1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia, joten 4 5x 7x + 14 1x 10 : ( 1) 10 5 x 1 6 b) Kulmat ovat vieruskulmia, joten x + 75 + 11 6x 180 x 6x+ 8 0 ( ) ( ) 6 ± 6 4 1 8 x 1 6± 4 6± x x 4 x 4
1 Peruskäsitteitä 4. a) Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, 47 α. Kulma β on 47 kulman vieruskulma, joten β 180 47 1. b) Merkitään 8 kulman ristikulmaa kirjaimella α. Tällöin α 8 Kulmat α ja 10 ovat samankohtaisia kulmia. Jos suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, 10 α. Koska α 8 10, niin suorat s ja t eivät ole yhdensuuntaisia. 5. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n ovat yhdensuuntaisia, 06 x x + 15 x x 15 06 ( ) 5x 191 : 5 x 8, 5
1 Peruskäsitteitä 6. α β a) α + β 90 β + β 90 4β 90 :4 β,5 α,5 67,5 b) α + β 180 β + β 180 4β 180 :4 β 45 α 45 15 c) α + β 60 β + β 60 4β 60 :4 β 90 α 90 70 Vastaus: a) α 67,5, β,5 b) α 15, β 45 c) α 70, β 90 6
1 Peruskäsitteitä 7. α : β :8 Merkitään α x, tällöin β 8x. Koska kulmat ovat vieruskulmia, niin α + β 180 x+ 8x 180 11x 180 :11 180 x 11 180 α x 49,09... 49 11 180 β 8x 8 10,909... 11 11 Vastaus: α 49, β 11 8. x + 7x 6 9x 6 :9 x 4 CQ QD x 4 8 7x 7 4 8 Vastaus: CQ 8, QD 8 7
1 Peruskäsitteitä 9. a) AB AP + PB 10 + 15 5 b) AB PB AP 15 10 5 Vastaus: a) 5 b) 5 10. OLETUS Suorien leikkauspisteeseen muodostuvista kulmista yksi on suora kulma. VÄITE Muutkin kulmat ovat suoria kulmia. β γ δ 90 8
1 Peruskäsitteitä TODISTUS α ja β ovat vieruskulmia. α + β 180 90 + β 180 β 90 γ α (ristikulmat) δ β (ristikulmat) Joten α β γ δ 90. 11. Merkitään 0 kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, β 0. α + β 88 α + 0 88 α 88 0 α 68 9
1 Peruskäsitteitä 1. Merkitään 105 kulman kanssa samankohtaista kulmaa kirjaimella β. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaiset, β 105. α + β + 00 60 α + 105 + 00 60 α 60 00 105 α 55 1. a) Muutetaan 0, 4 kulmaminuuteiksi. 0, 4 0, 4 60' 4' 0,4 0 4' 0' b) 0'' 0,5' 60 15,5 1 15,5' 0, 58... 60 10 1 8 15' 0'' 8 8, 10 Vastaus: a) 0 4' b) 1 8 8, 10 10
1 Peruskäsitteitä 14. Merkitään toista kulmaa kirjaimella x. Toinen kulma on 8 suurempi eli 8 x +. Kulmat ovat vieruskulmia, joten niiden summa on 180. ( x ) + 8 + x 180 x + 8 180 x 15 : x 76 Toinen kulma on 76 + 8 104. Vastaus: Kulmat ovat 76 ja 104. 15. 16. 5α + α 180 (vieruskulmat) 6α 180 :6 α 0 Kulmat α ja β ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, β α, β 0. ( ( x ) ) ( x ) ( x ) ( x) + 1 1 + 45 + + 5 + 168 60 x+ 1 + x 45 + x+ 5 + 168 x 60 7x + 150 60 7x 10 :7 x 0 11
1 Peruskäsitteitä 17. a) AP: AB :7 AP x AB 7x x 5 : x 5 (cm) 5 AB 7 cm 11,66...cm 1 cm b) AB 7x PB 10x 7x 0 :7 0 x (cm) 7 0 PB 10 cm 8,57... cm 9 cm 7 Vastaus: a) 1 cm b) 9 cm 1
1 Peruskäsitteitä 18. AB : PQ 1:5 QB AP Merkitään AP x, tällöin PQ 5x ja QB x. AP + PQ + QB AB x x+ x+ x 5 40 + 6x 40 0 ± x 1 6 ± 196 x 6± 14 x x 4 x 10 ( ) 6 6 4 1 40 Pituus on aina positiivinen, joten x 4. AP 4 PQ 54 0 QB 4 16 Vastaus: AP 4, PQ 0, QB 16 1
1 Peruskäsitteitä 19. Käytetään kuvion merkintöjä. α on tulevan säteen ja ensimmäisen peilin tason välinen kulma ja β säteen ja toisen peilin välinen kulma. Heijastumislaki: Peiliin tulevan ja siitä lähtevän säteen peilin kanssa muodostamat kulmat ovat yhtä suuret. Siis kulma DAB α Ristikulmana kulma CAD α Siis kulma CAB α Vastaavasti kulma ABC β Kysytty kulma γ 180 α β 180 α ( 180 10 α) 180 α 100 + α 80 Vastaus: 80 14
0. Piirretään kulmille puolittajat. 1 Peruskäsitteitä α β δ ja γ Puolittajien välinen kulma δ + γ VÄITE δ + γ 90 TODISTUS Kulmat α ja β vieruskulmia, joten α + β 180 : α + β 90 α β + 90 δ + γ 90 15
1 Peruskäsitteitä 1. VÄITE α + β + γ 180 TODISTUS Kulmat α ja α ' ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat m ja n yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. α α ' Kulmat β ja β ' ovat myös samankohtaisina kulmina yhtä suuret. β β ' Ristikulmina γ γ '. Koska kulmat α ', α ' + β ' + γ ' 180 β ' ja γ ' muodostavat oikokulman, Tällöin α + β + γ 180 16
1 Peruskäsitteitä. Puolisuora on kulman β puolittaja.. 1. Piirrä jana. Siirrä harpin kärki janan toiseen päätepisteeseen ja piirrä ympyrän kaari.. Pidä säde samana ja siirrä harpin kärki toiseen päätepisteeseen. Piirrä toinen ympyrän kaari. 4. Janan keskinormaali kulkee kaarien leikkauspisteiden kautta 17
1 Peruskäsitteitä 1. Monikulmioita 4. a) α + 100 + 0 180 α 50 b) Kolmio on tasakylkinen, joten kantakulmat ovat yhtä suuret. β 50 α + 50 + 50 180 α 80 c) Kolmio on tasasivuinen, joten kaikki kulmat ovat 60. Vastaus: a) α 50 b) α 80, β 50 c) α β γ 60 5. a) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat yhtä suuret, joten α 60. Kantakulmat ovat suplementtikulmia, joten β + 60 180 β 10 γ β 10 b) Puolisuunnikas on tasakylkinen, joten kantakulmat yhtä suuret. γ 110 ja α β Nelikulmion kulmien summa 60 eli α + β + γ + 110 60 α + α + 110 + 110 60 α 140 : α 70 Vastaus: a) α 60, β γ 10 b) α β 70, γ 110 18
1 Peruskäsitteitä 6. a) γ + 115 180 (vieruskulmat) γ 65 Kolmio on tasakylkinen, joten β γ 65 α + β + γ 180 (kolmion kulmien summa) α + 65 + 65 180 α 50 b) 5-kulmion kulmien summa ( 5 ) 180 540 540 5-kulmio säännöllinen, joten α 108 5 Kolmio ABC tasakylkinen, joten β γ 19
1 Peruskäsitteitä Kolmion kulmien summa 180 α + β + γ 180 108 + β 180 β 7 : β 6 Vastaus: a) α 50, β 65 b) α 108, β 6 7. Kulmien suhde on 4 : 5: 6, joten kulmat ovat 4x, 5x ja 6x. 4x + 5x+ 6x 180 15x 180 :15 x 1 4x 4 1 48 5x 5 1 60 6x 6 1 7 Vastaus: 48, 60 ja 7 0
1 Peruskäsitteitä 8. Kolmio ABC on tasakylkinen, joten kulma B 8 ja A 180 8 16 Puolisuunnikkaan sivuista AD CD. Samankohtaisina kulmina γ B 8, joten puolisuunnikkaan kulma A 8 + 16 98 Vieruskulmana δ 180 8 98 Nelikulmion kulmien summa on 60, joten α + β + 8 + 98 60 α 4β 4β + β 180 5β 180 :5 β 6 Tällöin α 4 6 144 Vastaus: 144, 6, 8, 98 1
1 Peruskäsitteitä 9. Merkitään kannan vastaisia kulmia kirjaimella α. Tällöin kantakulmat ovat 40 α +. Nelikulmion kulmien summa 60 eli α + α + α + 40 + α + 40 60 α + 40 70 + 40 110 4α 80 :4 α 70 Vastaus: Kantakulmat 110 ja kannan vastaiset kulmat 70 0. a) Koska kolmio on säännöllinen, sen kaikki kulmat ovat yhtä suuria. Kolmion kulmien suuruus on 60. Kolmion kärjistä piirretyt janat puolittavat aina vastaisen sivun. Koska kolmio on säännöllinen, janat puolittavat tällöin myös kulmat eli 60 β 0
