LUKUJÄRJESTELMÄT. Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä. Binäärilukujärjestelmä

Transkriptio

1 Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 1 (5) LUKUJÄRJESTELMÄT Kymmenjärjestelmä eli desimaalijärjestelmä Kymmenjärjestemä on meille se tutuin järjestelmä jonka tunnemme x Siinä on (10) kymmenen numeroa, 0, 1, 2, 3,, 8, 9; Nolla siis mukaan lukien x Lukujärjestelmän kantaluku on 10 ja lukujärjestelmän tunnuskirjain D x Kyseessä on ns luonnollinen järjestelmä koska se on ollut käytyssä järjestelmistä kauimmin x Jopa eri numeropaikkakohtaisilla painoarvoilla on omat nimitykset x Kutakin painoarvoa voi lukumäärää ilmoitettaessa olla 0-9 kappaletta. x Jokainen numeropaikka on kantaluku (10) kertaa merkittävämpi x Painoarvot voidaan kuvata myös kantaluvun (10) potensseina (10^potenssi) Asiaan: esim: Painoarvo jne tuhannet sadat ykköset kymmenet tuhannet kymmenet 10:n potenssi Binäärilukujärjestelmä Binääriluvut on tietokoneissa eniten käytetty järjestelmä x Siinä on (2) kaksi numeroa, 0 ja 1 x Lukujärjestelmän kantaluku on 2 ja lukujärjestelmän tunnuskirjain B x Kyseessä on uusi järjestelmä joka on tullut käyttöön tietojenkäsittelyn myötä x Kutakin painoarvoa voi lukumäärää ilmoitettaessa olla 0-1 kappaletta. x Jokainen numeropaikka on kantaluku (2) kertaa merkittävämpi x Painoarvot voidaan kuvata myös kantaluvun (2) potensseina (2^potenssi) Asiaan: esim: Painoarvo :n potenssi

2 Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 2 (5) Heksadesimaaliluvut Heksadesimaaliluvut on ohjelmoijien paljon käyttämä järjestelmä x Siinä on (16) kaksi numeroa, 0, 1,2,, 9,A, B, C, D, E, F x Näin lukumäärät 0:sta 15:sta voi ilmaista yhdellä merkillä (heksanumerolla) x Lukujärjestelmän kantaluku on 16 ja lukujärjestelmän tunnuskirjain H x Kyseessä on uusi järjestelmä joka on tullut käyttöön tietojenkäsittelyn myötä x Kutakin painoarvoa voi lukumäärää ilmoitettaessa olla 0-15 kappaletta. x Jokainen numeropaikka on kantaluku (16) kertaa merkittävämpi x Painoarvot voidaan kuvata myös kantaluvun (16) potensseina (16^potenssi) Asiaan: esim: Painoarvo :n potenssi Heksadesimaaliluvut ja Binääriluvut ovat hyvin läheistä sukua keskenään koska molempien lukujärjestelmien kantaluvut (2 ja 16) ovat 2:n kerrannaisia (potensseja) Jos katsomme miksi ne 2:n potenssit ovat niin keskeisiä: * Yhdellä bitillä voi ilmoittaa lukumäärän 0 tai 1. Siis kaksi erilaista lukumäärää. * Kahdella bitillä (mahdolliset yhdistelmät 00, 01, 10, 11) voi siis ilmoittaa lukumäärät 0, 1, 2 ja 3 Siis neljä eri lukumäärää. * Kolmella bitillä mahdollisia yhdistelmiä 000,001, 010, 011, 100, 101, 110, ja 111. Kolmella bitillä voi illmoittaa jälleen puolet enemmän eli lukumäärät 0-7, siis 8 eri lukumäärää. * Neljällä bitillä on vastaavasti yhdistelmät 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, joten neljällä bitillä voi ilmoittaa siis "0000"-lukumäärä mukaan lukien 16 lukumäärää (2^4 kpl) * Vastaavasti viiden bitin yhdistelmiä on "00000" mukaan lukien 32 (2^5 kpl) * Vastaavasti kuuden bitin yhdistelmiä on "000000" mukaan lukien 64 (2^6 kpl) * Vastaavasti seitsemän bitin yhdistelmiä on " " mukaan lukien 128 (2^7 kpl) * Vastaavasti kahdeksan bitin yhdistelmiä on " " mukaan lukien 256 (2^8 kpl) Jne. Näin muoidostuu siis tehokkain kaikki yhdistelmät hyväkseen käyttävä lukujärjestelmä

