Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Transkriptio

1 Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin numero ennen soluun kirjoittamista, ts. kun ruudulla on vaakaviiva uuden solun alkamisen merkiksi. Jo kirjoitetun tekstin tyylin voi muuttaa "maalaamalla" solu notebookin oikeasta reunasta ja painamalla ALT ja numero. Seuraavassa on luettelo tärkeimmistä tyyleistä: ALT+1Otsikko ALT+2Aliotsikko ALT+3Alialiotsikko ALT+4Luvun (section) otsikko ALT+5Aliluvun otsikko ALT+6Alialiluvun otsikko ALT+7Tekstiä (tämän solun tyyli) ALT+9Input (uuden solun oletusarvoinen tyyli, laskut on kirjoitettava tällä tyylillä) Harjoitus 1 -- Ratkaisut 1 Perusteet Valmiiden funktioiden nimet alkavat isolla alkukirjaimella ja argumentit kirjoitetaan hakasulkeiden sisään. In[1]:= ArcCos Log Pi 2 Out[1]= ArcCos Log Π 2 Tämä on tuloksen tarkka arvo symbolisessa muodossa. Likiarvon saa seuraavasti: In[2]:= N ArcCos Log Pi 2 Out[2]= tai In[3]:= ArcCos Log Pi 2 N Out[3]= Iso I-kirjain vastaa imaginääriyksikköä. In[4]:= Out[4]= Abs 2 I Exp I Arg 2 I 5 ArcTan 1 2 Oletusarvoisesti kompleksilukujen likiarvot esitetään karteesisessa muodossa (Re z Im z ). In[5]:= N Abs 2 I Exp I Arg 2 I Out[5]= 2. 1.

2 2 h01ratk.nb 2 Taulukoinnin alkeet In[6]:= Random Out[6]= Myöhemmin esitetään hienostuneempia tapoja luoda listoja. Yksinkertaisin tapa on kirjoittaa listan alkiot pilkulla erotettuna aaltosulkeiden sisään. In[7]:= Out[7]= Random, Random, Random, Random, Random , , , , Edellisen laskun tulokseen voi viitata %-merkillä. Listan alkioihin viitataan kaksilla hakasulkupareilla, esim. t[[1]],... In[8]:= 1 4 Out[8]= Listoja voi käsitellä kuin yksittäisiä muuttujia. Huom. jos muutat näitä ratkaisuja, %-merkinnät saattavat viitata vääriin tuloksiin. c In[9]:= Out[9]= In[10]:= Out[10]= ^ , , , , , , , , Toinen (parempi) tapa on nimetä käsiteltävä lista. Huom. on erittäin suositeltavaa kirjoittaa useampi käsky samaan soluun! In[11]:= Out[11]= r Random, Random, Random, Random, Random r 1 r 4 r^ , , , , Out[12]= Out[13]= , , , , d Lainausmerkkien sisältö tulostuu sellaisenaan, laskutoimitukset lasketaan tavalliseen tapaan. In[14]:= Print "arccos ln pi 2 ", ArcCos Log Pi 2 N arccos ln pi Jos et halua, että laskun tulos tulostetaan näytölle, kirjoita sen perään puolipiste.

