Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa, että näiden funktioiden määritteljoukko ei kuitenkaan ole koko reaaliakseli, sillä kuvaajat eivät nätä alkavan miinus äärettömästä ja jatkuvan plus äärettömään. Kuvaajat a ja d eivät voi olla funktioiden kuvaajia, koska ne saavat kaksi arvoa hdellä :n arvolla. Toisin sanoen jokin pstsuora viiva leikkaa kuvaajan kahdessa kohtaa.. Mitkä seuraavista ovat funktioita R R: (a) f() = 1 Vastaus: Ei, sillä f() ei ole määritelt arvolla = 0 R eli se ei ole määritelt koko määritteljoukossaan. Huom! Jos määritteljoukko olisi R\0, niin kseinen kuvaaja olisi funktion kuvaaja, mutta tehtävänannon mukaisessa määritteljoukossa f() ei siis ole funktio. (b) f() = Vastaus: Kllä, sillä f() saa jokaisella reaaliluvulla ksikäsitteisen arvon. Huomaa eritisesti, että g() = ei ole funktio koko reaalilukuvälillä, koska sitä ei ole määritelt, kun < 0. Sen sijaan f() = on määritelt mös :n negatiivisilla arvoilla, koska sen juurrettava on aina positiivinen. (c) (d), jos < 1 f() = 1, jos 1 1, jos > 1 Vastaus: Kllä, koska f() saa jokaisella reaaliluvulla ksikäsitteisen arvon. Funktio voidaan siis määritellä paloittain. 0, jos on kokonaisluku f() = 1, jos < 0., jos > 0. Vastaus: Ei. Funktio saa joillakin muuttujan arvoilla kaksi arvoa. Esimerkiksi muutujan arvolla 1, koska luku 1 on sekä kokonaisluku että arvoltaan nollaa suurempi.
(e) 1, jos Z (eli on kokonaisluku) f() =, jos Q\Z (eli on rationaaliluku, mutta ei kokonaisluku) 3, jos R\Q (eli on reaaliluku, mutta ei rationaaliluku) Vastaus: Kllä. Funktio saa jokaisella reaaliluvulla ksikäsitteisen arvon. Huomaa, että funktio ei ole jatkuva, derivoituva tai edes integroituva, mutta funktio se on. 3. Piirrä seuraavien funktioiden kuvaajat koordinaatistoon samaan koordinaatistoon: (a) f() = 1 (b) g() = + Määritä kuvan avulla suorien leikkauspiste. 4 0-4 - 0 4 - -4 Leikkauspiste on (1,1). 4. Olkoon f() = 4+3 funktio. (a) Mikä on funktion arvo, kun = 0? (b) Mikä on funktion arvo, kun =? (c) Mikä on funktion arvo, kun = 4? (d) Mitkä ovat htälön nollakohdat? f(0) = 0 4 0+3 = 0 0+3 = 3 f() = 4 +3 = 4 8+3 = 1 f(4) = 4 4 4+3 = 16 16+3 = 3 Muuttuja on funktion f() nollakohta tarkalleen silloin, kun f() = 4+3 = 0, = ( 4)± ( 4) 4 1 3 1 { = 4± 16 1 = 4± 4 = 4± 4 = = = 1 4+ = 6 = 3 Vastaus: Funktion f() nollakohdat ovat = 1 ja = 3.
8 6 4-4 - 0 0 4 6 - -4-0 0 4 - -4-6 -8-10 -4 (a) -1 (b) Kuva 1: (e) Piirrä laskemasi pisteet koordinaatistoon ja hahmottele funktion kuvaaja samaan koordinaatistoon. Vastaus: Katso kuva 1(a). 5. Olkoon f() = 3 funktio. (a) Mikä on funktion arvo, kun = 0? (b) Mikä on funktion arvo, kun = 1? (c) Mikä on funktion arvo, kun =? (d) Mitkä ovat htälön nollakohdat? f(0) = 0 3 0 = 0 0 = f(1) = 1 3 1 = 1 3 = 6 f(0) = 3 = 4 6 = 1 Muuttuja on funktion f() nollakohta tarkalleen silloin, kun f() = 3 = 0, = ( 3)± ( 3) 4 ( 1) ( ) ( 1) { 3 1 = = 3± 9 8 = 3± 1 = 3±1 = = 1 3+1 = 4 = Vastaus: Funktion f() nollakohdat ovat = ja = 1. (e) Piirrä funktion kuvaaja. Vastaus: Katso kuva 1(b).
