0. perusmääritelmiä Lukutyypit Laskusäännöt Laskujärjestys
Luonnolliset luvut: 1,2,3,4... Kokonaisluvut (ℵ):... 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4... RaBonaaliluvut: kaikki luvut jotka voidaan esidää kahden kokonaisluvun osamääränä, esim 1/7, 3/5, 327/443 IrraBonaaliluvut: luvut joita ei voida esidää osamäärinä, Esim monet luonnollisten lukujen neliö ja muut juuret: esim 2, 3, 5 ("algebralliset luvut") Lisäksi ei algebrallisia lukuja joita ei voida esidää juurimuodossakaan, esim π, e. Reaaliluvut (R): kaikki rabonaali ja irrabonaaliluvut Imaginääriluku saadaan kertomalla reaaliluku i:lla, joka on määritelty siten edä i 2 = 1. Kompleksiluku = reaaliluku + imaginääriluku, a + bi.
Reaalilukujen peruslaskutoimitukset ovat yhteenlasku (+), vähennyslasku ( ), kertolasku ( tai ) ja jakolasku( tai /). Miinusmerkkien "kumoutuminen" yhteen ja kertolaskussa: m + ( n) = m n m ( n) = m + n ( m) ( n) = + (m n) ( m) (+n) = (m n) Osamäärien (murtolukujen) laskusäännöt perustuvat siihen edä osoidaja ja nimidäjä voidaan kertoa samalla luvulla ilman edä luku muuduu: m n = a m a n Saman luvun lisääminen molemmille puolille ei Betenkään ole sallidu! Tämä pätee kaikille a:n arvoille paitsi a=0 (koska nollalla jakaminen ei ole sallidua, ts tulos ei ole määritelty)
Murtolukujen lasku ja sievennyssääntöjä: m n + p q m n p q = mp nq = mq + pn nq m n p q = m n q p = mq np Laskujärjestys on sovidu siten, edä kerto ja jakolaskut lasketaan ennen yhteen ja vähennyslaskuja. Esim 2 + 3 4 = 2 + 12 = 14 Usein käytetään sulkeita merkitsemään mitkä operaabot lasketaan ensin. Esim. (2+4) [(4+9)/17] Käytä sulkeita jos järjestyksestä on pienintäkään epäselvyydä!
1. luvut ja suureet Esim: ainemäärä 0.1 mol on 1 L vetoisessa asbassa 1 atm paineessa. Mikä on kaasun lämpöbla? Ratkaisu: käytetään ideaalikaasun Blanyhtälöä, sijoitetaan annetut suureet SI yksiköissä. PV = nrt T = PV/nR V = 1 L = 1 dm 3 = 1 10 3 m 3 p = 1 atm = 101325 Pa = 101325 N m 2 = 101325 kg m 1 s 2 R = 8.314510 J K 1 mol 1 = 8.314510 kg m 2 s 2 K 1 mol 1 n = 0.1 mol
Sijoitetaan annetut arvot: T = 101325 kg m 1 s 2 1 10 3 m 3 0.1mol 8.314510 kg m 2 s 2 K 1 mol 1
Sijoitetaan annetut arvot: T = 101325 kg m 1 s 2 1 10 3 m 3 0.1mol 8.314510 kg m 2 s 2 K 1 mol 1
Sijoitetaan annetut arvot: T = 101325 kg m 1 s 2 1 10 3 m 3 0.1mol 8.314510 kg m 2 s 2 K 1 mol 1
Sijoitetaan annetut arvot: T = 101325 kg m 1 s 2 1 10 3 m 3 0.1mol 8.314510 kg m 2 s 2 K 1 mol 1
Sijoitetaan annetut arvot: T = 101325 kg m 1 s 2 1 10 3 m 3 0.1mol 8.314510 kg m 2 s 2 K 1 mol 1 T = 121.18653 K 122 K
Mitä laskusta voi oppia? Luonnonvakioiden käydö, esimerkissä kaasuvakio R (arvot löytyvät taulukkokirjoista) Suureiden ilmaiseminen SI yksiköissä, esim J = kgm 2 s 2. Nämäkin löytyvät tarvidaessa taulukkokirjoista. RiippumaDomat muudujat (laskussa P, V, n), riippuvat muudujat (laskussa T) Fysiikan & kemian suureissa aina 2 osaa: luku ja yksikkö Joskus yksikön edessä on etuliite ilmaisemassa suuruusluokkaa, esim. 2 kg, 5 nm Samaan tarkoitukseen käytetään 10 potensseja, esim 1500 nm = 1500 10 9 m. Vastaus pyöristetään lähtöarvojen mukaiseen tarkkuuteen, välituloksia ei pyöristetä.
1.1 suureet ja niiden yksiköt Esim. 12 kj mol 1 Luku Etuliite Yksikkö Suurejärjestelmän perusta on ns. SI järjestelmä. Perussuureet: Pituus m Johdetut suureet, Massa kg Aika s esim Sähkövirta A N = kgm/s 2 Termodyn. lämpöbla K = kgms 2 Ainemäärä mol Valovoima Cd
Suureet eivät aina ole SI yksiköissä. Esim energia ilmaistaan usein yksiköissä kcal, kcal/mol, ev, E h (hartree), cm 1... E = hf = hc/λ = hc 1/λ = hc v Esim: Faradayn vakion lukuarvo F = N a q = 6.0221367 10 23 mol 1 1.6021779 10 19 C = 9.648531 10 4 C mol 1
1.2 Kymmenpotenssit ja etuliideet Esim. suuri luku, N A = 6.0221367 10 23 mol 1 Esim. pieni luku, m e = 9.1093897 10 31 kg Kymmenpotenssi kuvaa luvun suuruusluokkaa. Se korvataan usein etuliideellä. Osa näistä on jo arkielämästäkin tuduja, esim 1 km = 1000 m), osa taas eksooosempia, esim 1 as ("adosekunb") = 10 18 s.
