin ominaisuuksia. Käsitellään tässä yhteydessä niitä lisää. Yleisesti ottaen on todettava, että jo ihan perusominaisuuksien suoraviivaisessa yleistämisessä fraktionaaliseen tapaukseen tulee olla varovainen. Todetaan aluksi positiivinen tulos, joka seuraa suoraan tavallisen integraalin ja derivaatan ominaisuuksista. Lause 9 (Derivaatan lineaarisuus). Olkoot c 1,c 2 R ja α R +. Tällöin D α (c 1 f 1 +c 2 f 2 ) = c 1 D α f 1 +c 2 D α f 2.

1.3. RIEMANN-LIOUVILLEN DERIVAATTA 21 Tarkastellaan seuraavaksi tulon derivaattaa. Kokonaista kertalukua olevalle derivaatalle pätee Lause 1 (Leibnizin kaava). Olkoon n N. Tällöin D n (fg)(t) = n k= ( ) n D k f(t)d n k g(t). k Päteekö vastaava kaava fraktionaalisessa tapauksessa? Ennen kuin mennään varsinaiseen tulokseen, todetaan, että Leibnizin kaava on symmetrinen ja että siinä esiintyy korkeintaan kertalukua n olevia derivaattoja. Fraktionaalisessa tapauksessa nämä molemmat ominaisuudet menetetään. Kaavassa nimittäin esiintyy kaikkien kertalukujen derivaattoja ja lisäksi funktion g integraaleja. Tulos on seuraava Lause 11. Olkoon α >. Oletetaan, että funktioilla f ja g on potenssisarjaesitykset origon ympäristössä ] h, h[ jollakin h >. Tällöin α ( ) α D α (fg)(t) = D k f(t)d α k g(t)+ k kaikilla t ], h/2[. k= Todistus. Sivuutetaan (katso [3, ss. 33-34]. k= α +1 ( ) α D k f(t)i k α g(t) k Huomautus 5. Vaikka Lauseen 11 tulos on mutkikkaan näköinen, niin huomaa, että kokonaisluvun α N tapauksessa ( ) α α(α 1) (α k +1) = =, k k! kun k > α. Näin ollen jälkimmäinen termi häviää ja päädytään Leibnizin kaavaan. Kolmas derivaatan keskeinen ominaisuus on ketjusääntö D(f(g(t)) = (Df)(g(t))Dg(t). Voiko tämä päteä myös fraktionaalisessa tapauksessa? Tarkastellaan esimerkkinä tapausta < α < 1. Suoraan derivaatan määritelmästä saadaan D α (f(g(t)) = 1 d Γ(1 α) dt t (t τ) α f(g(τ))dτ,

22 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY mistä nähdään, että meillä ei ole mitään toivoa saada ketjusääntöä ainakaan missään yksinkertaisessa muodossa. Ketjusääntöä vastaava tulos voidaan formuloida myös fraktionaalisessa tapauksessa. Koska se kuitenkin on vielä Lausetta 11 monimutkaisempi, sivuutetaan sen yksityskohtaisempi käsittely. Katso [8, Kappale 2.7.3], jos olet kiinnostunut yksityiskohdista. Tarkastellaan lopuksi ehkä kaikkien perustavinta laatua olevaa eroa tavallisen ja fraktionaalisen derivaatan välillä. Tavallinen derivaatta on määritelmän mukaan erotusosamäärän raja-arvo Df(t) = f f(t+h) f(t) (t) = lim. h h Tämän mukaan derivaatan laskemiseen tarvitaan funktion f määrittelyä ainoastaan mielivaltaisen pienessä pisteen t ympäristössä. Näin ollen derivaatta on lokaali ominaisuus. Jos < α < 1, niin Määritelmän 3 mukaan D α 1 d f(t) = Γ(1 α) dt t t (t τ) α f(τ)dτ α Γ(1 α) t (t τ) α 1 f(τ)dτ kaikilla < t < t. Hajotelma saatiin jakamalla integraali kahteen osaan ja viemällä derivointi jälkimmäisen integraalin sisään. Koska t voi olla kuinka lähellä t:tä tahansa, voidaan yllä oleva hajotelma lukea muodossa: Fraktionaalinen derivaatta = lokaali osa + ei-lokaali osa. Tämän perusteella fraktionaalinen derivaatta on ei-lokaali operaatio. Eilokaalia osaa nimitetään usein myös historia- tai muistitermiksi. Muistillisuus on siis derivaatan sisään rakennettuna. Näin ollen on luontevaa, että muistillisia mekanismeja voi yrittää mallintaa fraktionaalisten derivaattojen avulla. 1.4 Fraktionaalinen derivaatta raja-arvona Edellä on esitetty Riemann-Liouvillen fraktionaalinen integraali ja derivaatta. On myös muita tapoja määritellä nämä käsitteet fraktionaalisessa tapauksessa. Tarkastellaan tässä ainoastaan erotusosamäärään perustuvaa lähestymistapaa. Tämän lähestymistavan esittivät toisistaan riippumatta Grünwald ja Letnikov vuosina 1867 ja 1868. Kuten edellä todettiin, on derivaatta erotusosamäärän raja-arvo. Määritellään takeneva differenssioperaatio h asettamalla h f(t) = f(t) f(t h).