1 Peruskäsitteitä Koska kolmion kulmien summa on 180, saadaan yhtälö α + β + β 180 α + 0 180 α 180 60 α 10 b) Kuusikulmion kulmien summa on ( 6 ) 180 70 Säännöllisen kuusikulmion kulmat ovat kaikki yhtä suuria, joten yhden kulman suuruus on 70 10. 6 Koska säännöllisen kuusikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, kolmio BDC on tasakylkinen. Tällöin kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on 180. β + 10 180 β 180 10 β 60 : β 0 Jana AB puolittaa kuusikulmion, joten 10 γ 60 Tällöin α γ β 60 0 0
1 Peruskäsitteitä c) Säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta samanlaisesta kolmiosta. Kolmioiden huiput ovat samassa pisteessä ja ne muodostavat yhdessä täysikulman. 6α 60 :6 α 60 1. Ristikulmina β 58 Kulma δ on 40 kulman kanssa samankohtainen kulma. Koska AB CD, δ 40. Kolmio DBC on suorakulmainen. Kolmien kulmien summa on 180, joten 40 + α + 90 180 α 50 Kulman β vieruskulma β ' 180 58 1 Kolmion kulmien summa 180, joten γ + β' + δ 180 γ + 1 + 40 180 γ 18 Vastaus: α 50, β 58, γ 18, δ 40 4
1 Peruskäsitteitä. 5 asteen kulma ja γ samankohtaisia kulmia. Koska l k, niin γ 5. γ + δ 165 5 + δ 165 δ 165 5 δ 140 δ ja β samankohtaisia kulmia. Koska l k, niin β δ 140. δ ja α vieruskulmia, joten α + δ 180 α + 140 180 α 180 140 α 40 Vastaus: α 40, β 140 5
1 Peruskäsitteitä. Merkitään suunnikkaan lyhintä sivua kirjaimella x. Tällöin pidempi sivu on x +, 4. ( x ) x+ +, 4 16,6 x+ x+ 4,8 16,6 4x 11,8 :4 x,95 (cm) x +, 4,95 +, 4 5,5 (cm) Vastaus:,95 cm ja 5,5 cm 4. Säännöllisen monikulmion ympäri voidaan piirtää ympyrä. Kun ympyrän keskipiste yhdistetään säännöllisen n-kulmion kärkiin, muodostuu n kappaletta tasakylkisiä kolmioita. 6
1 Peruskäsitteitä 60 Kolmion huippukulma α n 180 α Kantakulman suuruus β n-kulmion kulman suuruus on 60 n 180 60 n β 180 α 180 180 n n n Vastaus: n 180 n 5. Neljäkkään piiri 4a Kolmion piiri 0,8 4a, a a+ d,a d 1, a 6 Vastaus: 1, a a 5 7
1 Peruskäsitteitä 6. Suorakulmion piiri 1,a+ a 4,4a Tasasivuisen kolmion piiri b Piirit yhtä pitkät, joten 4, 4a b :4, 4 b a 4, 4 Suorakulmion kanta b 1, 1, a 1, b 4, 4 4, 4 Kannan pituus kolmion sivun pituudesta 1, b 4, 4 0,8181... 8% b Vastaus: 8 % 8
7. a) 5-kulmio, 5 lävistäjää 1 Peruskäsitteitä b) 6-kulmio, 9 lävistäjää c) n-kulmio ( n 1) janaa muihin kärkiin pisteestä P Näistä ei ole lävistäjiä eli ( ) Tämä pätee jokaiselle kärjelle n. n n lävistäjää ( ) n janaa lävistäjää Kukin lävistäjä tuli laskettua kahdesti, joten lävistäjien lukumäärä n( n ) on. 9
1 Peruskäsitteitä Lävistäjiä enintään 106 n ( ) n n n n ( ) 106 1 n 1 0 ( ) ( ) 4 1 ( 1) ± n 1 ± 9 + 848 n n 16,17... tai n 1,17... Koska pienin n-kulmio on kolmio eli n, niin n 16. 8. Puolisuunnikkaan pidempi yhdensuuntainen sivu on x. Toinen yhdensuuntaisista sivuista on tällöin x 1. Kyljet ovat tällöin x 1 x 4. ( ) 0
1 Peruskäsitteitä Koska piiri on 54 cm, saadaan yhtälö x+ x 1 + ( x 4) 54 x 1 + 4x 48 54 6x 114 :6 x 19 (cm) x 1 19 1 7 (cm) x 4 19 4 14 (cm) Vastaus: yhdensuuntaiset sivut ovat 7 cm ja 19 cm, kyljet 14 cm 9. 5-kulmion kulmien summa ( 5 ) 180 540 Yhden kulman suuruus 540 108 5 Kolmio ABC on tasakylkinen. Sen huippukulma B 108, joten kantakulmat 180 108 A C 6. Kolmio BCD on myös tasakylkinen. Sen kantakulmat B D 6. 1
Tarkastellaan kolmiota BCE. 1 Peruskäsitteitä Kolmion kantakulmat B C 6, joten kolmion huippukulma E 108. Ristikulmana β 108 Vastaus: β 108 40. ( k ) 180 157,5 k 0 k 180 157,5 k ( k ) 180 k 60 157,5 k,5 k 60 :,5 k 16 Vastaus: k 16
1 Peruskäsitteitä 41. a) 1. Piirrä ympyrä. Säilytä harpissa sama säde.. Merkitse kaarelle yksi kulman kärkipiste.. Jaa harpin avulla ympyrän kehä osiin. 4. Yhdistä kehäpisteet viivoilla. b) 1. Piirrä ympyrä.. Piirrä ympyrälle halkaisija.. Piirrä halkaisijalle keskinormaali. 4. Puolita harpin avulla syntyneet 90 kulmat. Kulman puolittajat ovat myös ympyrän halkaisijoita. 5. Yhdistä ympyrän kehäpisteet, jotka ovat halkaisijoiden päätepisteitä.
1 Peruskäsitteitä 4. a) Ei voi olla kolmio. b) Voi olla kolmio. 4
1 Peruskäsitteitä 1. Yhdenmuotoisuus 4. a) Merkitään linnun takaraivon pituutta pienennöksessä kirjaimella x. Koska kuviot ovat yhdenmuotoiset, saadaan verranto: 8,5 10,9 5,5 x 8,5x 59,95 :8,5 x 7,059... x 7,1 (cm) b) Merkitään kaulan leveyttä suurennoksessa kirjaimella x. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan: 8,5 x 5,5, 0 5,5x 17 :5,5 x,090... x,1 (cm) Merkitään linnun kaulan pituutta suurennoksessa kirjaimella y. Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan: 8,5 y 5,5, 7 5,5y,95 :5,5 y 4,17... y 4, (cm) Vastaus: a) 7,1 cm b) leveys,1 cm ja pituus 4, cm 5
1 Peruskäsitteitä 44. Merkitään kysyttyä pituutta kirjaimella x. Mallipiirustuksessa Luonnossa (m) Saadaan yhtälö 4x 6 7 4x 4 :4 x 10,5 (m) 4 6,0 7 x Vastaus: Pituus on 10,5 m 45. x pituus kartalla 1 x (m) 5000 500 5000x 500 :5000 x 0,0 (m) 0,0 m cm 46. a) Kolmioissa ACB ja DCE on molemmissa 90 kulma kulma C yhteinen b) Kolmioissa ABC ja CBD on molemmissa 90 kulma kulma B yhteinen 6
1 Peruskäsitteitä 47. Yhdenmuotoisuuden perustelut: Koska kolmioiden kannat ovat yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtäsuuret (kk-lause). a) b) x 6 (m) 4 4x 18 x 4,5 (m) x 1 (m) x + 7 18 18x 1x+ 91 5x 91 :5 x 18, (m) Vastaus: a) 4,5 m b) 18, m 48. a) Yhdenmuotoisuuden perusteella saadaan verranto: 1,, 0 5,5, 0 + x ( x) 1,, 0 +, 0 5, 5, 6 + 1, x 11 1,x 8, 4 :1, x 6, 461... x 6,5 (dm) 7
1 Peruskäsitteitä b) Kolmiot ABE ja CDE ovat yhdenmuotoisia (kk-lause), koska kulmat AEB ja CED ovat ristikulmina yhtä suuret, kulmat D ja B ovat samankohtaisina kulmina yhtä suuret 4,5 8, 0 x 1,0 8, 0x 58,5 :8, 0 x 7,1... x 7, (cm) Vastaus: a) 6,5 dm b) 7, cm 49. Olkoon x pienimmän kuvion jokin sivu. Tällöin vastaavan sivun pituus keskikokoisessa kuviossa on 4x. Olkoon y vastinosa suurimmassa kuviossa. Tällöin 4x 1x eli y 6x y Tällöin mittakaava on 6 x 6 eli 6 :1 x 1. 8
1 Peruskäsitteitä 50. Merkitään korkeusjanan päätepistettä kirjaimella D. ΔADB ΔACB molemmissa 90 kulma molemmissa kulma A Tällöin kolmion ADB kulman B pitää olla yhtä suuri kuin kolmion ACB kulma C. ΔADB ΔBDC, koska kolmioiden vastinkulmat yhtä suuret. h 5 4 h h 0 h 5 Vastaus: h 5 9
1 Peruskäsitteitä 51. ΔEQR ΔRGH kk-lauseen nojalla. ER a x RG b 7x 7 Vastaus: : 7 5. Merkitään joen leveyttä kirjaimella x (m). Muodostuu yhdenmuotoiset kolmiot (kk-lause). 0 + x x 5 15 00 + 15x 5x 10x 00 :10 x 0 (m) Vastaus: Joen leveys on 0 m. 40
