Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden ymmärtää parhaiten tarkastelemalla epäjatkuvaa funktiota: Esimerkki. Epäjatkuva funktio) Tarkastellaan seuraavaa paloittain määriteltyä funktiota: { x 2, kun x < 0 f x) = x 2 +, kun x 0 Tämä funktio on pisteessä x = 0 epäjatkuva: tämän näkee selvästi, kun piirtää funktion kuvaajan: siinä on hyppy pisteessä x = 0. Toisaalta tämä funktio on kaikissa muissa pisteissä jatkuva: Graafisesti ilmaistuna jatkuva funktio on sellainen, jonka kuvaajan voi piirtää nostamatta kynää paperilta. Täsmällisempi määritelmä kertoo, että funktio f on jatkuva pisteessä x 0, jos funktion raja-arvo on tässä pisteessä sama kuin funktion arvo tässä pisteessä: Funktio f on jatkuva pisteessä x 0, jos. Sillä on tässä pisteessä raja-arvo eli lim x x0 f x) on olemassa.
2. Funktion arvo tässä pisteessä eli f x 0 ) on olemassa ja 3. Funktion arvo tässä pisteessä on yhtä kuin tämä raja-arvo. Eli funktio f on jatkuva pisteessä x 0, jos lim f x) = f x 0 ). x x 0 Jatkuvuudesta on ensinnä hyvä huomata, että se on funktion ominaisuus tietyssä pisteessä. Funktion voi myös sanoa olevan jatkuva tietyssä joukossa A, mikä tarkoittaa sitä, että se on jokaisessa tämän joukon pisteessä jatkuva. Funktion f jatkuvuus pisteessä x 0 kertoo siis sen, että funktion arvo f x) saadaan lähelle arvoa f x 0 ), kun valitaan arvo x riittävän läheltä arvoa x 0. Eli kun välimatka x x 0 on pieni, niin myös välimatka f x) f x 0 ) on pieni. Jatkuvuus on hyvinkin oleellinen käsite, ja useimmat kansantaloustieteen ja matematiikan kursseilla tavattavat funktiot ovat jatkuvia. Esimerkiksi polynomit, kuten ax 3 + bx 2 + cx + d ovat jatkuvia. Kansantaloustieteessä taas esimerkiksi hyötyfunktio oletetaan käytännössä aina jatkuvaksi. Hyötyfunktion tapauksessa jatkuvuus tarkoittaa intuitiivisessa mielessä sitä, että kuluttajien preferenssit eivät tee odottamattomia käännöksiä, kun kulutusta muunnetaan hieman. Jatkuvien funktioiden jatkuvat muunnokset Olkoon funktiot f x) ja gx) jatkuvia pisteessä x 0. Näiden funktioiden tietyt muunnokset ovat myös jatkuvia:. Näiden summa f x) + gx) on jatkuva. 2. Näiden tulo f x)gx) on jatkuva. 3. Näiden osamäärä f x) gx) on jatkuva, jos gx) = 0. 4. Yhdistetyt kuvaukset f g = f gx)) ja g f = g f x)) ovat jatkuvia. Nämä ovat erittäin hyödyllisiä tuloksia. Koska esimerkiksi funktiot f x) = x ja gx) = x, x 0 ovat jatkuvia määrittelyalueellaan, niin. Näiden summa x + x on jatkuva. 2. Näiden tulo x x on jatkuva. 3. Näiden osamäärä x x on jatkuva, kun x > 0. 2
4. Yhdistetyt kuvaukset f g = f gx)) = f x) = x ja g f = g f x)) = x ovat jatkuvia. Voidaan siis lähteä kahdesta jatkuvasta funktiosta, ja todeta että näiden tietyt muunnokset ovat myös jatkuvia. Vastaavanlaista päättelyä voidaan suorittaa myös toiseen suuntaan. Oletetaan, että haluamme osoittaa funktion f x) jatkuvaksi. Jos f x) on vaikkapa kahden funktion osamäärä, niin yllä olevan perusteella riittää osoittaa, että tämän osamäärän osoittaja ja nimittäjä ovat jatkuvia ja että nimittäjä ei ole nolla. Täten f on kahden jatkuvan funktion osamääränä jatkuva. Esimerkki.2 Funktion osoittaminen jatkuvaksi) Osoita, että funktio x f x) = 2 + 5x + 00, x > 0 x on jatkuva. Ratkaisu. Ensinnäkin sisäfunktion osamäärän osoittaja x 2 + 5x + 00 on polynomifunktiona jatkuva. Samoin nimittäjä x on jatkuva määrittelyjoukossaan x > 0, joten osamäärä x 2 + 5x + 00)/ x on jatkuva, kunhan x > 0. Nyt f x) voidaan esittää muodossa g h, jossa hx) = x 2 + 5x + 00)/ x ja gx) = x. Täten f on kahden jatkuvan kuvauksen yhdistettynä kuvauksena jatkuva. Esimerkki.3 Paloittain määritellyn funktion jatkuvuus) Tarkastellaan nyt paloittain määriteltyä funktiota { x 2, x 5 f x) = a, x < 5 Kysymys kuuluu, millä vakion a arvolla tämä funktio on jatkuva. Jatkuvuuden takaamiseksi pitää päteä, että lim x 5 f x) = f 5). Selvästi f 5) = 5 2 = 25 ja myös funktion oikeanpuoleinen raja-arvo tässä pisteessä on lim x 5+ f x) = 25. Jatkuvuus tässä pisteessä siis pätee, jos myös vasemmanpuoleinen raja-arvo on 25. Eli jos lim x 5 = a = 25. 