1.4. FRAKTIONAALINEN EROTUSOSAMÄÄRÄ 23 Soveltamalla operaatiota toisen kerran saadaan 2 h f(t) := h( h f(t)) = h (f(t) f(t h)) =f(t) f(t h) (f(t h) f(t 2h)) =f(t) 2f(t h)+f(t 2h). Yleisesti kertalukua n oleva takeneva differenssi voidaan kirjoittaa muodossa n ( ) n n h f(t) := ( 1) k f(t kh). k k= Minkä tahansa kertaluvun n N derivaatta voidaan laskea differenssien avulla kuten seuraava klassinen tulos osoittaa. Lause 12. Olkoon n N. Kertalukua n oleva derivaatta saadaan raja-arvona D n f(t) = lim h n h f(t) h n. (1.18) Huomaa, että tämä ei ole ainoastaan kvalitatiivinen tulos, vaan tätä voidaan hyödyntää myös käytännössä. Jos h on pieni, niin Df(t) f(t) f(t h), D 2 f(t) f(t) 2f(t h)+f(t 2h)... h h 2 Derivaattoja voidaan siis approksimoida erotusosamäärien avulla. Edetään nyt fraktionaaliseen tapaukseen. Kirjoitetaan binomikerroin muodossa ( ) n n(n 1) (n k +1) =. (1.19) k k! Jos k > n, niin ( n k) =. Näin ollen takeneva differenssi (1.18) voidaan kirjoittaa sarjana n h f(t) = ( ) n ( 1) k f(t kh). (1.2) k k= Koska (1.19) on mielekäs myös tapauksessa n / N, niin (1.2) on järkevä myös tapauksessa n / N edellyttäen, että sarja suppenee. Näin ollen fraktionaalinen derivaatta voitaisiin yrittää määritellä suoraan kaavojen (1.18) ja (1.2) avulla. Huono puoli tässä on se, että jos lähtökohtaisesti tarkastellaan funktioita f : [, [ R, niin (1.2) edellyttää funktion arvojen tuntemista myös negatiivisella reaaliakselilla R. Poistetaan tämä ongelma rajoittamalla rajankäynti muotoa h n = t/n olevaan askelpituuteen. Tulos on seuraava (katso [3, Lause 2.25] ja [8, Kappaleet 2.2 ja 2.3]).

24 LUKU 1. MOTIVAATIO JA MÄÄRITTELY Lause 13. Olkoot t > ja h n = t/n. Kertalukua α > oleva Riemann- Liouvillen derivaatta saadaan raja-arvona D α f(t) = lim n α h n f(t) h α n 1 = lim n h α n n ( ) α ( 1) k f(t kh n ). k Lauseessa 13 esiintyvä erotusosamäärä voidaan valita fraktionaalisen derivaatan määritelmäksi. Tällä tavalla määriteltyä derivaattaa sanotaan Grünwald-Letnikovin kertalukua α olevaksi (fraktionaaliseksi) derivaataksi. Kuten yllä oleva tulos osoittaa, yhtyy tämä määritelmä aiemmin määrittelemäämme Riemann-Liouvillen derivaattaan. k=