1 10 12 m = 0.000000000001 m = 1 pm 1 10 9 m = 0.000000001 m = 1 nm 1 10 6 m = 0.000001 m = 1 μm 1 10 3 m = 0.001 m = 1 mm 1 10 2 m = 0.01 m = 1 cm 1 10 1 m = 0.1 m = 1 dm 1 10 0 m = 1 m = 1 m 1 10 1 m = 10 m = 1 dam 1 10 2 m = 100 m = 1 hm 1 10 3 m = 1000 m = 1 km 1 10 6 m = 1000000 m = 1 Mm 1 10 9 m = 1000000000 m = 1 Gm 1 10 12 m = 1000000000000 m = 1 Tm
Eksponenomerkintä Kymmenen potenssit (10 r ) ovat esimerkki yleisemmästä eksponenomerkinnästä a r. Perusmääritelmä (potenssiin korotus) lienee tudu ainakin jos r on kokonaisluku: a r = a a a a... a r kertaa a = kantaluku, r = eksponeno Kun r on murtoluku, laskua sanotaan juuren odamiseksi, esim a 1/2 = a
Potenssien laskusäännöt a 0 = 1 a m =1/a m 1 a n = a m n = n n a a m n = ( a) m (ab) r = a r b r (a/b) r = a r /b r a r a s = a r+s a r /a s = a r s
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.179873 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.810 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.179873 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.810 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.179873 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.810 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.37169 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.810 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.37169 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.810 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.37169 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.810 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.37169 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 )m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.37169 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.37169 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.372 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Esim: vetyatomin sidosenergia E n = 1 m e e 4 = h Laske E 1 n 2 32π 2 ε 2 0 2 2π E 1 = 1 1 2 9.1093897 10-31 kg (1.6021779 10-19 C) 4 32π 2 (8.85419 10-12 Fm -1 ) 2 (1.0545727 10-34 Js) 2 = 2.37169 10 3 10 31 (10 19 ) 4 (10 12 ) 2 (10 34 ) 2 kgc 4 F 2 m 2 J 2 s 2 = 2.372 10 18 J = 10 31 10 76 10 24 10 68 =10 31 76+24+68 =10 15 = kgc 4 (C 2 J -1 ) 2 m -2 J 2 s 2 = kgm2 s 2 = J
Pyöristyssäännöt Kerto ja jakolaskussa pyöristetään sen luvun mukaan jossa on vähiten merkitseviä numeroita. Yhteenlaskussa pyöristetään sen luvun mukaan, jossa on vähiten desimaalipilkun jälkeisiä numeroita Mitä ovat merkitsevät numerot? 1.20 3 merk. nroa 1200 kg 2 merk. nroa 0.12 2 merk. nroa 1200.0 kg 5 merk. nroa 0.120 3 merk. nroa 12.00 10 2 kg 4 merk.nroa 1.2 2 merk. nroa 1.2 10 3 kg 2 merk.nroa 10.12 4 merk. nroa 1.200 10 3 kg 4 merk.nroa
Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 5.0 mol dm 3 0.45 mol dm 3 = 6.6885 10 4 mol dm 3 s 1 = 6.9 10 4 mol dm 3 s 1
Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 5.0 mol dm 3 0.45 mol dm 3 = 6.6885 10 4 mol dm 3 s 1 = 6.9 10 4 mol dm 3 s 1
Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 5.0 mol dm 3 0.45 mol dm 3 = 6.6885 10 4 mol dm 3 s 1 = 6.9 10 4 mol dm 3 s 1
Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: v = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 5.0 mol dm 3 0.45 mol dm 3 = 6.6885 10 4 mol dm 3 s 1 = 6.9 10 4 mol dm 3 s 1
Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisyylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: Älä koskaan pyöristä välitulosta! v = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 5.0 mol dm 3 0.45 mol dm 3 = 6.6885 10 4 mol dm 3 s 1 = 6.9 10 4 mol dm 3 s 1
Esimerkki: salisylihapon esteröinb ReakBon C 7 H 6 O 3 + HOCH 3 => C 8 H 8 O 3 + H 2 O nopeus on v = k[metanoli][salisylihappo], missä k on nopeusvakio. Laske reakbonopeus, kun k = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 [metanoli] = 5.0 mol dm 3 [salisylihappo] = 0.45 mol dm 3 Ratkaisu: Älä koskaan pyöristä välitulosta! v = 3.06 10 4 (mol dm 3 ) 1 s 1 5.0 mol dm 3 0.45 mol dm 3 = 6.6885 10 4 mol dm 3 s 1 = 6.9 10 4 mol dm 3 s 1 2 merkitsevää numeroa
Esimerkki: summan pyöristäminen Orgaanisen kemian harjoitustöissä valmisteoin asetyylisalisylihappoa (aspiriini). Ryhmän jäsenet punnitsivat "saaliinsa", ja miitaustulokset olivat: 3.2 g 2.75 g 2.9 g ja 1.17 g Kuinka paljon aspiriinia he valmisbvat yhteensä? Ratkaisu: 3.2 g + 2.75 g + 2.9 g + 1.17 g = 10.02 g = 10.0 g