Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei aivan, naivia : joukkojen muodostamisaksioomeja en käsittele juuri lainkaan, vaan oletan esimerkiksi seuraavat periaatteet tunnetuiksi: jos x on joukko ja φ(s) joukko-opin kaava, niin {s x : φ(s)} on joukko ja jos θ(s, t) on sellainen joukko-opin kaava, joka määrittelee kuvauksen joukolla x (eli y x!z θ(y, z)), niin {z : y x θ(y, z)} on joukko. Samoin oletan esimerkiksi, että on voimassa x y z(z y z x) (tämä potenssijoukkoaksiooma liittää joukkoon x sen potenssijoukon P(x) = {z : z x}). Olkoon X joukko ja < (tiukka) järjestysrelaatio joukolla X; merkitsemme symbolilla vastaavaa ( väljää ) järjestysrelaatiota id X <. Sanomme, että < on joukon X hyvinjärjestys ja että pari (X, <) on hyvinjärjestetty joukko, mikäli seuraava ehto toteutuu: A X(A a A b A a b). Ehdon toteuttava alkio a on joukon A pienin alkio (järjestyksen < suhteen) ja voimme siis lausua hyvinjärjestyksen ehdon seuraavasti: jokaisessa X:n epätyhjässä osajoukossa on pienin alkio. Intuitiivisesti on selvää, että X:n järjestys < on hyvinjärjestys joss ei ole olemassa sellaista X:n alkioiden jonoa (x 0, x 1,...), että x n+1 < x n jokaisella n. Tyyppiesimerkki hyvinjärjestetystä joukosta on (N, <), missä < on luonnollisten lukujen joukon N tavallinen suuruusjärjestys. Pannaan merkille, että aina kun (X, <) on hyvinjärjestetty joukko ja Y X, niin järjestyksen < rajoittuma joukkoon Y (eli Y :n relaatio < Y 2 ) on Y :n hyvinjärjestys; seuraavassa merkitsemme järjestyksen < rajoittumaa usein samalla symbolilla <. Järjestetyn joukon (X, <) (aito) alkusegmentti on sellainen joukon X (aito) osajoukko S, että kaikilla x, y X, jos x < y ja y S, niin x S. 1 Lemma Olkoon S hyvinjärjestetyn joukon (X, <) aito alkusegmentti. Tällöin on olemassa sellainen y X, että S = {z X : z < y}. Todistus. Olkoon y X:n epätyhjän osajoukon X S pienin alkio. Tällöin {z X : z < y} S. Toisaalta S {z X : z < y}, sillä muussa tapauksessa jollain s S olisi voimassa y s ja tällöin alkusegmentin määritelmän nojalla pätisi y S, joka on ristiriidassa sen kanssa, että y X S. 1

Edellinen tulos ei päde kaikille järjestetyille joukoille: joukko L = {q Q : q < 2} on rationaalilukujen järjestetyn joukon (Q, <) aito alkusegmentti, mutta millään r Q ei ole voimassa L = {q Q : q < r}. Mainitsin yllä, että pari (N, <) on tyypillinen esimerkki hyvinjärjestetystä joukosta. Nyt määriteltävät ordinaalit ovat vielä tyypillisempiä esimerkkejä ja itse asiassa jokainen hyvinjärjestetty joukko voidaan esittää ordinaalina (seuraavassa emme kuitenkaan konstruoi tällaista esitystä muille hyvinjärjestetyille joukoille kuin (N, <):lle). Määritelmä Joukko α on ordinaali jos seuraavat kaksi ehtoa toteutuvat: x α x α; relaatio on joukon α hyvinjärjestys. Tässä määritelmässä pyrimme suurimpaan mahdolliseen ekonomisuuteen käyttämällä valmiiksi määriteltyä kuulumisrelaatiota hyvinjärjestyksen esittämiseen. Kun seuraavassa puhumme ordinaalista hyvinjärjestettynä joukkona, tarkoitamme aina relaatiolla varustettua joukkoa, vaikka jätämmekin tämän relaation yleensä merkitsemättä. Valitettavasti ordinaalien tapauksessa maksimaalinen ekonomisuus ei johda kovin luonnolliseen esitykseen. Kuten seuraavassa näemme, ordinaaleille ero joukkojen, alkioiden ja osajoukkojen välillä on hyvin häilyvä ja tästä johtuen määritelmän ordinaaleista on vaikea saada intuitiivista kuvaa. Tämä ei kuitenkaan ole tärkeää: ordinaalit ovat vain käteviä koodeja hyvinjärjestetyille joukoille. Luettelemme nyt eräitä ordinaalien alkeisominaisuuksia. Ensimmäinen tuloksemme osoittaa, että ordinaaleja voidaan karakterisoida sellaisina hyvinjärjestettyinä joukkoina, joissa aidot alkusegmentit yhtyvät alkioihin. 