3 Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 3 (5) Ja kun palaamme vielä siihen neljään bittiin, näemme että neljällä bitillä voi ilmaista lukumäärät 0-15 eli juuri sen alueen mikä voidaan esittää yhdellä heksadesimaalilukujärjestelmän mukaisella numeromerkillä (0,1,, 9, A, B,,F) Tästä näemme mahdollisuuden: * Jaetaan binääriluku (joka siis sisältää vain nollia ja ykkösiä) painoarvoltaan pinimmästä bitistä lukien neljän bitin ryhmiin. * Tällöin jokainen näin syntyvistä ryhmistä voidaan korvata yhdellä heksamerkillä (numerolla) ja tietenkin näin voidaan toimia myös käänteiseen suuntaan Esimerkki Binääriluku B on heksalukuna 3 E 8 H 2. Esimerkki Heksaluku 5 B 8 C F H on binäärilukuna H Miten saadaan toisessa lukujärjestelmässä esitetyn luvun arvo kymmenjärjestelmässä Kymmenjärjestemässähän on luvun arvossa ykkösten ilmoittama määrä ykkösiä sekä kymmenten numeron ilmoittama määrä (täysiä) kymmeniä sekä satojen numeron esittämä lukumäärä (täysiä) satoja jne jne niin monta numeroa mukana kuin kyseessä olevan lukumäärän esittäminen vaatii. Lukumäärän arvo jota tarkoitetaan saadaan ykkösten, kymmenten, satojen jne summana. Aivan vastaavasti binääriluvun tarkoittama lukumäärä saadaan ilmoitettua kymmenjärjestelmässä laskemalla kultakin painoarvopaikalta luvun arvoon mukaan binäärinumero (0 tai 1) kertaa ko bittipaikan painoarvo. Kun koko binääriluku on käyty läpi on kymmenjärjestelmän mukainen arvo valmis. Esim: Binääriluku B painoarvot D Kymmenjärj. 1 x x x x x x 1 = 41 Vastaavasti heksadesimaaliluvun muuntaminen kymmenjärjestelmään Kymmenjärjestemässähän on luvun arvossa ykkösten ilmoittama määrä ykkösiä sekä kymmenten numeron ilmoittama määrä (täysiä) kymmeniä sekä satojen numeron esittämä lukumäärä (täysiä) satoja jne jne niin monta numeroa mukana kuin kyseessä olevan lukumäärän esittäminen vaatii. Lukumäärän arvo jota tarkoitetaan saadaan ykkösten, kymmenten, satojen jne summana. Samalla tavoin toimii myös heksadesimaali lukujärjestelmä (kantaluku 16) Heksaluvun tarkoittama lukumäärä saadaan ilmoitettua kymmenjärjestelmässä laskemalla kultakin painoarvopaikalta luvun arvoon mukaan heksanumero (0-9, A - F) kertaa ko heksanumeropaikan painoarvo. Kun koko heksadesimaaliluku on käyty läpi on kymmenjärjestelmän mukainen arvo valmis.

4 Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 4 (5) Esim: Heksaluku 0 7 C E H painoarvot 16^3 16^2 16^1 16^0 D 0 x 7 x 12 x 14x Kymmenjärj = 1998 Ja vielä Binäärilukujen käyttö tietokoneissa johtuu siitä että binäärilukujen numerolla on vain kaksi tilaa 1 tai 0, jotka on helppo muodostaa elektroniikan keinoin. Esim jännite on (=1) ja jännite ei ole (=0) Kaikissa lukujärjestelmissä numeroita lukuun otetaan niin monta kuin lukumäärän esittäminen ko lukujärjestelmässä vaatii. Katsomalla ko lukujärjestelmän painoarvosarjaa, näkee siitä että ko painoarvo on suurempi kuin ilmoitettava lukumäärä mm sen että onko ko painoarvon numeroa ei lukumäärän esittämisessä tarvita Näin välillisesti näkyy eli saadaan selville montako numeroa tarvitaan kymmenjärjestelmän luvun esittämiseksi vaikkapa binääri tai heksadesimaali järjestelmässä Esimerkkejä painoarvosarjoista Heksat ^7 16^6 16^5 16^4 16^3 16^2 16^1 16^0 Kymmen ^7 10^6 10^5 10^4 10^3 10^2 10^1 10^0 Binääri ^7 2^6 2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0 Lyhyesti voidaan todeta, että mitä suurempi on lukujärjestelmän kantaluku, sitä vähemmän suurenkin luvun esittäminen vaatii ko järjestelmän numeroita Lukujärjestelmien käsittelyn lopuksi teemme vielä pari yleistystä Yleistys I) Merkitään lukujärjestelmän kantalukua luvulla k, missä k N+, eli k kuuluu positiivisten kokonaislukujen joukkoon. Tällöin lukuja voidaan käsitellä kute seuraava esimerkki kertoo Esimerkki k = 17, muilla k:n arvoilla vastaavasti 17-luku 5 A C 2 G 6 painoarvot... k*k*k*k*k k*k*k*k k*k*k k*k k 1 potenssina... k^7 k^6 k^5 k^4 k^3 k^2 k^1 k^0 Muutoin k-järjestelmä Esimerkkimme k = 17 x Siinä on (k kpl) numeroa, 0, 1,2,, 9,A, B, C,, k (esimerkissämme G (nro mki 16) x Näin lukumäärät 0 - (k-1) voi ilmaista yhdellä merkillä (k-järjestelmän numerolla) x Lukujärjestelmän kantaluku on k x Lukujärjestelmän tunnus = kantaluku 10-järjestelmässä eli esimerkissämme 17

5 Ammatti-Instituutti Lukujärjestelmistä Sivu 5 (5) x Kyseessä on uusi järjestelmä joka on mahdollistunut tietojenkäsittelyn myötä x Kutakin painoarvoa voi lukumäärää ilmoitettaessa olla 0 - (k-1) eli 0-16 kappaletta. Se montako ilmoitetaan juuri ko k-järjestelmän numero(merkillä) x Jokainen numeropaikka on kantaluku (k) kertaa merkittävämpi x Painoarvot voidaan kuvata myös kantaluvun (k) potensseina (k^potenssi) Yleistys II) Desimaaliluvut ja kantalukujen negatiiviset potenssit Otetaan esimerkiksi binäärilukujärjestelmä ja katsotaan esimerkkinä miten desimaaliluku rakentuu Esim kymmenjärjestelmän mukainen eli luonnollinen desimaaliluku Desimaliluku Painoarvot Potenssina!0^2 10^1 10^0.!0^(-1) 10^(-2) 10^(-3) Binäärilukuna Painoarvot kokonaisosa yhteensä = ^(-1) 2^(-2) 2^(-3) 2^(-4) Eli lukuna Yhteensä Sama periaate toimii kaikissa lukujärjestelmissä.