Funktion derivaatta Derivaatan määritelmä Johdanto derivaatan määritelmään Kstään, mikä on kärän sin origoon piirretn tangentin htälö Möhemmin, kun olemme käsitelleet derivaatat, saisimme tämän helpommin, mutta ajatellaan nt, ettemme vielä tunne derivaattoja tangentti sin Piirretään kärälle origosta sekantteja Olkoon sekantin ja sinikärän leikkauspiste (h, sin h) Toinen leikkauspiste on (0, sin 0) (0, 0) (ja muitakin saattaa olla) (h, sin h) (0, sin 0) h sin h sin Sekantin kulmakerroin on sin h sin 0 h 0 Kun annetaan h:n lähestä nollaa, niin kuviossa sekantti kiert vasemmalle ja lähenee rajalla tangenttia Ilmeisesti tangentin kulmakerroin saadaankin raja-arvona Lasketaan tämä raja-arvo: sin h sin 0 lim h 0 h 0 sin h sin 0 lim h 0 h 0 h 0 sin h 0 h h 0 sin h h Näin ollen tangentin kulmakerroin on, joten tangentti on suora Sama idea toimii leisestikin: Kärän f() tangentin kulmakerroin kohdassa 0 saadaan raja-arvona f() f( 0 ) lim, 0 0 ainakin jos tämä raja-arvo on olemassa; katso kuvaa monisteen sivulla 70
Derivaatan määritelmä Funktion derivaatta kohdassa 0 määritellään erotusosamäärän raja-arvona f ( 0 ) f() f( 0 ) lim 0 0 Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio on derivoituva kohdassa 0 Huomautus Jos tentissä kstään derivaatan määritelmää, niin oikea vastaus on o raja-arvolauseke Oikea vastaus ei siis ole tangentin kulmakerroin ; tämä on derivaatan geometrinen merkits, ei määritelmä Derivaatan määritelmä voidaan mös kirjoittaa missä on merkitt f ( 0 ) f lim 0, 0 :n (pieni) muutos, f f() f( 0 ) vastaava f:n muutos, ja kun derivaatalle kätetään merkintää f () df d, tämä nättää mukavalta: df d lim f 0 ; katso kuvaa monisteen sivulla 69, missä f Derivaatan määritelmää joutuu laskutehtävissä kättämään aika harvoin (ainakin tällä kurssilla), sillä leensä selvitään möhemmin esitettävillä derivaatan laskusäännöillä Monisteessa on määritelmän kätöstä esimerkit 4, 44 ja 45 Lasketaan tässä esimerkki 45, siksi että monisteessa on siinä virhe, ja otetaan sitten lisäksi toinenkin vastaavanlainen tehtävä Esimerkki 45 Pitää laskea funktion f() { jos, 3 jos > 3 derivaatta kohdassa eli siis derivaatta f () Derivaattaa ei voi laskea mistään derivaatan laskusäännöistä, koska kohdassa f():n lauseke muuttuu Pitää kättää määritelmää Lasketaan erotusosamäärä erikseen kun < ja kun > ja otetaan raja-arvot:
Kun < niin f() f() ja kun > niin ( )( + ) kun + Siis raja-arvo f() f() 3 kun + f() f() lim ei ole olemassa, ts f () ei ole olemassa eli f ei ole derivoituva kohdassa Esimerkki a) Lasketaan funktiolle f() { sin kun 0, 0 kun 0 derivaatta f (0) sin Taaskin on pakko laskea määritelmästä: f (0) 0 f() f(0) 0 0 sin 0 0 0 sin Raja-arvo ei ole olemassa (aikaisempi esimerkki), joten f (0) ei ole olemassa b) Lasketaan sama tehtävä funktiolla g() { sin kun 0, 0 kun 0 Tämän kuvaaja heilahtelee paraabelien ja välissä 3
