Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain ei-ilmeisiä. 1 Ei ole ylitsepääsemättömän haastavaa miettiä mitkä luvut ovat ykkösellä jaollisia. 2 Kahdella jaollisia lukujahan kutsutaan parillisiksi luvuiksi! Jos tahtoo ajatella erittäin tarkasti (ja matemaatikon on pakko), niin 10 on jaollinen kahdella, sillä 10 = 2 5, joten kymmenet ovat jaollisia kahdella; ja koska 100 on 10 10 ja niin edelleen, kymmenet, sadat, tuhannet, ym. ovat aina jaollisia kahdella. Näin ollen kahdella jaollisuus on kiinni vain ykkösistä; ja niille tiedetään että 1, 3, 5, 7 ja 9 eivät ole jaollisia kahdella; muut ovat. Ylläoleva on esimerkki matemaattisesta ajattelusta, mutta ei oikein siitä miten matematiikkaa tulisi selkeästi, kauniisti ja muodollisesti kirjoittaa! Kun alla siirrytään monimutkaisempiin tapauksiin, siirrytään samalla esittämään päättely matemaattisemmalla tavalla. Kahdella jaollisuutta voi ajatella esimerkin avulla näin: 1234 = 1 10 3 + 2 10 2 + 3 10 1 + 4 = 1 2 3 5 3 } {{ } 2 kertaa jotain + 2 2 2 5 2 } {{ } 2 kertaa jotain + 3 2 5 } {{ } 2 kertaa jotain + 4 }{{} entä tämä? 3 Tarkastelemalla kolmella jaollisia lukuja 51, 12, 33, 54, 75, 36, 87, 48, 39, 30, ja toisaalta lukuja, jotka eivät ole jaollisia kolmella, 31, 22, 73, 34, 55, 46, 97, 88, 49, 40, huomataan, että viimeinen numero ei vaikuta kolmella jaollisuuteen mitenkään. Kuitenkin 396 = 3 100 + 9 10 + 6 1 on selvästi kolmella jaollinen, koska se voidaan esittää kolmella jaollisten lukujen summana. Tämä ei kuitenkaan ole koko totuus, koska 252 = 2 (99 + 1) + 5 (9 + 1) + 2 = (2 99 + 5 9) + (2 + 5 + 2) on kolmella jaollinen, sillä molemmat sulkulausekkeet ovat kolmella jaollisia. Näyttää siltä, että 1
2 luku on jaollinen kolmella jos ja vain jos 1 sen numeroiden summa on jaollinen kolmella. Varsinaista todistusta varten tarvitaan seuraava aputulos: Aputulos: Jokaista k N vastaa q k N siten, että 10 k = 9q k + 1. Todistus. Olkoon k N. Tällöin 10 k = 9 10 k 1 + 9 10 k 2 + + 9 10 + 9 + 1 = 9 (10 k 1 + 10 k 2 + + 10 + 1 ) + 1. Valitaan q k := 10 k 1 + 10 k 2 + + 10 + 1 N. Tämä on luku, jossa on k kpl ykkösiä. Esim. Selvästikin 1000 = 9 111 + 1. Osoitetaan jaollisuussääntö: Olkoon N = a n a n 1... a 1 a 0 mielivaltainen luonnollinen luku. Tällöin N = a n 10 n + a n 1 10 n 1 + + a 1 10 + a 0 = a n (9q n + 1) + a n 1 (9q n 1 + 1) + + a 1 (9q 1 + 1) + a 0 = 9 ( a n q n + a n 1 q n 1 + + a 1 q 1 ) + ( an + a n 1 + + a 1 + a 0 ). Näin ollen 3 N jos ja vain jos 3 (a n + a n 1 + + a 1 + a 0 ). Ohjattuna harjoituksena laskettiin, että aputuloksen nojalla 10 2009 2009 = 10 2009 10 4 + 10 4 2009 = 10 4 (10 2005 1) + 7991 = 10 4 9 q 2005 + 7991 ei ole kolmella jaollinen, koska 7991 ei ole kolmella jaollinen. Tämä on selvää, sillä 7 + 9 + 9 + 1 = 26, joka ei ole kolmella jaollinen luku. Lisähuomio. Tätä voi tietenkin toistaa jos luku on iso. Onko 999293919 jaollinen kolmella palautuu kysymykseksi Onko 9 + 9 + 9 + 2 + 9 + 3 + 9 + 1 + 9 = 60 jaollinen kolmella palautuu kysymykseksi Onko 6 + 0 = 6 jaollinen kolmella. Samaten on syytä huomata että kun tämä tiedetään, tiedetään myös lukujen 999999123, 321999999, ym., jaollisuus, sillä desimaalien järjestys ei vaikuta jaollisuuteen. 