KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Samankaltaiset tiedostot
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Fysiikan valintakoe , vastaukset tehtäviin 1-2

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Fysiikan perusteet. Työ, energia ja energian säilyminen. Antti Haarto

Luento 9: Potentiaalienergia

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl

DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Luku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Voimat mekanismeissa. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luvun 10 laskuesimerkit

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Mekaaninen energia. Energian säilymislaki Työ, teho, hyötysuhde Mekaaninen energia Sisäenergia Lämpö = siirtyvää energiaa. Suppea energian määritelmä:

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Luento 5: Käyräviivainen liike

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Massakeskipiste Kosketusvoimat

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

Luku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia

Työ ja kineettinen energia

Luento 3: Käyräviivainen liike

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Luento 11: Potentiaalienergia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2011 Insinöörivalinnan fysiikan koe , malliratkaisut

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

Luvun 10 laskuesimerkit

Luento 5: Käyräviivainen liike

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

KJR-C1001: Statiikka L2 Luento : voiman momentti ja voimasysteemit

W el = W = 1 2 kx2 1

NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI

Vedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi

kertausta Esimerkki I

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

FY9 Fysiikan kokonaiskuva

Tarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

Voiman momentti M. Liikemäärä, momentti, painopiste. Momentin määritelmä. Laajennettu tasapainon käsite. Osa 4

Fysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Luento 11: Periodinen liike

(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi

STATIIKKA. TF00BN89 5op

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Kurssiesite, kevät 2016

Perusopintojen Laboratoriotöiden Työselostus 1

= ( F dx F dy F dz).

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe , malliratkaisut

Luvun 5 laskuesimerkit

Miltä työn tekeminen tuntuu

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen

Fysiikka ei kerro lopullisia totuuksia. Jokin uusi havainto voi vaatia muuttamaan teorioita.

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Transkriptio:

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme

Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän akselin ympäri pyörivälle kappaleelle Ymmärtää, miten voimaparin tekemä työ määritellään Osata ratkaista rotaatioliikkeen kinetiikan ongelmia soveltaen Työn ja energian periaatetta Mekaanisen energian säilymisen periaatetta Sisältö Liike-energia Translaatioliikkeelle (kertaus) Rotaatioliikkeelle kiinteän akselin ympäri Voiman tekemä työ Kerrataan määritelmä viime viikolta Määritellään voimaparin tekemä työ Esimerkkitehtäviä

Liike-energia (Kirjan luku 18.1) Translaatioliikkeessä jäykän kappaleen massakeskipisteen liikeenergia on Kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri, kappaleella on sekä translaatioliikkeen että rotaatioliikkeen liike-energia T = 1 2 mv G 2 + 1 2 I Gω 2 T = 1 2 mv G 2 v G = r G ω T = 1 2 m(r Gω ) 2 + 1 2 I Gω 2 = 1 2 (mr G 2 + I G )ω 2 T = 1 2 I Oω 2

Esimerkki Määritä kappaleen liike-energia. O G r G G Ympyrälevyn hitausmomentti: I G = 1 2 mr2 Rotaatioliike pisteen O ympäri. T = 1 2 I Oω 2 = 1 2 (mr G 2 + I G )ω 2 = 1 2 100 2 2 + 1 2 100 2 2 4 2 = 4800 Yksiköt: kg m2 s 2 = Nm = J Hoikan sauvan hitausmomentti: I G = 1 12 ml2 Rotaatioliike pisteen O ympäri. T = 1 2 (mr G 2 + I G )ω 2 = 1 2 100(1)2 + 1 12 100 6 2 2 2 = 800 J

Voiman tekemä työ (Kirjan luvut 14.1 ja 18.2) Voima tekee työtä kappaleeseen, kun kappaleella on siirtymä voiman suuntaan Jos voima ei ole saman suuntainen kuin siirtymä, työtä tekee ainoastaan voiman komponentti, joka on siirtymän suuntainen. Kun voima pysyy vakiona, työ on voiman siirtymän suuntaisen komponentin ja siirtymän tulo U Fc = F c cos θ s s

Voiman tekemä työ (Kirjan luvut 14.1 ja 18.2) Kun siirtymä ja voima kirjoitetaan vektorimuodossa, voidaan työ esittää pistetulona. du = F dr Muuttuvan voiman tekemä kokonaistyö saadaan integroimalla U F = F dr = F cos θ ds s

Voiman tekemä työ (Kirjan luku 14.1 ja 18.2) Painon tekemä työ Jousivoiman tekemä työ du s = F s ds = ks ds U s = s 1 s 2 Fs ds = s 1 s 2 ks ds = ( 1 2 ks 2 2 1 2 ks 1 2 ) U W = WΔy

Voimaparin tekemä työ (Kirjan luku 18.3) Translaatioliikkeessä voimapari ei tee työtä (voimien vastakkaismerkkiset työt kumoavat toisensa) Rotaatioliikkeessä, kun kappale kiertyy kulman dθ verran, kumpikin voimaparin voima liikkuu matkan ds θ = r 2 dθ. Voimaparin tekemä työ on siten du M = F r 2 dθ + F r 2 dθ = Fr dθ = Mdθ Kun kappale kiertyy kulman θ verran, voimaparin tekemä kokonaistyö on U M = θ 2Mdθ θ 1 Jos voimaparin momentti on vakio: U M = M(θ 2 θ 1 )

Konservatiiviset voimat ja potentiaalienergia (Kirjan luvut 14.5 ja 18.5) Voima on konservatiivinen jos sen tekemä työ ei riipu reitistä Painovoima ja jousivoima ovat konservatiivisia Kitkavoima on ei-konservatiivinen, koska sen tekemä työ riippuu kappaleen kulkemasta reitistä Mekaniikassa tärkeitä potentiaalienergian muotoja ovat painovoimaan liittyvä potentiaalienergia, V g, ja jousivoimaan liittyvä potentiaalienergia, V e. Potentiaalienergia on energiaa, joka riippuu paikasta, mitattuna kiinteästä vertailutasosta tai pisteestä. Potentiaalienergia kuvaa konservatiivisen voiman tekemää työtä, kun se liikkuu takaisin vertailupisteeseen.

