Matlabin perusteet. 1. Käyttöliittymä:

Samankaltaiset tiedostot
Harjoitus 1: Matlab. Harjoitus 1: Matlab. Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1. Syksy 2006

Matemaattiset ohjelmistot A. Osa 2: MATLAB

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Ohjelman käynnistäminen

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

Opiskelijan pikaopas STACK-tehtäviin. Lassi Korhonen, Oulun yliopisto

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

mlvektori 1. Muista, että Jacobin matriisi koostuu vektori- tai skalaariarvoisen funktion F ensimmäisistä

BL40A0000 Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Harjoitus 1: Johdatus matemaattiseen mallintamiseen (Matlab)

Matriiseista. Emmi Koljonen

plot(f(x), x=-5..5, y= )

Osatentti

Differentiaaliyhtälön ratkaisu. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Esimerkki: läpivirtaussäiliö. Esimerkki: läpivirtaussäiliö

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

Matlab-perusteet. Jukka Jauhiainen. OAMK / Tekniikan yksikkö. Hyvinvointiteknologian koulutusohjelma

ATK tähtitieteessä. Osa 2 - IDL perusominaisuudet. 12. syyskuuta 2014

Matlabin perusteita Grafiikka

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

Funktion määrittely (1/2)

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

Muuttujan sisällön näet kirjoittamalla sen nimen ilman puolipistettä

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

PERUSLASKUJA. Kirjoita muuten sama, mutta ota välilyönti 4:n jälkeen 3/4 +5^2

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

Harjoitus 1: Johdatus matemaattiseen mallintamiseen (Matlab)

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Tähtitieteen käytännön menetelmiä Kevät 2009 Luento 4: Ohjelmointi, skriptaus ja Python

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Heikki Apiola, Juha Kuortti, Miika Oksman. 5. lokakuuta Matlabperusteita, osa 1

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Harjoitus 4 -- Ratkaisut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

Muuttujan sisällön näet kirjoittamalla sen nimen ilman puolipistettä

Fysiikan matematiikka P

Pythonin alkeet Syksy 2010 Pythonin perusteet: Ohjelmointi, skriptaus ja Python

Harjoitus 10: Mathematica

Fortran 90/95. + sopii erityisesti numeriikkaan:

Aikatason vaste vs. siirtofunktio Tehtävä

Matriisilaskenta (TFM) MS-A0001 Hakula/Vuojamo Ratkaisut, Viikko 47, 2017

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

MATHCAD. Kokeilemalla voi tarkistaa tunnistaako MATHCAD halutun kerrannaisyksikön: Siis ei tunnistanut millinewtonia

Valintakoe

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

Esimerkki: Laaduntasaussäiliö. Esimerkki: Laaduntasaussäiliö. Taajuusanalyysi. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 7: Taajuusanalyysi

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

mlgrafiikka 1. Piirrä samaan kuvaan funktioiden cos ja sin kuvaajat välillä [ 2π, 2π] Aloita tyyliin: 2. Piirrä

Insinöörimatematiikka D

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki

3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset

Harjoitus 2 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

ELEC-C5210 Satunnaisprosessit tietoliikenteessä Harjoitus M1,

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 2 -- Ratkaisut

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Insinöörimatematiikka D

Lineaarialgebra a, kevät 2019 Harjoitus 6 (ratkaisuja Maple-dokumenttina) > restart; with(linalg): # toteuta ihan aluksi!

Matlabperusteita, osa 1. Heikki Apiola Matlab-perusteita, osa 1. Heikki Apiola. 12. maaliskuuta 2012

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017

Matematiikka B2 - TUDI

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

mlnonlinequ, Epälineaariset yhtälöt

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Esimerkki: Laaduntasaussäiliö. Esimerkki: Laaduntasaussäiliö. Taajuusanalyysi. ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 7: Taajuusanalyysi

ELEC-C1230 Säätötekniikka. Luku 8: Säädetyn järjestelmän hyvyys aika- ja taajuustasossa, suunnittelu taajuustasossa, kompensaattorit

Oppimistavoitematriisi

Johdatus matematiikkaan

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

Oppimistavoitematriisi

Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Scilab ohjelman alkeisohjeet

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

Insinöörimatematiikka D

Matematiikan johdantokurssi Johdatusta funktiosääntöihin ja piirtelyyn. Harjoitusta 9, tehtävien käsittelyä Maplella

