Mustan kappaleen säteily Luento 6 Pintaa, joka absorboi kaiken siihen osuvan sähkömagneettisen säteilyn, kutsutaan mustaksi kappaleeksi. Tällainen pinta myös säteilee kaikilla aallonpituuksilla. Sen sanotaan olevan täydellinen säteilijä eli sen lähettämällä säteilyllä on jatkuva, kaikki aallonpituudet sisältävä spektri. Esimerkiksi noki on ominaisuuksiltaan lähellä mustaa kappaletta. Siinä on paljon atomeihin sitoutumattomia elektroneja, jotka voivat värähdellä vapaasti ja vastaanottaa kaiken energiaisia fotoneita. Nämä elektronit voivat myös säteillä fotoneita kaikilla aallonpituuksilla. Säteilyn intensiteetillä I tarkoitetaan neliömetrille sekunnissa keskimäärin tulevan energian määrää eli säteilyn tehoa neliömetriä kohden. Mustan kappaleen säteilyn intensiteetti on verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin (Stefanin- Boltzmannin laki): I = σt 4, jossa s on Stefanin-Boltzmannin vakio σ = 5 670400 10 W m K 8. 4. Intensiteettissä huomioidaan yhdessä kaikkien aallonpituuksien säteily. Intensiteetti ei ole kuitenkaan tasaisesti jakautunut eri aallonpituuksille. Intensiteetti aallonpituusvälillä λ λ + dλ on I( λ) dλ, 1
ja kokonaisintensiteetti on siten I = dλ I( λ). 0 Säteilyspektrin muoto riippuu mustan kappaleen lämpötilasta. Säteily on voimakkaimmillaan kullekin lämpötilalle ominaisella aallonpituudella l m. Huipun paikalle pätee Wienin siirtymälaki: λ m T =. 90 10 3 m K. Spektri ei ei riipu siitä, mitä ainetta musta kappale on, ainoastaan lämpötilasta. Kun lämpötila nousee, säteilyn määrä kasvaa kaikilla aallonpituuksilla, mutta intensiteetin maksimikohta siirtyy Wienin lain mukaisesti lyhyempiä aallonpituuksia kohti. Klassisen sähkömagneettisen säteilyn aaltoteorian pohjalta laskettaessa intensiteetin I(λ) tulisi kasvaa rajatta aallonpituuden lyhentyessä, I(λ) 1/ λ. Tätä lordi Rayleighin johtamaa ja ilmeisen väärää tulosta kutsuttiin ultraviolettikatastrofiksi. Max Planck ratkaisi tämän ongelman 1900 olettamalla, että esimerkiksi suljetun laatikon sisällä oleva sm-kenttä voi saada laatikon seinämistä, samoin luovuttaa seinämille, energiaa vain määräkokoisina annoksina hλ.
Planck sai tämän oletuksen pohjalta intensitteettijakautumaksi I ( λ) πhc = 5 kt λ ( ), hc / λ e 1 Planckin säteilylaki Jossa h on Planckin vakio, k on Boltzmannin vakio T on Kelvin-lämpötila. Harjoitus: Johda Planckin laista Stefanin-Boltzmannin laki. Planckin laki on sopusoinnussa Einsteinin myöhemmin esittämän valon kvanttiteorian kanssa. Maailmankaikkeuden täyttää kosminen taustasäteily, joka on lämpötilassa.75 K olevan mustan kappaleen säteilyä. Sen spektri on tarkimmin mitattu mustan kappaleen spektri. Sähkömagneettisen säteilyn spektri: 3
Esimerkki. Auringon pintaa voi pitää hyvänä approksimaationa mustana kappaleena. Se siis säteilee sm-säteilyä kaikilla aallonpituuksilla ja sen intensiteettijakautuma on suunnilleen Planckin lain mukainen. Auringon pinnan lämpötila on 5800 K. Millä aallonpituudella Auringon pinta säteilee voimakkaimmin? Mikä on Auringon pinnan säteilyteho? Wienin siirtymälain mukaan intensiteettimaksimi on aallonpituudella λ m. 30 10 = T = 0. 500 10 3 6 3 m K. 30 10 m K = 5800 K m = 500 nm. Aurinko säteilee siis voimakkaimmin näkyvän valon alueella. Säteilyn kokonaisintensiteetti on Stefanin-Boltzmannin lain mukaan I = σt 4 = 8 4 ( 5. 67 10 W/m K ) ( 5800 K) = 6.4 10 7 W/m = 64. MW/m 4. Maan etäisyydellä intensiteetti on 1.4 kw/m (ns. aurinkovakio). Auringon lähettämän säteilyn intensiteettijakautuma. 4
