1.3 Prosenttilaskuja Yksi prosentti jostakin luvusta tai suureesta on tämän sadasosa ja saadaan siis jakamalla ao. luku tai suure luvulla. Jos luku b on p % luvusta a, toisin sanoen jos luku b on p kpl luvun a sadasosia, niin voidaan kirjoittaa yhtälö pa b = Tätä yhtälöä sanotaan prosenttilaskun perusyhtälöksi. Mikäli siinä esiintyvistä kirjaimista kaksi tunnetaan, kolmas voidaan aina laskea. Prosenttiarvo b saadaan kaavasta suoraan. Prosenttiluvun p tai perusarvon a laskemiseksi kirjoitettu yhtälö voidaan ratkaista näiden kirjainten suhteen. Kun poistetaan nimittäjä, saadaan b = pa ja tästä edelleen kaavat p = b a b a = p Esim. 1 Marita oli aupairina Saksassa hyvin rikkaassa perheessä ja hänen palkkansa aluksi 1365 /kk. Palkkaa korotettiin puolen vuoden kuluttua 8 %. Kuinka suuri oli korotus ja kuinka suuri korotuksen jälkeinen kuukausipalkka? Tässä perusarvona on alkuperäinen kuukausipalkka. Tästä 8 % (eli prosenttiarvo) saadaan suoraan perusyhtälöllä: 8 1365 Korotus = = 0.08 1365 = 109.2. Uusi palkka = (1365 + 109.2) = 1474.2 Vastaus: Maritan korotettu palkka oli 1474.2 /kk Esim. 2 Opetusryhmässä on 5 tyttöä ja 14 poikaa. Kuinka monta prosenttia oppilaista on tyttöjä ja kuinka monta poikia? Tässä tehtävässä kysytään prosenttilukua p. Perusyhtälö sen suhteen ratkaistuna on yllä:
säännön: p = b a, ja se sisältää monien sukupolvien ajan ulkoa opitun ****************************************************************** Jos tahdotaan tietää, kuinka monta prosenttia luku on toisesta, muodostetaan edellisen suhde jälkimmäiseen ja suhde kerrotaan sadalla. ****************************************************************** Perusarvona tässä on opetusryhmän koko oppilasmäärä 5 + 14 = 19. Tyttöjä ryhmästä = 5/19 % = 26.31...% 26.3% ja poikia loput eli ( 26.3 )% = 73.7%. Esim. 3 Rakennusliike laskutti työstä arvonlisäveroineen 8357 euroa. Arvonlisävero (ALV) on 22 % verottomasta hinnasta. Paljonko laskun veroton hinta oli? Olkoot laskun veroton osuus x ( ). Vero on silloin 0.22x ja saadaan yhtälö x + 0.22x = 8357 8357 1.22x = 8357, josta x = = 6850 1.22 Vastaus: Arvonlisäveroton osuus laskusta oli 6850. Esim. 4 Kuinka paljon on kaadettava öljyä 8 litraan bensiiniä, jotta seos tulisi öljyn suhteen neliprosenttiseksi? Olkoot lisättävä öljymäärä x (litraa). Liuosta tulee lisäyksen jälkeen olemaan silloin x + 8 l. Tässä on silloin öljyä 4 % eli 0.04(x + 8). Öljyä on koko liuoksen tilavuudesta 4 prosenttia eli on voimassa yhtälö
x = 0.04(x + 8) 25x = x + 8 24x = 8 x = 8 24 = 1 3 25 Vastaus: Öljyä on lisättävä kolmanneslitra. Esim. 5 Alun perin 84 hintainen tavara myytiin 70 :lla. Suuriko oli alennusprosentti? muoto Jos tästä kirjoitetaan "vanhanaikaisen" täydellinen yhtälö, saadaan nojautuen ajatukseen alkuperäinen hinta alennus = myyntihinta 84 p 84 = 70 poistetaanko nimittäjät vai kirjoitetaanko 84 0.84p = 70 0.84p = 70 84 0.84p = 14, josta 14 p = = 0.84 16 Vastaus: Alennus oli 16 3 2 % 2 3 Edellä puhuttiin vanhanaikaisen täydellisestä yhtälöstä. Nykyään jopa YTL näyttää prosenttilaskennassa suosivan ns. desimaalilaskentaa. Tämä tarkoittaa sitä, että nimittäjässä olevalla satasella kylmästi jaetaan, niin kuin satasella jaetaan: siirretään osoittajan jonkin tekijän desimaalipistettä kahden numeron verran vasemmalle, mikäli osoittajassa numerolukuja yleensä on. Jos siis jostakin luvusta otetaan vaikkapa 7%, lukua ei ensin jaeta sadalla ja sitten kerrota seitsemällä, vaan se suoraan kerrotaan 0.07:llä. Jos taas jokin luku kasvaa 7%, lopputulos saadaan suoraan kertomalla alkuperäinen luku 1.07:llä, ja jos jokin luku vähenee 7%, alkuperäinen luku kerrotaan 0.93:lla. Miksi näin voidaan menetellä, ilmenee seuraavasta "kirjaintarkastelusta":