sin Nt saadaan g (0) 0 g() g(0) 0 0 sin 0 0 0 sin 0 Siis g (0) 0, joten kärällä on tangentti 0, siis -akseli! Kuitenkin kärä leikkelee -akselia äärettömän monta kertaa origon mpäristössä! Derivoimissääntöjä Monisteessa on sivulla 73 listattu derivoimissääntöjä ) 7) Sivulla 74 on niistä todistettu kaksi Todistetaan tässä esimerkkeinä säännöt 5) ja 6) Summan derivoimissäännön todistus Oletetaan tunnetuksi summan raja-arvon laskusääntö lim (f () + f ()) f () + lim f (), a a a missä oletetaan, että oikean puolen raja-arvot ovat olemassa Tätä ei meillä ole todistettu mutta olisi helppo todistaa raja-arvon ϵ-määritelmästä Kun oletetaan, että f ( 0 ) ja g ( 0 ) ovat olemassa, niin D(f + g)( 0 ) 0 (f + g)() (f + g)( 0 ) 0 f() + g() f( 0 ) g( 0 ) 0 0 ( f() f(0 ) + g() g( ) 0) 0 0 0 ( ) ( ) f() f(0 ) g() g(0 ) + lim 0 0 0 0 f ( 0 ) + g ( 0 ) 4
Siis D(f + g) f + g Nimittäin ensi alkuun edeltä saadaan D(f + g)( 0 ) f ( 0 ) + g ( 0 ) (f + g )( 0 ), mutta tässähän 0 on mielivaltainen Tulon derivoimissäännön todistus Todistetaan kaava D(fg) f g + fg : D(fg)( 0 ) 0 (fg)() (fg)( 0 ) 0 0 f()g() f( 0 )g( 0 ) 0 ( ) f()g() f( 0 )g( 0 ) f( 0 )g() + f( 0 )g() 0 0 ( f() f(0 ) ) g() + f( 0 ) ( g() g( 0 ) ) 0 0 ( ) 0 0 ( f() f(0 ) g() + f( 0 ) g() g( ) 0) 0 0 ( ) f() f(0 ) lim g() 0 0 ( ) f ( 0 )g( 0 ) + f( 0 )g ( 0 ) ( ) g() g(0 ) + f( 0 ) lim 0 0 Kohdassa ( ) lisättiin ja vähennettiin sopiva termi Kohdassa ( ) kätettiin raja-arvon laskusääntöjä s 58 Kohdassa ( ) kätettiin, paitsi derivaatan määritelmää, mös tietoa, että koska g on derivoituva kohdassa 0, niin se on siinä mös jatkuva (moniste s 7 73), jolloin lim g() g( 0 ) 0 Trigonometristen funktioiden derivaatat Monisteessa todistetaan D sin cos Todistetaan tässä samalla tavalla kaava D cos sin 5
Saadaan ( D cos ) 0 0 cos cos 0 0 ( ) sin +0 0 0 sin 0 Kohdassa ( ) kätettiin kaavaa lim 0 sin + 0 ( ) sin 0 + 0 sin 0 cos α cos β sin α + β sin 0 0 sin α β joka on monisteessa s 40 ja on kaavakokoelmassakin Kohdassa ( ) kätettiin sinifunktion jatkuvuutta ja sitä että lim 0 sin Nt saadaan tangentin derivaatan kaavat D tan cos + tan suoraan laskemalla osamäärän derivointisäännöllä: D tan D sin cos (D sin ) cos sin (D cos ) cos cos + sin cos cos + sin cos + tan Samalla tavalla lasketaan D cot D cos sin, ja tulos on D cot sin cot Toinen tapa olisi kirjoittaa D cot D tan( π ) ja kättää hdistetn funktion derivointia Esimerkki, Nt saamme kärän sin tangentin kul- makertoimen origossa helpommin: Kun merkitään f() sin, niin sin f (0) ( D sin ) 0 cos 0 6
Lasketaanpa sama mös kärälle tan : ( ) D tan 0 (+tan ) +0 0 Siis suora on sekä sini- että tangenttifunktion kuvaajien hteinen tangentti Tämä merkitsee, että kärät sin ja tan sivuavat toisiaan origossa tan sin Yhdistetn funktion derivaatta eli ketjusääntö Monisteessa todistetaan ketjusääntö Esimerkki Derivoidaan funktio Osamäärän derivointisäännöllä D(g f)() g (f())f () f() + + 3 ( ) f () D( + + 3)( ) ( + + 3)D(( ) ) ( ) 4 Tässä tarvitaan D(( ) ) Se voitaisiin laskea D(( ) ) D( + ) +, mutta mukavimmin tällainen otetaan kaavasta D n n n ja ketjusäännöstä: Nt Esimerkki D(( ) ) ( ) ( ) ( ) f () ( + )( ) + ( + + 3) ( ) ( ) 4 ( + )( ) + ( + + 3) ( ) 3 4 + ( ) 3 Lasketaan edellisen esimerkin derivaatta tulon derivointisäännöllä, f () D ( ( + + 3)( ) ) D( + + 3) ( ) + ( + + 3) D(( ) ) ( + ) ( ) + ( + + 3) ( ) 3, 7