3. Aineen aaltoominaisuudet Aine aaltoina, de Broglien aallot Elektronien diffraktio Heisenbergin epämääräisyysperiaate Systeemin kuvaaminen aaltofunktioilla Aaltokuvailun soveltaminen atomaarisiin ilmiöihin, Schrödingerin yhtälö 5
De Broglien aallot Louis de Broglie oli sitä mieltä, että luonto rakastaa symmetriaa. Niinpä koska sm-aalloilla on hiukkasominaisuuksia (fotonit), niin hiukkasillakin on oltava aaltoominaisuuksia. Tämä oli puhdasta teoreettista pohdintaa, mikään kokeellinen tulos ei viitannut aineen aaltoominaisuuksien suuntaan. Käyttäen Einsteinin fotoniyhtälöitä mallinaan, de Broglie esitti, että hiukkaseen, jonka liikemäärä on p = mv, liittyy aallonpituus λ = h/p eli hiukkasen de Broglien aallonpituus: λ = h = p h mv Relativistisen hiukkasen tapauksessa mv korvautuu gmv:llä. Hiukkasen energiaan liittyy taajuus f fotonin tapaan:. E = hf. Aineaaltohypoteesi aloitti vallankumouksen, joka johti lopulta kvanttimekaniikkaan. Esimerkiksi elektroniin liittyvien ilmiöiden selittäminen vaatii elektronilla olevan sekä hiukkasmaisia että aaltomaisia ominaisuuksia. Louis de Broglie* * Nimi lausutaan dö broi 6
Aineaallot ja Bohrin atomimalli Molemmista päistään kiinnitetyssä jousessa voi olla seisovia aaltoja. Aaltojen aallonpituus l voi olla vain sellainen, että koko jousen pituudelle L mahtuu tasan jokin kokonaislukumäärä puolia aallonpituuksia (reunaehto): λ L = n, n = 1,, 3,... Seisovat aallot eivät kuljeta energiaa. Bohrin atomimallin mukaan elektronit eivät säteile energiaa sallituilla radoilla kiertäessään. Olisivatko elektronit vetyatomin radalle muodostuneita seisovia aineaaltoja? Jotta ympyrälle muodostunut aalto olisi seisova, kehälle pitää mahtua tasamäärä aallonpituuksia: π r = nλ, n =1,, 3,... Be Broglien mukaan epärelativistisen elektronin aineaallon aallonpituus on λ = h/mv, joten h mvr = n. π Vasen puoli on liikemäärämomentti L ympyräradalla, joten aineaaltohypoteesin soveltaminen atomiin johtaa automaattisesti liikemäärämomentin kvantittumiseen. 7
Esimerkki Eräässä kokeessa neutronien (m = 1.675 10-7 kg) de Broglien aallonpituus oli 0.00 nm, joka on samaa luokkaa kuin atomien välimatka monissa kiteissä. Laske neutronien nopeus ja kineettinen energia. Vertaa energiaa huoneen lämpötilassa olevan kaasun molekyylien keskimääräiseen liike-energiaan. De Broglien aallonpituuden määritelmästä saadaan, että 34 h 6. 66 10 J s v = = λm 3 = 1. 98 10 m/s. Kineettinen energia on -9 7 ( 0.00 10 m) ( 1. 675 10 kg) 1 1 K = mv = 1 = 3. 8 10 7 3 ( 1. 675 10 kg) ( 1. 98 10 m/s) J = 0. 004 ev. Ideaalikaasun molekyylien etenemisliikkeen keskimäinen liikeenergia on 1 m 3 3 3 ( v ) = kt = ( 1. 38 10 J/K) ( 93 K) av = 6. 07 10 1 J = 0.0397 ev. Energiat ovat lähellä toisiaan. Kuvatunlaisia neutroneita kutsutaankin termisiksi neutroneiksi. Termisiä neutroneita käytetään molekyylien kiderakenteen tutkimiseen. 8