Luku 2 Fraktionaalinen differentiaaliyhtälö Kuten arvata saattaa, fraktionaalisen kalkyylin päätehtävä on ratkoa fraktionaalista kertalukua olevia differentiaaliyhtälöitä. Aloitetaan yksinkertaisimmasta mahdollisesta yhtälöstä, jota voisi kuvitella. Tarkastellaan yhtälöä D α f(t) = g(t), (2.1) missä < α < 1. Miten tällainen yhtälö voidaan ratkaista? Yksinkertaisin mahdollinen differentiaaliyhtälö Df(t) = g(t) ratkeaa luonnollisesti integroimalla puolittain t, jolloin saadaan f(t) = f()+ t g(τ)dτ = f()+i 1 g(t). Kiinnittämällä alkuehto f() tulee ratkaisusta yksikäsitteinen. Menetellään samalla tavalla fraktionaalisessa tapauksessa. Itse asiassa yhtälö (2.1) on tavallinen differentiaaliyhtälö D α f(t) = D(I 1 α f)(t) = g(t) funktion h(t) = I 1 α f(t) suhteen, joten yllä olevan nojalla funktioksi h saadaan h(t) = I 1 α f(t) = lim t + I 1 α f(t)+i 1 g(t). Koska Riemann-Liouvillen derivaatta D 1 α = DI 1 (1 α) = DI α on integraalin I α vasemmanpuoleinen käänteiskuvaus, saadaan edellisestä f(t) = D 1 α h(t) = lim t + I 1 α f(t)d 1 α 1+D 1 α I 1 g(t). 25

26 LUKU 2. FRAKTIONAALINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ Esimerkin 6 mukaan D 1 α 1 = 1 Γ(α) tα 1 ja toisaalta integraalin puoliryhmäominaisuuden (1.13) mukaan D 1 α I 1 g(t) = D(I α I 1 g(t)) = D(I 1 I α g(t)) = I α g(t) = 1 Γ(α) t Niinpä yhtälön (2.1) ratkaisuksi tulee (t τ) α 1 g(τ)dτ. f(t) = tα 1 Γ(α) lim t + I1 α f(t)+ 1 Γ(α) t (t τ) α 1 g(τ)dτ. (2.2) Osaamme siis ratkaista ainakin helpon ei-kokonaista kertalukua olevan differentiaaliyhtälön. Ratkaisun (2.2) huono puoli on se, että se edellyttää ei-lokaalin alkuehdon 1 lim t + I1 α f(t) = lim t + Γ(1 α) t (t τ) α f(τ)dτ = f tuntemista. Yleensä fysikaaliset probleemat edellyttävät tavallisen alkuehdon tuntemista, vaikka kyseessä olisi fraktionaalista tyyppiä oleva ongelma. Mitä siis voimme tehdä tämän asian suhteen? 2.1 Caputo-derivaatta Ratkaistaan alkuehtoa koskeva ongelma ottamalla käyttöön uusi fraktionaalinen derivaatta Määr. 4. Olkoot α ja n = α. Derivaattaa CD α f(t) := I n α D n f(t) = 1 Γ(n α) t (t τ) n α 1 f (n) (τ)dτ sanotaan funktion f kertalukua α olevaksi Caputon derivaataksi. Huomautus 6. Joku voi pitää kummallisena sitä, että derivaatta on nimetty vielä nykyäänkin elossa olevan fyysikon Michele Caputon mukaan, vaikka Riemann-Liouvillen määrittelemä käsite oli keksitty yli sata vuotta aiemmin. Itse asiassa Määritelmän 4 mukainen esitys esiintyy jo Liouvillen omissa töissään, mutta Caputon nimi on otettu yleisesti käyttöön tutkijapiireissä. Saman määritelmän ovat esittäneet toisistaan riippumatta myös Rabotnov, Dzherbashyan ja Nersesian. Toisaalta. Historiallisesta kehityksestä on kerrottu lähteissä [3, s. 51] ja teoksen [9] johdannossa.