Transkriptio:

Matlabin perusteet Matlabin (MATrix LABoratory) perusfilosofia on, että se käsittelee kaikkia muuttujia matriiseina, joiden erikoistapauksia ovat vektorit ja skalaariluvut. Näin ollen se soveltuu erityisesti numeeriseen laskentaan. Lisää materiaalia löydät mm. kurssien AS-7.1106 Johdatus Matlab-ohjelmiston käyttöön 1 ja AS-7.1107 Johdatus Matlab-ohjelmiston käyttöön 2 materiaaleista sekä Matlabin sivuilta http://www.mathworks.com/help/. 1. Käyttöliittymä:

2. Peruskäsitteitä: >> % Kommentti alkaa %-merkistä >> % Muuttujan määrittely (case sensitive): >> a = 1; A = a A = 1 >> % Puolipiste piilottaa laskun vastauksen käyttäjältä ja >> % mahdollistaa useamman laskutoimituksen samalla rivillä. >> % Kätevä etenkin suurissa matriisien käsittelyssä. >> % Tietoa funktiosta saa komennolla help. >> help sin SIN Sine of argument in radians. SIN(X) is the sine of the elements of X. >> % Jos laskun tulosta ei talleta mihinkään muuttujaan, >> % se tallentuu muuttujaan nimeltä ans. >> sin(pi / ) 0.7071 >> % Huom. pi on Matlabin vakio piille (π). >> % Muuttujat voi vapauttaa komennolla clear <muuttujan nimi>. >> % Jos funktiolla on useampi paluuarvo tai parametri, niitä käytetään näin: >> [a, b] = f(x, y, z) Perusfunktioita: Trigonometria (rad): sin(x), cos(x), tan(x) Trigonometria (deg): sind(x), cosd(x), tand(x) Arkusfunktiot (rad): asin(x), acos(x), atan(x), atan2(y, x) Arkusfunktiot (deg): asind(x), acosd(x), atand(x) Eksponenttifunktio: exp() Luonnollinen logaritmi: log() 10-kantainen logaritmi: log10() Itseisarvo: abs() 3. Matriisit ja vektorit: >> % Matriisi voidaan määritellä seuraavasti: >> A = [1 2; 3 ]; B = A B = 1 2 3 >> % Huomaa ero seuraavien laskutoimitusten välillä: >> A * B 7 10 15 22 >> A.* B 1 9 16

>> % * = Matriisikertolasku (huom. dimensiot) >> %.* = Alkioittainen kertolasku (pistetulo) >> % Myös jakolaskusta (/) ja potenssista (^) on olemassa >> % sekä matriisi- että alkioittaisversiot (./ ja.^) >> % Matriisin tiettyyn alkioon voi viitata komennolla M(R, C) >> A(1, 2) 2 >> % Huomaa, että indeksointi alkaa ykkösestä >> % Lineaarinen rivi-/vaakavektori voidaan määritellä kahdella eri tavalla: >> % min:step:max operaattorilla... >> lin1 = 1:1:5 lin1 = 1 2 3 5 >> %..tai linspace(min, max, count) -komennolla >> lin2 = linspace(1,5,5) lin2 = 1 2 3 5 >> % Logaritminen rivi-/vaakavektori voidaan määritellä >> % logspace(emin, Emax, count) -komennolla, jossa E on kymmenpotenssi >> log = logspace(0,, 5) log = 1 10 100 1000 10000 Matriisioperaatioita: size(x) Matriisin koko. Palauttaa X:n rivien ja sarakkeiden määrän length(x) Selvittää vektorin pituuden. Vastaa komentoa max(size(x)). transpose(x) tai X. Transpoosi X Hermitointi (X kompleksinen) inv(x) Käänteismatriisi det(x) Determinantti X\y Gaussin eliminaatio / PNS-ratkaisu eye(r, C) R x C identiteettimatriisi/-yksikkömatriisi ones(r, C) R x C ykkösmatriisi (täynnä 1) zeros(r, C) R x C nollamatriisi (täynnä 0)