6. Sääntö määrittelee funktion f. f() = 3 (a) Voiko olla negatiivinen? juurrettava < 0. Vastaus: Ei, koska ei ole määritelt jos (b) Voiko olla suurempi kuin 3? Vastaus: Ei, koska silloin 3 olisi negatiivinen ja tästä ei voisi enää ottaa neliöjuurta. (c) Mikä on f:n suurin mahdollinen määritteljoukko A? Vastaus: A = [0,9] (d) Mitä arvoja f voi saada eli mikä on sen arvojoukko B? Vastaus: B = [0, 3] 7. Määritä käänteisfunktiot seuraaville funktioille, jos ne ovat olemassa (a) f() = +4, R (c) f() = 3, R (b) f() = +, R (d) f() =, [0, ). Vastaus: (a) = +4 4 4 = : 1 = = f 1 () f 1 () = 1 (b) Koska f( 1) = f(1) = 3, niin funktio saa saman arvon kahdella eri muuttujan arvolla. Siten funktiolla ei ole olemassa käänteisfunktiota. (Huom! funktion alkukuvasta kätetään samaa merkintääf 1 kuin käänteisfunktiosta. Alkukuva voidaan määritellä mös funktiolle, jolle ei ole käänteisfunktiota.) (c) = 3 3 = = f 1 () f 1 () = 3 3 (d) = () [0, ) = = f 1 () [0, ) f 1 () = [0, ) 8. Määritä funktion f() =
käänteisfunktio f 1. Mitkä ovat funktioiden f ja f 1 suurimmat mahdolliset määritteljoukot? = ( ) ( ) = Nt = = ( 1) = f 1 () = +1 = 1 = +1 : ( 1) 1 1 eli f 1 () = +1 1. Funktion f suurin mahdollinen määritteljoukko on M f = R\{} ja käänteisfunktion f 1 määritteljoukko on siten M f 1 = R\{ 1} 9. Olkoot f() = 3, g() = 1, h() = /. Muodosta (a) h(g(f())) = h(g(3)) = h(1 3) = ( ( )) ( 1 3 (b) f(g(h())) = f g = f 1 ) = 3 ( 1 ) = 3 6 (c) f(f(f())) = f(f(3)) = f(3 3) = f(9) = 3 9 = 7 ( ( )) ) (d) h(h(h(3))) = h h = h( = = = 3 3 3 = 3 3 3 (e) g(1/) = 1 1/ = 1 1 ( ) 1 (f) g(1/g()) = g = g g() ( ) 1 = 1 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 10. Piirrä funktioiden f() = 1 ja g() = 1 kuvaajat samaan koordinaatistoon ja ratkaise kuvan avulla epähtälö 1 1. Vastaus: Epähtälö on tosi, kun 3.
= 1 = 1 11. Kuvassa on funktion = kuvaaja siirrettnä neljään uuteen paikkaan. Kirjoita uuden kuvaajan htälö. ( 3, ) (0,3) (3,1) (1,0) ( 1, ) Vastaus: f() = +3 (kuvaaja, jonka huippu on kohdassa (0,3)), f() = (+3) + (kuvaaja, jonka huippu on kohdassa ( 3,)), f() = ( 3) +1 (kuvaaja, jonka huippu on kohdassa (3,1)), f() = ( 1) (kuvaaja, jonka huippu on kohdassa (1,0)), f() = (+1) (kuvaaja, jonka huippu on kohdassa ( 1, )).