3 h01ratk.nb 3 In[15]:= z 2 I; Print "Kompleksiluku ", z, " napakoordinaattimuodossa esitettynä: ", Abs z Exp I Arg z Kompleksiluku 2 napakoordinaattimuodossa esitettynä: 5 ArcTan 1 2 Tyhjennetään käytettyjen symbolien sisältö. In[17]:= z.; r.; 3 Sijoituslauseet, yksiköt Merk. x ± 1 2 a b ± b 2 4 a c. Jos x ± on yhtälön a x 2 x c 0 ratkaisu, niin sijoittamalla x:n arvoksi x ± polynomiin a x 2 x c, pitäisi saada tulokseksi nolla. Mathematica ei osaa käsitellä merkintää ±, joten sijoitetaan erikseen x ja x. Huom. Tässä on tärkeää, että symboleilla a, b, c ja x ei ole arvoa. In[18]:= a.; b.; c.; x.; a x^2 x c. x b Sqrt b^2 4 a c 2 a Out[19]= c b b 2 4 a c 2 a b b 2 4 a c 4 a 2 Yo. lauseke voi olla nolla vaikeasti esitettynä. In[20]:= Simplify Out[20]= 0 Ts. x toteuttaa ko. yhtälön. Vastaavasti x : (ctrl-6 antaa potenssin, ctrl-2 neliöjuuren, ctrl-välilyönti palaa normaaliin syöttöön) In[21]:= a x 2 x c. x b b 2 4 a c 2 a Simplify Out[21]= 0 Jos laskussa tarvitaan fysikaalisia yksiköitä, ne voi laatia itse tai ottaa valmiit yksiköt Units-paketista. Itse määritellyille yksiköille on määrättävä laskusäännötkin itse. In[22]:= In[24]:= solmu merimaili tunti; merimaili 1.15 maili; s 100 maili v 12 solmu Out[24]= Out[25]= Out[26]= 100 maili 13.8 maili tunti tunti Tehdään sama valmiilla yksiköillä. Ladataan Mathematican laajennuspaketti (huom. heittomerkin suunta):

4 4 h01ratk.nb In[27]:= Units` Vanhemmissa Mathematican versioissa (älä lataa molempia!) Miscellaneous`Units` Käytettävissä olevat yksiköiden nimet ovat englanninkielisiä sanoja isolla alkukirjaimella. In[28]:= Out[28]= s 100 Mile v 12 Knot 100 Mile Out[29]= Out[30]= 12 Knot 25 Mile 3 Knot Units-paketista löytyy yksiköiden muunnosfunktio Convert: In[31]:= Out[31]= Convert t, Hour Hour Huom. Älä käytä yksiköiden nimiä missään laskuissa ennen kuin olet ladannut paketin! Mathematica menee sekaisin määritelmissä! Esitän tässä tavallisen virhetilanteen ja kuinka korjata se. Ensin, poistetaan yllä ladatun paketin määritelmät: In[32]:= Remove "Units` " Sitten aletaan laskemaan yksiköillä, joita ei ole ladattu. In[33]:= Out[33]= s 100 Mile v 12 Knot 100 Mile Out[34]= Out[35]= 12 Knot 25 Mile 3 Knot Sitten huomataan, että Units-paketti unohtui ladata. Nyt Units-paketin määritelmät yksiköille Mile ja Knot menevät globaalien (yllä) määritelmien kanssa "päällekkäin". In[36]:= Units` Mile::shdw : Symbol Mile appears in multiple contexts Units`, Global` ; definitions in context Units` may shadow or be shadowed by other definitions. Knot::shdw : Symbol Knot appears in multiple contexts Units`, Global` ; definitions in context Units` may shadow or be shadowed by other definitions. Nyt Convert-funktio ei toimi, sillä yllä käytetyt Mile ja Knot eivät ole paketista Units. In[37]:= Out[37]= Convert t, Hour 25 Global`Mile Convert::incomp : Incompatible units in and Hour. 3 Global`Knot 25 Global`Mile 3 Global`Knot Poistetaan globaalit määritelmät.