2.1. CAPUTO-DERIVAATTA 27 Monissa fysikaalisissa prosesseissa syntyy energiahukkaa, joten täysin elastiset kentät ovat riittämättömiä tällaisten prosessien kuvaamisessa. M. Caputo esitti julkaisussaan [1] maanjäristysaaltojen liikeyhtälöksi mallia, jossa esiintyy kertalukua ǫ =.15 oleva aikaderivaatta ja joka oli hyvin sopusoinnussa havaintojen kanssa. Tällä mallilla hän sai energian häviökertoimeksi Q 1 sin πǫ 2. Huomaa, että tapauksessa ǫ = energian häviökerroin on nolla, mikä vastaa värähtelyä elastisessa väliaineessa. Kuten jo Liouvillen alkuperäiset työt antavat ymmärtää, on Caputoderivaatalla läheinen yhteys Riemann-Liouvillen derivaattaan: Lause 14. Olkoot α ja n = α. Derivaatoilla C D α ja D α on yhteys missä CD α f(t) = D α (f T n 1 f)(t), (2.3) T n 1 f(t) = n 1 k= f (k) () t k k! on funktion f astetta n 1 oleva Taylorin polynomi origossa. Suorana seurauksena saadaan Korollaari 1. Derivaatat C D α f(t) ja D α f(t) yhtyvät jos ja vain jos D k f() =, k =,1,..., α 1. Jotkut saattavat esittää kritiikkiä Määritelmälle 4, sillä kertaluvun α / N derivaatan laskeminen edellyttää korkeamman kertaluvun α derivaatan laskemista. Niinpä joissakin yhteyksissä Caputo-derivaatta määritellään Lauseen 14 kaavalla (2.3). Huomaa, että kaavan (2.3) oikea puoli on hyvin määritelty laajemmalle funktioluokalle kuin Määritelmä 4, sillä jälkimmäinen edellyttää kertaluvun n derivaatan olemassaoloa funktiolle f, kun taas edellisessä funktiota silotetaan integroimalla ennen derivointia. Toisaalta Määritelmää (4) puoltaa se, että kertalukua α voidaan ajatella kertaluvun n derivaatan painotettuna keskiarvona CD α f(t) = t g(t τ)f (n) (τ)dτ

28 LUKU 2. FRAKTIONAALINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ välillä [, t], missä painofunktio g painottaa pisteen t ympäristöä. Ääritapauksena valitsemalla painofunktio Diracin deltaksi g(t τ) = δ(t τ), saadaan tavallinen kertalukua n oleva derivaatta pisteessä t, eli täysin lokaali derivaatta, jolla ei ole muistia. Tarkastellaan nyt yhtälöä (2.1), kun derivaattana käytetään Määritelmän 4 derivaattaa: CD α f(t) = g(t). (2.4) Koska C D α f(t) = I 1 α Df(t), niin laskemalla kertalukua α oleva integraali I α puolittain kaavassa (2.4) saadaan I α CD α f(t) = I α I 1 α Df(t) = I 1 D 1 f(t) = f(t) f() = I α g(t). Näin ollen yhtälön (2.4) ratkaisu on f(t) = f()+ 1 Γ(α) t (t τ) α 1 g(τ)dτ. (2.5) Nyt siis ei-lokaalin alkuehdon ongelma saatiin poistettua. Tässä on ehkä merkittävin syy, miksi Caputo-derivaatta on sovelluksissa yleisemmin käytetty. Edellä nähtiin, että I α CD α f(t) = f(t) f(), < α < 1, mikä oli keskeinen ominaisuus kaavan (2.5) saamiseksi. Vastaava ominaisuus on tosi kaikille α [3, Lause 3.8]: Lause 15. Olkoot α ja n kuten Lauseessa 14. Tällöin I α CD α f(t) = f(t) n 1 k= D k f() t k. k! Caputo-derivaatta on siis astetta n 1 olevaa Taylorin polynomia vaille Riemann-Liouvillen fraktionaalisen integraalin oikeanpuoleinen käänteiskuvaus. Toisaalta Lause 16. Olkoot α ja n kuten Lauseessa 14. Caputo derivaatta C D α on Riemann-Liouvillen kertalukua α olevan integraalin vasemmanpuoleinen käänteiskuvaus: CD α I α f(t) = f(t), t >. Todistus. Koska Riemann-Liouvillen derivaatalla on vastaava ominaisuus, väite seuraa suoraan soveltamalla Lausetta 14 funktioon I α f edellyttäen, että voidaan osoittaa T n 1 I α f.