4 Luku on jaollinen neljällä jos ja vain jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen neljällä. Päätellään taas hieman epämuodollisesti; tarkempi todistustekniikoiden ja matemaattisen logiikan tarkastelu tulee esille vasta myöhemmin, eikä sitä ole vielä syytä stressata liikaa. 1 jos ja vain jos : eli jos toinen, kumpi tahansa, on totta, toinenkin on totta. Tämä on paljon tiukempi ehto kuin pelkkä yhteen suuntaan pätevä jos-tulos. Esimerkki ensimmäisestä olisi Hän asuu Suomen pääkaupungissa jos ja vain jos hän asuu Helsingissä, esimerkki toisesta puolestaan vaikkapa Jos hän on Joensuussa, niin hän on Pohjois-Karjalassa..
Ajatellaan taas mielivaltaista lukua muodossa a n a n 1... a 1 a 0 ; siis esimerkiksi luvulle 123 pätisi a 2 = 1, a 1 = 2 ja a 0 = 3. Tiedetään että 10 2 = 100 = 4 25, joten minkä tahansa luvun sadat (a 2 10 2 ) ovat jaollisia neljällä. Tuhat on 10 100, kymmenentuhatta 100 100, ja niin edelleen, joten sadat, tuhannet (a 3 10 3 ), kymmenettuhannet (a 4 10 4 ), jne., ovat aina neljällä jaollisia, näin esimerkiksi vaikkapa näin: 12345 = 123 } {{ 100} +45. =123 25 4 Tällaisen päättelyn nojalla on selvää, että luvun jaollisuus neljällä riippuu vain kahdesta viimeisestä numerosta. Entä jos käyttää samaa lähestymistapaa kuin kolmella jaollisuudelle? Tiedetään että 10 = 4 2 + 2, joten 2 luvun N := a n a 1 a 0 olennainen osa on 2 n a n + 2 2 a 2 +2 1 a 1 +a 0, josta vain kaksi viimeistä termiä ovat oikeasti olennaisia sillä muut ovat jaollisia neljällä. Saadaan että luku N on jaollinen neljällä jos ja vain jos 2a 1 + a 0 on jaollinen neljällä. (Se onko tämä kauniimpi sääntö kuin tuo ensimmäinen jätetään lukijan päätettäväksi.) Annetaan esimerkit kummastikin säännöstä; tutkitaan luvun 55556 jaollisuutta neljällä. Kumpikaan sääntö ei ole kiinnostunut kuin vain kahdesta viimeisestä desimaalista, eli numeroista 56. Koska 56 = 4 14, on 55556 jaollinen neljällä 1. säännön nojalla. Koska 2 5 + 6 = 16 = 4 4, on 55556 jaollinen neljällä myös 2. säännön nojalla. (Tietysti näin pitääkin olla, ellei ole tullut tehtyä harmillisia kirjoitusviheitä tai muita päättelyerehdyksiä.) 5 Luku on jaollinen luvulla 5 jos ja vain jos sen viimeinen desimaali on 0 tai 5. Kuten yllä neljälle: 10 = 5 2, joten kymmenet, sadat, tuhannet, ym., ovat aina jaollisia viidellä; jaollisuus riippuu ykkösistä. Esimerkki: 12345 = 1234 } {{ 10} +5 =1234 2 5 43213 = 4321 } {{ 10} +3 =4321 2 5 Huomaa että vaikka esimerkin avulla on helppoa miettiä sitä miten yleinen sääntö toimii, esimerkki yksinään ei ole riittänyt todistukseksi sitten muinaisen Babylonian ja Egyptin aikojen! Matemaattiset väitteet todistetaan varovasti yleisessä tapauksessa olettamatta mitään välttämätöntä juuri sen takia että ne pätisivät niin monelle oliolle kuin 3 2 Voi harjoittaa itseään miettimällä miksi näin on. Vihjeenä sanottakoon että binomikaavan avulla luku 10 k = (4 2 + 2) k voidaan aina kirjoittaa neljällä jaollisen luvun ja luvun 2 k summana.