2 Lemma Joukko S on ordinaalin α aito alkusegmentti joss S = β jollain β α. Todistus. Välttämättömyys. Oletamme, että S on aito alkusegmentti. Lemman 1 nojalla on olemassa sellainen β α, että S = {γ α : γ β}. Koska α on ordinaali ja β α, jokaisella γ β on voimassa γ α. Täten S = {γ : γ β} = β. Riittävyys. Olkoon β α:n alkio. Tällöin β α; tämä sisältyminen on aito, koska muuten olisi voimassa α = β α, mikä olisi ristiriidassa sen kanssa, että on tiukka järjestys joukossa α. Osajoukko β on alkusegmentti, sillä jos δ γ β, niin γ α ja edelleen δ α; joukon α järjestyksen transitiivisuuden nojalla on nyt voimassa δ β. 3 Lemma Ordinaalin jokainen alkio on ordinaali. 2

Todistus. Olkoon α ordinaali ja β α. Tällöin β α, joten relaatio joukossa β saadaan rajoittamalla sama relaatio joukosta α; näinollen (β, ) on hyvinjärjestetty joukko. Lisäksi jokaisella γ β on voimassa γ β, sillä ν γ α ν α ja joukon α alkioille ν, γ, β pätee ν γ β ν β, koska on joukon α järjestys. 4 Lemma Ordinaaleille α ja β toteutuu täsmälleen yksi ehdoista α β, β α tai α = β. Todistus. Merkitään γ = α β. Tällöin on voimassa γ = {δ α : δ β} ja tästä seuraa, että γ on α:n alkusegmentti. Samoin γ on β:n alkusegmentti. Lemman 2 nojalla on voimassa γ = α tai γ α ja γ = β tai γ β. Pannaan merkille, ettei voi olla voimassa sekä γ α että γ β, koska tällöin olisi voimassa γ α β eli γ γ, mikä on mahdotonta, koska γ α ja on joukon α tiukka järjestys. Toisaalta näemme helposti, että jos jompikumpi ehdoista γ = α tai γ = β toteutuu, niin tällöin joku ehdoista α β, β α tai α = β toteutuu. Pannaan lopuksi merkille, että lemman kolme ehtoa ovat keskenään toisensa poissulkevia. Jos α = β, niin kumpikaan ehdoista α β tai β α ei voi toteutua, koska tällöin olisi voimassa α α, mikä on mahdotonta kuten juuri todettiin. Toisaalta ei voi olla voimassa sekä α β että β α, sillä tällöin olisi α β α ja tässä tilanteessa olisi voimassa β α, jolloin saisimme taas johtopäätöksen α α. Edellinen lemma sekä ordinaalin määritelmä osoittavat, että relaatio määrittelee järjestyksen ordinaalien välille. Merkitsemme tätä järjestystä tavallisella tiukan järjestyksen symbolilla <. Siis ordinaaleille α ja β pätee: α < β α β. Pannaan merkille, että vastaava väljä järjestys voidaan esittää sisältymisrelaation avulla: α β α β. Seuraavaksi näytämme miten luonnolliset luvut voidaan (epäluonnollisesti!) esittää ordinaaleina. Tyhjä joukko toteuttaa ordinaalin määritelmän triviaalisti ja täten on ordinaali. Jokaiselle ordinaalille α on voimassa α eli α. Täten tyhjä joukko on pienin ordinaali ja sitä merkitään tavallisesti symbolilla 0. Seuraavan tuloksen avulla voimme muodostaa uusia ordinaaleja. 5 Lemma Olkoon α ordinaali. Tällöin joukko α {α} on ordinaali. Jos β on ordinaali ja α < β, niin α {α} β. Todistus. Jos β α {α}, niin joko β α tai β = α; molemmissa tapauksissa β α α {α}. Koska relaatio on joukon α tiukka järjestys, se on myös joukon α {α} 3