2 Potenssifunktion raja-arvo Potenssifunktio kuten 5 n on eri asia kuin polynomifunktio kuten n 5, sillä potenssifunktiossa potenssi n on muuttuja, kun taas polynomifunktiossa potenssi on vakio. Kuitenkin nämä kaksi funktiotyyppiä menevät usein sekaisin, etenkin derivoitaessa. 3
Potenssifunktioiden raja-arvojen laskeminen muistuttaa tekniikaltaan polynomifunktioiden raja-arvojen laskemista: pyritään ottamaan suurin termi yhteiseksi tekijäksi. Tässä tapauksessa suurin tarkoittaa suurinta potenssin kantaa: esimerkiksi 9 n > 5 n kaikilla n. Potenssifunktioiden rajaarvojen laskeminen perustuu siihen, että termit kuten 5/7) n, jotka ovat alle yhden, lähestyvät nollaa kun n kasvaa rajatta. Esimerkki 2. Potenssifunktion raja-arvon laskeminen) Laske raja-arvo 7 n + 5 n lim n 8 n. Ratkaisu. 7 n + 5 n lim n 8 n = lim n 7n = lim n = 0 7 8 ) + 5n 7 n 8 n ) n + ) 5 n ) 7 Tulos johtuu siitä, että kun luvusta joka on alle yhden otetaan suurempia ja suurempia potensseja, niin syntyvä luku lähestyy nollaa. Potenssifunktioita sisältävien raja-arvojen laskeminen siis tapahtuu ottamalla nimittäjästä ja osoittajasta suurin potenssi yhteiseksi tekijäksi. Yllä olevassa esimerkissä osoittajan suurin potenssi oli 7 n ja nimittäjän suurin potenssi oli 8 n. Tämän jälkeen raja-arvon laskeminen on suoraviivaista. Seuraavassa esimerkissä funktion lauseketta muokattaessa pitää muistaa, että 7 n+ = 7 7 n ja 9 n = 9 9n Esimerkki 2.2 Potenssifunktion raja-arvon laskeminen) Laske raja-arvo 7 n + 9 n lim n 9 n Ratkaisu. 7 n+ + 9 n lim n 9 n = 7 7n + 9 n 9 9n 7 7 9 = 9n 9 n 7 0 + = 9 = //9) = 9. ) n + 9 n ) 9) 9 ) 9 n 9 ) 4
3 Luku e Neperin luku e on matematiikassa erittäin tärkeä luku. Se on irrationaaliluku, joka on noin 2,72. Se määritellään seuraavana raja-arvona: e = lim + ) n n n Tämän tiedon avulla voi laskea raja-arvoja, jotka ovat yllä olevan lausekkeen kaltaisessa muodossa. Esimerkki 3. Raja arvon palauttaminen lukuun e) Etsi raja-arvo lim + 00 ) x x x Ratkaisu. Muokataan lauseketta kunnes se palautuu e:n määritelmään: lim + 00 ) x = lim + x x x x/00 = lim + x = lim x/00 = e 00 ) x ) x/00 ) 00 x/00 + ) ) x/00 00 x/00 Tässä käytettiin myös tietoa x/00 kun x. Esimerkki 3.2 Raja arvon palauttaminen lukuun e) Laske raja-arvo lim + 4/5 ) y/2. y y Ratkaisu. Muokataan jälleen lauseketta kunnes se palautuu e:n määritelmään: lim + 4/5 ) y/2 = lim + ) y/2 y y y 5y/4 = lim y = e 2/5. + 5y/4 ) 5y/4 ) 4/5y) y/2 5
4 Geometristen sarjojen teoriaa Jonot ja sarjat Analyysissä jono {x n } on päättymätön, järjestetty lista lukuja: {x n } = x, x 2, x 3,... ). Esimerkiksi {/n} =, /2, /3, /4,... ) on jono. Samoin {n 2 } =, 2, 4, 9,... ) on jono. Toisin sanottuna jono on funktio f n) = x n, jossa lähtöjoukkona on luonnolliset luvut, 2, 3,... Jonosta {x n } voidaan muodostaa sarja summaamalla tämän jonon termit yhteen: lasketaan siis summa x + x 2 + x 3 + Tämä summa ei tietenkään aina ole olemassa. Jos meillä on esimerkiksi jono {n 2 } =, 2, 4, 9, ), niin tämän termien summa + 2 + 9 + on ääretön. Mielenkiinnon kohteena ovat sarjat, joilla tämä summa on äärellisenä olemassa. Sanotaan, että sarja suppenee jos tämä summa on olemassa äärellisenä. Jos sarja ei suppene, se hajaantuu. Geometrinen sarja Yksi tärkeimmistä sarjatyypeistä on geometrinen sarja. