Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio

Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä

Johdanto Gravitaatiovoima yksi luonnon perusvoimista Universaali voima eli pätee kaikkien kappaleiden välillä Newtonin vuonna 1687 julkaisema laki aloitti uuden tieteenhaaran Taivaanmekaniikka (celestial mechanics) F g F g r

Newtonin gravitaatiolaki Kahden pistemäisen kappaleen (1 ja 2) välinen gravitaatiovoima F g = G m 1m 2 r 2 ê r tai F g = G m 1m 2 r 2 m 1 ja m 2 ovat kappaleiden massat, r niiden välinen etäisyys, G ns. gravitaatiovakio (gravitational constant) ja ê r yksikkövektori, joka osoittaa kappaleesta toiseen. Gravitaatiovoima suuntautuu aina kohti toista kappaletta attraktiivinen voima

Gravitaatiovakio Verrannollisuuskerroin, joka yhdistää kappaleiden välisen gravitaatiovoiman G = 6.672 59 10 11 N m 2 kg 2 Voidaan määrittää Cavendishin vaa alla (Cavendish torsion balance) Gravitaatiovoima aiheuttaa kiertymää lankaan

Gravitaatiokenttä Kappaleiden aiheuttamat gravitaatiovoimat lasketaan yhteen vektoreina Gravitaatiovoima on ns. pitkän kantaman voima Ei edellytä kosketusta (vrt. kontaktivoima!) Voimakenttä (force field)

Paino Kaikkien kappaleeseen vaikuttavien gravitaatiovoimien summa Esimerkiksi maan pinnalla muiden kappaleiden kuin maapallon vaikutus painoon mitätön Kappaleen paino maan pinnalla w = Fg = G mm E R 2 E M E on maan massa ja R E on maan säde

Paino Aiemmin määriteltiin kappaleen paino maan pinnalla vetovoiman kiihtyvyyden g avulla Vertaamalla saadaan g = GM E R 2 E Mittaustuloksista laskettu maapallon massa M E = 5.98 10 24 kg

Maapallo Maapallon keskimääräinen tiheys ρ = M E 4 3 πr E jolloin saadaan 5500 kg m 3 Arvo kuitenkin keskiarvo Maapallon tiheys pinnan läheisyydessä 3000 kg m 3 Keskipisteessä 13 000 kg m 3

Gravitaatiopotentiaalienergia Kaukana maan pinnasta Massa m liikkuu r 1 r 2 Tehty työ riippuu kappaleen liikkeestä maan säteen suunnassa r 2 r2 W grav = F g d l = F r dr r 1 r 1 r2 = G mm ( E 1 r 2 dr = GmM E 1 ) r 2 r 1 r 1 Tehty työ kahden termin erotus W grav = U = (U 2 U 1 ), missä U i = G mm E r i

Gravitaatiovoima potentiaalienergiasta Gravitaatiovoima F = U = U r êr Maan pinnan lähellä U = GmM E ( 1 r 2 1 r 1 ) = r [ G mm E r ] ( ) r1 r 2 = GmM E r 1 r 2 G mm E R 2 E ê r = G mm E r 2 ê r (r 1 r 2 ) = mg (r 1 r 2 )

Gravitaatiopotentiaalienergian nollakohta Gravitaatiovoiman tekemä työ voidaan esittää potentiaalierotuksena Konservatiivinen voima Potentiaalienergia negatiivinen ja lähestyy nollaa kun r Yleinen tapa määritellä potentiaalienergian nollakohta

Pakonopeus (escape velocity) Nopeus, jolla kappale pakenee isomman kappaleen (esim planeetta) vetovoimasta. Edellyttää että (ei huomioida ilmakehän vastusta) kappaleen kokonaisenergia 0. Rajatapauksena K + U = 0 = 1 2 mv 2 e G mm R = 0 = v e = Esimerkiksi maan pinnalla mg = G mm E R 2 E = v e,maa = 2G M R 2g M R E = 11.2 km s 1