5 h01ratk.nb 5 In[38]:= Remove Global`Mile Remove Global`Knot Lasketaan laskut uudestaan. In[40]:= Out[40]= s 100 Mile v 12 Knot 100 Mile Out[41]= Out[42]= 12 Knot 25 Mile 3 Knot Nyt Convert-funktio toimii: In[43]:= Out[43]= Convert t, Hour Hour 4 Omat funktiot Alaviiva _ funktion argumentin yhteydessä tarkoittaa, että sen paikalle passaa mikä tahansa lauseke. Merkintä := tarkoittaa viivästettyä sijoitusta, ts. sijoituslausekkeen oikeaa puolta ei lasketa auki heti, vaan joka kerta erikseen, kun funktiota käytetään. Pii-symboli kirjoitetaan esc-p-esc. In[44]:= f x : Sin x ; g x : Log x 2 ; h x : 2 x 2 3 x 1; f h g Π Out[47]= Sin 1 3 Log Π 2 2 Log Π 4 Osamääriä kirjoitetaan ctrl-shift-7. Funktion s arvot lähestyvät funktion e x arvoja, kun n kasvaa. In[48]:= s. s x, n : Sum xi, i, 0, n i s x, n s 1, 3 N s 1, 10 N Out[50]= x 1 n Gamma 1 n, x Gamma 2 n Out[51]= Out[52]=

6 6 h01ratk.nb c Yksinkertaisin tapa toteuttaa tämä lasku on yhdellä käskyllä: In[53]:= e x, n : Abs s x, n Exp x Suurilla n:n arvoilla e[x,n] pitäisi lähestyä nollaa. Ilman N-funktion käyttöä tulokset eivät ole kovin informatiivisia. Viimeinen tulos ei eroa enää nollasta koneen tarkkuuden rajoissa (saattaa riippua koneesta ja Mathematican asetuksista). In[54]:= e 1, 1 N e 1, 5 N e 1, 10 N e 1, 50 N Out[54]= Out[55]= Out[56]= Out[57]= 0. N::meprec : Internal precision limit $MaxExtraPrecision 50.` reached while evaluating Funktio voi koostua useammasta käskystä. Käskyt on kirjoitettava sulkeiden sisään. Viimeisen suoritettavan käskyn antama tulos on funktion arvo. Tämä mahdollistaa välitulosten käytön, mikä on tärkeää myöhemmin, monimutkaisempien funktioiden kanssa. In[58]:= In[59]:= e x, n : p1 s x, n ; p2 Exp x ; Abs p1 p2 e 2, 3 Out[59]= In[60]:= Out[60]= p Jos muuttujia, joihin funktio laskee välituloksia, on useita (tai käytössä on useita funktioita), on hyvä asettaa nämä muuttujat paikallisiksi, ts. ne saavat arvonsa vain funktion sisällä. Tämä hoituu Module-komennolla, jonka 1. argumentti on lista paikallisista muuttujista: In[62]:= p1.; p2. In[63]:= In[64]:= e x, n : Module p1, p2, p1 s x, n ; p2 Exp x ; Abs p1 p2 e 2, 3 Out[64]= In[65]:= Out[65]= p1 p1 p1:n ja p2:n arvojen muutos ei näy e-funktion ulkopuolella.

7 h01ratk.nb 7 d Tässä tehtävänanto ei ole kovin hyvin suunniteltu. Kunnollinen suorittaminen vaatisi If-lauseen käyttöä, jota ei ole vielä esitelty. Jos z 1 z 2 r, niin kysytty etäisyys on z 1 z 2 r. Muuten kysytty etäisyys on nolla. Oletetaan tässä, että yo. ehto pätee (If-lause esitellään 3. harjoituksissa). In[66]:= f z1, z2, r : Abs z2 z1 r; In[67]:= f 2 I, 1 I, 0.1 Out[67]= Module-komennon avulla: In[68]:= In[69]:= f z1, z2, r : Module p1, p1 Abs z2 z1 ; p1 r f 2 I, 1 I, 0.1 Out[69]= If-lauseen avulla (ks. harjoitus 3): Nyt funktion arvo on 0, jos p1<r, ja p1-r, jos em. ehto ei pidä paikkansa, ts. jos p1 r. In[70]:= In[71]:= f z1, z2, r : Module p1, p1 Abs z2 z1 ; If p1 r, 0, p1 r f 2 I, 1 I, 0.1 Out[71]= In[73]:= f 2 I, 1 I, 3 Out[73]= 0