1 Peruskäsitteitä 5. C D x E 0,5 m 50 cm A B Tikkaiden vaakatuki jakaa tikkaat osiin x (m) ja y (m). ΔABC ΔDEC (kk-lause) x 80 x + 50 10 10x 80( x + 50) 10x 80x + 4000 50x 4000 : 50 x 80 Tikkaiden korkeus x + 50 cm 80 cm + 50 cm 10 cm Vastaus: Tikkaiden yläreuna on 1, m korkeudella. 41
1 Peruskäsitteitä 54. ΔACE ΔFDE kk-lauseen nojalla, sillä E on kolmioille yhteinen ja molemmilla on 90 kulma. 00 x x 00 700 00x 10 000 700x x 10 A ( ) x 10m 44100m 441a 4,4ha 55. Merkitään kuvioiden pituuksia kuvan mukaisesti. Pienimmän ja keskimmäisen suhde : 15 y y 15 y,5 4
1 Peruskäsitteitä Keskimmäisen ja suurimman suhde : y x,5 x x,5 x,75 x 4 (cm) TAI 15 x 15 4 x 9 4x 15 x,75 x 4 (cm) Vastaus: 4 cm 56. Pienimmän ja keskikokoisen mittakaava a a+ 8 Keskikokoisen ja suurimman mittakaava 100 a + 8 4
1 Peruskäsitteitä Mittakaavat samat a + 8 100 a a+ 8 ( a ) + 8 100a a + a+ a 9 48 64 100 a a+ 9 5 64 0 kerrotaan ristiin ( ) ( ) 5 ± 5 4 9 64 a 9 16 a 4 a 9 Kun a 4, mittakaava on (4 4 + 8 0 5 5:1 4 4 1 Kun 16 a, mittakaava on 9 16 16 40 9 15 + 8 : 9 9 16 Vastaus: 5:1 tai 15 : 57. ΔABC ΔDEC kulma C on yhteinen α β samankohtaisina kulmina 44
1 Peruskäsitteitä 10 6 x 6 x 6x 10( 6 x) 6x 60 10x 16x 60 :16 x 4 Vastaus: Neliön sivun pituus on 4 58. 5, 0 y y 70 y 600 y ± 60 y > 0 y 60 y 1 70 k 60 1 70 k 60k 70 :60 k 1 Vastaus: k 1 45
1 Peruskäsitteitä 59. ΔABC ΔADC ΔABD (kk-lause) Merkitään kateettien pituuksia kolmiossa ABC kirjaimilla a ja a. Korkeusjana h jakaa hypotenuusan suhteessa : x y. ΔADC ΔABD ΔABC ΔADC h y x h sij. 1 1 x xy : x 0 4 1 xy 4 x 1 y x 4 tai 4 x y 1 h xy h x a a h h x 1 x Vastaus: Hypotenuusa jakautuu suhteessa 1: 4 tai 4 :1. 46
1 Peruskäsitteitä 60. Merkitään kolmion ABC kateettien pituuksia kirjaimilla a ja b. Korkeusjana h jakaa hypotenuusan suhteessa : 7, joten hypotenuusa jakautuu x ja 7x pituisiin osiin. ΔABC ΔADC ΔABD ΔADC ΔABD h 7x h x h 1x h± 1 x, h> 0, x> 0 h 1 x ΔABC ΔABD a h b x sij. h 1 x 1 x x 1 7 7 7 tai b a 7 Vastaus: Kateettien pituuksien suhde on 7 tai 7. 47
1 Peruskäsitteitä 61. Merkitään puolitetun kulman C viereisten sivujen pituuksia kirjaimilla a ja b. ΔCBR ΔACT (kk-lause), joten 1) a c b d ΔAST ΔSBR (kk-lause), joten ) c x d y 1) & ) a x b y 48
1 Peruskäsitteitä 6. Väite: h h h a b c a VAKIO b VAKIO c VAKIO kääntäenverrannollisuus ΔEBC ΔABD (kk-lause) 90 ja B a c hc ha (1) ha hc (kääntäenverrannollisuus) a c ΔADC ΔFBC (kk-lause) 90 ja C a b hb ha () ha hb (kääntäenverrannollisuus) a b (1) ja () seuraa, että a c b ha hc hb 49
1 Peruskäsitteitä 1.4 Pinta-alojen ja tilavuuksien suhde 6. Mittakaava 5cm 1 k 75cm a) b) A A V V 1 1 1 1 9 1 1 7 64. 1 k mittakaava 5 A pieni 1 a) k 4% A 5 iso b) k Vpieni 1 0,8% V 15 iso 65. A ala kartalla A 1 0,55 ha 0 000 A 1 0,55 0000 0000 A 0,55 :0000 A 9 1,75 10 (ha) 1,75 10 ha 1,75 mm 14 mm 9 50
1 Peruskäsitteitä 66. A 100 A4 k, k mittakaava A A5 50 korkeus A4 k korkeusa5 korkeus A5 1,414... 1 korkeus 1,414... 0,707... korkeus Siis pienentyy ( 1 0,707... ) 100% 9,% A4 A4 67. a) A suuremman ala ( cm ) 08 A 5 08 4 A 5 4A 5 08 :4 ( ) A 195 cm b) A suuremman tilavuus ( cm ) 7 V 5 7 8 V 15 8V 15 7 :8 ( ) V 4 50 cm 4 50 cm 4, 5 dm 4, 5 l 4 50 ml Vastaus: a) 195 cm 1,9 dm b) 4 50 ml 51
1 Peruskäsitteitä 68. Pituuksien suhde 10 15 V V 1 10 8 15 7 69. Olkoon ilmapallon säde alussa r. 1 0,091 r 0,909r. Kutistumisen jälkeen säde oli ( ) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio, joten V 0,909 r V 1 r V 0,909 V1 0,75108... Tilavuus siis supistui 1 0,75108... 0,4819... 5% 5
1 Peruskäsitteitä 70. Merkitään pienoismallin pituutta x (m). Malli on yhdenmuotoinen veistoksen kanssa, joten mallin leveys on x ja korkeus x. Mallin tilavuus on V x x x 6x Veistoksen tilavuus on 1,00,00,00 6 ( m ) 6 tilavuus on 0,06 ( m ) 10. Siis 6x 0,06 :6 x 0,01 x 0, 01 (m) 0, 1544... (m) 0, 15 (m), joten pienoismallin Leveys x 0, 1544... m 0, 4088... m 4,1 cm Korkeus x 0, 1544... m 0,646... m 64,6 cm Pituus x 0,1544... m 1,5 cm Vastaus: Pituus 1,5 cm, leveys 4,1 cm ja korkeus 64,6 cm 5
1 Peruskäsitteitä 71. x 6> 0 x > 0 x > 6 A k A x x x 4x + 7 0 x x 6 x x 1x+ 6 4 + 7 x x x ( ) ( ) 4 ± 4 4 1 7 1 4 ± 88 x 1 ± 6 x 0 tai x,5 (ei käy,koska x> 6) Vastaus: Suuremman pussin leveys on 0 cm. 54
1 Peruskäsitteitä 7. k mittakaava A1 k A A 1 lpullonala A 1lpullonala k V l V 1l 1 k A ( ),0800...,1 1 A Muovimäärä n.,1-kertainen A,0800... A 1 Muovimäärä litraa kohti,0800... A 0,69... A Muovia vähemmän: A 0,69... A 0,066... A eli n. 1 % vähemmän 55
1 Peruskäsitteitä 7. Pinta-alojen suhde on mittakaava potenssiin kaksi. 1 ( x + 5) 9 ( 5x + 1) ( 5x+ 1) 9( x+ 5) ( ) 5 10 1 9 10 5 5 10 1 9 90 5 16 80 4 0 :16 x 5x 14 0 1 x + 5 9 5x + 1 x + x+ x + x+ x + x+ x + x+ x x ( 5) ( 5) 4 1 ( 14) ± x 1 5± 81 x 5± 9 x x 7 x Kun x 7, niin kantojen pituudet ovat 7 + 5 1 ja 5 7 + 1 6. Kun x, niin kantojen pituudet ovat + 5 ja 5 + 1 9< 0 (eikäy). ( ) Vastaus: Kantojen pituudet 1 ja 6 56
1 Peruskäsitteitä 74. Jos väritetty osa on 84 % koko kuviosta, on kolmio ECD 100% 84% 16% koko kuviosta. Kolmiot ABD ja ECD ovat yhdenmuotoiset. molemmissa 90 kulma kulma D yhteinen Kolmioiden alojen suhde on sama kuin kolmion ECD osuus koko kuviosta eli (4 16 4 16% 0,16 100 5 Mittakaava k 5 4 k 5 k 5 4 k A eli A 1 Vastaus: 5: 57
1 Peruskäsitteitä 75. Alkuperäinen kuva korkeus h ala A Mittakaava Alojen suhde h h + 8 ( h + 8) A 1 1, 4 A 1, 4 h 1 h + 8 1,4 h 1 1, 4 ( h ) 1, 4h + 8 1, 4h h + 16h+ 64 Suurennettu kuva korkeus h + 8 ala 1, 4 A 0, 4h 16h 64 0 :0, 4 h 40h 160 0 ( 40) ( 40) 4 1 ( 160) ± h 1 40 ± 40 h 40 ± 64 5 h 40 ± 8 5 h h 0 ± 4 5 h 4,66... h,66... < 0 (ei käy) Vastaus: 44 cm 58
1 Peruskäsitteitä 76. s V Virtasten vauvan matka s L Lahtisten vauvan matka A Virtastenolohuoneenala (m ) s V A sl A+ 6,6 s Nopeus v, joten V t s vt Koska Lahtisten vauvan nopeus 0 % suurempi, on sl 1, vt. vt A 1, vt A + 6, 6 1 A 1, A + 6, 6 A+ 6,6 1, 44A 0, 44A 6,6 :0, 44 A 15 Lahtisten olohuoneen ala Vastaus: 1,6m 15m + 6,6 m 1,6 m m 77. Tiheys ρ eli V V m ρ Suuremman patsaan tilavuus Pienemmän patsaan tilavuus 5, 0 kg V s 1, 8...dm 4, 0 kg dm,50 kg V p 0,595...dm 4,0kg dm Kullan määrä verrannollinen alojen suhteeseen, joten tarkastellaan alojen suhdetta (verrattuna pienen patsaan alaan). 59