Kiertoradat Kappale lähetetään maan pinnan yläpuolella vaakasuoraan eri alkunopeuksilla v 0 Ei huomioida ilmakehän vastusta Tarkastellaan kappaleen liikerataa Jos kokonaisenergia E = K + U < 0, kappale ei voi päästä äärettömyyteen, jossa U = 0 Tällöin se jää suljetulle radalle (closed orbit) Muuten se on avoimella radalla (open orbit)

Suljettu rata Suljettu rata aina muodoltaan ellipsi Toisessa polttopisteessä maan keskipiste Erikoistapauksena rata on ympyrä Liian pienillä alkunopeuksilla kappale ei voi kiertää täyttä kierrosta, vaan törmää maan pintaan

Avoin rata Jos kokonaisenergia E 0, rata avoin Kappale etääntyy koko ajan maasta eikä palaa Jos E > 0, rata muodoltaan hyperbeli Jos E = 0, paraabelirata

Ympyrärata Koska F g v, niin a T = 0 ja v on vakio Liike tällöin tasaista ympyräliikettä Liikeyhtälöstä saadaan ratanopeus ma N = F g = m v 2 Ei riipu satelliitin massasta r = G mm E r 2 = v = G M E r

Kiertoaika ja kokonaisenergia Lasketaan satelliitin kiertoaika T Satelliitin kiertonopeus ympyräradalla v = 2πr/T T = 2πr r 3/2 2πr = 2πr = v GM E GME Ympyräradalla satelliitin kokonaisenergia E = K + U = 1 2 m ( GME r E = K = U /2 ) G mm E r = G mm E 2r

N-II:n analogia Otetaan liikemäärämomentin aikaderivaatta d L dt = d r dt p + r d p dt = v m v + r d p dt = r d p dt Jos hiukkaseen vaikuttaa nettovoima F net = d p/dt d L dt = r d p dt = r F net = τ! Liikemäärämomentti ja vääntömomentti laskettava saman pisteen suhteen

Liikemäärämomentin säilyminen Kun nettovääntömomentti on nolla, niin d L/dt = 0 eli L on vakio = Liikemäärän säilymislaki Ehto toteutuu ainakin kun F ext = 0 Toisaalta liikemäärämomentti säilyy kun r F

Keskeisvoima = Voima, jonka suunta aina jotain kiinteää pistettä kohti Keskeisvoiman piirissä liikkuvan hiukkasen liikemäärämomentti vakio Esim. gravitaatiovoima tai sähköstaattinen voima Liikemäärämomentin säilymistä voidaan käyttää hyväksi avaruuslennoilla ns. gravitaatiolingon avulla, toisaalta sirontatehtäviä voidaan hyvin ratkaista sen avulla

Liike tasossa kulmasuureilla esitettynä Yksittäisen hiukkasen liikemäärämomentti origon O suhteen Kulmasuureilla esitettynä L = r p = r m v L = m r v = m r ( ω r) = mr 2 ω Jos rata tasossa muttei ympyrärata, hiukkasella sekä radiaalista että tangentiaalista nopeutta origon O suhteen Liikemäärämomenttiin vaikuttaa vain nopeuden tangentiaalikomponentti v θ = ρdθ/dt = L = mρ 2 dθ dt! ρ ja dθ/dt ei tarvitse olla vakioita

Liike keskeisvoiman piirissä Tapaus ympyrärata Keskeisvoiman vaikuttaessa ympyräradalla liikkuvaan kappaleeseen, täytyy olla F g v, niin a T = 0 ja v on vakio Liike tällöin tasaista ympyräliikettä Liikeyhtälöstä saadaan ratanopeus ma N = F g = m v 2 r = G mm E r 2 = v = Ei riipu kappaleen (esim satelliitti) massasta G M E r

Kiertoaika ympyräradalla Lasketaan satelliitin kiertoaika T Satelliitin kiertonopeus ympyräradalla v = 2πr/T T = 2πr r 3/2 2πr = 2πr = v GM E GME Ympyräradalla satelliitin kokonaisenergia E = K + U = 1 2 m ( GME r E = K = U /2 ) G mm E r = G mm E 2r