4 mahdollista. Esimerkki todistaa vain että kyseinen väitetty sääntö toimii kyseisessä yksittäistapauksessa; tämä ei ole matematiikkaa vaan laskentoa. 6 Luku on jaollinen kuudella jos ja vain jos se on jaollinen kahdella ja kolmella. Tätä ei tarvitse sen tarkemmin selitellä tämähän tuli luennoilla, jossa todistettiin että 6 a jos ja vain jos 3 a ja 2 a. (Se että 6 on luvun a tekijä on tietenkin sama asia kuin se, että a on jaollinen luvulla 6.) Entä jos ajatellaan kuten parittomilla luvuilla yllä? Nyt 10 = 6 + 4; kuusi eli 2 3 ei ole tekijä millekään neljän (eli 2 2:n) potenssille koska niiden tekijöissä ei ole lukua kolme. Saadaan vaihtoehtoinen ehto että N = a n a n 1 a 1 a 0 on jaollinen kuudella jos ja vain jos 4 n a n +... + 4 2 a 2 + 4a 1 + a 0 on jaollinen kuudella. Ei erityisen kaunis tulos, mutta otetaan siitä esimerkki. Olkoon lukuna 47116. Tällöin 4 4 4 + 4 3 7 + 4 2 1 + 4 1 + 6 = 1024 + 448 + 16 + 4 + 6 = 1498. Koska ei huvita 3 jakaa tätä kuudella, jatketaan: Äh, jatketaan tällä: 4 3 1 + 4 2 4 + 4 9 + 8 = 64 + 64 + 36 + 8 = 172. 4 2 1 + 4 7 + 2 = 16 + 28 + 2 = 46. No, lopultakin! Kertotaulusta tiedetään, että 46 ei ole jaollinen kuudella, joten 172 ei ole jaollinen kuudella, joten 1498 ei ole jaollinen kuudella, joten 47116 ei ole jaollinen kuudella, mikä oli mitä tahdottiin tietää. 7 Luku a n a n 1 a 1 a 0 on jaollinen seitsemällä jos ja vain jos luku (a n a n 1 a 1 ) 2a 0 on jaollinen seitsemällä. Tarkastellaan ennen todistusta lukua 31759, ja sitä miten tämä sääntö helpottaa jaollisuuden tutkimista. Saadaan 3175 2 9 = 3157, 315 2 7 = 301, 30 2 1 = 28, ja 28 = 7 4. Siispä 28 on jaollinen seitsemällä, joten 301 on, joten 3157 on, joten myös 31759 on jaollinen seitsemällä. Tod. Olkoon käsiteltävä luku a n a n 1 a 1 a 0. Kutsutaan lukua a n a n 1 a 1 nimellä L; merkitään L := a n a n 1 a 1. Tällöin voidaan merkitä N := 10L + a 0 (alkuperäinen luku) 3 Matematiikan 1. energiansäästölaki: Ei kannata tehdä turhaa työtä.