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi seuraavat sarjat: + /0 + /00 + /000 + e + e/2 + e/4 + e/8 + e/6 + + 2 + 4 + 8 + 6 + Huomataan, että geometrisessa sarjassa jokainen termi on aina edellinen termi kertaa jokin suhdeluku. Merkitään tätä lukua q. Yllä havaitaan, että ensimmäisessä sarjassa q = /0, toisessa q = /2 ja kolmannessa q = 2. Esimerkiksi sarja + /0 + /00 + /000 + voidaan kirjoittaa muodossa + /0 + /00 + /000 + = ) i 0 i=0 Samoin sarja e + e/2 + e/4 + e/8 + e/6 + voidaan kirjoittaa e + e/2 + e/4 + e/8 + e/6 + = 6 e i=0 ) i 2
Muodostetaan tästä geometrisen sarjan määritelmä: Sarja joka voidaan kirjoittaa muodossa aq i i=0 on geometrinen sarja. Luku a on sarjan ensimmäinen termi ja q on sarjan suhdeluku. Esimerkiksi sarjassa + /2 + /4 + /8 + /6 + pätee { a =, q = /2. Geometrisia sarjoja on helppo käsitellä, sillä niiden summille on olemassa yksinkertainen kaava: Geometrinen sarja aq i i=0 suppenee jos < q <. Sarjan summa on a ensimmäinen termi = q suhdeluku Tämä lause on yllättävän helppo todistaa: Merkitään geometrisen sarjan summaa A:lla. Kirjoitetaan geometrinen sarja ja sen alle tämä sarja kerrottuna suhdeluvulla q: A = a + aq + aq 2 + aq 3 + Aq = aq + aq 2 + aq 3 + Nyt voidaan vähentää tämä alempi rivi ylemmästä rivistä, jolloin oikealle puolelle jää pelkkä a. Tämän jälkeen yhtälön voi ratkaista summan A suhteen: A Aq = a A = a q Esimerkki 4. Geometrisen sarjan summa) Sarja 2 + + /2 + /4 + suppenee sillä q = /2 <. Lisäksi a = 2, joten sarjan summa on a q = 2 /2 = 4. 7
Desimaalilukujen esittäminen murtolukuina Geometrisilla sarjoilla on valtava määrä sovelluksia. Alla esitetään tapa ratkaista vanha kiista siitä onko 0, 999999 =. Esimerkki 4.2 0, 999999 = ) Osoita, että 0, 999999 =. Ratkaisu: 0, 999999 voidaan muodostaa geometriseksi sarjaksi. Kirjoitetaan se muotoon 0, 999999 = 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 Tämän sarjan ensimmäinen termi on 0, 9 ja suhdeluku on /0. Koska suhdeluvun itseisarvo on pienempi kuin yksi, sarja suppenee. Summana on a q = 0, 9 /0 = 0, 9 0, 9 =. Esimerkki 4.3 Desimaaliluvun esittäminen murtolukuna) Esitä, 65777777777 kahden kokonaisluvun osamääränä. Ratkaisu:, 65777777777 = + 0, 6 + 0, 05 + 0, 007 + 0, 0007 + Tässä kolme ensimmäistä termiä eivät ole osa geometrista sarjaa. Sen sijaan 0, 007 + 0, 0007 + muodostaa geometrisen sarjan jonka summa on Täten koko sarjan summa on a 0, 007 = q /0 = 7/000 9/0 = 7/900., 65777777777 = + 0, 6 + 0, 05 + 7/900 = 900/900 + 549/900 + 45/900 + 7/900 = 50/900. Esimerkki 4.4 Desimaaliluvun esittäminen murtolukuna) 0, 4444 murtolukuna. Ratkaisu: Kirjoitetaan jälleen tämä luku murtolukumuodossa: Esitä luku 0, 4444 = 4 0 + 4 00 + 4 000 + 8
Tämä on geometrinen sarja, jonka suhdeluku q = /0 ja ensimmäinen termi a = 4/0. Täten 0, 4444 = 4/0 /0 = 4/0 9/0 = 4 9 Esimerkki 4.5 Murtoluvun esittäminen desimaalina) Esitä luku /2 geometrisena sarjana. Ratkaisu: Nyt pitää edetä eri suuntaan kuin aikaisemmissa esimerkeissä: yritetään aluksi kirjoittaa luku /2 muodossa a/ q). Tässä haasteena on saada nimittäjä muotoon q. Tehdään tämä jakamalla sekä nimittäjä että osoittaja ensin luvulla 3: 2 = /3 2/3 = /3 /3. Nyt tämä on halutussa muodossa a/ q). Koska a/ q) = a + aq + aq 2 +, niin 2 = /3 /3 = /3 + /9 + /27 + 9