k A ja A s p k V V s p 1 Peruskäsitteitä 1, 8... 0,595... k k k 1,8... 0,595...,08 1, 76... A s k A p 1, 76... 1,69... 16,9...% Vastaus: 6 % enemmän 78. Yhdenmuotoiset, kun x 10 x+ 10 x x+ ( x 10)( x+ ) ( x )( x+ 10) x x x x x x + 10 0 + 10 0 4x 00 :4 x 50 Kun x 50, mittakaava on (8 50 10 40 5 50 48 6 ja alojen suhde 5 5 6 6 Vastaus: x 50, alojen suhde 5: 6 60
1 Peruskäsitteitä 79. Alkuperäisen suorakulmion sivujen suhde ba. Suorakulmiot yhdenmuotoiset, joten b a a b b a b± a b± a Koska pituus aina positiivinen, b a. Alkuperäisen suorakulmion sivujen suhde ( ) b a : 1: a a Vastaus: : 61
1 Peruskäsitteitä 80. Alkuperäisen särmiön sivujen suhde a: b: c Särmiön tilavuus V1 abc Pienemmän särmiön tilavuus V abc V1 Tilavuuksien suhde V abc abc 1 Mittakaava k eli k 1 1 b a 1 a b b c b 1 c Jos b c, niin 4 a c c a: b: c 4 c: c: c 4: :1 6
1 Peruskäsitteitä 81. A A 1 A 10 9 A 10 1 kolmio kolmio ΔADC ΔCDB A1 Pinta-alojen suhde A 1 1 Mittakaava k 9 1 9 Vastinsivujen suhteet: a 1 h h 1 a h 1 1 1 1 a h b b 9 1 a b : b 9 a 1 b 9 h 1 b b 1 h b Vastaus: 1: 9 6
1 Peruskäsitteitä 8. Jaetaan pinta-alojen lausekkeet ensin tekijöihin. A1 a + 9a + 15a 5 a 1 on nollakohta, koska 1 + 9 1 + 15 1 5 0, joten a 1 on tekijä. Toisen tekijän voi ratkaista jakokulmalla tai päättelemällä. a + 10a+ 5 a a + a + a ± a a 1 1 9 15 5 ± 10a a 10 10 a 5a ± 5a 5 0 ( 1)( 10 5) ( 1)( 5) A a a + a+ a a+ A a a a a ( 1) Alojen suhde ( )( ) ( 1) ( ) A a 1 a+ 5 a+ 5 1 A a a a Mittakaava k A ( a ) + 5 a + 5 1 A a a Vastaus: a + 5 a 64
Monikulmioita.1 Pythagoraan lause 8. a) b) c) x x 1, +, 11,9 x ± 11,9 x ±,45... x > 0, joten x, 45... cm,5cm x + 1 55 5,5dm 55cm x 55 1 x 856 x ± 856 x ± 5,441... x > 0, joten x 5,441... cm 5cm x +, 7 x 8,1 8,1, 7 x 51,9 x ± 51,9 x ± 7, 05... x > 0, joten x 7,05... m 7,m 65
Monikulmioita 84. a) x + x 8, x 64,4 : x,6 x ±,6 x ± 5,798... x > 0, joten x 5, 798... cm 5,8cm b) Kuvio on tasakylkinen puolisuunnikas. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x + 6 x 40 x ± 40 x ± 410 x ± 10 x > 0, joten x 10 85. a) x x,5 +,5 4,5 x ± 4,5 x ± 4,949... x > 0, joten x ± 4,949...cm 4,9cm 66
Monikulmioita b) Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 6,0 + 8,0 x 100 x ± 10 x > 0, joten x 10m 86. a) Merkitään hypotenuusan pituutta kirjaimella c. c a + a c a c± c± a a c > 0, joten c a b) Kolmio on yhdenmuotoinen a-kohdan kolmion kanssa. Se on saatu suurentamalla mittakaavassa :1. Hypotenuusan pituus nyt on siis -kertainen a-kohtaan verrattuna eli a. 67
Monikulmioita 87. a) Tasakylkisen kolmion korkeus x puolittaa kannan. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 x + a a 1 x + a a 4 x a 4 ± ± 4 x a a a > 0, x > 0, joten x a b) Tasakylkisen kolmion korkeus a puolittaa kannan. 5 Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x + a a 5 9 x + a a 5 16 x a 5 16 4 x ± a ± a 5 5 4 a > 0, x > 0, joten x a 5 68
88. Merkitään kateetteja a ja a. a + a 160 ( ) ( ) 4a + 9a 160 a 1 5600 a 5600 1 Monikulmioita 5600 a ± ± 44,76... 1 Koska a > 0, niin a 44,76... cm. Tällöin kolmion kateettien pituudet ovat: a 44,76... cm 88,75... cm a 44,76... cm 1,18... cm Vastaus: Kateetit ovat 89 cm ja 1 cm. 89. Merkitään kolmion kateettien pituuksia a ja a. a) Hypotenuusan pituus on 4, dm. a + ( a) 4, 5a 18,49 :5 a, 698 a ±, 698 a ± 1,90... a > 0, joten a 1,90... dm 1,9dm a 1,90... dm,846... dm,8dm 69
Monikulmioita b) Hypotenuusan pituus x. Määritetään kerroin a. ( ) a + a x a x 5 :5 a 1 x 5 a ± a ± a > 0, joten 5) 1 x 5 1 x 5 a 1 5 5 5 5) 5 5 5 90. Tasakylkinen kolmio: korkeus h puolittaa kannan. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan a + h a+ 1 a > 0 ( ) ( 1) h a+ a h a + a+ 1 a h a+ 1 h± a+ 1 a > 0, h> 0, joten h a+ 1 70
Monikulmioita 91. Kolmio tasasivuinen: kantakulmat ovat 60, jolloin huippukulmakin on 60. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella h. 0,5 + h 0, 7 h 0, 7 0,5 h 0,675 h ± 0,675 h ± 0,606... Koska h > 0, h 0,606... Vastaus: 0,6 km 9. Merkitään kysyttyä korkeutta kirjaimella x. x ( x) + 9, 1,5 x + 9, 1,5 + 5x x 0 5x 67, 76 :5 x, 7904,8 (m) Vastaus:,8 m korkeudelta 71
Monikulmioita 9. Merkitään rampin pituutta kirjaimella x. 94. ( 650) ( 617) + x x 100404 x ± 100404 x ± 16,8659... Koska x > 0, x 16,8659... cm,168659...m, m Vastaus: Rampin tulee olla, m pitkä. Merkitään kolmion kolmatta sivua kirjaimella x (km). x +, 0 x+, 0 ( ) x x x + 9 + 4 + 4 4x 5 :4 5 x (km) 1, 5(km) 4 x +,0km 1,5 km +,0 km,5km Vastaus: Rajat ovat siis,0 km, 1,5 km ja,5 km 7
Monikulmioita 95. Tunnin kuluttua Pekka on 1,7 m 600 610m päässä. Tunnin kuluttua Jukka on 1,8m 600 6480 m päässä. Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella x. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x 610 + 6480 x 79 444800 x ± 79 444800 x ± 8,91,181... x > 0, joten x 891,181... m 8,9 km 7
Monikulmioita 96. Lyhimmän reitin pitää kulkea suoraan talojen nurkkien kautta. Mahdollisia lyhimpiä reittejä ovat reitit A, B ja C ja niiden kanssa symmetriset yhtä pitkät reitit. Reittien pituudet saadaan Pythagoraan lauseen avulla. A: 4 + 1 + + 8 + 4 + 1 17 + 68 + 17 68 + 17 16, 49 B: 4 + 1 + + + + + 1 + 4 17 + 1 + 1 + 17 17 + 1 15, 46 C: 9 + 1 + 1 + 9 8 + 8 8 18,11 Lyhin reitti on reitti B ja sen kanssa symmetrinen reitti. Vastaus: Murtoviiva ( 0, 0) ( 4,1) ( 6, 4) ( 9, 6) ( 10,10) tai ( 0, 0) ( 1, 4) ( 4, 6) ( 6,9) ( 10,10). 74
Monikulmioita 97. ( x),75 1,07 + x +, 75 + x 1, 07 +,14x+ x,14x 6, 4176 :,14 x,99887... x, 0 (m) Vastaus: Lampi on,0 m syvä. 75
Monikulmioita 98. AB 10 km CD 8km AC 60 km AD 60 km Δ ADC on tasakylkinen (säteet kylkinä), joten korkeusjana h puolittaa kannan. h + 19 60 h ± 9 h ± 56,911... Koska h > 0, h 56,911... (km) Olkoon x BE. Tällöin x h x + 10 eli ± 7165 ± 84, 646... Koska x > 0, x 84,646... (km) BD x 19 65, 656... (km) > 60 (km) Vastaus: Ei ole 76
Monikulmioita 99. (Pythagoraan lauseen algebrallinen todistus) ΔADC ~ Δ ABC A yhteinen ja90 (kk-lause) p a a a c pc ΔDBC ~ Δ ABC B yhteinen ja90 (kk-lause) q b b b c qc a + b pc qc ( ) + + a b c p q c c c 77
Monikulmioita 100. Merkitään peräkkäisiä lukuja n, n + 1, n + ( ) Pythagoras: a b c a n b n c n ( 1) ( ) n + n+ n+ n n n n n +, + 1, + + + + 1 + 4 + 4 n n 0 ( ) ± 4 4 1 ± 16 ± 4 n 1 n tai n 1, joten ei kelpaa. Kun n, niin n + 1 + 1 4 ja n + + 5. Vastaus:, 4 ja 5. Trigonometriaa 101. a) b) x tan 9 1, 1, 1, tan 9 x x 9,960... 10 (cm) 8,5 cos 75 x x x cos 75 8,5 :cos 75 8,5 x cos 75 x,841... (mm) Vastaus: a) 10 cm b) mm 78