tiukka järjestys: tässä järjestyksessä on α suurimpana alkiona. Näemme myös suoraan, että koska on joukon α hyvinjärjestys, se on myös joukon α {α} hyvinjärjestys. Olkoon ordinaalille β voimassa α < β eli α β. Tällöin α β ja täten on voimassa α {α} β eli α {α} β. Ordinaalia α {α} kutsutaan ordinaalin α seuraajaksi ja sitä merkitään α + 1:llä. Nyt saamme samaistuksen luonnollisten lukujen ja tiettyjen ordinaalien välille merkitsemällä tavalliseen tapaan 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3 jne. Saamme siis esitykset 0 =, 1 = { }, 2 = {, { }}, 3 = {, { }, {, { }}} jne. Selvästikin ordinaalien välinen järjestys antaa näille luonnollisille luvuille niiden tavallisen suuruusjärjestyksen. Merkitsemme On = {x : x on ordinaali}; kyseessä on luokka, muttei joukko. 6 Lemma On ei ole joukko. Todistus. Helposti nähdään, että jos On olisi joukko, niin se olisi ordinaali, jolloin On On, mikä ei voi päteä ordinaalille. 7 Lemma Olkoon A On epätyhjä joukko. Tällöin A on joukon A pienin alkio ja A = sup A. Todistus. Koska B = {α + 1 : α A} on joukko, edellisen lemman tuloksesta seuraa, että on olemassa sellainen ordinaali γ, että γ / B. Jokaisella α A on voimassa γ / α+1 ja täten Lemman 4 nojalla pätee, että α γ. Siis A γ. Tästä seuraa, että joukossa A on pienin alkio δ. Jokaisella α A on voimassa δ α eli δ α; täten δ A. Koska δ A, on voimassa A δ. Näin ollen on voimassa δ = A. Koska A on ordinaalin γ osajoukko, on voimassa A γ. Helposti näemme, että A on γ:n alkusegmentti; täten A on Lemman 2 nojalla ordinaali. Jokaisella α A on voimassa α A eli α A; täten A on A:n yläraja. Jos σ on jokin muu yläraja, niin jokaisella α A on voimassa α σ eli α σ ja tästä seuraa, että on voimassa A σ eli A σ; näin ollen A on pienin yläraja. Seuraava tuloksen antama todistusmenetelmä tunnetaan transfiniittisen induktion periaatteena ja sillä on keskeinen merkitys joukko-opissa ja joukko-opin sovelluksissa. Lause Olkoon P sellainen ordinaaleja koskeva väite, että jokaisella α On on voimassa Tällöin P(α) pätee jokaisella α On. (( β < α)p(β)) P(α). 4

Todistus. Tehdään vastaväite: luokka A = {α On : P(α)} on epätyhjä. Olkoon γ A. Joukossa A = {α A : α γ} on pienin alkio δ. Nyt on voimassa P(β) jokaisella β < δ ja tästä seuraa lauseen oletuksen nojalla, että on voimassa P(δ), mutta tämä on ristiriidassa sen kanssa, että δ A A. Transfiniittista induktiota käytetään usein heikommassa muodossa, joka saadaan edellisestä kun oletetaan, että väite P(α) on määritelty ordinaaleille α < α 0 ja ehdon α On kaksi esiintymää on korvattu ehdolla α < α 0. Transfiniittisen induktion avulla voimme todistaa seuraavan tuloksen, jonka antama menetelmä joukkojen määrittelemiseksi tunnetaan transfiniittisena rekursiona. Merkitsemme V:llä kaikkien joukkojen luokkaa {x : x = x}; Lemman 6 tuloksesta seuraa, että V ei ole joukko. Lause Jokaisella F : V V on olemassa yksi ja vain yksi sellainen G : On V, että jokaiselle α On on voimassa G(α) = F(G α). Todistus. Yksikäsitteisyys. Oletamme, että G, H : On V toteuttavat ehdot G(α) = F(G α) ja H(α) = F(H α) jokaisella α On. Jos nyt α on sellainen ordinaali, että G(β) = H(β) jokaisella β < α, niin tällöin pätee, että G α = H α ja edelleen, että G(α) = H(α). Edellisestä seuraa transfiniittisella induktiolla, että G = H. Olemassaolo. Merkitsemme A = {α On : on olemassa sellainen g : α V, että g(β) = F(g β) jokaisella β < α}. Osoitamme, että A = On. Tehdään vastaväite: A On. Tällöin A on luokan On aito alkusegmentti ja täten on olemassa sellainen ordinaali α, että A = α. Kuten yllä yksikäsitteisyystodistuksessa, näemme että jokaisella β A on olemassa täsmälleen yksi sellainen g β : β V, että g β (γ) = F(g β γ) jokaisella γ < β. Kun asetamme g = β<α g β, niin g osoittaa, että α A. Siis α