2.1. CAPUTO-DERIVAATTA 29 Koska sileät funktiot ovat rajoitettuja, saadaan I α 1 f(t) = Γ(α) M Γ(α) t t (t τ) α 1 f(τ)dτ 1 Γ(α) (t τ) α 1 dτ = M Γ(α+1) tα t (t τ) α 1 f(τ) dτ jollekin vakiolle M. Edellisen perusteella lim t + I α f(t) =. Näin ollen Taylorin polynomin vakiokerroin häviää. Yleisessä tapauksessa käytetään puoliryhmäominaisuutta ja saadaan D k I α f(t) = D k (I k I α k f)(t) = I α k f(t), t +, kaikilla k = 1,...,n 1 edellä esitetyn perusteella. Näin ollen kaikki Taylorin polynomin kertoimet ovat nollia ja väite seuraa. Edelliset tulokset antavat ymmärtää, että matematiikan kannalta on lähestulkoon sama kumpaa määritelmää käyttää. Näin ei kuitenkaan ole. Toki esimerkiksi Lause 17 (Derivaatan lineaarisuus). Olkoot c 1,c 2 R ja α R +. Tällöin CD α (c 1 f 1 +c 2 +f 2 ) = c 1C D α f 1 +c 2C D α f 2. pätee kuten Riemann-Liouvillen tapauksessa, mutta myös eroja on. Ennen kuin tarkastellaan eroja, niin on hyvä laskea esimerkkinä derivaatta muutamille perusfunktioille. Esim 1. Laske C D α f(t) funktiolle f(t) = t β, β R. Esim 11. Laske C D α f(t) funktiolle f(t) = (t + c) β, missä β R ja c >. Tässä kannattaa käyttää potenssisarjaesitystä funktiolle f ja laskea derivaatta termeittäin. Esim 12. Laske C D α f(t) funktiolle f(t) = e λt käyttämällä eksponenttifunktion sarjaesitystä. Tarkastellaan lähemmin eroja esimerkissä Esim 13. Olkoon f(t) = cosλt jollekin λ >. (a) Laske D α f(t) ja C D α f(t) kaikilla α >. (b) Millä t:n arvolla derivaatat on määriteltyjä?

3 LUKU 2. FRAKTIONAALINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ (c) Tarkastele (fraktionaalisten) derivaattojen derivoituvuutta, eli laske D(D α f)(t) ja D( C D α f)(t). Esimerkin 13 mukaan ominaisuus D( C D α f)(t) = C D α+1 f(t) ei voi päteä yleisesti, joten myöskään Caputo-derivaatalla ei ole puoliryhmäominaisuutta. Kuitenkin seuraava tulos on voimassa [3, Lemma 3.13]. Lause 18. Olkoot α,ǫ > lukuja, joita kohti on olemassa sellainen m N, että α,α+ǫ [m 1,m]. Tällöin CD ǫ CD α f(t) = C D α+ǫ f(t). Huomautus 7. (a) Tulos ei päde Riemann-Liouvillen derivaatalle. Esimerkiksi, kun f(t) 1 ja α = 1 sekä ǫ = 1/2, niin D 1/2 (D1)(t) = D 1/2 =, mutta D 3/2 1 f(t) = Γ( 1/2) t 3/2 Esimerkin 6 mukaan. (b) Oletus α,α+ǫ [m 1,m] on välttämätön. Esimerkiksi valitsemalla α = ǫ = 7/1 ja f(t) = t saadaan mutta CD 7/1 ( C D 7/1 f)(t) = 1 Γ(3/5) t 2/5, CD 7/1+7/1 f(t) = C D 7/5 f(t) = I 3/5 (D 2 t) = I 3/5 =. Tästä eteenpäin käsittelemme pääasiassa ainoastaan Caputo-derivaattaa. 2.2 Derivoinnin ominaisfunktio Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisen kannalta on ensiarvoisen tärkeää selvittää derivoinnin ominaisfunktio y, eli funktio, joka toteuttaa ehdon Dy(t) = λy(t) jollekin λ R. Lukua λ sanotaan derivoinnin ominaisarvoksi ja funktiota y ominaisarvoa λ vastaavaksi ominaisfunktioksi tai lyhyemmin ominaisfunktioksi kuten edellä.

2.2. DERIVOINNIN OMINAISFUNKTIO 31 Kuten tiedetään tavallisen derivoinnin ominaisfunktio on eksponenttifunktio. Tarkastellaan tätä hieman lähemmin. Otetaan lähtökohdaksi eksponenttifunktion Taylorin sarja e t = k= 1 k! tk. Syy, miksi eksponenttifunktio todellakin on ominaisfunktio, näkyy termien käyttäytymisessä niitä derivoitaessa: d ( t k) = ktk 1 dt k! k! = tk 1 (k 1)!. Korkeamman asteen termistä tulee siis derivoinnin seurauksena saman sarjan alempiasteinen termi. Lähdetään tarkastelemaan nyt fraktionaalista tapausta. Sitä varten kannattaa ensiksi kirjoittaa luvun n N kertoma Gamma-funktion avulla muodossa n! = Γ(n + 1). Koska useimpien alkeifunktioidenkin derivaatta on potenssisarja, kannattaa lähteä liikkeelle potenssisarjasta f(t) = a k t k. k= Kuten on todettu, pudottaa kertaluvun α derivaatta potenssifunktion eksponenttia luvun α verran. Jotta derivoinnin seurauksena saataisiin alempiasteinen termi, kannattaa tarkastella funktiota g(t) = f(t α ) = a k t αk. k= Yksittäisen termin derivaataksi saadaan CD α( a k t αk) = a k Γ(αk +1) Γ(αk +1 α) tαk α = a k Γ(αk +1) Γ(α(k 1)+1). Jotta tuloksena olisi alemman kertaluvun termi a k 1 t α(k 1), nähdään, että kertoimet toteuttavat rekursion a k = Γ(α(k 1)+1) a k 1, k = 1,2,... Γ(αk +1) Selvästikin eksponenttifunktion kertoimien vihjaamana tämän rekursioyhtälön ratkaisu on 1 a k = Γ(αk+1).

