Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!"

Hanna-Mari Hakola
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi? b) Mitä jää jakojäännökseksi, jos luku jaetaan luvulla 9? 4. Nimismies Neuvosella oli ratkaistava visainen pulma: Rikoksesta epäillään Aria, Bengtiä tai Callea ja joku heistä tai useampi heistä on varmasti syyllinen rikokseen. Neuvosella oli juttuun kaksi täysin luotettavaa todistajaa, joista ensimmäinen sanoi, että jos Ari on syytön tai Bengt on syyllinen, niin silloin Calle on syyllinen. Toinen sanoi, että jos Ari on syytön, niin Calle on syytön. Lisäksi Neuvonen tietää, että Ari ja Calle ovat olleet pahasti vihoissaan toisilleen eivätkä ole varmasti tehneet rötöksiä yhdessä. Auta Neuvosta rikoksen selvittämisessä! Kuka tai ketkä ovat syyllisiä? 5.a) Määritä x ja y, kun 36x49y 14 b) Määritä Eratostheneen seulalla kaikki alkuluvut, jotka ovat pienempiä kuin Todista: Jos a on irrationaaliluku, niin myös a 1 a 1 on irrationaaliluku. 7. a) Emma osti lastentapahtumaan kahdenlaisia karkkipusseja. Toiset maksoivat 1,15 euroa ja toiset 1,95 euroa. Lasku oli 166,30 euroa. Kuinka paljon kumpiakin karkkipusseja oli? b) Oletetaan, että n on kokonaisluku. Onko luku 8. JOKERI (maksimi 9p.) nn ( 3) jaollinen kolmella? a) Määrää ilman Eratostheneen seulaa alkuluku, joka on suurempi kuin alkuluvut 89 ja 103. (3p) b) Osoita, että alkulukuja on äärettömästi. () OTA TÄMÄ KOEPAPERI MUKAASI! OIKEAT VASTAUKSET LÖYTYVÄT TÄMÄN PÄIVÄN AIKANA (n. klo 11:30 jälkeen) NETISTÄ OSOITTEESTA:

2 Ratkaisut: 1. C D A B Lause on tautologia, jos se on tosi kaikilla muuttujien totuusarvoilla. Totuustaulun mukaan lause ( A B) ( A B) ei ole tosi, jos A ja B ovat tosia tai jos A ja B ovat epätosia. Lause ei siis ole tautologia Nyt syt(16 360, 8 65)=5 ja pym(16360,865)= a) A B B A B ( A B) B Lause on siis tosi aina kun A on epätosi.

3 b) 19 1(mod 9) (mod 9) (mod 9) 5(mod 9) 50 5(mod 9) 4. A := Ari on syytön, B:= Bengt on syytön, C:=Calle on syytön. Todistajien lauseet: ( A B) C A C Totuustaulu tilanteesta:. Jakojäännös on siis 5. A B C B C A B ( A B) C A C Totuustaulussa on nyt ympyröity sellaiset rivit, joilla molemmat todistajien lausunnot ovat tosia, kuten pitikin olla. Alimmalla ja kolmanneksi alimmalla rivillä on vain se ongelma, että niissä tilanteissa Ari ja Calle ovat kumpikin syyllisiä ja se ei tarkastaja Neuvosen tietojen mukaan ole mahdollista, koska miehet olivat keskenään riidoissa. Tällöin ainoa mahdollinen tilanne on neljännen rivin skenaario, missä Ari on syyllinen ja Bengt ja Calle syyttömiä.

4 5. a) 36x49y 14 Ensin syt(36,49)= (1310) (36 13) => (49 36) x 10 ja y 154 b) Eli 100 pienemmät alkuluvut ovat:

5 1,,3,5,7,11,13,17,19,3,9,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. Erathosteneen seulassa riittää, kun viivaa yli kaikki sellaiset luvut, jotka ovat jaollisia pienemmillä alkuluvuilla, kuin , eli 1,,3,5 ja Oletus: a on irrationaaliluku (päättymätön, epäsäännöllinen desimaali) Väite: Jos a on irrationaaliluku, niin myös Todistus: Tehdään vastaoletus, että luku a1 p, missä p, q a 1 q. a 1 a 1 a 1 a 1 on irrationaaliluku. on rationaaliluku. Luku on siis muotoa: Nyt a1 p q(a 1) p( a 1) aq q pa p a1 q aq pa q p a( q p) q p : ( q p) q p a q p mikä on murtoluku. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa. => Vastaoletus on siis väärä, joten a 1 a 1 on irrationaaliluku. 7. a) syt(1,95;1,15)=0,05 1,95 11,15 0,8 1,15 10,8 0,35 0,8 0,35 0,1 0,35 30,10, 05 0,1 0,05 Nyt toisin päin:

6 0, 05 0,35 30,1 0, 05 0,35 3(0,8 0,35) 0,35 30,8 60,35 7 0,35 30,8 0, 05 7(1,15 0,8) 30,8 71,15 7 0,8 30,8 71,15 100,8 0, 05 71,15 10(1,95 1,15) 71,15 101,95 101,15 0, ,15 101, , , ,95 Nyt siis 1,15 hintaisia karkkipusseja pitäisi olla 5654 kpl ja 1,95 hintaisia karkkipusseja kpl, mikä on mahdotonta. b) Esitetään luku jakoyhtälön avulla ja ajatellaan kolmella jaollisia lukuja. Koska luku n Luku n on nyt muotoa 3n, 3n+1 tai 3n+. n 3n nn ( 3) 3 n((3 n) 3) 3 n(9n 3) On kolmella jaollinen luku, koska siinä on kolme tekijänä! 3n+1 (3n 1)((3n 1) 3) (3n 1)(9n 6n 1 3) (3n 1)(9n 6n 4) 3 7n 18n 1n 9n 6n 4 3 7n 7n 18n 4 Ei saa kolmosta tekijäksi, koska tuossa on lopussa tuo 4! Eli ei ole kolmella jaollinen luku, jos n on muotoa 3n+1 3n+ Tämän takia viimeistä kohtaa ei tarvitse edes katsoa, kun on jo löydetty yksi todiste sille, että luku nn ( 3) ei ole kolmella jaollinen aina n:stä riippumatta. Ei ole kolmella jaollinen!

7 8. a) mahdollisia tehtävänannon ehdon täyttäviä alkulukuehdokkaita: 104, 105, 106, 107, 108, Luku n on alkuluku, jos se ei ole jaollinen millään lukua n pienemmällä alkuluvulla. Käydään läpi mahdolliset ehdokkaat: , pitää jakaa luvuilla 1,,3,5,7 104 on jaollinen luvulla, joten ei ole alkuluku , 5 pitää jakaa luvuilla 1,,3,5,7 105 on jaollinen luvulla 5, joten ei ole alkuluku. 106 on jaollinen luvulla, joten ei ole alkuluku ,3 pitää jakaa luvuilla 1,,3,5,7 Kokeillaan: 107 ei ole jaollinen luvulla, 107 ei ole jaollinen luvulla 3, eikä luvulla ei ole jaollinen luvulla 7. Sen on siis oltava alkuluku. b) Todistus kirjassa alkuluku-kappaleessa.

Samankaltaiset tiedostot

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia. MAA11 Koe 8.4.013 5 5 1. Luvut 6 38 ja 43 4 jaetaan luvulla 17. Osoita, että tällöin jakojäännökset ovat yhtäsuuret. Paljonko tämä jakojäännös on?. a) Tutki onko 101 alkuluku. Esitä tutkimuksesi tueksi