Keplerin lait Nikolaus Kopernikus esitti vuonna 1543, että maa on planeetta, joka muiden planeettojen tavoin kiertää aurinkoa. Johannes Kepler vuosina 1601 1619 osoitti, että planeettojen radat voidaan laskea niiden näennäisestä liikkeestä. Hän havaitsi kolme empiiristä lakia: 1. Jokainen planeetta kiertää aurinkoa elliptisellä radalla, jonka toisessa polttopisteessä on aurinko 2. Auringon ja planeetan välinen jana peittää saman pinta-alan samassa ajassa 3. Planeettojen kiertoajat ovat verrannolliset ellipsin pääakselin pituuden potenssiin 3/2.

Elliptinen rata Elliptisen radan polttopisteet ne pisteet, joiden yhteenlaskettu etäisyys SP + S P vakio mihin tahansa ellipsin pisteeseen P Pääakselin pituus 2a Aurinko pisteessä S S y 2a Apheli P S x Ellipsin eksentrisyys e = SO /a Radan aurinkoa lähin piste periheli Kauimmainen piste apheli 2ea Periheli

Keplerin toinen laki Newton johti Keplerin lait liikeyhtälöstä ja gravitaatiolaista Jana SP peittää alan da aikayksikköä kohden da dt (Sektorinopeus) = 1 2 r rdθ dt

Keplerin toinen laki Jaetaan nopeusvektori säteittäiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin v jolloin = v sin φ = ds dt = r dθ dt da dt = 1 2 rv sin φ = 1 r v = 2 1 r m v = L 2m 2m

Liikemäärämomentti säilyy Gravitaatiovoima keskeisvoima Liikemäärämomentin muutos d L dt = τ = r F = 0 koska r F Tällöin siis: liikemäärämomentti säilyy joten sektorinopeus vakio L vakiovektori joka liiketasoon nähden kohtisuorassa Planeettojen liikkeen oltava samassa tasossa

Keplerin kolmas laki Kiertoaika elliptisellä radalla M auringon massa T = T ei riipu radan eksentrisyydestä 2π GM a 3 2 Elliptisellä radalla planeetan kokonaisenergia ei riipu radan eksentrisyydestä, ainostaan pääakselin pituudesta E = G mm 2a

Eksentrisyyden vaikutus Sen sijaan liikemäärämomentti riippuu e:stä L = m GMa(1 e 2 ) Samaa kokonaisenergiaa vastaa joukko erilaisia L:n arvoja Erilaiset radat Todellisuudessa planeetat kiertävät systeemin massakeskipistettä = Lähellä auringon keskipistettä

Esimerkki 1000 kg painoinen satelliitti halutaan lähettää ympyräradalle 300 km maan pinnan yläpuolelle. a) Määritä satelliitin tarvitsema nopeus, kiertoaika ja radiaalinen kiihtyvyys, b) Paljonko työtä pitää tehdä satelliitin saattamiseksi kiertoradalle? c) Kuinka paljon lisätyötä pitää tehdä, että satelliitti karkaisi maan vetovoimakentästä? Maan säde R E = 6380 km ja massa M E = 5.97 10 24 kg.

Esimerkki: Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatio Väite Pallosymmetrisen kappaleen gravitaatiokenttä sen ulkopuolella samanlainen, kuin pistemäisen kappaleen kenttä Todistus Tarkastellaan onton pallonkuoren aiheuttama gravitaatiokenttä Kentän voimakkuus saadaan joko integroimalla pallonkuoren osien aiheuttama kenttä tai laskemalla pallonkuoren gravitaatiopotentiaali, jonka gradientti haluttu kenttä on Gravitaatiopotentiaali = gravitaatiopotentiaalienergia per massayksikkö