Monikulmioita 10. a) 7, tanα,60..., 05 a 67,04... 67 b) 4 sinα 0,641... 5 α 9,904... 40 Vastaus: a) 67 b) 40 10. a) cos0 x x x cos 0 :cos 0 x taulukkokirjasta cos0 cos 0 ) 6 6 b) ( ) x tan 75 ( ) ( )( ) ( )( ) x tan 75 taulukkokirjasta tan 75 + x + a+ b a b a b 4 1 x 79
Monikulmioita 104. Tarkastellaan ensin suurempaa suorakulmaista kolmiota. x tan 55 18 18 x 18 tan 55 Ratkaistaan kulma α pienemmästä suorakulmaisesta kolmiosta. x sinα 7 18 tan 55 sinα 7 sinα 0,95... α 7,19... 7 Vastaus: 7 105. a) Tasakylkisen kolmion korkeus puolittaa huippukulman ja kannan. 11,75 sinα α 6,5 x 11,75 sin 6,5 x 0 x x sin 6,5 11,75 :sin 6,5 11,75 x sin 6,5 6,77... (cm) 6,8 (cm) 80
Monikulmioita b) Kuvio on tasakylkinen puolisuunnikas. α 14 90 44 Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan y sinα 15,0 15,0 y 15,0 sinα α 44 y 15,0 sin 44 10,4198... (m) Sivun x pituudeksi saadaan x + y 9,4 x 9,4 y x 9, 4 10, 4198... 18,560... (m) 18,6 (m) Vastaus: a) 6,8 cm b) 18,6 m 106. Merkitään kysytyn kateetin pituutta y ja hypotenuusaa x. 1, 1, sin 5 tan 5 x y 1, x,89...,8 1, y,57...,6 sin 5 tan 5 Vastaus: Kateetin pituus on,6 dm, hypotenuusan pituus,8 dm 81
Monikulmioita 107. Merkitään kolmion kyljen pituutta kirjaimella x. Merkitään kantakulmaa kirjaimella α. Huippukulman puolikas on 17. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Kannan puolikkaan pituus on 9 mm. 108. α ( 90 17) 7 9 cos 7, josta x 9 x 0,78... 1 (mm) cos 7 Kolmion kylkien pituus on siis 1 mm. Jos puun korkeus on x, niin x tan 18m x 18m tan 7,640... m 7,6m 8
Monikulmioita 109. Olkoon huipulle kuljettavan matkan pituus x. Tällöin 160m sin 6,1 x 160 m x 1505,68... sin 6,1 aika matka nopeus 1,50568... km km h 0,0684... h 4min 110. Kallistuskulma α Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 11m cosα 1 m α,556... 4 8
Monikulmioita 111. Kolmio on tasakylkinen. Sen suurin kulma on huippukulma β (pisimmän sivun vastainen kulma). Kantakulma α on pienin kulma. Kolmion korkeusjana puolittaa huippukulman ja kannan. Korkeus saadaan Pythagoraan lauseella: h 6 4 0 5 5 5 sinα 6 β 5 5 cos 6 Vastaus: sini on 5, kosini on 5 11. Merkitään tasakylkisen kolmion kannan pituutta kirjaimella x. Kolmion korkeus on tällöin x. Korkeus puolittaa kannan ja huippukulman. Merkitään kantakulmaa α ja huippukulman puolikasta β. Muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x tanα 6 1 x α 80,57... 80,5 β 90 α 90 80,57... 9, 46... Huippukulma on β 9, 46... 18,94... 19 Vastaus: Kulmat ovat 19, 80,5 ja 80,5 84
Monikulmioita 11. Merkitään pidempää kateettia kirjaimella x, joten hypotenuusan pituus on 1,5x. x 1 sin β β 60 1,15x 1,15 x 1 cosα α 0 1,15x 1,15 Koska kolmio on suorakulmainen, niin kolmas kulma on 90. Vastaus: 60, 0, 90 114. Merkitään korkeuskateettia kirjaimella x, jolloin kantakateetin pituus on x + 16 (cm). ΔACE ΔFDE kk-lauseen nojalla, sillä F A 90 ja E on kolmioille yhteinen. x 6 6 x x + 16 x + 16x 6x 96 6x x + 4x 96 0 ( ) 4± 16 4 1 96 x 1 4± 0 x x 8 tai x 1 (ei käy, koska x> 0) 85
Lasketaan kulmat α ja β. x 8 1 tanα x + 16 4 α 18,449... 18 β 180 90 α β 180 90 18,449... β 71,565... β 7 Monikulmioita Kolmas kulma on 90, koska kolmio on suorakulmainen. Vastaus: Kulmat ovat 18, 7 ja 90. 115. Jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat ja, niin niiden välinen kulma 90 α. Jos kateetin pituus on ja hypotenuusa on sekä välinen kulma α, niin cosα α 48,189... α 48, Hypotenuusan pituus ei voi olla, koska hypotenuusan pitää olla kolmion pisin sivu. Vastaus: 90 tai 48, 86
Monikulmioita 116. Merkitään etäisyyttä x (m) ja majakan korkeutta h (m). Lasketaan korkeus h kahdella tavalla: 117. h h tan tan x x + 50 h tan x h tan ( x+ 50) Siis ( x ) tan x tan + 50 tan x tan x+ tan 50 tan x tan x tan 50 ( tan tan ) x tan 50 tan 50 x 499,... 500 (m) tan tan h tan x 6 (m) Vastaus: Etäisyys 500 m, majakan korkeus 6 m Merkitään pisteiden A ja B etäisyyttä tornista kirjaimilla y ja x. 100 tan y 0 y y tan 100 :tan 100 y 1908,11... (m) tan 87
Monikulmioita 100 tan 4 x x 0 x tan 4 100 :tan 4 100 x 140,066... (m) tan 4 Jos pisteet A ja B ovat samalla puolella tornia, niin pisteiden välinen etäisyys AB y x 1908,11... 140,066... 478,047... (m) 478 (m) Jos pisteet A ja B ovat tornin eri puolilla, niin pisteiden välinen etäisyys AB x + y 140,066... + 1908,11... 8,180... (m) 8 (m) Vastaus: A:n ja B:n välimatka 478 m tai 8 m 118. Kuviossa on EC masto ja A ja B talossa olevat paikat, joista maston huippua C katsotaan. Käytetään kuvion merkintöjä. Kolmion ABC kulmat: A 90 5 65 B 90 +,5 11,5 C 180 65 11,5,5 88
Monikulmioita Sinilause: a 1 sin 65 sin,5 1 a sin 65 49,1... (m) 49, (m) sin,5 Suorakulmaisesta kolmiosta BDC saadaan: b sin,5 a b a sin,5 95, 415... (m) 95, 4 (m) ED 1m 4 m 1 m 5m, joten maston korkeus EC b 5m 95,415...m 5m 90,414...m 90,4m Vastaus: 90,4 m 119. Merkitään majakan etäisyyttä tiestä kirjaimella h. h h tan 65 x tan 54 5 x x ja 5 x h x tan 65 h 5 x tan54 ( ) ( ) 89
Monikulmioita ( x) x tan 65 5 tan 54 xtan 65 5tan 54 xtan 54 xtan 65 + xtan 54 5tan 54 x ( tan 65 + tan54 ) 5tan 54 :( tan 65 + tan 54 ) 5tan54 x tan 65 + tan 54 x 1,95459... (km) h xtan 65 1,954... tan 65 4,191... 4, (km) 5 x 5 1,954...,045... > 1,954... Vastaus: Majakan etäisyys tiestä 4, km. Alkupäästä,0 km päässä oleva piste on lähinnä majakkaa. 10. Kuvan korkeus h (vuoren korkeus) voidaan laskea kahdella tavalla kolmioista CAH ja CBH. h atan17,4 btan14,5 atan17,4 btan14,5 : btan17,4 0 a tan14,5 b tan17, 4 a tan14,5 Kolmiosta CAB saadaan sinα 0,85... b tan17, 4 90
Kolmiosta CAB saadaan a tanα 000 000 000 tanα a Toisaalta vuoren korkeus h atan17,4 000 tanα tan17,4 000 tan 55, 61... tan17, 4 17,754... (m) Monikulmioita Vuoren korkeus merenpinnasta on h + 00 m 17,754...m + 00 m 157,754... m 1570m 11. Δ ABC a cos 60 c c c cos 60 a :cos 60 a a c a cos 60 1 Δ ABC b tan 60 a a b atan 60 b a Δ ABD x tan 0 a x atan 0 a 91
Δ ABD a cos0 d d d cos 0 a :cos 0 a a a d cos0 Δ ABC piiri on ) a x d a Monikulmioita ( + ) a a + + + + Δ DBC piiri on a ) a ) d + b x+ c + a + a a+ a a+ a ( 4+ ) a Piirien suhde on ( + ) a ( + ) a + 0,697... 0,64 4+ a 4+ a 4+ ( ) Vastaus: + 0,64 4+ ( ) a 9