pa p Jos luku a kasvaa p%, niin lopputulos = a + = a(1 + ). pa p Jos luku a vähenee p%, niin lopputulokseksi saadaan a - = a(1 ). Esim. 6 Dieselpolttonesteen litrahinta nousi kesäkuun 1994 alussa 3 mk:sta 3.63 mk:aan. Kuinka monta % se nousi? 3p "Vanha tapa" : Ratkaistaan yhtälö 3 + = 3. 63 p "Uusi tapa": 3x = 3.63, missä x on ns. kasvutekijä 1 + ja 3.63 x = = 1. 21, 3 mistä näkee heti suoraan, että hinnan nousu on 21%, ja ellei näe, niin 21 kirjoittaa 1.21 = 1 +, mistä viimeistään näkee. Mikäli lasketaan "kirjaimilla", niitä ei voi satasella jakaa, ja on käytettävä "vanhaa tapaa". Esim. 7 Mikko oli aivan mahdoton syömään lakritsia. Eräänä päivänä lakritsin hinta nousi p%. Kuinka monta % Mikon on vähennettävä lakritsin syöntiään, jotta hänen lakritsimenonsa pysyisivät ennallaan? Tämäntyyppisissä tehtävissä, missä ei anneta mitään lähtöarvoja, edellytetään esim. tämän kehyskertomuksen puitteissa, että lakritsimäärä voi olla mikä tahansa, ja sen alkuperäinen hinta voi olla mitä tahansa. Tällöin niille on itse osattava antaa KIRJAINARVOT, EI MISSÄÄN TAPAUKSESSA NUMEROARVOJA! Saa numeroarvojakin antaa, mikäli ei tahdo saada täysiä pisteitä. Oletetaan, että lakritsikilon (-pötkön, -pussin) hinta on ollut a ja että Mikko on syönyt sitä kuukaudessa (viikossa, päivässä,vuodessa) b kg (pötköä, pussia). Silloin Mikolta on kulunut kuukaudessa ab ( ) lakritsiin. Kun sitten lakritsin hinta nousee p%, niin uusi
pa a pa a + pa ( + p)a kilohinta = a + = + = =. Mikko vähentää lakritsin syöntiä x %, jolloin kuukausittainen lakritsin xb b xb ( x)b kulutus = b = = Tällöin ovat Mikon lakritsimenot kuukaudessa ( + p)a ( x)b. Jotta nyt lakritsimenot olisivat ennallaan, tulee olla voimassa yhtälö ( + p)a ( x)b = ab 2 2 ab ( + p)( x) = 00 00 x + p px = 00 x px = p ( 1) x + px = p ( + p)x = p, josta p x = + p Jos lakritsin hinta nousisi esimerkiksi 30%, olisi Mikon vähennettävä 30 3000 syöntiä % = % = 23.076...% 23%. Kuten huomaat, a ja b + 30 130 supistuvat yhtälöstä pois, eikä niiden suuruudella ole lopputuloksen kan-nalta mitään merkitystä. Tätähän tehtävän sanamuotokin edellyttää. Usein esiintyvä tehtävätyyppi on sellainen, missä kysytään, kuinka monta % a on suurempi kuin b taikka kuinka monta % b on pienempi kuin a. Tämän kanssa on täysin analogista kysyä, kuinka monta % lukua b täytyy kasvattaa, että saataisiin luku a ja vastaavasti, kuinka monta % lukua a tulee pienentää, jotta saataisiin luku b.
Esim. 8 a) Kuinka monta % luku 5 on suurempi kuin 4 b) Kuinka monta % luku 4 on pienempi kuin 5? a) Luku 4 kasvaa p % ja saadaan 5, sama yhtälönä 4p 4 + = 5 400 + 4p = 500 4p = 500 4p = p = 25 taikka kirjoitetaan suoraan 4x = 5, josta kasvutekijä x = 1.25 = 1 + 0.25, mistä kasvuprosentin näkee. Siis 5 on 25 % suurempi kuin 4. b) Pienennetään lukua 5 p % ja saadaan tulokseksi 4: 5x = 4 x = 0.8 20 0.8 = 1 0.2 = 1, mistä näkyy, että "vähenemisprosentti" on 20. Siispä 4 on 20 % pienempi kuin 5.