missä tarvittiin D(( ) ) ( ) 3 ( ) ( ) 3, taas kaavasta D n n n ja ketjusäännöstä Sieventämällä saadaan sama tulos kuin edellä Esimerkki Jos oletetaan tunnetuksi kaava D sin cos, niin kosinin derivaatan kaavan voi johtaa näinkin helposti: ( π ) D cos D sin Tekijä ( ) tulee sisäfunktion π derivaatasta Käänteisfunktion derivaatta ( π ) cos ( ) sin Lause 4 Oletetaan, että funktiolla f() on käänteisfunktio f () Oletetaan mös, että f ( 0 ) on olemassa ja 0 Silloin (f ) ( 0 ) f ( 0 ) missä 0 f( 0 ) Todistus on monisteessa Lauseelle voi antaa seuraavanlaisen selitksen, joka oikeastaan olisi toinen todistus f() f () 0 0 Koska kseessä on käänteisfunktio, niin f() f () Tämä tarkoittaa, että f:n kuvaaja on samalla käänteisfunktion f kuvaaja, kunhan koordinaattiakselit tulkitaan niin, että funktion f argumentti (siis ) on pstakselilla ja funktion arvo (eli f ()) on vaaka-akselilla 8
Tällä tavoin tulkittuna siis sama kärä on sekä f:n että f :n kuvaaja Kun johonkin pisteeseen piirretään kärän tangentti, niin sama suorahan toimii sekä f:n että f :n kuvaajan tangenttina Olkoot ja kuten kuviossa; siis on :n pieni lisäs, ja on :n vastaava lisäs liikuttaessa tangenttia pitkin Silloin f ( 0 ) on sama kuin tangentin kulmakerroin, f ( 0 ) Samasta tangentista saadaan tietenkin mös (f ) ( 0 ) tangentin kulmakertoimena Koska nt koordinaattiakselien merkits on päinvastoin kuin normaalisti, kulmakerroinkin lasketaan toisin päin, siis (f ) ( 0 ) Juurifunktion derivaatta Monisteessa s 77 78 juurifunktion derivaatta f ( 0 ) D n n n eli D n n n johdetaan kättämällä sitä, että n on potenssifunktion n käänteisfunktio ja sitä että jälkimmäisen derivaatta tunnetaan, D n n n Arkusfunktioiden derivaatat Monisteessa s 79 johdetaan arkussinin derivaatta, ja muiden arkusfunktioiden derivaatat saadaan samoin Johto perustuu siihen, että arkusfunktiot ovat trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita ja siihen että trigonometristen funktioiden derivaatat jo tunnetaan Kirjoitetaan monisteen johto arkussinin derivaatalle tässä vähän toisin kuin monisteessa, kättämällä samoja merkintöjä kuin eo leisessä tarkastelussa Olkoon 0 [ π, π ] Merkitään 0 sin( 0 ); silloin 0 [, ] (Muistetaan, että arkussinin määrittelssä otetaan sin : [ π, π ] [, ], jolloin käänteisfunktio on π 0 0 sin π arcsin : [, ] [ π, π ]) Merkitään selvden vuoksi f() sin ja f () arcsin Silloin f () cos Saadaan (f ) ( 0 ) 9 f ( 0 ) cos 0
Halutaan päästä takaisin lausekkeeseen, jossa ei esiinn 0 vaan 0 Tiedetään, että cos ± sin, ja koska nt π π, niin cos 0 0 Näin ollen (f ) ( 0 ) cos 0 sin 0 0 Kun vihdoin merkitään funktion argumenttia 0 :n sijasta :llä, niin tulos on (f ) (), eli D arcsin Samalla tavalla johdetaan D arccos Tämän voisi kllä johtaa ovelammallakin tavalla arkussinin derivaatasta: Voisi perustella ensin, että tutusta kaavasta sin cos( π ) seuraa arccos π arcsin, ja sitten voi derivoida tästä Johdetaan nt arkustangentin derivaatta kättämällä toisenlaisia merkintöjä kuin äsken; noudatetaan vaihteeksi sitä tapaa joka on monisteessa s 79 arkussinin kaavan johdossa Muistetaan, että arkustangentti tan arctan : R [ π, π ] määritellään tangenttifunktion osan π π tan : [ π, π ] R käänteisfunktiona Kun R ja arctan [ π, π ], eli tan (huomaa, että ja on nt merkitt toisin päin kuin aikaisemmin), niin d d arctan d d tan + tan + Arkustangentin kuvaaja on monisteessa s 5 Tosin monisteen kuvassa on ilmeisesti kätett -ja -akseleille eri mittakaavoja, sillä itse asiassa 0