Monikulmioita 1. Piirretään mallikuva. a b a) sin x ja cos x c c a sin x a c tan x cos x b b c b) Pythagoras: ( ) ( ) a + b c sij. a sin x c ja b cos x c c sin x + c cos x c : c sin + cos 1 x. Monikulmioiden pinta-aloja 1. a) Lasketaan ensin kolmion kannan pituus. 15 tan 6 x x x tan 6 15 :tan 6 15 x 7,9756... tan 6 ja 15 tan 75 y 15 y 4,019... tan 75 Koko kanta siis on x + y 7,9756... m + 4,019... m 11,97565... m Pinta-alaksi saadaan 11,97565...m 15m A 89,817... m 90 m 9
Monikulmioita b) Lasketaan ensin kolmion korkeus h. Kulma α 180 110 70 Korkeus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. h sinα 16 h sin 70 16 h 16 sin 70 Kolmion ala on siis: 1cm 16cm sin 70 A 97, 780...cm 98cm Vastaus: a) 90cm b) 98cm 14. a) Lasketaan ensin suunnikkaan korkeus. h sin 4 10,5 10,5 10,5 sin 4 h Ala on A 8,0cm 10,5cm sin 4 196, 74...cm 197 cm b) Lasketaan ensin suunnikkaan korkeus. h sin 55 15,0 15,0 15,0 sin 55 h Ala on A 8,0cm 15cm sin15 98, 98...cm 98cm Vastaus: a) 197cm b) 98cm 94
15. a) Lasketaan ensin korkeus. h sin 55 8 8 8 sin 55 h Monikulmioita Ala on 8cm sin 55 4 cm + 17 cm A 676,619...cm 680cm b) Lasketaan ensin korkeus. h tan 55 4,0 4,0 4,0 tan 55 h ( ) Ala on 4,0cm tan 55 8,0cm + 1,0cm A 4,0cm tan 55 0cm 57,159...cm 57cm Vastaus: a) 680cm b) ( ) 57 cm 95
Monikulmioita 16. Merkitään puuttuvan kateetin pituutta kirjaimella x. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan x + 19 7 x 7 19 x 68 x ± 68 ± 16 ± 4 x > 0, joten x 4 Pinta-ala 1 1 A x 19 4 19 8 17. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan korkeusjanan h pituus. h tan 45,5 h,5 tan 45 Ala on siis: 5, 0 cm,5cm tan 45 A A 6, 5cm 6,cm Vastaus: 6,cm 18. 1 A 89cm 61cm sin 55,58... cm dm 96
Monikulmioita 19. Kolmion pinta-alan kaavalla saadaan 1 6m 1m sin α m α välinen kulma 9 m sinα m :9 m m sinα 9 m 9 α 55,16... 55 Koska saadun kulman suplementtikulmalla on sama sinin arvo, voi kysytty kulma olla myös 180 α 180 55,16... 14,86... 15 Vastaus: 55 tai 15 10. Kolmion pinta-alan kaavalla saadaan 1 15 18 sin α 100, α välinen kulma 15sinα 100, :15 100, sinα 15 sinα 0,749... α 47,9844... 48 Koska saadun kulman suplementtikulmalla on sama sinin arvo, voi kysytty kulma olla myös 180 α 180 47,9844... 1,01... 1 Vastaus: 48 tai 1 97
11. Tapa 1 Monikulmioita Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa ja ne puolittavat kulmat. Jaetaan neljäkäs kahteen yhtä suureen tasakylkiseen kolmioon. Muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka tunnettu kulma on 65,5. Saadaan yhtälöt x sin,5 sin,5 x h cos,5 cos,5 h Tasakylkisen kolmion korkeus h cos,5 ja kannan pituus on x sin,5 46 sin,5. Kolmion ala on siis 46 dm sin,5 dm cos,5 A 9,7184... dm Koska neljäkäs (leija) sisältää kaksi samanlaista kolmiota, on neljäkkään ala A 9, 7184... dm 479, 468... dm 480 dm Tapa Neljäkkään ala A a sinα sin 65 479,468... 480 (dm ) Vastaus: Leijan ala on 480dm 98
Monikulmioita 1. Merkitään toista sivun pituutta kirjaimella x, jolloin 5 yksikköä lyhyempi sivu on 5 x. Kolmion pinta-ala on 6, joten 1 1 x ( x 5) sin 45 6 taulukkokirjasta sin 45 1 1 ( x 5x) 6 x x 5x 4 5x 4 0 ( ) ( ) 5± 5 4 1 4 x 1 5 ± 11 x 5± 11 x 5 11 5+ 11 x tai x 8 x> 0, joten x 8 Tällöin toinen sivu on x 5 8 5. Vastaus: Kysytyt sivut ovat 8 ja. 99
Monikulmioita 1. Merkitään puolisuunnikkaan sivua kirjaimella x. Toinen sivu on tällöin x + (m). Ala on ( x+ + x) 4m, joten saadaan yhtälö 6 4 6 + 48 ( x ) 1x + 1 48 1x 6 :1 x Sivujen pituudet ovat siis x mja x + m m+ m 5m Vastaus: Sivut ovat m ja 5 m. 14. Merkitään suorakulmion korkeutta x, joten kanta on 1,40x. Suurimman mahdollisen neliön sivun pituus on sama kuin suorakulmion korkeus. Aneliö x Asuorakulmio 1, 40x x 1, 4x Aneliö x 1 0,714... 71% A 1, 4x 1, 4 suorakulmio 100
Monikulmioita 15. Merkitään kysyttyä sivua kirjaimella x. Pinta-alan avulla saadaan yhtälö A 40 8 x sin 45 40 taulukkokirjasta sin 45 8x 1 40 8x 40 :8 x 5 16. Merkitään kannan pituutta a, jolloin korkeus on a. a a Akolmio a a 7 a 7 9 5,196... Olkoon tasakylkisen kolmion kyljen pituus x. x x x + 9 + 6 4 114 4 ( 6 ) x± 114 x> 0 4 x 114 10,71... 4 Vastaus: kanta a 5, 0cm ja kyljet x 10,7cm 1 101
Monikulmioita 17. 1 A 5 sin 60 sin 60 (taulukkokirjasta) 1 5 6 5 4 18. Merkitään kolmion lyhimpiä sivuja kirjaimilla x ja x. Näiden sivujen välinen kulma on 0. Koska kolmion ala on 11,5dm, niin saadaan 1 x x sin0 11,5 1 x 11,5 x 5 x ± 15 x > 0, joten x 15 (dm). Tällöin x 15dm 0dm Vastaus: Sivut ovat 15dm ja 0dm. 19. A puolisuunnikas 0,0cm korkeus h, 0 cm Merkitään yhdensuuntaisien sivujen pituuksia x ja x. yhdensuuntaiset sivut ( a+ b) h 0,0 ( x+ x),0 0,0 9,0x 40,0 :9,0 x 4, 444... (cm) 4, 4(cm) Tällöin x 4,444... cm 8,888... cm 8,9cm Vastaus: Sivujen pituudet 4,4 cm ja 8,9 cm 10
Monikulmioita 140. Piirretään mallikuva. Δ BCD on tasakylkinen, koska kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmiosta Δ ACE saadaan Pythagoraan lauseella ( a+ h) + h ( 4a) a + h + ah+ h 16a h + ah 15a 0 ( ) ( ) a± a 4 15a a± 14a h 4 a± 1a a ( 1± 1) 4 4 Koska h > 0, niin ( ) a( ) a 1 1 1 1 h. 4 ( ) ( ) ( ) a+ b h a+ a+ h h a+ h h ah + h A ( + ) a 4) ( 1 1) a ( 1 1) 1 h + ah + 8 a ( 1 1 + 1) + 4a ( 1 1) 8 a 1 a + 4 1 a 4a 8a + 1 a 8 8 14 1 a 1 ( 14 1) ( 4,9a ) a + 4 4 10
141. Tontin ala a 1 1 1 Talon ala a a a 6 1 5 Pihan ala a a a 6 6 5 5 a 400 : 6 6 a 480 Vastaus: 480 m Monikulmioita 14. Tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60. Merkitään tasasivuisen kolmion sivun pituutta kirjaimella x ja neliön sivun pituutta kirjaimella a. Kolmion piiri on x ja neliön piiri 4a. Piirit ovat samat, joten x 4 a : x 4 a Kolmion sivun pituus on siis 4 Kolmion ala A kolmio neliön sivun pituudesta. 1 x x sin 60 taulukkokirjasta sin 60 1 x x 4 104
Monikulmioita Neliön ala Alojen suhde Aneliö a neliö 4 a 16 x a A kolmio 4 4 49 A a a a 4 9 14. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Merkitään lyhyemmän lävistäjän puolikasta x ja pidemmän lävistäjän puolikasta x. Lävistäjien pituuksien suhde on 4 x x 1. Neljäkkään lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pythagoraan lauseella saadaan x + x 5 ( ) 5 5 :5 x x 5 x ± 5 x > 0, joten x 5 Pidempi lävistäjä jakaa neljäkkään kahteen yhtenevään kolmioon, joten neljäkkään ala on 1 A 4x x 4x 4 5 4 5 0 (cm ) Vastaus: 0cm 105