Elektronien diffraktio Kokeellinen varmistus aineaalloille saatiin pian sen jälkeen, kun de Broglie oli esittänyt hypoteesinsa. Clinton Davisson ja Lester Germer ampuivat nikkelin pintaan elektroneja ja mittasivat pinnasta sironneiden elektronien määrää eri kulmissa. Kohta, josta elektronit sirosivat, oli suuri yhtenäinen kidepinta. Mittaukset osoittivat, että elektronit eivät sironneet tasaisesti eri suuntiin vaan tietyt suunnat olivat selvästi muita suuntia suositumpia. Suosituimpien suuntien, sirantamaksimien, paikat riippuivat jännitteestä, jolla elektroneja kiihdytettiin. Tulokset muistuttivat röntgensäteiden sirontakuvioita. He päättelivät, että elektronit olivat diffraktoituneet kiteestä sm-säteilyn tapaisesti. Kun elektronien aineaalto osuu kiteeseen, se siroaa kiteen atomeista. Sironta tapahtuu voimakkaimmin siihen suuntaan, jossa eri atomeista heijastuneet aineaallot ovat samassa vaiheessa: dsinq θ d sin θ = mλ, m =1,, 3,... θ 9
Jos elektronin kiihdyttämiseen käytetään potentiaalieroa V, saa elektroni liike-energian (= potentiaalin elektroniin tekemä työ) p ev = m ja sen de Broglien aallonpituus on silloin, λ = h p = h mev. Esimerkki Elektroni kiihdytetään jännite-erolla 54 ev ja sironneiden elektronien sirontamaksimi on kulmassa 50 o. Määritä elektronin de Broglien aallonpituus. Mikä on sirottavan kiteen atomien etäisyys toisistaan? λ = = 1. 7 10 31 19 ( 9. 109 10 kg)( 1. 60 10 C)( 54 V) 10 m. 6. 66 10 34 J s 10 λ 1. 7 10 m d = = =. 10 sinθ 0. 766 10 m. 10
Vuonna 198 G P Thomson ampui elektroneja ohuen metallifolion läpi. Folio koostui pienistä metallikiteistä. Folion taakse muodostui rengasmainen diffraktiokuvio. Samanlainen kuvio oli jo aiemmin todettu syntyvän röntgensäteiden diffraktion tuloksena. Tulos oli lisäosoitus elektronien aalto-ominaisuuksista. Elektronien (yläp.) ja röntgensäteiden (alap.) diffraktiokuviot samasta kohtiosta (alumiinifolio). Yhden kiteen tapauksessa diffraktiokuvio syntyy yksittäisistä pisteistä: Thomsonin kokeessa kutakin pistettä vastaa rengas, koska sironta tapahtuu lukemattomista yksittäisistä kiteistä, joiden kidesuunnat ovat satunnaisia. 11
On kiinnostavaa, että aaltoliikkeelle tyypillisiä diffraktiokuvioita syntyy, vaikka aallot muodostuvat yksittäisistä hiukkasista (esim fotoneista tai elektroneista). Kuvio muodostuu vähitellen, ja näyttää siltä, että esimerkiksi elektronit tietävät mihin aikaisemmat elektronit ovat sironneet. Kuvassa on kapena raon läpi kulkeneen valon synnyttämän diffraktiokuvion muodostuminen vähitellet fotonien määrän lisääntyessä. Samalla tavalla vähitellen muodostuvat myös aineaaltojen diffraktiokuviot. Animaatio:http://phys.educ.ksu.edu/vqm/html/singleslit.html Atomaarisessa maailmassa ilmenevää hiukkasmaisten ominaisuuksien ja aaltomaisten ominaisuuksien rinnakkaiseloa kutsutaan aaltohiukkasdualismiksi. Makroskooppisessa maailmassa aineen ominaisuuksia hallitsee hiukkasmaisuus ja smsäteilyn ominaisuuksia hallitsee aaltomaisuus, mutta mikroskooppisella tasolla tulee esille dualismi, joka on luonnon peruspiirre. 1