. Kompleksiluvut: >> % Kompleksiluku voidaan määritellä karteesisessa muodossa seuraavasti: >> a = 1 + i * 2 a = 1.0000 + 2.0000i >> %... ja polaarimuodossa seuraavasti (huom. radiaanit): >> b = * exp(i * pi / ) b = 2.828 + 2.828i >> % Huom. i on Matlab-vakio imaginaariyksikölle. Operaatioita kompleksiluvuille: real(c) Reaaliosa imag(c) Imaginaariosa abs(c) Itseisarvo angle(c) Vaihekulma conj(c) tai c Konjugaatti ( vastaa kompleksisen matriisin hermitointia) 5. Piirtäminen: Matlabissa piirtäminen tapahtuu aina kahden vektorin välillä. Ensimmäinen vektoreista sisältää ne diskreetit vaaka-akselin pisteet, joissa piirrerräväksi haluttu funktion arvot lasketaan. Toinen vektoreista sitten sisältää juurikin nuo lasketut funktion arvot ensimmäisen vektorin määräämissä pisteissä. Piirtokäskyt: plot(x, y) semilogx(x, y) semilogy(x, y) loglog(x, y) polar(t, r) Lineaariset x- ja y-akselit Logaritminen x-akseli Logaritminen y-akseli Logaritmiset x- ja y-akselit Napakoordinaattiesitys Huom. Voit piirtää useamman käyrän samaan kuvaajaan samalla komennolla. Voit myös vaikuttaa käyrän ulkoasuun käyttämällä ulkoasumäärittelyjä. Ks. help Apukäskyt: grid axis hold xlim, ylim title() xlabel() ylabel() legend() subplot() spline() Ruudukko (mm. grid on, grid off) Akselit (mm. axis equal) Mahdollistaa useamman käyrän piirtämisen samaan kuvaan (mm. hold on, hold off) Akselien rajat Otsikko X-akselin tunniste Y-akselin tunniste Käyrien selite Monta pienempää kuvaajaa samaan kuvaan Interpolointi Huom. Voit lisätä kreikkalaisia kirjaimia merkkijonoihin ( ) kirjoittamalla \symboli. Esim. Kulmataajuus \omega.

6. Symbolinen laskenta (Laplace-muunnos): Symbolic Math Toolbox >> syms t; % Symbolinen muuttuja t >> F = * exp(-t); % Aikatason funktio (t symbolinen -> F symbolinen) >> pretty(f) % Kauniimpi ulkonäkö ------ exp(t) >> L = laplace(f); pretty(l) % Laplace-muunnetaan: ----- s + 1 >> F = ilaplace(l); pretty(f) % Ja edelleen käänteismuunnetaan: ------ exp(t) Huom. Siirtofunktioita laskettaessa käänteismuunnoksessa voi esiintyä kompleksisia termejä, joista pääsee eroon täydentämällä Laplace-tason esityksen neliöiksi. 7. Siirtofunktioiden käsittely: Control System Toolbox >> % Siirtofunktio-objekti voidaan luoda käyttäen tf()-komentoa: >> bw = tf(1, [1 2 2 1]) Transfer function: 1 --------------------- s^3 + 2 s^2 + 2 s + 1 >> % Askelvaste voidaan laskea kätevästi komennolla step() >> % Ilman määrittelyä [y, t] = step() piirtää askelvasteen kuvaajan >> [y, t] = step(bw); >> % Impulssivaste voidaan laskea vastaavasti komennolla impulse() >> % Vaste mielivaltaiselle herätteelle voidaan laskea lsim()-komennon avulla >> % Ilman määrittelyä y = lsim() piirtää kuvaajan, jossa on sekä >> % heräte että vaste >> t = 0:0.1:10; % Aikavektori >> u = sin(t); % Heräte >> y = lsim(bw, u, t); % Vaste Funktioita siirtofunktioiden käsittelyyn: pole() Siirtofunktion navat zero() Siirtofunktion nollat pzmap() Napanollakuvio zpk() Muodosta siirtofunktio nollista, navoista ja vahvistuksesta dcgain() Staattinen vahvistus (askelvasteen loppuarvo) bode() nichols() nyquist() rootlocus() margin() Boden diagrammi (vahvistus ja vaihe kulmataajuuden funktiona) Nicholssin diagrammi (vahvistus vaihesiirron funktiona) Nyquistin diagrammi (Re- ja Im-osien käyttäytyminen) Juuriura Vahvistus- ja vaihevarat Huom. Siirtofunktioista ja simuloinnista lisää kursseilla AS-7.2111 Analoginen säätö ja S-87.2020 Elektroniikka II.