32 LUKU 2. FRAKTIONAALINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ Näin ollen fraktionaalisen derivaatan ominaisfunktio on g α (t) = k= t αk Γ(αk +1), joka tapauksessa α = 1 redusoituu eksponenttifunktioksi: g 1 (t) = k= t k Γ(k +1) = t k k! = et. k= Sarjakehitelmän kertoimet ovat siis melkoisen yksinkertaista ja nättiä muotoa. Tätä muotoa olevalla sarjakehitelmällä on erityinen nimi. Sarjakehitelmällä t k E α (t) = Γ(αk+1) k= määriteltyä funktiota sanotaan Mittag-Lefflerin funktioksi. Ominaisfunktio on siis esitettävissä Mittag-Lefflerin funktion avulla muodossa g α (t) = E α (t α ). Mittag-Lefflerin funktion perusominaisuuksia on mainittu liitteessä B. 2.3 Vakiokertoimisen yhtälön ratkaiseminen Nyt meillä on käytössä riittävästi välineistöä yksinkertaisimpien fraktionaalisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Tässä kappaleessa esitetyt tulokset löytyvät lähteestä [5, Kappale 4]. Aloitetaan vakiokertoimisesta malliyhtälöstä CD α y(t) λy(t) = f(t) (2.6) varustettuna alkuehdoilla y (k) () = y k, k =,1,..., α 1. Esitetään kaksi menetelmää yhtälön (2.6) ratkaisemiseksi. 2.3.1 Reduktio Volterran integraaliyhtälöksi Tämän hyvin perinteisen differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmän idea on palauttaa alkuperäinen differentiaaliyhtälö integraaliyhtälöksi. Kirjoitetaan yhtälö (2.6) perusmuodossa CD α y(t) = f(t)+λy(t), (2.7)

2.3. VAKIOKERTOIMISEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 33 joka voidaan Lauseen 15 mukaan voidaan palauttaa Volterran integraaliyhtälöksi y(t) λ Γ(α) t (t τ) α 1 y(τ)dτ = α 1 k= y k k! tk +I α f(t). (2.8) Integraaliyhtälöä voidaan lähteä ratkaisemaan vaikkapa differentiaaliyhtälöiden kurssilta tutulla Picard-Lindelöfin menetelmällä. Mikä tärkeintä, tässä esitetty ratkaisumenetelmä ei rajoitu pelkästään lineaarisiin yhtälöihin. Palautetaan mieliin Picard-Lindelöfin menetelmä. Aloitetaan alkuarvauksesta y (t) = α 1 k= y k k! tk ja muodostetaan tämän avulla yhtälöä (2.8) vastaava iteraatioyhtälö y m (t) = y (t)+ λ Γ(α) t Ensimmäiseksi iteraatioksi saadaan Esimerkin 3 mukaan (t τ) α 1 y m 1 (τ)dτ +I α f(t), m N. (2.9) y 1 (t) = y (t)+λ(i α y )(t)+i α f(t). I α y (t) = α 1 k= joten y 1 voidaan kirjoittaa muodossa y 1 (t) = α 1 k= y k 1 l= y k Γ(α+k +1) tk+α, λ l t αl+k Γ(αl+k +1) +Iα f(t). Sijoitetaan saatu iteraatio yhtälöön (2.9), jolloin puoliryhmäominaisuuden (1.13) mukaan saadaan y 2 (t) = y (t)+λ(i α y )(t)+λ 2 I 2α y (t)+i α f(t)+λi 2α f(t). Näin menettelemällä saadaan yleisesti y m (t) = m λ l I αl y (t)+ l= m λ l 1 I αl f(t), l=1