kuvaajalla arctan on origossa tangentin kulmakerroin ja siis tangenttina on suora Nimittäin Huomautus ( d d arctan ) ( ) 0 + 0 + 0 Siis arkusfunktioiden derivaatat ovat algebrallisia funktioita: d d arcsin, d d arctan + Kääntäen tämä tarkoittaa, että funktioiden ja + integraalifunktiot ovat d arcsin + C, d arctan + C + Tästäkin johtuen arkusfunktiot tulevat usein esiin sovelluksissa Integraaleista puhutaan peruskurssi B:ssä, ja siellä nämäkin kaavat tulevat kättöön Logaritmi-, eksponentti- ja hperbelifunktioiden derivaatat Logaritmi- ja eksponenttifunktioiden derivaatat Monisteessa johdetaan s 79 80 ensin leisten logaritmi- ja eksponenttifunktioiden log a ja a derivaatat ja sitten otetaan niistä erikoistapauksina funktioiden ln ja e derivaatat Kannattaa kuitenkin tehdä toisessa järjestksessä: Johdetaan ensin derivaatat D ln ja De e, mikä kä helpommin ja kaavatkin ovat helpommat muistaa (ja kätännössä usein riittävätkin), ja nätetään sitten, miten näistä voidaan päätellä leisemmät kaavat D log a ln a ja Da ln a a Siis lasketaan ensin derivaatta D ln Seuraava lasku on muuten sama kuin monisteen sivulla 79 paitsi että a e Lasketaan derivaatta D ln
erotusosamäärän raja-arvona: Kun 0 > 0 niin ( d ) d ln ln ln 0 0 0 0 ( ) h 0 ln( 0 + h) ln 0 h ln 0+h 0 h 0 h 0 ln h 0 h 0 ( 0 lim h 0 0 ln e h ( + h h 0 ) 0 0 h ln ( + h 0 ) ) ( ln ( + h ) ) 0 /h 0 0 ( ( ln + ) ) 0 /h 0 /h 0 Kohdassa ( ) merkittiin h 0, jolloin 0 + h, ja raja-arvo 0 korvattiin raja-arvolla h 0 Seuraavassa vaiheessa kätettiin logaritmin ominaisuutta ln ln ln Seuraavissa neljässä vaiheessa lauseketta ( käsiteltiin niin, että sinne snti osa + 0 /h 0 /h), jonka raja-arvoksi tiedetään e; nimittäin, kun h 0, niin 0 h ± Lopuksi kätettiin sitä että ln e Merkitsemällä vihdoin 0 :n paikalle saadaan D ln Seuraavaksi johdamme derivaatan De käänteisfunktion derivointisäännöstä Tämä kä aivan kuten monisteessa s 79 80 paitsi että nt a e Olkoon e, eli ln Saadaan toisin sanoen d d e d d ln e, De e Johdamme näistä nt leisemmät kaavat Kun a > 0, a, niin D ( log a ) ( ln ) D ln a ln a D( ln ) ln a Tässä kätettiin logaritminkantaluvunvaihtokaavaa log a log b log b a
tapauksessa b e Loppujen lopuksi, kun a > 0, niin Da D ( e ln a ) D ( e ln a ) ln a e ln a ln a a Hperbelifunktioiden derivaatat Nämä on helppo laskea Suoraan kaavoista derivoimalla sinh (e e ), cosh (e + e ) D sinh (e + e ) cosh, D cosh (e e ) sinh Sen jälkeen hperbolisen tangentin tanh derivaatta saadaan aivan vastaavalla tavalla kuin trigonometristen funktioiden tapauksessa laskettiin D tan D sin cos ja niin edelleen: D tanh D sinh cosh (D sinh ) cosh sinh (D cosh ) cosh cosh sinh cosh cosh sinh cosh tanh Tässä tarvittiin trigonometristen funktioiden identiteetin cos + sin sijasta identiteettiä cosh sinh Lopuksi D coth lasketaan samaan tapaan Huomautus Hperbelifunktioiden sinh : R R ja cosh : (0, ) (, ) käänteisfunktiot ovat ns areafunktiot Niille voidaan suhteellisen helposti johtaa jopa eksplisiittiset lausekkeet arsinh ln( + + ) : R R, arcosh ln( + ) : (, ) (0, ), mitkä lötvät kaavakokoelmastakin Näiden derivaatat voidaan laskea joko näistä eksplisiittistä lausekkeista tai ne voidaan johtaa käänteisfunktion derivointisäännöllä Tällä kurssilla näitä funktioita ei käsitellä 3