Monikulmioita 144. Merkitään neljäkkään lävistäjien pituuksia d 1 ja d. Neljäkäs on suunnikas, jonka lävistäjät puolittavat toisensa. Muodostuu neljä d 1 d samanlaista (yhtenevää) kolmiota: kanta, korkeus. Neljäkkään pinta-ala saadaan kolmion alojen summana. Kolmiot ovat suorakulmaisia, koska lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 1 d1 d 1 A 4 dd 1 Siis ala on puolet lävistäjien d 1 ja d tulosta. 145. Oletus: sin β sin ( 180 β ) Väite: 1 A acsin β Todistus: Jos β on terävä, kaavan tiedetään olevan voimassa. Oletetaan siis, että β on tylppä. Kolmion korkeus saadaan yhtälöstä h sin ( 180 β ) korkeus hkannan ajatkeelle c h csin 180 β ( ) 106
Monikulmioita 1 A kanta korkeus 1 a h 1 a csin 180 1 sin sin 180 acsin β 146. Oletus: sinϕ sin ( 180 ϕ ) ϕ lävistäjien välinen kulma ( β ) β ( β) 1 Väite: A d1dsinϕ Todistus: Nelikulmio jakautuu neljäksi kolmioksi lävistäjien mukaan. Lävistäjien leikkauskohtaan muodostuu neljä kulmaa, joiden suuruudet ovat ϕ, ϕ, 180 ϕ ja 180 ϕ (ristikulmat ovat yhtäsuuret ja vieruskulmat suplementtikulmia). Leikkauspiste jakaa lävistäjät kahteen osaan. Merkitään osien pituuksia kuvan mukaisesti ja lasketaan muodostuneiden kolmioiden pinta-alat. 1 1 A1 ( d1 x)( d y) sin ( 180 ϕ ) ( d1 x)( d y) sinϕ 107
Monikulmioita 1 A x( d y) sinϕ 1 1 A x y sin ( 180 ϕ ) x y sinϕ 1 A4 y ( d1 x) sinϕ A A + A + A + A nelikulmio 1 4 1 sin ϕ 1 1 + + + 1 sin ϕ 1 1 + + + 1 ( d x)( d y) x( d y) xy y( d x) ( d d d y d x xy d x xy d y xy) 1 sin ϕ dd 1.4 Sinilause 147. a) x 16, sin105 sin 47 x sin 47 16, sin105 :sin 47 16, sin105 x sin 47 x 1,5... (cm) x 1,5cm 108
Monikulmioita b) x, 4 sin 87 sin 5 x sin 5,4 sin87 :sin 5, 4 sin 87 x sin 5 x 4,087... (m) x 4, m Vastaus: a) 1,5 cm b) 4, m 148. a) Lasketaan kulma α. 96 4 sinα sin 6 4 sinα 96 sin 6 :4 96 sin 6 sinα 4 sinα 0,9786... α 78,150... 78 TAI α 180 78,150... 101,849... 10 Kuvan mukaan α on tylppä kulma, joten α 101,849... 10. Kolmion kulmille pätee α + β + 6 180 β 180 6 α 180 6 101,849... 5,150... 5 109
b) 7 19 sinα sin 0 19sinα 7sin 0 :19 7sin 0 sinα 19 sinα 0,976... α 76,86... Monikulmioita TAI α 180 76,86... 10,17... Kuvan mukaan α on tylppä, joten α 10,17... 10 Kolmion kulmille pätee α + β + 0 180 β 180 0 α 180 0 10,17... 46,86... 47 Vastaus: a) α 10, β 5 b) α 10, β 47 149. Puuttuvan kulman suuruus on 180 9 41 47. Nyt voidaan käyttää sinilausetta x+,11 x sin 9 sin 47 xsin 9 ( x+,11) sin 47 xsin 9 x sin 47 +,11 sin 47 x sin 9 sin 47,11 sin 47 : sin 9 sin 47,11 sin 47 x 5,757... (m) 5,76 (m) sin 9 sin 47 ( ) ( ) 110
Monikulmioita Tällöin x +,11m 5, 757... m +,11m 7,867...m 7,87 m Merkitään kolmion puuttuvan sivun pituutta a. Sinilauseella saadaan a x sin 41 sin 47 asin 47 xsin 41 x 5,757... a sin 47 5,757... sin 41 :sin 47 5,757... sin 41 a 5,1645... (m) 5,16 (m) sin 47 Vastaus: 5,76 m ; 7,87 m ja 5,16 m 150. Merkitään kantaa kirjaimella x (dm). Lävistäjä jakaa suunnikkaan kahdeksi samanlaiseksi kolmioksi. Määritetään kolmion kulmat α ja β sekä näiden avulla kanta x. 16, 18,5 sinα sin 65 18,5 sinα 16, sin 65 :18,5 16, sin 65 sinα 18,5 sinα 0,79... α 5,5... 5 TAI α 180 5,5... 17,4... 17 111
Monikulmioita Koska kulma α on kolmion kulma ja kolmion tunnettu kulma on 65, niin 17 ei käy (kulmien summa 180 ). Siis 5 α. Kun α 5,5..., niin β 180 65 5,5... 6, 47... Lasketaan kannan pituus x (dm). x 18,5 sin β sin 65 x 18,5 sin 6,47... sin 65 x sin 65 18,5 sin 6,47... :sin 65 18,5 sin 6,47... x sin 65 x 18,101... (dm) x 18,1 dm Vastaus: 18,1 dm 151. Kolmion alan laskemiseksi tarvitaan toisen sivun pituus. x 86 sin 47 sin 60 x sin 60 86 sin 47 :sin 60 86 sin 47 x sin 60 x 8,66... (m) Kolmion ala 1 86 m 7,66... m sin 7 986, 48... m A Tontin hinta 986... m 150 m 44797, 45... 450000 11
Monikulmioita 15. Lasketaan kolmion puuttuvat kulmat sinilauseella. 10, 8,70 sinα sin 46 8,70 sinα 10, sin 46 :8,70 10, sin 46 sinα 8, 70 sinα 0,84... α 57, 497... 57 TAI α 180 57, 497... α 1,50... α 1 Jos α 57, niin β 180 46 57,4... 76,50... Jos α 1, niin β 180 46 1,50... 11,497... Lasketaan sivun pituus x. x 8,70 sin β sin 46 x sin 46 8,70 sin β 8,70 sin β x sin 46 Kun α 57 ja β 77 8, 70 sin 76,50... x 11, 760... 11,8 (cm) sin 46 Kun α 1 ja β 11 8,70 sin11,497... x, 410..., 41 (cm) sin 46 Vastaus: 57, 77 ja 11,8 cm tai 1, 11 ja,41 cm 11
Monikulmioita 15. Merkitään CBA β. Sinilauseella saadaan 5 sin β sin 5 sin β 5sin 5 : 5sin5 sin β 0,704... β 44,778... β 45 Myös kulman β suplementtikulmalla on sama sinin arvo, joten kulma voi olla myös 180 β 180 44,778... 15,1... 15. Lasketaan puuttuvan kulman C suuruus. C 180 5 β 180 5 44,778... 110, 1... 110 tai C 180 5 β 180 5 15, 1... 19, 778... 0 Puuttuvan sivun pituus x saadaan sinilauseella. x C 110,1... sin110,1... sin 5 xsin 5 sin110, 1... sin110,1... x sin 5 x 6,661... x 6,7 114
Monikulmioita tai x C 19,778... sin19,778... sin 5 xsin 5 sin19,778... sin19,778... x,40...,4 sin 5 Vastaus: Puuttuvat kulmat ovat 45 ja 110 tai 15 ja 0. Edellisessä tapauksessa puuttuvan sivun pituus on 6,7 ja jälkimmäisessä,4. 154. Tasakylkinen puolisuunnikas: kantakulmat yhtäsuuret, joten A B ja D C sekä AD CB x. Kolmiossa DBC B 180 116 41 Näin ollen kolmiossa ABD B 64 41 Kolmiosta ABD saadaan sinilauseella 18 x sin 9 sin xsin 9 18sin :sin 9 18sin x sin 9 x 50,08... (cm) 50,1(cm) Vastaus: x 50,1cm 115
Monikulmioita 155. Kysytään joen leveyttä h. α 180 75 105, jolloin β 180 5 105 40. Merkitään AC x. Kolmiosta ABC saadaan sinilauseella sivun pituus x. x 5 α 105, β 40 sinα sin β x 5 sin105 sin 40 xsin 40 5sin105 :sin 40 5sin105 x 5,594... (m) sin 40 Suorakulmaisesta kolmiosta ADC saadaan h sin 5 x 5,594... x h sin 5 5,594... 5,594... h 5,594... sin 5 0,167... (m) 0(m) Vastaus: Joen leveys 0 m 116
Monikulmioita 156. Muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka kantakulmat α ovat yhtä suuret. α + 10 180 α 60 : α 0 Lasketaan etäisyys x (m). x 560 sin 0 sin10 xsin10 560sin 0 :sin10 560sin 0 x sin10 x,16... (m) x (m) Vastaus: Tornien etäisyys tarkastelupisteestä on m. 117
Monikulmioita 157. Merkitään tornin korkeutta kirjaimella h (km). α 180,5 176,5 β 180,5 176,5 1 Lasketaan etäisyys y (km). 0,5 y sin1 sin176,5 y sin1 0,5sin176,5 :sin1 0,5sin176,5 y sin1 y 1,749... (km) Lasketaan tornin korkeus h (km). h sin,5 y h sin,5 y h sin,5 1,749... (km) h 0,076... (km) h 76 (m) 118
Monikulmioita Lasketaan katseluetäisyys x (km). h tan,5 x xtan,5 h :tan,5 h x tan,5 0,076... x tan,5 x 1, 47... (km) x 1, (km) Katseluetäisyys 0,5 km kauempana on 1,47... km + 0,5 km 1,747... km 1,7 km Vastaus: Tornin korkeus 76 m. Katseluetäisyydet 1, km ja 1,7 km. 158. D 85 Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella x (m). C 180 85 44 51 119