Työn ja energian periaate T 1 + ΣU 1 2 = T 2 T on liike-energia V on potentiaalienergia U on voimien tekemä kokonaistyö Energian säilymisen periaate T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Sovelletaan työn ja energian periaatetta, kun systeemiin vaikuttaa ei-konservatiivisia voimia. Sovelletaan energian säilymisen periaatetta, kun systeemiin vaikuttaa vain konservatiivisia voimia.

Sovelletaan työn ja energian periaatetta. Miksi? Esimerkki Kuvan pyörällä on massakeskipisteensä, O, suhteen hitaussäde k O = 400 mm. Pyörän massa on 80 kg. Määritä kulmanopeus 20 kierroksen jälkeen alkaen levosta. Voisiko tehtävän ratkaista soveltamalla energian säilymisen periaatetta? Miten tehtävä ratkeaisi liikeyhtälöillä? T 1 + ΣU 1 2 = T 2 Alussa systeemi on levossa, joten T 1 = 0. Määritetään voiman P tekemä työ sekä liike-energia lopussa. Voiman P siirtymä 20 kierroksen jälkeen on s = 20 2π)(0.6m = 75.398 m Voiman P tekemä työ 20 kierroksen aikana on (oletetaan, että voima pysyy vakiona) U = Ps = 50N 75.398 m = 3769.91 J Pyörän kulmanopeus 20 kierroksen jälkeen saadaan työn ja energian periaatteesta. T 2 = 1 2 I Oω 2 = U ω = 2U I O = 2 3769.91 Nm rad = 24.3 80 kg (0.4 m) 2 s

Esimerkki Miten tehtävää lähdetään ratkaisemaan? Piirretään sauvan vapaakappalekuva ja kineettinen kuva auttamaan ratkaisusuunnitelman tekemisessä Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. n O t O n G t W = 294.3 N F = ks n m(a G G ) n m(a G ) t t I G α Tehtävässä kysytään kulmanopeutta, kun tunnetaan kulma-asema alussa ja lopussa. ω Tehtävä voidaan ratkaista liikeyhtälöillä, kuten eilen luennolla, mutta koska tehtävässä ei tarvita kiihtyvyyttä, voimme soveltaa myös energiamenetelmiä. Sauvaan vaikuttaa painovoima ja jousivoima, jotka ovat konservatiivisia voimia. Voimme siis soveltaa energian säilymisen periaatetta. Tehtävä ratkeaisi toki myös työn ja energian periaatteella.

Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. Sovelletaan energian säilymisen periaatetta. T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Määritellään liike- ja potentiaalienergia alussa ja lopussa. Liike-energia, kun kappale pyörii kiinteän akselin ympäri: T = 1 2 I Oω 2 T 1 = 0 T 2 = 1 2 I Oω 2 = (11.25kg m 2 )ω 2 I O = 1 12 ml2 + md 2 = 1 12 30 kg 1.5m 2 + (30kg)( 1.5 2 m)2 = 22.5 kg m 2

Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. Potentiaalienergia sisältää sauvan painovoiman ja jousen elastisen potentiaalienergian. Piirretään systeemi alku- ja loppuasennoissa. Määritetään vertailutaso, jonka suhteen painovoiman ja jousen potentiaalienergia määritetään. Valitaan vertailutasoksi sauvan suuntainen akseli, kun kulma-asema θ = 0. 1 G Datum θ = 0 G θ = 90 2 Potentiaalienergia alussa (asemassa 1) on nolla, koska massakeskipiste on vertailutasolla ja jousi on puristumaton V 1 = 0

Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. 1 G Datum θ = 0 y 2 = 0.75 m θ = 90 Potentiaalienergia asemassa 2 on painovoiman ja jousen elastisen potentiaalienergian summa G 2 (1.5 m) 2 +(2 m) 2 = s 2 + 0.5m V 2 = V g2 + V e2 V g2 = Wy 2 = 30kg 9.81 m s 2 0.75m = 220.725 J V e2 = 1 2 ks 2 2 = 1 2 (80 N/m) 2m 2 = 160 J

Esimerkki Kuvan sauva on tuettu nivelellä pisteestä O ja jousella pisteestä A. Sauva päästetään irti asemasta θ = 0. Mikä on sauvan kulmanopeus asemassa θ = 90? Kun θ = 0, jousi on venymättömässä tilassaan. Sauvan massa on 30 kg. Energian säilymisen periaate. T 1 + V 1 = T 2 + V 2 0 + 0 = 1 2 I Oω 2 + 1 2 ks 2 2 Wy 2 ω = Wy 2 1 2 ks 2 2 1 2 I O = 220.725 160 11.25 = 2.323 rad s

Yhteenveto Tarkastelimme rotaatioliikkeen kinetiikkaa työn ja energian näkökulmasta Määrittelimme kiinteän akselin ympäri pyörivän kappaleen liike-energian Määrittelimme voiman ja voimaparin tekemän työn ottaen huomioon sekä translaatio- että rotaatioliikkeen Sovelsimme työn ja energian periaatetta sekä energian säilymisen periaatetta kinetiikan ongelmien ratkaisemiseen Kinetiikan ongelmat voidaan ratkaista joko liikeyhtälöiden tai energiaperiaatteiden avulla