34 LUKU 2. FRAKTIONAALINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ joka voidaan aukikirjoitettuna lausua muodossa y m (t) = α 1 k= y k m l= λ l t αl+k Γ(αl+k +1) + t ( m l=1 λ l 1 ) Γ(αl) (t τ)αl 1 f(τ)dτ. Suorittamalla rajankäynti m ja käyttämällä Liitteen B Määritelmää 5 saadaan yhtälön (2.6) ratkaisuksi y(t) = α 1 k= y k t k E α,k+1 (λt α )+ t 2.3.2 Ratkaisu Laplace-muunnoksella (t τ) α 1 E α,α (λ(t τ) α )f(τ)dτ. (2.1) Toinen hyvin perinteinen vakiokertoimisten yhtälöiden ratkaisutapa on käyttää Laplace 1 -muunnosta (katso B.2). Se toimii hyvin myös fraktionaalisessa tapauksessa. Syy, miksi Laplace-muunnos toimii myös tässä tapauksessa, on Laplace-konvoluution (f g)(t) = Laplace-muunnoskaava missä L(f g)(s) = t f(t τ)g(τ)dτ = e st ( t t g(t τ)f(τ)dτ. ) f(t τ)g(τ)dτ dt = L(f)(s)L(g)(s). Nimittäin, Caputo-derivaatta voidaan kirjoittaa konvoluutiointegraalina CD α f(t) = I α α (D α f)(t) = (g f ( α ) )(t), g(t) = 1 Γ( α α) t α α 1. Toisaalta funktion g Laplace-muunnos osataan laskea ja derivaatan f ( α ) muunnos saadaan derivaatan muunnoskaavasta n 1 L(f (n) )(s) = s n L(f)(s) s n k 1 (D k f)(), n N. Konvoluutioytimen muunnos k= 1 L( Γ( α α) t α α 1 )(s) = s α α on käytännössä laskettu Lauseen 24 todistuksessa, joten on saatu 1 Pierre-Simon Laplace (1749-1827), ranskalainen matemaatikko

2.3. VAKIOKERTOIMISEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 35 Lause 19. Olkoon α >. Derivaatalle C D α f(t) pätee muunnoskaava L( C D α f(t))(s) = s α L(y)(s) α 1 k= s α k 1 f (k) (). Muunnoskaavojen perusteella yhtälö (2.7) muuntuu s-puolella algebralliseksi yhtälöksi (s α λ)l(y)(s) = k= α 1 k= s α k 1 y k +L(f)(s), (2.11) joka voidaan helposti ratkaista: s α k 1 L(y)(s) = y k s α λ + 1 s α λ L(f)(s). Käyttämällä Liitteen B muunnoskaavaa (B.3) ja konvoluution muunnoskaavaa saadaan ratkaisuksi y(t) = α 1 k= y k t k E α,k+1 (λt α )+ t (t τ) α 1 E α,α (λ(t τ) α )f(τ)dτ, (2.12) mikä on luonnollisesti sama lopputulos kuin (2.1) kuten pitääkin. 2.3.3 Usean termin vakiokertoiminen yhtälö Edellä käsiteltiin yhden fraktionaalisen derivaatan C D α y(t) muodostaman malliyhtälön (2.6) ratkaisemista. Vastaan voi tulla ongelmia, joissa esiintyy useampi fraktionaalinen tai tavallinen derivaatta. Tälläisiä yhtälöitä kutsutaan usean termin fraktionaalisiksi differentiaaliyhtälöiksi 2. Tarkastellaan paria esimerkkiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen motivoimiseksi. Esim 14. Tarkastellaan pallomaisen kappaleen liikettä Newtonin (viskoosin) nesteen laminaarisessa virtauksessa. Tällöin liikeyhtälö on muotoa u (t)+b C D 1/2 u(t)+cu(t) = f(t), jota kutsutaan Basset-Boussineq-Oseenin yhtälöksi tai lyhyemmin Bassetin yhtälöksi. Samalla yhtälöllä voidaan kuvata myös dielektristä relaksaatiota lasia muodostavassa aineessa. Selkeä esitys Bassetin yhtälöstä, sen ratkaisemisesta ja konkreettisista mittauksista löytyy lähteestä [6]. 2 multi-term fractional differential equations