ja M := L 2a 0. (väitetty helpompi luku ) Oletetaan ensin, että N (alkuperäinen luku) on jaollinen seitsemällä. Silloin myös luku 2N on jaollinen seitsemällä. Myös luku 21L + 7a 0 on jaollinen seitsemällä, koska se on 7(3L + a 0 ), ja koska 2N = 20L + 2a 0, niin (21L + 7a 0 ) (20L + 2a 0 ) = L + 5a 0 on myös jaollinen seitsemällä. Ottamalla siitä pois seitsemän moninkertoja tilanne ei muutu, joten myös (L+5a 0 ) 7a 0 = L 2a 0 on jaollinen seitsemällä. Tämä luku on M, joten M on seitsemällä jaollinen jos N on seitsemällä jaollinen. Jos puolestaan M ( helpompi luku ) on jaollinen seitsemällä, niin 10M = 10(L 2a 0 ) = 10L 20a 0 on myös jaollinen seitsemällä. Koska luku 21a 0 = 7 3a 0, on myös se jaollinen seitsemällä, joten (10L 20a 0 ) + 21a 0 = 10L + a 0 = N on jaollinen seitsemällä. 8 Luku on jaollinen kahdeksalla jos ja vain jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen kahdeksalla. Tämä sääntö johdetaan kuten yllä vastaava sääntö neljällä jaollisuudelle, sillä 1000 = 8 125. (Luku 100 ei käy, koska 100/8 = 12.5.) Asiaa valaisevana esimerkkinä sanottakoon, että luku 1234567 ei ole jaollinen kahdeksalla, sillä 1234567 = 1234 1000 }{{} =8 125 +567 ja 567 ei ole jaollinen kahdeksalla. * * * Hm, yllä on siis todistettu että luvulle a n a n 1 a 1 a 0 pätee, että luku on 2:lla jaollinen jos ja vain jos a 0 on 2:lla jaollinen (so. luku on parillinen), luku on 4:llä jaollinen jos ja vain jos a 1 a 0 on 4:llä jaollinen, ja luku on 8:lla jaollinen jos ja vain jos a 2 a 1 a 0 on 8:lla jaollinen. Lisäksi huomataan että 2 = 2 1, 4 = 2 2, ja 8 = 2 3, ja näissä tapauksissa tarkastellaan luvun yhtä, kahta ja kolmea viimeistä numeroa. Herää kysymys siitä, onko totta että luku on kuudellatoista jaollinen (16 = 2 4 ) jos ja vain jos a 3 a 2 a 1 a 0 on kuudellatoista jaollinen ja päteekö yleisemminkin että: Hypoteesi: Luku N on jaollinen 2 k :lla jos ja vain jos sen viimeisten k:n numeron muodostama luku on. Tämä hypoteesi voidaan itse asiassa todistaa; tämä ei edes ole kovin monimutkaista koska edellä on pyöritelty niin montaa vastaavaa päättelyä. 5
6 Tod. Olkoon N = a n a n 1 a 2 a 1 a 0, ja olkoon m k. Tällöin 10 m = 10 m k 10 k = 10 m k 5 k 2 k, joten a m 10 m on jaollinen luvulla 2 k jokaiselle m k. Näin ollen luvun N jaollisuus luvulla 2 k riippuu vain sen loppuosasta a k 1 a 2 a 1 a 0, eli sen k:sta viimeisestä desimaalista. 4 Huomio. Tämä antaa siis testin jaollisuudelle luvuilla 2, 4, 8, 16, 32, jne.; kolme ensimmäistä on jo laskettu erikseen, mutta jos tämä päättely olisi tehty ensin, olisi ne voinut jättää erikseen käsittelemättä ja vedota tähän tulokseen. 9 Itse asiassa kolmella jaollisuuden todistus osoittaa, että luku on jaollinen yhdeksällä jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä. Valaiseva esimerkki: 123 = 1 10 2 + 2 10 + 3 = 1 (9 + 1) (9 + 1) + 2 (9 + 1) + 3 = 9 (jotain tauhkaa) + 1 1 1 + 2 1 + 3. 10 Se, onko luku kymmenellä jaollinen ei ole hirvittävän haastava tehtävä; mutta tähän asti päästyä tarvittava päättelytapa on jo tuttu mikäli asiaa tahtoo perustella muutenkin kuin mielikuvien avulla: kymmenet, sadat, tuhannet ja niin edelleen ovat kymmenellä jaollisia; ja ykköset eivät ole. Näin ollen luku on kymmenellä jaollinen jos ja vain jos ykkösten paikalla on nolla. Sanottakoon vielä lopuksi että, kuten alussa sanottiin, on olemassa monia muita jaollisuussääntöjä, joskin nämä ovat yleisimpiä ja hyödyllisimpiä (ja mahdollisesti myös eleganteimpia?); ja nämä yllä olevat säännöt voi myös osoittaa päteviksi monilla muillakin tavoilla, joskin niistä useat vaativat paljon järeämpää matemaattista kalustoa ja ymmärrystä kuin mitä saadusta tuloksesta voisi odottaa. 4 Näin ollen hypoteesistä on tullut lause. Hypoteesi kun tarkoittaa matemaattisessa kielessä jotain joka voisi hyvinkin olla totta, ja lause sellaista minkä on todistettu olevan totta.