Monikulmioita Kolmiosta ACD saadaan sinilauseella 180 + x 480 sin85 sin 51 xsin 51 + 180sin 51 480sin 85 xsin 51 480sin85 180sin 51 :sin 51 480sin85 180sin 51 x sin 51 x 45, 94... 45 (m) 159. x 10 sin 0 sin100 x sin100 10 sin 0 1 10 10 sin 0 5 x (mm) sin100 sin100 sin100 Kolmion kulmien summa: α 180 100 0 50 Kolmion ala: 1 A x 10 sin 50 1 5 10 sin 50 sin100 5sin 50 19,446... 19,4 mm sin100 Vastaus: 19, 4 mm ( ) 10
Monikulmioita 160. Kolmion pinta-alan laskemiseksi on selvitettävä kulma β. Annetuilla tiedoilla pystytään ensin selvittämään kulma α. 50 40 sinα sin 5 40sinα 50sin 5 :40 50sin 5 sinα 0,69... 40 α 4,917... 44 Saadun kulman suplementtikulmalla on sama sinin arvo eli kulma voi olla myös 180 4,917... 16,08... 16 α. Kulma β voi siis olla β 180 5 α 180 5 4,917... 101,08... 101 tai β 180 5 α 180 5 16, 08... 8,9179... 8,9 Kolmion ala 1 1 A 40 50 sin β 40 50 sin 8,9179... 17 1,19... m 171,19... m 1,7119... ha 1,7 ha tai 1 40 50 sin101,08... 109715,5... m A 109 715, 5... m 10,97155... ha 11ha Vastaus: 1,7 ha tai 11 ha ( ) ( ) 11
Monikulmioita 161. Tapa 1 54,9 Nelikulmion ala muodostuu kahdesta kolmiosta. A nelikulmio 1 9,0cm A + A 9,0 1 1 1,9 8, sinα + 8, 9,7 sinα 9,0 1 8, sin α (1,9 + 9,7) 9,0 9,79sinα 9,0 :9,79 9,0 sinα 0,09... 9,79 α 18,011... Kuvan kulma on terävä, joten saadun kulman α suplementtikulma ei käy, vaikka sillä onkin sama sinin arvo. Sivu x saadaan sinilauseella x 8, sinα sin 54,9 x sin 54,9 8, sin18,011... : sin 54,9 8, sin18,011... x,16...,1 sin 54,9 Vastaus:,1 cm 1
Monikulmioita Tapa β 54,9 Ratkaistaan alemmasta kolmiosta kulma β sinilauseella. 9,7 8, sin β sin 54,9 8, sin β 9,7 sin 54,9 9,7 sin 54,9 sin β 8, β 7,96... :8, 0,956... tai β 180 7,96... 107,0... Koska kulma β on tylppä β 107,0.... Kolmion kulmien summa on 180, joten α 180 54,9 107,0... 18,069... Sivu x saadaan sinilauseella x 8, sinα sin 54,9 x sin 54,9 8, sin18,069... 8, sin18,069... x sin 54,9 : sin 54,9,146...,1 Vastaus:,1 cm 1
16. Sinilauseen perusteella saadaan Monikulmioita 5 8. sinα sin α Taulukkokirjan mukaan sin α sinαcosα. Siis 5 8 sinα sinαcosα 8sinα 10sinαcos α :10sinα 0 8 4 cosα 10 5 α 6,9 Mallikuvan mukaan saadaan a cosα 8 8 4 a 8cosα 8 5 5 Pythagoraan lauseen perusteella 576 h 8 a 8 ja 5 5 b 5 h 576 b 5 5 49 b 5 49 7 b 5 5 7 9 4 Kolmas sivu AB a + b + 7 5 5 5 5 4 Vastaus: Kolmannen sivun pituus 7, kulma α 6,9 5 14
Monikulmioita 16. α 180 70 45 65 x 4,00 sin 65 sin 45 x sin 45 4,00 sin 65 :sin 45 4,00 sin 65 x 5,16... sin 45 h tan15 5,16... h 5,16... tan15 1,7... (km) Vastaus: 1,7 km 170m 15
Monikulmioita a b c 164. Väite: (sinilause) sinα sin β sinγ Todistus: Merkitään kolmion sivujen pituuksia a, b ja c sekä kulmien suuruuksia α, β ja γ kuvan mukaisesti. Muodostetaan kolmion pinta-ala kolmella eri tavalla. 1 1 1 A cbsinα casin β basinγ 1 1 1 cbsinα casin β ba sinγ cbsinα ca sin β ba sinγ cbsinα ca sin β : c 0, c > 0 pituus bsinα asin β a b sinα sin β tai cbsinα ba sin γ : b 0, b > 0 pituus a b c csinα asinγ sinα sin β sinγ a c sinα sinγ tai casin β ba sin γ : a 0, a > 0 pituus csin β bsin γ b c sin β sinγ 16
Monikulmioita 165. a) Voidaan muodostaa kaksi kolmiota: Δ ABC ja Δ ABD b) Lasketaan 9,5 cm pituisen sivun vastainen kulma. 9,5 7,5 sinα sin 50 7,5sinα 9,5sin50 :7,5 9,5sin 50 sinα 0,970... 7,5 α 76,006... 76 tai α 180 76, 006... 10,99... 104 (myös suplementtikulmalla on sama sinin arvo) Vastaus: a) kpl b) 76, 104 17
Monikulmioita.5 Kosinilause 166. a) x x 1, +, 1,, cos65 4,457... x ± 4,457... ±,1101... (m) Pituus x > 0, joten x,1101... m,1 m b) x x 17 + 17 cos115 177,80... x ± 177,80... ± 4,104... (cm) Pituus x > 0, joten x 4,104... cm 4 cm 167. a) b) 6,6 7, + 4, 4, 7, cos 4,56 70, 61,9 cosα ( ) 6, 77 61,9 cos α : 61,9 6,77 cosα 61,9 α 64,84... 64 1 18 + 7,8 18 7,8 cos 144 84,84 80,8cosα α ( ) 40,84 80,8cos α : 80,8 40,84 cosα 80,8 α 0,941... 1 α Vastaus: a) 64 b) 1 18
Monikulmioita 168. a) b) + 15 11 15 11 cos 484 46 0 cos x ( ) 18 0 cos x : 0 18 cos x 0 cos x 0, 418... x 114,719... Koska 0 < x < 180, niin x 114,719... 115 4,0, x, x cos60 + + x 1 x + x x 16 4,84 4,4 16 4,84, x x, x 11,16 0 ( ) ( ), ±, 4 1 11,16 x 1, ± 49, 48 x 1, ± 7,04... x x 4,617... TAI x, 417... Koska x > 0, niin x 4,617... m 4,6 m Vastaus: a) 115 b) 4,6 m 19
Monikulmioita 169. Merkitään puuttuvan sivun pituutta x. Puuttuvat kulmat olkoot α ja β x 64 + 14 64 14 cos15 x 0695,19... x ± 0695... ± 175,00... (cm) Koska x > 0, niin x 175,00... cm 175cm Selvitetään kulma α. 64 14 + 175, 00... 14 175, 00... cos 4096 46071,19... 4449,7... cosα ( ) 41975,19... 4449,7... cos α : 4449,7... 41975,19... cosα 4449,7... α 14,969... 15 Kolmion kulmien summa on 180, joten α + β + 15 180 β 180 15 α β 180 15 14,969... β 0,00... 0 Vastaus: Kulmat ovat 15 ja 0 ja kolmas sivu 175 cm. α 10
Monikulmioita 170. Merkitään puuttuvan sivun pituutta x. a) 7,0 4, x 4, x cos87 + + x x 49 17,64 8,4 cos87 b) x 8,4 cos87 x 1,67 0 ( ) ( ) 8, 4 cos87 ± 8, 4 cos87 4 1 1,6 x 1 0, 496... ± 0,19... + 15,44 0,496... ± 15,6... x 5,841... (dm) tai x 5,845... x > 0, joten x 5,841... dm 5,8 dm 14 11 x 11 x cos75 196 11+ x x cos 75 x + cos 75 x 75 0 ( ) ( ) cos 75 ± cos75 4 1 75 x 1 5,694... ±,418... 5, 694... ± 18, x 11,96... (m) tai x 6, 69... x > 0, joten x 11,96... m 1 m Vastaus: a) 5,8 dm b) 1 m 11
Monikulmioita 171. Lasketaan kysytty etäisyys x (m). x 150 + 150 150 150 cos 4 x 645000 645000 cos 4 x 8879,0... x ± 8879,0... x ± 94,8... Koska x > 0, niin x 94,8... m 94, m Vastaus: 94, m 17. 1,1 1, + 1, 1, 1, cos 1,1,1,1cosα,1 cosα 1,9 :,1 1, 9 cosα 0,615...,1 α 5,0... α 1 A 1, km 1,km sin 5,0... 0,6148... km 0,61km 1
Monikulmioita 17. 5, dm 5 cm Merkitään kysyttyjä kulmia α, β ja γ. 5 55 + 85 55 85 cos 55 85 cosα 55 + 85 5 950cosα 7546 :950 7546 cosα 0,807... 950 α 6,19... 6 α 55 5 + 85 5 85 cos β 5 85 cos β 5 + 85 55 8840cos β 6904 :8840 6904 cos β 0,7809... 8840 β 8,64... 9 γ 180 α β 180 6,19... 8,64... 105,16... 105 Vastaus: 6, 9 ja 105 1
Monikulmioita 174. Piirretään mallikuva. b 188 + 14 188 14 cos 5 75,898... b 15,8917666... 15 (cm) a 188 + 14 188 14 cos17 87 640,1077... a 96, 0407197... 96 (cm) Vastaus: 15 cm ja 96 cm 175. Piirretään mallikuva. Merkitään kysyttyä etäisyyttä x (km). x 4, +,7 4,,7 cos 65 x 5,78, cos 65 x 5,78 9,81... x 15,96... x ±,99... Koska x > 0, niin x,99... 4, 0 (km) Vastaus: 4,0 km 14