36 LUKU 2. FRAKTIONAALINEN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖ Esim 15. Toinen esimerkki liittyy myös kappaleen dynamiikkaan Newtonin nesteessä. Upotetaan jousen varassa oleva ohut levy Newtonin nesteeseen. Levyn liikeyhtälö on muotoa au (t)+b C D 3/2 u(t)+cu(t) = f(t), jota kutsutaan Bagley-Torvikin yhtälöksi [8, Kappale 8.3.2] ja [3, s. 167]. Molemmille edellä esitetyille esimerkeille on yhteistä, että kappaleen dynamiikka riippuu aikahistoriasta, minkä vuoksi liikeyhtälössä esiintyy fraktionaalinen derivaatta. 2.3.4 Kahden derivaatan vakiokertoiminen yhtälö Tarkastellaan Esimerkeissäkin 14 ja 15 esiintyneitä kahden (fraktionaalisen derivaatan vakiokertoimisia yhtälöitä. Malliyhtälömme on muotoa a C D β y(t)+b C D α y(t)+cy(t) = f(t), (2.13) missä β > α >. Huomaa, että molemmat edellisten esimerkkien yhtälöt olivat tätä muotoa, sillä C D n y(t) = dn y(t), kun n N. dt n Ratkaistaan yhtälö (2.13) Laplace-muunnoksella. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että alkuehdot ovat nollia. Ne voidaan käsitellä samalla tavalla kuin edellä yhden fraktionaalisen derivaatan yhtälön tapauksessa. Lauseen 19 mukaan yhtälö (2.13) muuntuu muotoon ( as β +bs α +c ) L(y)(s) = L(f)(s), (2.14) joka on helppo ratkaista s-puolella: L(y)(s) = 1 L(f)(s). (2.15) as β +bs α +c Funktiota 1 G(s) := as β +bs α +c sanotaan yhtälön (2.13) siirtofunktioksi. Siirtofunktio-nimitys tulee siitä, että siirtofunktion avulla data f voidaan siirtää ratkaisuksi. Nimittäin, konvoluution muunnoskaavan mukaan yhtälön (2.13) ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa y(t) = t g(t τ)f(τ)dτ, (2.16) missä g(t) = (L 1 G)(t) on siirtofunktion Laplace-käänteismuunnos, jota kutsutaan yhtälön (2.13) impulssivasteeksi. Tämän perusteella riittää ratkaista yhtälön (2.13) impulssivaste.

2.3. VAKIOKERTOIMISEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 37 Josa=, niin (2.13) redusoituu yhden derivaatan yhtälöksi. Jos taasc =, niin yhtälön (2.14) ratkaisu menee samalla tavalla kuin kappaleessa 2.3.2. Näin ollen oletetaan, että a, c. Siirtofunktio voidaan kirjoittaa muodossa cs α G(s) = 1 cas β α +b = 1 ( c ( 1) k c a k= 1 1+ cs α as β α +b ) k+1 s αk α ( s β α + b a) k+1 geometrisen sarjan summakaavan nojalla. Huomaa, että geometrisen sarjan summakaavaa voidaan käyttää, sillä cs α < 1, as β α +b kun s on riittävän suuri ehdon β > α nojalla. Käyttämällä muunnoskaavaa (B.4) saadaan impulssivasteeksi g(t) = 1 a ( 1) k ( c ) kt ( β(k+1) 1 b E β α,β+αk k! a a tβ α) (2.17) k= Vielä useamman termin vakiokertoimiset yhtälöt voidaan käsitellä samalla tavalla. Ei kuitenkaan tässä mennä tarkempiin yksityiskohtiin, sillä jo kahden derivaatan yhtälön ratkaisu on jo melko komplisoitu. Yleinen tapaus on käsitelty viitteessä [8, Kappaleet 5.5 ja 5.6]. 2.3.5 Ei-vakiokertoiminen yhtälö Aivan kuten tavallistenkin differentiaaliyhtälöiden tapauksessa, on ei-vakiokertoiminen tapaus edellistä hankalampi. Ainakin periaatteessa ratkaisua voi lähteä etsimään potenssisarjaesityksen avulla. Joissakin erityisissä tapauksissa yhtälö ratkeaa analyyttisesti. Samoin voidaan menetellä myös fraktionaalisessa tapauksessa. Tarkastellaan tätä ainoastaan esimerkin omaisesti. Olkoon nyt malliongelmamme CD α y(t) λt β y(t) =. (2.18) Kuten kappaleessa 2.2 järkeiltiin, yhtälön ratkaisua kannattaa lähteä etsimään muodossa y(t) = a k t (α+β)k, k=