lisätehtävät (1) Mikä kaksinumeroinen luku (eli 10 luku 99) on kaksi kertaa numeroidensa tulo? Vastaus: Olkoon ko. luku a 1 10 + a 0, missä 1 a 1 9 ja 0 a 0 9. Koska a 1 10 + a 0 = 2 a 1 a 0, niin välttämättä a 0 on parillinen tai nolla (tämä vaihtoehto ei käy yo. yhtälön nojalla). Siis on olemassa k N siten, että a 0 = 2k. Nyt a 1 10 + 2k = 2 a 1 2k = 5 a 1 + k = a 1 2k. Tästä nähdään, että joko k on jaollinen luonnollisella luvulla a 1 tai nolla (taaskaan nolla ei käy yo. yhtälön nojalla; erikoisesti tämä johtaisi tilanteeseen a 1 = 0, joka on rajattu pois oletusten perusteella). Siis k = m a 1, missä m N. Sijoittamalla saadaan a 1 5 + a 1 m = a 1 2 m a 1 = 5 = m (2a 1 1). Näin ollen on kaksi vaihtoehtoa: (a) Jos m = 5 ja 2a 1 1 = 1, niin a 1 = 1, k = m a 1 = 5 ja a 0 = 2 k = 10. Tämä ei käy. (b) Jos m = 1 ja 2a 1 1 = 5, niin a 1 = 3, k = m a 1 = 3 ja a 0 = 2 k = 6. Vastaukseksi löydettiin siis luku 36; huomaa 36 = 2 3 6. (2) Näytä, että 2 ei ole rationaaliluku. Vastaus: Näytetään näyttämällä, että jos 2 olisi rationaaliluku, seuraisi ristiriita. Jos 2 on rationaaliluku, se tarkoittaa sitä että 2 voidaan kirjoittaa muodossa m/n missä m ja n ovat kokonaislukuja. Oletetaan että nämä m ja n on valittu niin, että niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. (Tahtoo sanoa: luvut 8/6 ja 4/3 ovat sama luku, mutta ensimmäisessä on yhteinen tekijä 2. Murtoluku voidaan aina sieventää sellaiseen muotoon että osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä.) Kahden neliöjuuri m/n on se luku, jonka neliö (toinen potenssi) on 2, eli ( 2 ) 2 = 2, 7 eli ( m m ) 2 = 2, eli m 2 n 2 = 2.
8 Kerrotaan n 2 :lla; saadaan m 2 = 2n 2. Jos muistetaan luennoista että x 2 on parillinen jos ja vain jos x on parillinen, tarkoittaa tämä sitä että koska m 2 on parillinen niin m on parillinen. Koska m on parillinen (eli muotoa 2l jollekin kokonaisluvulle l) niin m 2 on muotoa (2l) 2 = 4l 2 = 2 2l, ja koska m 2 = 2n 2 niin 2 2l = 2n 2 eli 2l = n 2. Tästä nähdään kuten yllä että koska n 2 on parillinen niin n on parillinen; ja tämä on ristiriita sillä jos m ja n ovat molemmat parillisia niillä on yhteinen tekijä 2; ja kuitenkin lähdettiin siitä että luvuilla m ja n ei ole yhtään yhteistä tekijää. Tämä on ristiriita joten on oletettu jotain mahdotonta; ja koska oletus oli että 2 on rationaaliluku, ei näin voi olla, eli 2 ei ole rationaaliluku. 5 5 Neliötä käytetään sen merkiksi että tulos on todistettu. Matemaattisista merkeistä se on kaikkein mukavin kirjoitettava.