α, mikä on mahdotonta. Olemme osoittaneet, että A = On ja voimme nyt asettaa G = α On g α. Transfiniittisen rekursion avulla voimme helposti osoittaa, että jokainen joukko voidaan hyvinjärjestää esittämällä se jonkun ordinaalin bijektiivisenä kuvana. Rekursion lisäksi tarvitsemme kuitenkin erästä joukkojen olemassaoloaksioomaa, joka poikkeaa muista joukko-opin aksiomeista niin paljon, että sen käyttöön kiinnitetään erityistä huomiota. Seuraavassa käytämme kuitenkin tätä aksioomaa ja sen seurauksia ilman eri mainintaa. 5

Valinta-aksiooma: Jos a on joukko keskenään erillisiä epätyhjiä joukkoja, niin on olemassa sellainen joukko d, että joukossa x d on täsmälleen yksi alkio jokaisella x a. Ekvivalentti muotoilu valinta-aksioomalle: Jos a on epätyhjien joukkojen muodostama joukko, niin on olemassa sellainen kuvaus f : a a, että f(x) x jokaisella x a. Hyvinjärjestyslause: Olkoon x joukko. Tällöin on olemassa α On ja bijektio α x. Todistus. Merkitsemme y = {z : z x ja z }. Valinta-aksiooman nojalla on olemassa sellainen kuvaus ϕ : y x, että ϕ(z) z jokaisella z y; asetamme lisäksi ϕ( ) = θ, missä θ / x. Määrittelemme transfiniittisella rekursiolla kuvauksen G : On x {θ} asettamalla G(α) = ϕ(x {G(β) : β < α}). Nyt on olemassa pienin sellainen α On, että G(α) = θ (muutoin G olisi injektio On x ja G 1 olisi surjektio u On jollain u x, josta seuraisi ristiriita, että On on joukko). Kuvaus g = G α on bijektio α x. Hyvinjärjestyslauseen nojalla voimme määritellä koon käsitteen mielivaltaiselle joukolle. Joukon x mahtavuus, x, on pienin sellainen ordinaali α, jolla on olemassa bijektio α x. Sanomme, että ordinaali α on kardinaali, mikäli α = α. Jotta mahtavuus olisi järkevä koon mitta, sillä täytyy ainakin olla se ominaisuus, ettei osajoukon mahtavuus koskaan ylitä joukon mahtavuutta. Tämän osoittamiseksi tarvitsemme seuraavaa tulosta. 8 Lemma Olkoon δ ordinaali ja x δ. Tällöin on olemassa ordinaali α δ ja bijektio α x. Todistus. Koska x δ, voimme määritellä (ilman valinta-aksioomaa) hyvinjärjestyslauseen todistuksessa käytetyn kuvauksen ϕ : y x ottamalla aina ϕ(z):ksi joukon z pienimmän alkion. Tällöin saatava bijektio g : α x on aidosti kasvava (eli γ < β < α g(γ) < g(β)). Transfiniittinen induktio osoittaa, että aidosti kasvavalle kuvaukselle g on voimassa g(β) β jokaisella β < α; täten β < δ jokaisella β < α ja näin ollen α δ. Luettelemme nyt eräitä joukkojen mahtavuuksia koskevia perustuloksia; ensimmäinen seuraa suoraan määritelmista, toinen Lemmasta 8, kolmas helposti toisen avulla ja neljäs seuraa kolmannesta valinta-aksiooman avulla. Joukon mahtavuus on kardinaali. Joukon mahtavuus on suurempi tai yhtäsuuri kuin osajoukon mahtavuus. x y joss on olemassa injektio x y. x y joss on olemassa surjektio x y. 6

Tarkastelemme vielä edellisten tulosten ja käsitteiden valossa luonnollisten lukujen esitystä ordinaaleina. Jotta voisimme tarkastella kaikkien luonnollisten lukujen joukkoa, tarvitsemme eksplisiittisen ehdon sille, että ordinaali on luonnollinen luku ja lisäksi tarvitsemme aksiooman, joka takaa luonnollisten lukujen joukon olemassaolon. Määritelmä Ordinaali α on äärellinen, jos jokaisessa epätyhjässä joukossa A α on suurin alkio. Ordinaali 0 on triviaalisti äärellinen. Olkoon α äärellinen ordinaali, α 0. Tällöin epätyhjässä joukossa α on suurin ordinaali β; tälle pätee, että β α, mutta β + 1 / α ja täten β + 1 = α; näin muodoin voimme merkitä β = α 1; ordinaali α 1 on ordinaalin α välitön edeltäjä. 