Onton siivun gravitaatiopotentiaali R-säteinen pallonkuori jaettu siivuihin joiden keskipiste janalla CP Siivun säde R sin φ, pituus 2πR sin φ ja paksuus R dφ = da = 2πR 2 sin φ dφ Kuoren massa m / pinta-alayksikkö σ = m A = m 4πR 2 Siivun massa dm = σ da = m A da = m sin φ dφ 2 Siivun gravitaatiopotentiaali dv pisteessä P dv = γ dm s R dφ P s r R sin φ R φ C dφ

Gravitaatiopotentiaali pallonkuoren ulkopuolella Kosinilauseesta s 2 = R 2 + r 2 2rR cos φ = 2s ds = 2rR sin φ dφ = sin φ dφ = s ds r rr Siivun gravitaatiopotentiaaliksi saadaan dv = γ dm s Pallonkuoren ulkopuolella V = dv = m sin φ dφ = γ = γm 2s 2rR ds r+r r R γm 2rR ds = γ m r = G = V = γ m r 2 êr R dφ P s r R sin φ R φ C dφ

Gravitaatiopotentiaali pallonkuoren sisäpuolella Sisäpuolella analyysi muuten sama, mutta integrointirajat R r r + R V = dv = R+r R r γm 2rR ds = γ m R Vakio! Ei riipu sijainnista. Gravitaatiovoima sisäpuolella siten G = V 0

Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon ulkopuolella Umpinainen homogeeninen pallo koostuu sisäkkäisistä pallonkuorista Gravitaatiopotentiaali pisteessä P missä M on koko pallon massa Kentän voimakkuus V = γ M r G = V = γ m r 2 êr

Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon sisäpuolella Gravitaatiokenttään vaikuttaa ainoastaan tarkastelupisteen etäisyyden sisäpuolella olevien pallonkuorien massa G = γ m 4 in r 2 êr 3 missä m in = m πr 3 4 = m r 3 3 πr3 R 3 = G = γ mr R 3 êr tästä edelleen gravitaatiopotentiaali V = G dr = γ mr 2 2R 3 + C

Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali pallon sisäpuolella Integroimisvakio C saadaan potentiaalin jatkuvuudesta pallon pinnalla Joten V (R) = γ m R = γ m 2R + C = γ m R = C = 3γm 2R V (r) = γ mr 2 2R 3γm 3 2R = γm ( ) 2R 3 r 2 3R 2

Umpinaisen pallon gravitaatiopotentiaali epähomogeeninen pallo Mikäli pallon tiheys riippuu ainoastaan etäisyydestä pallon keskipisteestä, ρ = ρ(r), pallon ulkopuolella tilanne sama kuin homogeenisen pallon tapauksessa Sisäpuolella gravitaatiokenttä lasketaan jakamalla pallon massa tarkastelupisteen etäisyyttä kauempana ja lähempänä oleviin alueisiin Vain sisäpuolinen alue vaikuttaa gravitaatiokenttään Gravitaatiokentän muoto riippuu tiheysfunktion muodosta

Esimerkki keskeisvoimasta Partikkelin sironta Hiukkanen siroaa repulsiivisesta keskeisvoimasta Törmäysparametri b, sirontakulma φ v 0 y b φ v 0 b x

Ratkaisu Repulsiivinen keskeisvoima: F = k r 2 Y-suunnassa F y = ma y = F sin(π θ) = k r 2 sin θ Liikemäärämomentti säilyy (alussa = lopussa) mr 2 dθ dt = mv 0 b = r 2 = v 0b dθ/dt = F y = k r 2 sin θ = k dθ sin θ v 0 b dt = ma y = m dv y dt

Ratkaisu Integroidaan... k v 0 b sin θ dθ = m dv y = k mv 0 b v 0 sin φ = π φ k [ mv 1 + cos φ] = 0 2b mv 0 b k 0 sin θ dθ = v0 sin φ 0 = 1 + cos φ sin φ dv y = = cot φ 2

Simuloidaan 120 90 20 15 60 150 5 10 30 180 0 210 330 240 270 300