Implisiittinen derivointi Esimerkki Tarkastellaan kärää 3 + + 3 3 Se koostuu tason pisteistä (, ), jotka toteuttavat tämän htälön Kärä kulkee pisteen (, ) kautta, koska 3 + + 3 3 Mikä on pisteeseen (, ) piirretn tangentin htälö? tangentti 3 + + 3 3 (, ) Jos voisimme ratkaista htälöstä :n, ja saisimme siis f() missä f() olisi jokin funktio, niin derivoimalla f():n saisimme tangentin kulmakertoimen f (); silloin kstt tangentin htälö olisi f ()( ) Valitettavasti emme pst ratkaisemaan :tä htälöstä Tarkoittaako se, ettemme pst ratkaisemaan tehtävää? Ei suinkaan! Voimme suorittaa ns implisiittisen derivoinnin, siis voimme derivoida :n suoraan htälöstä, ratkaisematta htälöä Menetelmä on seuraava Kuvittelemme, että olemme ratkaisseet :n htälöstä, ts kuvittelemme, että meillä on lausuttuna funktiona () (Merkitsemme nt ko funktiota () eikä f()) Ajatellaan tämä () sijoitetuksi takaisin samaan htälöön, jolloin htälö on 3 + () + () 3 3 Derivoidaan htälö puolittain :n suhteen: 3 + () + () + 3() () 0 Sijoitetaan tähän tutkittava piste : 3 + () + () + 3() () 0 Koska (), niin 3 + + () + 3 () 0 4
eli sievennettnä 5 + 4 () 0 Tästä voidaan ratkaista () 5 4 Näin ollen tangentin htälö on 5 4 ( ), eli 5 + 4 9 Huomautus Esimerkissä kaikki kirjoitettiin tädellisemmin kuin on tapana Kätännössä lasku leensä kirjoitetaan seuraavaan tliin On annettuna htälö 3 + + 3 3 Derivoidaan implisiittisesti (siis derivoidaan :n suhteen ajatellen ()), Sijoitetaan piste (, ) (, ), Ratkaistaan () 5 4 3 + + + 3 0 3 + + () + 3 () 0 Toisinaan on mukavampi ettei ainakaan heti sijoita ko pistettä, vaan ratkaisee :n, jolloin sen saa :n ja :n lausekkeena, Huomautus 3 + + 3 ) Menetelmän selits on ksinkertainen Kun edellisessä esimerkissä ajatellaan ratkaistuksi htälöstä ja kun ratkaisu () ajatellaan sijoitetuksi takaisin samaan htälöön, niin sntvä htälö 3 + () + () 3 3 toteutuu identtisesti, eli se toteutuu kaikilla :n arvoilla Sen vuoksi mös siitä puolittain derivoimalla saatu htälö on voimassa ) Aivan toinen ksms olisi, millä oletuksilla tämä kaikki on luvallista; siis milloin voimme todella ajatella :n ratkaistuksi htälöstä ja milloin on derivoituva Tätä ksmstä käsittelee ns implisiittifunktiolause, jonka sivuutamme tässä kurssissa kokonaan Voidaan sanoa, että kätännön tilanteissa kaikki tämä on leensä luvallista, paitsi niissä kärän kohdissa, joissa on pstsuora tangentti Toisinaan on hödllistä kättää implisiittistä derivointia sellaisissakin tilanteissa, joissa :n voisi ratkaista htälöstä Nimittäin tämä keino saattaa johtaa helpompiin laskuihin Monisteen esimerkissä 46 on sellainen tilanne 5
Esimerkki Johdetaan ellipsin a + b pisteeseen ( 0, 0 ) piirretn tangentin htälö Helpoiten tämä kä implisiittisellä derivoinnilla Ei siis lähdetä ratkaisemaan htälöstä :tä vaan derivoidaan suoraan htälöstä: b ( 0, 0 ) a a + b a + b 0 b a ( 0 ) b a 0 0 Kstt tangentti on siis 0 b a 0 0 ( 0 ), joka sievenee muotoon 0 a + 0 b 0 a + 0 b Oletettiin, että ( 0, 0 ) on ellipsin piste, joten oikea puoli on Näin tangentiksi saadaan helposti muistettava 0 a + 0 b 6