9 Lemma Olkoon α äärellinen ordinaali. Tällöin jokainen injektio α α on surjektio. Todistus. Selvyyden vuoksi merkitsemme tässä kuvauksen ψ määritysjoukon alkion x kuva-alkiota ψ(x):llä ja ψ:n määritysjoukon osajoukon x kuvajoukkoa ψ[x]:llä. Vastaväitteestä seuraa, että on olemassa pienin äärellinen ordinaali α, jolla on olemassa sellainen injektio ϕ : α α, joka ei ole surjektio. On voimassa α 0 ja voimme määritellä injektion ϕ : α 1 α 1 asettamalla ϕ (γ) = ϕ(γ), mikäli ϕ(γ) α 1 ja ϕ (γ) = ϕ(α 1), mikäli ϕ(γ) = α 1. Olkoon β α \ ϕ[α]. Kuvaukselle ϕ pätee, että β / ϕ [α 1] ja lisäksi on voimassa ϕ(α 1) / ϕ [α 1] mikäli β = α 1. Täten ϕ ei ole surjektio, mikä on ristiriidassa α:n minimaalisuusominaisuuden kanssa. Korollaari Jokainen äärellinen ordinaali on kardinaali. Jos ordinaali α on äärellinen, niin jokainen ordinaali β < α on äärellinen ja myös ordinaali α + 1 on äärellinen. Täten ei ole olemassa suurinta äärellistä ordinaalia. Äärettömyysaksiooma: {α On : α on äärellinen} on joukko. Kyseistä joukkoa merkitään usein N:llä. Pannaan kuitenkin merkille, että tämä joukko on ordinaali; tästä syystä sille käytetään yleisesti vaihtoehtoista merkintää ω. Koska ω / ω, ordinaali ω ei ole äärellinen, vaan kyseessä on pienin ääretön ordinaali. Koska jokainen α < ω on äärellinen, ordinaali ω on kardinaali (pienin ääretön kardinaali, jota merkitään tässä ominaisuudessa usein symbolilla ℵ 0 ). 7

Olemme edellä nähneet, että kaikki ordinaalit α ω ovat kardinaaleja. Sen sijaan esimerkiksi ordinaali ω+1 ei ole kardinaali, sillä voimme määritellä bijektion ϕ : ω+1 ω asettamalla ϕ(ω) = 0 ja ϕ(α) = α + 1 jokaisella α ω. Sanomme, että joukko x on äärellinen, jos x < ω ja x on numeroituva, jos x ω. 10 Lemma Äärellisessä epätyhjässä joukossa E On on suurin ordinaali. Todistus. Olkoon E = δ. Merkitsemme κ α = {β E : β α} jokaisella α E ja panemme merkille, että κ α δ. Edellisen nojalla epätyhjälle joukolle x = {κ α : α E} on voimassa x δ + 1 ja tästä seuraa, koska δ + 1 on äärellinen, että joukossa x on suurin alkio γ. Olkoon alkiolle α E voimassa {β E : β α} = γ. Nyt α on E:n suurin alkio, sillä jos olisi α < ν ja ν E, niin tällöin {β E : β α} {β E : β ν} ja {β E : β α} = γ = {β E : β ν}, mistä seuraisi, että joukko γ voitaisiin kuvata bijektiivisesti aidolle osajoukolleen; tämä on Lemman 9 nojalla mahdotonta. Jos joukko ei ole numeroituva, sanomme sen olevan ylinumeroituva. Ylinumeroituvan joukon olemassaolo seuraa helposti tarkastelemalla potenssijoukkoja. 11 Lemma Jokaiselle joukolle x on voimassa x < P(x). Todistus. Tämä seuraa siitä, ettei ole olemassa surjektiota x P(x) (jokaiselle ϕ : x P(x) on voimassa {z x : z / ϕ(z)} / ϕ(x)). Täten esimerkiksi P(ω) on ylinumeroituva joukko. Näin näemme, että {α On : α on numeroituva} on luokan On aito alkusegmentti; täten se on ordinaali, pienin ylinumeroituva ordinaali, ja sitä merkitään ω 1 :llä (kyseessä on myös kardinaali, pienin ylinumeroituva kardinaali, jota merkitään usein vaihtoehtoisella symbolilla ℵ 1 ). Luokan On alku näyttää nyt seuraavalta: 0, 1, 2, 3,... ω, ω + 1, ω + 2,... ω + ω, ω + ω + 1,... ω 1,... ω 1 + ω,... ω 1 + ω 1,... Binääridesimaaliesitysten avulla näemme helposti, että on voimassa P(ω) = R. Ylinumeroituvaa kardinaalia R merkitään yleisesti c:llä. On voimassa ω 1 c, mutta väite, että c = ω 1, tunnetaan kontinuumihypoteesina ja sitä ei voida todistaa sen paremmin oikeaksi kuin vääräksikään joukko-opin tavallisten aksioomien nojalla. 8